关于费马点与_心_的距离公式
费马原理公式
费马原理公式费马原理是光学中的一个基本原理，它对光的传播路径进行了描述和解释。
费马原理公式是光学中的一个重要公式，它为我们理解光的传播提供了重要的理论支持。
在本文中，我们将详细介绍费马原理公式的含义、推导过程以及应用领域。
费马原理公式描述了光在两点间传播的路径。
在光学中，光线通常沿着一条最短路径传播。
费马原理公式可以用来描述光线在两点间传播的最短路径。
其公式表达如下：\[ \delta S = \int_{A}^{B} n(x) ds \]其中，δS表示两点间光线传播的路径长度，A和B分别表示两点的位置，n(x)表示介质的折射率，ds表示路径上的微小位移。
费马原理公式的推导过程比较复杂，需要借助变分法和拉格朗日乘子等数学工具。
在此不做详细展开，感兴趣的读者可以参考相关光学教材和文献进行深入学习。
费马原理公式在光学中有着广泛的应用。
例如，在光的折射现象中，我们可以利用费马原理公式来描述光线在不同介质中的传播路径。
此外，在光的成像理论中，费马原理公式也发挥着重要作用。
通过费马原理公式，我们可以分析光线在透镜、凸透镜等光学器件中的传播路径，从而揭示光学成像的规律。
除此之外，费马原理公式还在光的反射、衍射等现象的研究中发挥着重要作用。
通过费马原理公式，我们可以深入理解光在不同介质中的传播规律，为光学技术的发展和应用提供理论支持。
总之，费马原理公式是光学中的重要公式，它描述了光在两点间传播的路径，并在光学理论和技术的研究中发挥着重要作用。
通过对费马原理公式的学习和理解，我们可以更深入地认识光的传播规律，为光学领域的发展和应用提供理论支持。
希望本文对读者能有所帮助，谢谢阅读！。
最值系列之费马点问题
最值系列之费马点皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．据说费马在提出“费马大定理”时，在笔记本上写道：我已经想到了一个绝妙的证明方法，但是这个地方不够写，我就不写了吧。
看得出那个时候纸确实挺贵的。
直到1995年，才由英国数学家怀尔斯证明出，而距离费马逝世，已经过去了330年．言归正传，今天的问题不是费马提出来的，是他解决的，故而叫费马点．问题描述在△ABC内找一点P，使得PA+PB+PC最小．若点P满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，则PA+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．接下来讨论3个问题：（1）如何作三角形的费马点？（是什么）（2）为什么是这个点？（为什么）（3）费马点怎么考？（怎么办）01如何作三角形的费马点？——是什么？问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．在图三的模型里有结论：（1）∠BPD=60°；（2）连接AP，AP平分∠DPE．有这两个结论便足以说明∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC<120°，若∠BAC≥120°，这个图就不是这个图了，会长成这个样子：此时CD与BE交点P点还是我们的费马点吗？答：这时候就不是了，显然P点到A、B、C距离之和大于A点到A、B、C距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A点！当然这种情况不会考的，就不多说了．02为什么是这个点？——为什么？为什么P点满足∠PAB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC值就会最小呢？答：归根结底，还是要重组这里3条线段：PA、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．类似的手拉手，在图中有3组，可得：AF=BE=CD．巧的嘞，它们仨的长度居然一样长！更巧的是，其长度便是我们要求的PA+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化PA=PQ，PC=QE，故PA+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．没有对比就没有差别，我们换个P点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ，同样有△APC≌△AQE，转化PA=PQ，PC=QE，显然，PA+PB+PC=PB+PQ+QE>BE．03费马点怎么考？小试牛刀——2019武汉中考填空最后一题：问题背景：如图1，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，DE与BC交于点P，可推出结论：PA+PC=PE．问题解决：如图2，在△MNG中，MN=6，∠M=75°，MG=24，点O是△MNG 内一点，则点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值是______．【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG 三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH=2倍根号29．练习1 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求PA+PB+PC 的最小值．【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为PA+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！如何求BD？考虑到△ABC和△ACD都是特殊的三角形，过点D作DH⊥BA交BA 的延长线于H点，根据勾股定理，BD²=BH²+DH²即可得出结果．练习2 如图，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA+MD+ME的最小值为______．【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段．分别以AD、AM为边构造等边△ADF、等边△AMG，连接FG，易证△AMD≌△AGF，∴MD=GF∴ME+MA+MD=ME+EG+GF过F作FH⊥BC交BC于H点，线段FH的长即为所求的最小值．练习3问题提出（1）如图，点M、N是直线1外两点，在直线1上找一点K，使得MK+NK最小．问题探究（2）在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB度数的大小．问题解决（3）如图，矩形ABCD是某公园的平面图，AB＝30米，BC＝60米，现需要在对角线BD上修一凉亭E，使得到公园出口A、B，C的距离之和最小．问：是否存在这样的点E？若存在，请画出点E的位置，并求出EA+EB+EC的和的最小值；若不存在，请说明理由．练习4(1)请在下图三角形ABC的边BC上作一点P，使得AP最短(2)如图，点P为三角形ABC内部一点，且满足∠APB=∠BPC=∠APC，求证:点P到点A、B、C的距离之和最短，即PA+PB+PC最短；(3)如图，某高校有一块边长为400米的正方形草坪ABCD，现准备在草坪内放置一对石凳及垃圾箱在P点，使点P到B、C、D三点的距离和最小，那么是否存在符合条件的点P?若存在，请做出点P的位置，并求出这个最短距离；若不存在，请说明理由。
费马点
费马点就是指在三角形所在的平面内,到三角形三个顶点的距离的和最小的点.回答者：幽幽￠晴空- 初入江湖二级7-12 20:59 浅谈三角形的费马点法国著名数学家费尔马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”．这是一个历史名题，近几年仍有不少文献对此介绍．本文试以课本上的习题、例题为素材，根据初中学生的认知水平，针对这个问题拟定一则思维训练材料，引导学生通过自己的思维和学习，初步了解这个问题的产生、形成、推理和论证过程及应用．1．三角形的费马点已知：如图1，ΔABD、ΔAEC都是等边三角形．求证：BE=DC．这个题目证明比较容易，下面提几个问题供同学们思考．思考1 在ABC的BC边再作等边三角形BCF，并连接AF如图2，可得到什么结论？是否有(1)BE=CD=AF？(2)BE、CD、AF三线交于一点O？(3)∠AOB=∠BOC=∠COA=120°？思考2 如将原题的图1改成图3，并连接DE，还能得到什么结论？(1)原题的结论仍然成立：BE=CD．(2)若∠ADC=120°，则D点在等边ΔAEC的外接圆上．D、B、E共线，由BE=CD有：AD＋CD=DE；若∠ADC≠120°，易证AD ＋DC＞DE．得到下列命题．定理1 等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．思考3 根据上述定理，在图2中还有(1)OA＋OB＋OC=AF．(2)在ΔABC内另取一点O，总有O′A＋O′B＋O′C＞AF，即OA＋OB＋OC＜O′A＋O′B＋O′C．(3)点O是ΔABC所在平面上到三个顶点距离之和为最小的点．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三角形内必存在一点，它对三条边所张的角都是120°，该点到三顶点距离和达到最小，称为“费马点”，当三角形有一内角不小于120°时，此角的顶点即为费马点．2．水管线路最短问题如图4，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄供水，修在河边什么地方，可使所用水管最短？这是一个很有意义的应用题，在公路，自来水或煤气管道线路设计等方面都有一定价值．假如不是由水泵站C直接向A、B两地供水，那么本例用“对称点”方法所确定的线路CA＋CB并不是最短线路．易知当A、B、C三点所确定的三角形各角都小于120°时，在该三角内必存在费马点O有OA＋OB＋OC＜CA＋CB，可见水管总长还可以更小一些．于是水管线路最短问题即为A、B两点在直线L同侧，点C为L上一个动点的费尔马问题，下面分两类情况讨论这个问题．(1)AB与L的夹角小于30”．如图5，以AB为一边作正三角形ABM，并作ΔABM的外接圆．当所作外接圆与直线L相离或相切时，从M点作直线L的垂线，交圆于O点，垂足为C．C即为水泵站位置，先把水引到O点，再从O点分别向A、B两地供水，此时点O 更短，即在L上另选一点都不会改进．优的了，因为∠ABC≥120°，费马点就是点C也就是在C建水泵站直接向A、B两地供水．如果水泵站C选在P点的左侧，如图7，此时△ABC的费马点O必在在点P上，故L上点P的左侧不会有更好的点可选，同理Q点的右边也找不出更好的点．(2)AB与L的夹角不小于30°．如图8，若A点离直线L较近，作AC⊥L交于C，点C为水泵站位置，因为∠CAB≥120°，点A即为ΔABC的费马点，此时水管总长为CA＋AB．在L上任意另取一点都不会再有改进．显然在点C的左侧取一点C′时，ΔABC′的费马点仍在A点，易知弧上(因为ΔABM的外接圆不会与L相交或相切)，故必有；O′A+O′B+O′C=O′M+O′C＞CA+AM=CA＋AB．综上所述水管的最短线路有三种分别为“Y”字型“V”字型及“厂”字型．3．两个应用题文(4)谈到95年全国高考命题组，对应用题选编时曾考虑过如下两个题目：(1)一条河宽1km，两岸各有一座城市A与B，A与B的直线距离是4km，今须铺设一条电缆连A与B，已知地下电缆修建费用为2万元/km，水下电缆为4万元/km，假定河两岸是直线，问应如何架设电缆方可使总施工费用达到最小？(2)有四个点位于一个正方形的四个顶点上，须用线将它们连成一个网络(即从任何一点出发，可沿此网络中的线达到别的点)，问此网络应以什么方式连接这四个点，方可使所用的线总长最小？汤建新，赵汉群曾在《中学数学》(湖北)1997．10月刊上发文(5)对(1)题作了详细讨论，并给出一个很巧妙的解答，使初中学生可以理解．用费马点也可这样去解，因为水底电缆每千米修建费为地下的两倍，如图9，实际上即为在河岸直线L上找一点C使AC ＋2BC最小，取B点关于L的对称点B′，因为BC=B′C故所求点C(电缆的下水点)即为ΔABB′的费马点，取∠BCA=120°即得．关于(2)题如图10，易知不论如何连接，所求的网络必通过正方形中心O点，问题转化为ΔABO与ΔDCO的费马问题，也可以转化为问题(1)，详细解答请同学们考虑费马点编辑本段费马点定义在一个多边形中，到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。
关于大一高数的趣味知识点
关于大一高数的趣味知识点在大一的高等数学课程中，我们学习了一系列的数学知识和概念。
虽然它可能被视为一门严肃而抽象的学科，但实际上高数中也隐藏着一些有趣的知识点。
本文将介绍一些关于大一高数的趣味知识点，带你进一步了解这门学科的魅力所在。
1. 费马点与费马线：在平面上取两点A和B，欲寻找到与AB之间的距离之和最短的点P。
根据最短路径的原理，我们可以得出结论：当且仅当角APB为直角时，点P才是最短路径的终点。
在数学中，这个点就被称为费马点。
而通过费马点连接AB的直线称为费马线。
2. 1 + 2 + 3 + ... + n 的求和问题：在高数中，我们经常会遇到求和的问题，比如求 1 + 2 + 3 + ... + n 的值。
这个问题可以通过一个有趣的方法进行求解。
我们可以利用等差数列的性质，将这个数列分成两部分，分别为 1 + 2 + ... + (n-1) 和 n。
然后我们可以发现，这两部分的和是相等的。
所以，我们可以将原来的和表示为 2倍的(1 + 2 + ... + (n-1)) + n，然后再进行简化计算。
3. 斜率与导数的关系：在直角坐标系中，我们知道斜率可以表示为直线的倾斜程度。
而在微积分中，导数表示函数在某一点的斜率。
有趣的是，这两者是相关的。
实际上，导数可以被视为斜率的“推广”。
通过导数的计算，我们可以得知函数在每个点的斜率，并进一步研究函数的性质和特点。
4. 点到直线的距离公式：我们经常需要计算点到直线的距离，而这个距离可以通过一个简洁的公式来表示。
设直线为Ax + By +C = 0，点为(M, N)，则点到直线的距离可以由公式 d =|AM+BN+C| / √(A^2 + B^2) 计算得出。
这个公式的推导过程是基于向量和点的坐标表示，利用了几何和代数的知识。
5. 反函数与对称性：在函数的学习中，我们经常会遇到反函数的概念。
有趣的是，反函数具有一定的对称性。
设函数为y = f(x)，反函数为y = f^(-1)(x)，那么它们有一个有趣的对称性质：原函数上的点(x, y)在反函数上的点为(y, x)。
最值模型之费马点模型(解析版)
最值模型之费马点模型费马点问题是由全等三角形中的手拉手模型衍生而来，主要考查转化与化归等的数学思想，在各类考试中都以中高档题为主。
本专题就最值模型中的费马点问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
【模型背景】皮耶·德·费马，17世纪法国数学家，有“业余数学家之王”的美誉，之所以叫业余并非段位不够，而是因为其主职是律师，兼职搞搞数学．费马在解析几何、微积分等领域都有卓越的贡献，除此之外，费马广为人知的是以其名字命名的“费马小定理”、“费马大定理”等．费马点：三角形内的点到三个顶点距离之和最小的点。
【模型解读】结论1：如图，点M为△ABC内任意一点，连接AM、BM、CM，当M与三个顶点连线的夹角为120°时，MA+MB+MC的值最小。
注意：上述结论成立的条件是△ABC的最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A。
(这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°)【模型证明】以AB为一边向外作等边三角形△ABE，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN．∵△ABE为等边三角形，∴AB=BE，∠ABE=60°．而∠MBN=60°，∴∠ABM=∠EBN．在△AMB与△ENB中，∵AB=BE∠ABM=∠EBNBM=BN，∴△AMB≌△ENB(SAS)．连接MN．由△AMB≌△ENB知，AM=EN．∵∠MBN=60°，BM=BN，∴△BMN为等边三角形．∴BM=MN．∴AM+BM+CM=EN+MN+CM．∴当E、N、M、C四点共线时，AM+BM+CM 的值最小．此时，∠BMC=180°-∠NMB=120°；∠AMB=∠ENB=180°-∠BNM=120°；∠AMC=360°-∠BMC-∠AMB=120°．费马点的作法：如图3，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ABE和等边△ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ABC的费马点。
三角形的五心定理
三角形的五心定理三角形是几何学中最基本的图形之一，具有丰富的性质和定理。
其中，五心定理是一条十分重要的定理，它揭示了三角形内包含的五个特殊点，这些点被称为三角形的五心。
本文将从五心定理的定义和推导开始，详细介绍五心的概念、性质以及应用。
一、五心定理的定义和推导五心定理是指在任意三角形ABC中，存在五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为外心、内心、垂心、重心和费马点。
这些特殊点具有一些特殊性质，对于研究三角形的性质和问题具有重要作用。
首先，我们来推导五心定理。
假设三角形ABC的外接圆圆心为O，内切圆圆心为I，垂心为H，重心为G，费马点为N。
根据几何学的基本定理和性质，可以得到以下关系：1. 外心定理：三角形的三条边的中垂线交于一点，该点即为三角形的外心O。
2. 内心定理：三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心I。
3. 垂心定理：三角形的三条高交于一点，该点即为三角形的垂心H。
4. 重心定理：三角形的三条中线交于一点，该点即为三角形的重心G。
5. 费马点定理：三角形内所有角的顶点到三个顶点的距离之和最短，该点即为三角形的费马点N。
综上所述，我们可以得出三角形ABC内含有五个特殊点O、I、H、G、N，它们分别为三角形的外心、内心、垂心、重心和费马点。
接下来，我们将详细介绍这五个特殊点的性质和应用。
二、五心的性质和应用1. 外心O：外心O是三角形的外接圆圆心，该圆将三角形的三个顶点都包含在内。
外接圆的半径等于三角形的外心到任意顶点的距离，外心到三个顶点的连线都互相垂直。
2. 内心I：内心I是三角形的内切圆圆心，该圆与三条边都相切。
内切圆的半径等于三角形的内心到任意边的距离，内心到三条边的连线都互相垂直。
3. 垂心H：垂心H是三角形的三条高交于的点，该点到三个顶点的连线都互相垂直。
垂心是一个重要的概念，在三角形的高问题以及垂心距离等方面有广泛的应用。
4. 重心G：重心G是三角形的三条中线交于的点，该点将三角形分成六个三角形的面积之比为2:1。
费马点的定理及应用
费马点的定理及应用费马点的定理是一项基本的几何学定理，它的内容是在给定的平面上，一个三角形的三条边上可以找到三个点，使得这三个点到三个顶点的距离的和最小。
费马点的定理是由法国数学家费马在1660年提出的，而费马点是指到三个点的距离的和最小的点。
在数学中，这个问题可以转化为求解费马点，也就是费马问题的解。
费马问题是对于一个给定的点到几个点的距离之和的最小化问题。
费马点的定理可以有很多应用，下面我将介绍其中的几个常见应用。
首先，费马点的定理可以用于建筑设计中的路径规划。
在建筑规划和设计中，我们经常需要确定最佳路径，以最小化人员和物资的运输成本。
使用费马点的定理可以帮助我们确定最佳路径，从而提高建筑设计的效率。
其次，费马点的定理可以用于无线通信中的天线布局。
在无线通信中，天线的布局对于信号的强弱和覆盖范围都有很大的影响。
利用费马点的定理，我们可以确定最佳的天线布局，以最大化信号的强度和覆盖范围。
此外，费马点的定理还可以应用于水资源管理中的水流路径规划。
在水利工程中，我们常常需要确定最佳的水流路径，以最大限度地减少水资源的浪费和损失。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的水流路径，提高水资源的利用效率。
另外，费马点的定理也可以应用于自动驾驶车辆的路线规划。
在自动驾驶技术中，路线规划是一个非常重要的问题，它直接影响到车辆的行驶安全和效率。
使用费马点的定理，我们可以确定最佳的路线规划，以最小化车辆的行驶时间和能耗。
最后，费马点的定理还可以应用于电力系统中的电缆布置。
在电力系统的规划和设计中，电缆的布置对于电力传输的效率和可靠性都有很大的影响。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳的电缆布置方案，以最大化电力传输的效率和可靠性。
综上所述，费马点的定理是一项非常有用的几何学定理，它可以应用于各种领域，如建筑设计、无线通信、水资源管理、自动驾驶技术和电力系统等。
通过使用费马点的定理，我们可以确定最佳路径、布局和规划方案，以提高效率、降低成本和提高系统的可靠性。
中考专题复习-费马点+课件+-2023-2024学年人教版数学九年级下册+
（PA+PB+PC）min=B'C
由旋转得AB'=AB=3，∠BAB'=60°
∴∠B'AD=60°
在Rt△AB'D中，AD=12
AB'=
3 2
，B'D=23
3
在Rt△CB'D中 B'C CD2 B' D2 2 6
B' B
D
A P'
P
C
模型应用
例2．如图，P为正方形ABCD内的动点，若AB=2，则PA+PB+PC的最小值为 ________．
（PA+PB+PC）min=B'C
A
P' P
B
C
模型应用
例1 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，
∠BAC=60°，P为△ABC内一点，求
PA+PB+PC的最小值．
解：将△APB绕点A顺时针旋转60°得到△AP'B'
连接PP'，B'C
∴PA+PB+PC=P'A+P'B'+PC≥B'C
∴当B'、P'、P、C四点共线时PA+PB+PC的值最小
B'
△AP'B'
A
P' P
B
C
模型应用
例1 如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，∠BAC=60°，P为△ABC内一点，求
PA+PB+PC的最小值．
解：将△APB绕点A顺时针旋转60°得到△AP'B'
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
万方数据
万方数据
关于费马点与"心"的距离公式
作者：贺功保
作者单位：湖南省株洲市教育科学研究院,412007
刊名：
中学数学研究
英文刊名：STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG
年，卷(期)：2006(4)
被引用次数：1次
1.刘述省三角形五心的性质及统一证法 1988
2.沈文选平面几何证明方法全书 2005
3.贺功保计算三角形顶点与"心"距离的统一公式 1996(01)
4.贺功保计算三角形"心距"的统一公式 1999(05)
5.刘京培关于费马点与重心的距离公式[期刊论文]-中等数学 2006(01)
1.贺功保关于界心与"心"的距离公式[期刊论文]-中学数学研究 2009(5)
本文链接：/Periodical_zxsxyj200604007.aspx。