5-4反常积分04135
D5_4反常积分
存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分, 记作
这时称反常积分 就称反常积分
收敛 ; 如果上述极限不存在, 发散 .
类似地 , 若 f ( x) C ( , b] , 则定义
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若 f ( x) C ( , ) , 则定义
f ( x) dx lim f ( x) dx a a b c lim
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例3. 计算反常积分
t pt 解: 原式 e p
1 pt 2e p 1 2 p
1 p t e dt p 0
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二、无界函数的反常积分
引例:曲线 与 x 轴, y 轴和直线 所围成的
开口曲边梯形的面积可记作
y
1 y x
提示: P260 题2 d(ln x ) dx 2 x (ln x) k 2 (ln x) k dx 1 当 k 1 时, I (k ) 2 k x (ln x) (k 1)(ln 2) k 1
令 f (k ) (k 1)(ln 2)
k 1
, 求其最大值 .
0
1
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例6. 证明反常积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
证 : 当 q = 1 时,
当 q≠1 时
ln x a
1 q
a
b
q 1 q 1
( x a) 1 q
(b a)1q , b 1 q a ,
最新4-5反常积分汇总
4-5反常积分精品资料§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)柯西-黎曼积分通常称为正常积分.它的特征是：积分区间是有限区间，而函数在这个区间上是有界函数(无界函数不可积).这一章中所讨论的积分称为反常积分，其中或者积分区间为有限区间而函数在该区间上是无界函数(称为奇异积分)，或者积分区间为无限区间(称为无穷积分).反常积分不像柯西-黎曼积分那样是作为积分和的极限，而是变上限或变下限积分作为函数时的极限.1.奇异积分 按照正常积分，函数«Skip Record If...»在区间«SkipRecord If...»上不可积，因为它在区间«Skip Record If...»上是无界函数(图4-30).可是对于任意正数«Skip Record If...»，函数«Skip RecordIf...»在区间«Skip Record If...»上是可积的，而且有极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»我们将把这个极限值称为函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上的奇异积分，并记成«Skip Record If...» «Skip Record If...»它在几何上表示由曲线«Skip Record If...»、竖直线«Skip Record If...»和两个坐标轴围成的无界图形的面积(面积为«Skip Record If...»单位平方).一般地，设函数«Skip Record If...»在(左开右闭)区间«Skip RecordIf...»上连续，而在点«Skip Record If...»近旁无界[这样的点«Skip Record If...»就称为函数«Skip Record If...»的奇点](图4-31).我们形式上就定义奇异积分为 «Skip Record If...»所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称奇异积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，«Skip Record If...»仅是一个记号.例20 «Skip Record If...»«Skip Record If...»，其中当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»图4-31Record 图4-30O ε 1精品资料当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»综上所述：当«Skip Record If...»时，奇异积分«Skip Record If...»收敛；当«Skip Record If...»时，奇异积分«Skip Record If...»发散.【注】当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»是正常积分.计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等，都可以转移到奇异积分上来.例如，若函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续(«Skip Record If...»是奇点)，«Skip Record If...»是它的一个原函数，则有«Skip Record If...»其中«Skip Record If...».而且，当有极限«Skip Record If...»时，奇异积分收敛；当没有极限«Skip Record If...»时，奇异积分发散.因此，例20就可以做成«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»(*)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»事实上，奇异积分与正常积分是相通的．．．．．．．．．．．．．，因为有时奇异积分经过换元会变成正常积分，反过来也是如此.例如，«Skip Record If...»(奇异积分)«Skip Record If...»(正常积分)同样，若函数«Skip Record If...»在(左闭右开)区间«Skip Record If...»上连续且点«Skip Record If...»是奇点(图4-32)，则也可形式上定义Array奇异积分«Skip Record If...»而且它的收敛性也是根据右端是否有极限来确定.像例那样，可以证明奇异积分«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时收敛，而当«Skip Record If...»时发散.图4-32 积分的上下限可能同时都是被积函数的奇点，当奇异积分收敛时，就可以像正常积分那样去计算.例如«Skip Record If...»«Skip Record If...»,或«Skip Record If...»«Skip Record If...»,(*)在扩充实数系中，规定«Skip Record If...».精品资料(偶函数的积分)或«Skip Record If...».(换元积分法)函数的奇点也可能出现在积分区间的内部.譬如，若点«Skip Record If...»是函数«Skip Record If...»的奇点，而且函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»和«Skip Record If...»上连续，则可形式上定义奇异积分«Skip Record If...»请注意，只有当右端两个奇异积分都收敛时，才能说左端的奇异积分是收敛的.换句话说，只要右端至少有一个积分是发散的，则左端的积分就是发散的.因为奇异积分实际上是函数的极限，所以有下面的结论：⑴若奇异积分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都收敛，则«Skip Record If...»也收敛，且有«Skip Record If...»(线性运算性质)⑵若奇异积分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»中有一个收敛，另一个发散，则«Skip Record If...»必发散.但是请读者注意，若奇异积分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都发散时，则«Skip Record If...»有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个奇异积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续(«Skip Record If...»是奇点).若有某个正数«Skip Record If...»和某个正数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...» (4-22)则奇异积分«Skip Record If...»收敛；相反，若有某个«Skip Record If...»和某个正数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...» (4-23) 则奇异积分«Skip Record If...»发散.证当满足条件(4-22)时，则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是，对于任意正数«Skip Record If...»，根据积分单调性，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»其中右端是与«Skip Record If...»无关的正常数，即作为«Skip Record If...»的函数精品资料«Skip Record If...»«Skip Record If...»有上界；又当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»是增大的，所以有极限(单调有界原理)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip RecordIf...»«Skip Record If...»因此，也有极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»即奇异积分«Skip Record If...»收敛.其次，当条件(4-23)满足时，函数«Skip Record If...»不变号[因为«Skip Record If...»是连续函数]，不妨认为«Skip Record If...»«Skip Record If...».根据例20，则有«Skip Record If...»«Skip Record If...»即奇异积分«Skip Record If...»发散.我们当然可以把上面的结论及其证明类比到上限«Skip Record If...»是奇点的情形.作为习题，请你证明下面的柯西判别法：设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续(«Skip Record If...»是奇点).若有某个正数«Skip Record If...»和某个正数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»则奇异积分«Skip Record If...»收敛；相反，若有某个«Skip Record If...»和某个正数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»则奇异积分«Skip Record If...»发散.例21 研究奇异积分«Skip Record If...»的敛散性.解点«Skip Record If...»和点«Skip Record If...»都是奇点.为了研究它的敛散性，需要把它分成两个积分，使每一个积分只含有一个奇点，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（0是奇点）（1是奇点）在右端第一个积分中，因为«Skip Record If...»根据柯西判别法，所以右端第一个积分收敛；在右端第二个积分中，因为«Skip Record If...»（注意上限«Skip Record If...»是奇点）根据柯西判别法，所以右端第二个积分也收敛.因此，奇异积分«Skip Record If...»收敛.精品资料2.无穷积分 在计算某些几何量或物理量时，有时会遇到无限区间上的“积分”，即«Skip Record If...»，或«Skip Record If...»，或«Skip Record If...» 它们都不是正常积分中那种积分和的极限，而是变上(下)限积分(看作函数时)的极限.例如图4-33中那个由曲线«Skip Record If...»与«Skip Record If...»轴和直线«Skip Record If...»围成的无界图形的面积，规定为极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»(单位平方)是合理的.再如放置在原点«Skip Record If...»处带有正电量«Skip Record If...»的点电荷，在它周围产生有静电场(图4-34).今有单位正电荷，它到原点的距离为«Skip Record If...»，并在电场力的作用下移动的距离为«Skip Record If...»时，电场力所做的功为«Skip Record If...»因为通常把无穷远处的电位看作零，所以点«Skip Record If...»处的电位是«Skip Record If...»还有，当用换元积分法计算正常积分时，经过换元有时也会遇到无穷积分.例如，«Skip Record If...» «Skip Record If...»因此，我们有必要来定义无穷积分.虽然这种积分不是用积分和的极限定义的正常积分，但是它与正常积分是相通的.设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续.形式上就定义无穷积分为«Skip Record If...»所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称无穷积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，«Skip Record If...»仅是一个记号.类似地，也可形式上定义无穷积分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»图4-33 O · q · aa +r · x 图4-34精品资料并且规定：«Skip Record If...»是收敛的，当且仅当«Skip Record If...»和«SkipRecord If...»都是收敛的.请读者注意，不能把其中的无穷积分«Skip Record If...»理解为极限«Skip Record If...»因为右端极限存在时，而左端的无穷积分有可能不收敛.例如«Skip Record If...»，但«Skip Record If...»不收敛.例22 «Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»注意，其中«Skip Record If...»是根据洛必达法则.计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式，也可以转移到无穷积分上来.若函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续，«Skip Record If...»为它的一个原函数，则«Skip Record If...»其中记号«Skip Record If...».若有极限«Skip Record If...»，则无穷积分«Skip Record If...»是收敛的；否则，它就是发散的.因此，例22就可以直接做成«Skip Record If...»其中原函数在上限的值当然是指它在无穷远处．．．.类．．．．．．«Skip Record If...»．．．．．．．．．．．．．．．．．的极限似地，像下面这样的演算也是合法的，即«Skip Record If...»或«Skip Record If...»«Skip Record If...»（偶函数的积分）正常积分中的换元积分法和分部积分法，也可以转移到无穷积分上来.例如，若函数«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都有连续导数，则有«Skip Record If...»因此，例22也可以做成«Skip Record If...»«Skip Record If...»例23在含参数«Skip Record If...»的无穷积分«Skip Record If...»中，若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»；若«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»因此，当«Skip Record If...»时，它收敛；当«Skip Record If...»时，它发散.精品资料因为无穷积分实际上也是函数的极限，根据函数极限的运算性质，所以有下面的结论：⑴若无穷积分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都收敛，则«Skip Record If...»也收敛，且有«Skip Record If...»(线性运算性质)⑵若无穷积分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»中有一个收敛，另一个发散，则«Skip Record If...»必发散.但是请读者注意，若无穷积分«Skip Record If...»和«Skip Record If...»都发散时，则«Skip Record If...»有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个无穷积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，像奇异积分那样，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法设函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上连续«Skip Record If...».若有某个正数«Skip Record If...»和某个正数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...» (4-24)则无穷积分«Skip Record If...»收敛；相反，若有某个正数«Skip Record If...»和某个正数«Skip Record If...»，使«Skip Record If...» (4-25)则无穷积分«Skip Record If...»发散.证当满足条件(4-24)时，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是，对于«Skip Record If...»，根据积分单调性，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»(常数)即作为上限«Skip Record If...»的函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»有上界；又当«Skip Record If...»时，函数«Skip Record If...»是增大的(因为被积函数是非负的)，所以有极限(单调有界原理)«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»因此，也有极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»«SkipRecord If...»«Skip Record If...»精品资料【因为右端两个积分都是收敛的】即无穷积分«Skip Record If...»收敛.其次，当条件(4-25)满足时，函数«Skip Record If...»不变号，不妨认为«Skip Record If...».于是有«Skip Record If...»«Skip Record If...»（例23）即无穷积分«Skip Record If...»发散.例24 研究积分解见图4-35，在概率论中称函数为标准正态分布的密度函数.积分«Skip Record If...»个积分，即«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»图4-35在右端第二个积分中，根据不等式«Skip Record If...»，则有«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»因此，对于任意«Skip Record If...»，有«Skip Record If...»«Skip Record If...»注意到积分«Skip Record If...»关于上限«Skip Record If...»是单调增大的，根据函数极限的单调有界原理，必有极限«Skip Record If...»即«Skip Record If...»收敛.又积分«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»所以«Skip Record If...»也收敛.因此，«Skip Record If...»收敛.因为概率论中用到无穷积分«Skip Record If...»，所以称它为概率积分(历史上称它为欧拉—泊松积分).在节后的附录中，进一步证明了«Skip Record If...».【注】概率论中用到的是下面的结论.设函数«Skip Record If...»在任意有限区间上可积分，且无穷积分对任意«Skip Record«Skip Record If...»If...»都收敛，则在概率论中就用«Skip Record If...»定义连续型随机变量的分布函数.等读者学习到§5-1时，就能够像正常积分那样证明：⑴函数«Skip Record If...»是连续函数；⑵若«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»是连续的，则«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»可微分且«Skip Record If...».精品资料3.绝对收敛和条件收敛在正常积分中，若函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上可积，则«Skip Record If...»在«Skip RecordIf...»上也可积(相反的结论不成立).可是在反常积分中，结论恰好相反.譬如在奇异积分中，若«Skip Record If...»收敛（*），则«Skip Record If...»也收敛(相反的结论不成立).这个结论的证明与柯西判别法的证明是一样的.事实上，不妨设«SkipRecord If...»为函数«Skip Record If...»的奇点.因为«Skip RecordIf...»，所以作为«Skip Record If...»的函数«Skip Record If...»«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时单调增大有上界，因此有极限«Skip Record If...»从而也有极限«Skip Record If...»«Skip Record If...»即«Skip Record If...»收敛.若«Skip Record If...»收敛，从而«Skip Record If...»也收敛，则称«Skip Record If...»的收敛性为绝对收敛；而若«Skip Record If...»收敛，但«Skip Record If...»发散，则称«Skip Record If...»的收敛性为条件收敛.同样，对于无穷积分来说，若«Skip Record If...»收敛，则«Skip Record If...»也收敛，在这种情形下，就说«Skip Record If...»是绝对收敛的.若«Skip Record If...»收敛，但«Skip Record If...»发散，就说«Skip Record If...»是条件收敛的.作为条件收敛的一个例子，我们考虑著名积分(狄利克雷积分)«Skip Record If...»首先证明它是收敛性.为此，先把它分成两个积分，即«Skip Record If...»(正常积分)«Skip Record If...»«Skip Record If...»这样，只要证明无穷积分«Skip Record If...»收敛就行了.事实上，对于任意实数«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»于是,«Skip Record If...»«Skip Record If...»«Skip Record If...»（*）有时称函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上绝对可积。
反常积分的几种计算方法
反常积分的几种计算方法目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)0 前言 (1)1反常积分的定义 (1)1.1无穷积分的定义 (1)1.2 瑕积分的定义 (2)2 反常积分的计算方法 (3)2.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分…………………………………………32.2利用变量替换法计算反常积分 (3)2.3利用分部积分法计算反常积分 (5)2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)2.5利用方程法计算反常积分 (7)2.6利用级数法计算反常积分 (9)2.7利用待定系数法计算反常积分 (10)结束语 (11)参考文献…………………………………………………………………⎰=+∞→uau Jdx x f )(lim ,)1(则称此极限J 为函数f 在[)+∞,a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作⎰+∞=adxx f J )(,)1('并称⎰+∞adx x f )(收敛.如果极限)1(不存在,为方便起见,亦称⎰+∞adx x f )(发散.类似地,可定义f 在(]b ,∞-上的无穷积分：⎰⎰-∞→∞-=buu bdxx f dx x f )(lim )(.)2(对于f 在()+∞∞-,上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义：dxx f dx x f dx x f aa ⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+=)()()(.)3(1.2瑕积分的定义定义2设函数f 定义在区间(]b a ,上,在点a 的任一右领域上无界,但在任何内闭区间[](]b a b u ,,⊂上有界且可积.如果存在极限⎰=+→bua u Jdx x f )(lim ,)4(则称此极限为无界函数f 在(]b a ,上的反常积分,记作⎰=badxx f J )(,)4('并称反常积分⎰b adx x f )(收敛.如果极限)4(不存在,这时也说反常积分⎰badx x f )(发散.在定义中,被积函数f 在点a 近旁是无界的,这时点a 称为f 的瑕点,而无界函数反常积分⎰badx x f )(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分：⎰⎰-→=uabu badx x f dx x f )(lim )(.)5(其中f 在[)b a ,有定义,在点b 的任一左领域上无界,但在任何[][)b a u a ,,⊂上可积.若f 的瑕点()b a c ,⊂,则定义瑕积分dx x f dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+=)()()(=⎰⎰+-→→+bvcv u acu dx x f dx x f )(lim )(lim .)6(其中f 在[)(]b c c a ,,⋃上有定义,在点c 的任一领域上无界,但在任何[][)c a u a ,,⊂和[](]b c b v ,,⊂上都可积.当且仅当)6(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若b a ,两点都是f 的瑕点,而f 在任何[]()b a v u ,,⊂上可积,这时定义瑕积分dx x f dx x f dx x f bcc aba⎰⎰⎰+=)()()(=⎰⎰-+→→+vcbv cuau dx x f dx x f )(lim )(lim , )7( 其中c 为()b a ,上任一实数.同样地,当且仅当)7(式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.2反常积分的计算方法在计算反常积分时有三大基本方法：Newton —Leibniz 公式、利用变量替换、利用分部积分法.设dx x f ba⎰)(是反常积分, b 为唯一的奇点(b 为有限数,或∞+),计算dx x f ba⎰)(：2.1利用Newton —Leibniz 公式计算反常积分若)(x f 在[)b a ,连续,且)(x F 为)(x f 的原函数,则)()0(|)()(0a Fb F x F dx x f b a ba--==-⎰.)8(例1 计算⎰-b apa x dx)(的值.解： pa x x f )(1)(-=在(]b a ,上连续,从而在任何[](]b a b u ,,⊂上可积,ax =为其瑕点，故⎰⎰-=-+→b u pa ub ap a x dx a x dx )(lim)(⎪⎩⎪⎨⎧=---≠-----=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-≠--=----⎰.1),ln()ln(,1,1)(1)(.1,)ln(,1,1)()(111p a u a b p p a u p a b p a x p pa x a x dx pp bu bu p b u p⎪⎩⎪⎨⎧≥∞<--=-=--→⎰⎰+.1,,1,1)()(lim )(1p p p a b a x dx a x dx pb u p a u b a p2.2利用变量替换法计算反常积分若)(t ϕ在[)βα,上单调,有连续的导数)(t ϕ',b a a =-=)0(,)(βϕϕ(β为有限数或无穷大),则⎰⎰'=βαϕϕdtt t f dx x f ba)())(()(.(9) 例2 计算⎰--bax b a x dx))((2的值.解：令θθ22sin cos b a x +=则θθθθcos sin 2sin cos 2b a dx +-=,θθθθθθθ2222222sin )(sin sin sin )1(cos sin cos a b b a b a a b a a x -=+-=+-=-+=-θθθθθθθ2222222cos )(cos cos cos )sin 1(sin cos a b a b a b b a b x b -=-=--=--=-πθθθθθθππ24cos sin )(cos sin )(22))((22020==--=--⎰⎰⎰d a b d a b x b a x dx ba.例 3 证明等式dt ab t f a dx x b ax f ⎰⎰+∞+∞+=+020)4(1)(,其中0,>b a (假设二积分有意义).分析:比较该等式的两边,我们必须使得ab t xbax 42+=+, 因0,,>x b a ,此即要求ab t x b ax 422+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+,亦即 22t x b ax =⎪⎭⎫ ⎝⎛-.因此我们选取的变换如下： 证明：令t xbax =-, 此时ab t xbax 42+=+成立,因此可得 )4(212ab t t ax ++=，dt abt a ab t t dx 42422+++=.于是dt abt ab t t ab t f a dx x b ax f 44)4(21)(222000++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎰⎰⎰∞+∞-∞+, 在上式的右边的第一个积分里,令u t -=,⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++++-++=+⎰⎰⎰∞+∞+∞+00222222044)4(44)4(21)(dt ab t ab u t ab t f du ab u u ab u ab u f a dx x b ax f 再将u 改写成t ,二积分合并,得dt ab t f a dx x b ax f ⎰⎰+∞+∞+=+020)4(1)(.因此该式得证.2.3利用分部积分法计算反常积分设)(),(x v v x u u ==在[)b a ,上有连续的导数,则⎰⎰⎰'-=='-bab a babadxx u x v x v x u udv dx x v x u )()()()()()(0.(10)例4 计算dx x x ⎰10ln 的值.解：⎰⎰=1021ln 21ln xdx dx x x )1ln (21102102dx xx x x ⎰⋅-⋅=41-=例5 计算积分dx x nx ⎰20cos ln 2cos π.解：(困难在于被积函数中有对数符号ln"",用分部积分法消去ln"")原式nx d x n2sin cos ln 2120⎰=πdx xx nx n x nx n ⎰--=2020cos )sin (2sin 21cos ln 2sin 21ππdx xxnx n ⎰=20cos sin 2sin 21π(我们看到,这里如果被积函数没有分母的x cos ,用积化和差公式,立即可以算出积分值.因此,我们希望设法应用公式∑=+=+nk kt t tn 12cos 21sin )12sin(将被积函数拆开).因为x n x nx x nx )12cos(cos 2cos sin 2sin +-=⋅,dx xx n dx nx n dx x x nx n ⎰⎰⎰+-=202020cos )12cos(2cos 21cos sin 2sin 21πππ, 第一个积分为0，第二个积分令t x -=2π,dx xxn n dx x x nx n ⎰⎰+-=2020cos )12cos(21cos sin 2sin 21ππdt ttn nn ⎰+-=-201sin )12sin(2)1(πdt kt nnk n ⎰∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==-20112cos 212)1(πnn 4)1(1π--=.例6 计算⎰+∞∞-++nx x dx)22(2.解：()[]⎰⎰+∞∞-+∞∞-++=++n nx dxx x dx 11)22(22 ()⎰+∞∞-+=+=nx t tdt121()n nI tdt21202=+=⎰+∞,分部积分可建立n I 的递推公式: ()()()⎰⎰∞+++∞∞++--+=+=01220221211n n nn tdtnt tttdtI122+-=n n nI nI , 即n n I n n I 2121-=+. 21021π=+=⎰+∞t dt I ,2!)!22(!)!32(21425222321π⋅--=⋅⋅⋅--⋅--=n n I n n n n I n . 在计算n I 时我们也可以利用变量替换法进行求解,令θtan =t ,()()θθπd tdtI n nn ⎰⎰-∞+=+=202202cos 1,再直接引用Walls 公式2!)!22(!)!32(π⋅--=n n .利用分部积分法我们常常可以得到递推公式从而简化运算.除了上述的三种基本方法外，根据具体情况，经常用的还有下列几种方法： 2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分在这种方法的计算中主要分为两步：第一步：将所需计算的积分区间进行分段；第二步：进行变量替换,通过变量替换可以将分段后的某些积分区间与其中的某些区间相抵消或者合并.例7 计算dx x x⎰+∞+021ln 2的值.解：dx x xdx x x dx x x ⎰⎰⎰+∞+∞+++=+12102021ln 21ln 21ln 2=)11ln 1ln (2122102dx x x x dx x x ⎰⎰∞++++=))1(111ln 1ln (212102xd xx dx x x ⎰⎰∞++++ ))(1ln 1ln (20121021t d t t dx x xxt ⎰⎰+++===))(1ln 1ln (2102102t d t tdx x x ⎰⎰+-+ =0通过上述计算我们可以发现这种方法可以省略很多计算,关键在于对积分区间的分段和变量替换要找到最合适的,否则适得其反. 2.5利用方程法计算反常积分使用方程法计算反常积分是分为两步：第一步：通过变量替换,将原积分进行变形;第二步：将原积分与变形后的积分相加,通过计算相加后的积分从而求出原积分.例8 计算积分⎰=20sin ln 2πxdx I .解：⎰⎰===402202sin ln 4sin ln 2ππtdt xdx I tx=⎰40cos sin 2ln 4πtdt t=)cos ln sin ln 2ln (4404040⎰⎰⎰++πππtdt tdt dt=))2sin(ln sin ln (42ln 4040⎰⎰-++⋅ππππdt t tdt)sin ln sin ln (42ln 42402⎰⎰-+=-=πππππudu tdt tu=⎰+20sin ln 42ln ππtdt=I 42ln +π通过解方程得：32ln π-=I .例9 计算积分dx x I ⎰+∞+=0412.解：dx x x x dx x I ⎰⎰∞+∞++=+=022241212 )1(12022x d x x ⎰+∞+-=dt tt xt ⎰∞+=+-=022112J dx x x =+=⎰∞+04212 则()dx xx J I I ⎰∞+++=+=0421222121 dx xx ⎰∞+++=04211 dx x x x ⎰∞+++=0222111 )1(11022x x d x x -+=⎰+∞ )1(2)1(102x x d xx -+-=⎰+∞ dt t xx t ⎰∞+∞---+=2121 dt t ⎰+∞+=02212+∞=02arctan2t22π=. 2.6利用级数法计算反常积分在运用级数法求反常积分时,关键在于积分区间进行分段,使所求的反常积分可以表示成级数的求和运算,从而简化运算.例10 证明[]⎪⎭⎫⎝⎛--+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞→∞+⎰n n dx x x n ln 11211lim 111 .证明: (1) 当2>x 时,[]xx x x )1(111-≤-,由于dx x x ⎰+∞-1)1(1积分收敛,故[]dx x x ⎰∞+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-111收敛. (2) [][]dx x x dx x x n n ⎰⎰⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+∞→∞+1111lim 11[][][][]dx x x dx x x dx x x dx x x n n n⎰⎰⎰⎰-⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-13221111111111 dx x n dx x dx x n n ⎰⎰⎰-⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=13221111121111 dx x n n ⎰--+++=1111211 n n ln 11211--+++= .因此：[]⎪⎭⎫⎝⎛--+++=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∞→∞+⎰n n dx x x n ln 11211lim 111 .2.7利用待定系数法计算反常积分在使用待定系数法时通常先将有理分式化为部分分式,再通过待定系数求解,在使用这种方法时通常结合多种方法求解. 例11 计算积分⎰+∞++=1)()1(n x x x dxI n .解：(拆为部分分式)设nx A k x A x A x A n x x x n k ++++++++=++ 1)()1(110(n A A A ,,,10 为待定系数).将)()1(n x x x ++ 同乘等式两边.然后k x -=,得)(21)1()1)((1n k k k A k +-⋅⋅⋅-+--=)!(!1)1(k n k k--=!)1(n C k nk-= ),,2,1,0(n k =,其中)!(!!k n k n C kn -=于是dx k x n C I nk k n kn ⎰∑∞+=+-=10)1!)1((dx kx n C nk knk∑⎰=∞++-=011!)1( ∑=∞++-=n k kn k k x C n 01)ln()1(!1.注意到∑∑==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-nk kn k n k knkx k x C k x C 001ln )1()ln()1(∑∑==⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⋅=n k nk kn k knkx k C C x 001ln )1()1(ln∑=→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-⋅=nk kn k nx k C x 001ln )1()11(ln (当+∞→x 时),因此 ∑=++-=n k kn k n k C n I 01)1ln()1(!1.结束语反常积分的计算方法灵活多变,对于任一问题都存在多种计算方法,我们在计算时要提取最简便的方法,除了上述的几种计算方法还有很多的计算方法需要我们去探究、归纳、总结,更重要的是我们要学会这些方法的灵活使用.参考文献:[1] 费定辉等,基米多继奇数学分析习题[M],山东:山东科技出版社,1990.[2] 同济大学应用数学系,高等数学[M],北京:高等教育出版社，2002.[3]刘玉莲,傅沛仁.数学分析讲义[M].第二版.北京:高等教育出版社,1996.43-47.[4]周建莹,李正元.高等数学解题指南[M].北京:北京大学出版社,2002.212-214.[5]数学分析第四版上册 .华东师范大学数学系编[M].高等教育出版社,2010.[6] Tom M.Apostol著. Mathematical Analysis[M]. 机械工业出版社,2004.[7] Zorich,. Mathematical. Analysis. [M]. Springer,2004.。
高等数学5-4反常积分
电磁学
在电磁学中，反常积分用于计算电磁波的传播 和散射特性。
热力学
在热力学中，反常积分用于计算热传导、热辐射和热对流等过程的热能分布。
在概率论中的应用
随机过程
在随机过程中，反常积分用于计算随机事件 的概率分布和概率密度函数。
统计推断
在统计推断中，反常积分用于计算样本数据 的统计特征和参数估计。
贝叶斯推断
05
反常积分的注意事项
计算过程中的常见错误
1 2 3
积分区间选择不当
在计算反常积分时，选择正确的积分区间至关重 要。如果积分区间选择不当，可能会导致计算结 果不准确或错误。
积分上限或下限错误
在计算反常积分时，需要注意积分上限或下限的 取值。如果取值错误，会导致计算结果偏离正确 值。
积分函数处理不当
感谢您的观看
THANKS
比较法
通过比较两个反常积分的敛散性来判断其敛散性。如果两个反 常积分具有相同的敛散性，则可以判断它们的敛散性。
如何处理无界函数和瑕点
无界函数的处理
在处理无界函数时，需要将其限制在 有界区间内进行积分。这样可以避免 无界函数对积分结果的影响。
瑕点的处理
在处理瑕点时，需要将其排除在积分 区间外。这样可以避免瑕点对积分结 果的影响。
Байду номын сангаас
反常积分的可加性
定义
如果两个反常积分 $int_{a}^{b}f(x)dx$ 和 $int_{c}^{d}f(x)dx$ 的极限都存在， 且 $lim_{x to a+}(F(x)-F(a))=lim_{x to c+}(F(x)-F(c))$，则称反常积分具 有可加性。
应用
在处理反常积分时，可加性可以帮助 我们简化计算，将复杂的积分拆分成 几个简单的积分进行处理。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.4 反常积分
0
计算反常积分−∞ − 。
0
−∞
−
0 −
→−∞
=
= (− − )|0 = (−1 + − ) = +∞
→−∞
→−∞
0
所以，反常积分−∞ − 发散。
例3
解
+∞ 1
计算反常积分−∞
。
→0+
→0+
1
1
计算反常积分0
。
1− 2
解 因为
1
→1− 1− 2
1
1
0 1− 2
=
= +∞，所以 = 1是瑕点。故有
1−
1
0
2
1−
→0+
=
|1−
0
= = ( 1 − ) =
→0+
2
3
2
2
=
2 1
(
−
1
).
2
,
2
当 → +∞时,其极限就是火箭无限远离地球需作的功.
我们很自然地会把这个极限写作上限为+∞的“积分”:
+∞ 2
2
=
2
→+∞ 2
=
2 1
(
→+∞
1
− ).
1
最后,由机械能守恒定律可求得初速度0 至少应使 0 2
2
用 = 9.81/ 2 , = 6.371 × 106 代入得0 =
反常积分(广义积分)
D5_4反常积分
令 f (k ) (k 1)(ln 2)
k 1
, 求其最大值 .
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
备用题 试证
解:
0
第四节 反常积分
常义积分
推广
第五章
积分限有限 被积函数连续有界
反常积分
一、无穷限的反常积分
二、被积函数具有无穷间断点 的反常积分
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一、无穷限的反常积分
则有类似牛 – 莱公式的: 计算表达式:
a
f ( x) dx F ( x ) a lim F ( x) F (a)
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例6. 证明反常积分 时发散 .
当 q < 1 时收敛 ; q≥1
b
证 : 当 q = 1 时,
当 q≠1 时
( x a) 1 q
ln x a a
1 q
b
(b a)1q 1 q ,
q 1 q 1
注意: 主值意义下反常积分存在不等于一般意义下反
常积分收敛 .
思考与练习
P260 题 1 (1) , (2) , (7) , (8)
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作业
P260 1 (4) , (5) , (6) , (9) , (10) ; 2; 3
提示: P260 题2 d(ln x ) dx 2 x (ln x) k 2 (ln x) k dx 1 当 k 1 时, I (k ) 2 k x (ln x) (k 1)(ln 2) k 1
y
y
1 1 x 2
[ arctan x ]
5-4广义积分反常积分
一、无穷限的广义积分 二、无界函数的广义积分 三、小结
dx ?
0 1 x2
1 1 dx ?
1 x 2
定理 （微积分基本公式）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a, b]上
的一个原函数，则
b
a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a).
返回
一、无穷限的广义积分
定义 1 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续，取b a ，如果
dx
.
1 x 3x2 2x 1
(2) lim f ( x) lim
1
,
x1
x1 x 3 x2 2 x 1
x 1 为 f ( x) 的瑕点.
原式 lim 2
dx
x 0 1 3 x2 2 x 1
d(1 1 )
2
lim[
x]
0 1 22 (1 1 )2
1x
1
lim arcsin x
极限 lim b
b
a
f
(
x)dx
存在，则称此极限为函数
f
(
x)在无穷区
间[a,)
上的广义积分，记作
a
f
( x)dx.
b
a
f
( x)dx
lim
b a
f
( x)dx
当极限存在时，称广义
积分收敛；当极限不存
在时，称广义积分发散.
问: f(x)在 (-∞ b]上的反常 积分如何计算？
y f (x)
返回
积分
1
0
ln x x1
dx
的瑕点是哪几点？
4-5反常积分15页word
§4-5 反常积分(奇异积分和无穷积分)柯西-黎曼积分通常称为正常积分.它的特征是：积分区间是有限区间，而函数在这个区间上是有界函数(无界函数不可积).这一章中所讨论的积分称为反常积分，其中或者积分区间为有限区间而函数在该区间上是无界函数(称为奇异积分)，或者积分区间为无限区间(称为无穷积分).反常积分不像柯西-黎曼积分那样是作为积分和的极限，而是变上限或变下限积分作为函数时的极限.1.奇异积分按照正常积分，函数]1,0(上不可积，因为它在区间]1,0(上是无界函数(图4-30).可是对于任意正数1ε<，函数[,1]ε上是可积的，而且有极限1100lim lim x εεεε++→→=⎰0lim(22ε+→=-=我们将把这个极限值称为函数]1,0(上的奇异积分，并记成10x ⎰10lim d 2x εε+→⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰它在几何上表示由曲线y =竖直线1=x 和两个坐标轴围成的无界图形的面积(面积为2单位平方).一般地，区间],(b a a 就称为函数)(x f 0lim a x ε+→=⎰所谓“形式上”.若右端的极限是存在的，则称奇异积分是收敛的；否则，就说它是发散的.a⎰例20 1d (0,)()b ax a b x a μμ><-⎰01lim d ()b a x x a μεε++→=-⎰， 其中当1μ=时，1d ln()ln()ln (0)b ba a x x ab a x aεεεε+++=-=--→+∞→-⎰当1μ>时，111d ()()1b b a a x x a x a μμεεμ-++=---⎰111()(0)1b a μμεεμ--+⎡⎤=--→+∞→⎣⎦- 当1μ<时，111d ()()1b b a a x x a x a μμεεμ-++=---⎰111()1b a μμεμ--⎡⎤=--⎣⎦-1()(0)1b a μεμ-+-→→- 图4-31 图4-30ε第 183 页综上所述：当1<μ时，奇异积分1d ()b ax x a μ-⎰收敛；当1≥μ时，奇异积分1d ()b ax x a μ-⎰发散.【注】当0≤μ时，1d ()b ax x a μ-⎰是正常积分.计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式、换元积分法和分部积分法等，都可以转移到奇异积分上来.例如，若函数)(x f 在区间],(b a 上连续(a 是奇点)，)(x F 是它的一个原函数，则有()d ()()()b ba af x x F x F b F a +==-⎰其中)(lim )(x F a F a x +→+=. 而且，当有极限)(lim )(x F a F ax +→+=时，奇异积分收敛；当没有极限)(lim )(x F a F a x +→+=时，奇异积分发散.因此，例20就可以做成1d ()b a x x a μ-⎰(1)1d ln()bb a a x x a x a μ++=====--⎰ln()()b a =---∞=+∞(*)1d ()b ax x a μ-⎰(1)111d ()1()bba a x x a x a μμμμ++≠-====---⎰11()(1)1()(1)1b a b a μμμμμμ--⎧->+∞=+∞⎪-⎪=⎨-⎪<⎪-⎩事实上，奇异积分与正常积分是相通的．．．．．．．．．．．．．，因为有时奇异积分经过换元会变成正常积分，反过来也是如此.例如，10x ⎰(奇异积分)1[212d 1t t t +⎰(正常积分) 同样，若函数)(x f 在(左闭右开)区间),[b a 上连续且点b 是奇点(图4-32)，则也可形式上定义奇异积分()d lim ()d b b aaf x x f x x εε+-→=⎰⎰而且它的收敛性也是根据右端是否有极限来确定.像例20 那样，可以证明奇异积分1d ()()b ax a b b x μ<-⎰(*)在扩充实数系中，规定±∞=±∞+)(x .图4-32当1<μ时收敛，而当1≥μ时发散.积分的上下限可能同时都是被积函数的奇点，当奇异积分收敛时，就可以像正常积分那样去计算.例如111arcsin arcsin1arcsin(1)x x --==--⎰22ππ⎛⎫=--=π ⎪⎝⎭, 或11122arcsin x x x-==⎰⎰2arcsin10=-=π,(偶函数的积分)或122[sin ]12d x t x t t ππ=--π-π=======π⎰⎰⎰.(换元积分法)函数的奇点也可能出现在积分区间的内部.譬如，若点),(b a c ∈是函数)(x f 的奇点，而且函数)(x f 在区间),[c a 和],(b c 上连续，则可形式上定义奇异积分()d ()d ()d bcbaacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰请注意，只有当右端两个奇异积分都收敛时，才能说左端的奇异积分是收敛的.换句话说，只要右端至少有一个积分是发散的，则左端的积分就是发散的.因为奇异积分实际上是函数的极限，所以有下面的结论：⑴若奇异积分()d baf x x ⎰和()d b a g x x ⎰都收敛，则[]()()d baf xg x x αβ±⎰也收敛，且有[]()()d ()d ()d bbba a af xg x x f x x g x x αβαβ±=±⎰⎰⎰(线性运算性质)⑵若奇异积分()d b a f x x ⎰和()d bag x x ⎰中有一个收敛，另一个发散，则[]()()d baf xg x x ±⎰必发散.但是请读者注意，若奇异积分()d b af x x ⎰和()d b ag x x ⎰都发散时，则[]()()d baf xg x x ±⎰有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个奇异积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法 设函数)(x f 在区间],(b a 上连续(a 是奇点).若有某个正数1<μ和某个正数A ，使()()()Af x a x b x a μ≤<≤- (4-22) 则奇异积分()d b af x x ⎰收敛；相反，若有某个1μ≥和某个正数A ，使第 185 页()()()Af x a x b x a μ≥<≤- (4-23)则奇异积分()d b af x x ⎰发散.证 当满足条件(4-22)时，则有μμμ)(2)()()()(0a x Aa x A x f a x A x f -≤-+≤-+≤)(b x a ≤<于是，对于任意正数a b -<ε，根据积分单调性，有10()d 2d ()()b b a a A f x x A x x a x a μμεε++⎡⎤≤+≤⎢⎥--⎣⎦⎰⎰112()2d 1()b a A b a Ax M x a --≤==--⎰μμμ其中右端是与ε无关的正常数，即作为ε的函数()()d ()b a A g f x x x a μεε+⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰)0(a b -<<ε有上界； 又当+→0ε时，函数)(εg 是增大的，所以有极限(单调有界原理)lim ()g εε+→=lim ()d ()b a A f x x x a μεεε+→+⎡⎤+⎢⎥-⎣⎦⎰()d ()b aA f x x x a μ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰)1(<μ 因此，也有极限lim ()d b a f x x εε+→+⎰lim ()d ()()ba A A f x x x a x a μμεε+→+⎧⎫⎡⎤⎪⎪=+-⎨⎬⎢⎥--⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎰lim ()d ()ba A f x x x a μεεε+→+⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰0limd ()ba Ax x a μεε+→+--⎰()d ()baA f x x x a μ⎡⎤=+⎢⎥-⎣⎦⎰d ()baA x x a μ--⎰即奇异积分()d b af x x ⎰收敛.其次，当条件(4-23)满足时，函数)(x f 不变号[因为)(x f 是连续函数]，不妨认为()0f x >)(b x a ≤<.根据例20，则有()d lim ()d bb aa f x x f x x εε+→+=⎰⎰(1)01lim d ()ba A x x a μμεε+≥→+⎡⎤≥====+∞⎢⎥-⎣⎦⎰即奇异积分()d b af x x ⎰发散.我们当然可以把上面的结论及其证明类比到上限b 是奇点的情形.作为习题，请你证明下面的柯西判别法：设函数()f x 在区间),[b a 上连续(b 是奇点).若有某个正数1<μ和某个正数A ，使()()()Af x a x b b x μ≤≤<-则奇异积分()d b af x x ⎰收敛；相反，若有某个1μ≥和某个正数A ，使()()()Af x a x b b x μ≥≤<-则奇异积分()d b af x x ⎰发散.例21研究奇异积分10x ⎰的敛散性.解 点0和点1都是奇点.为了研究它的敛散性，需要把它分成两个积分，使每一个积分只含有一个奇点，即10x =⎰1/2x +⎰11/2x ⎰（0是奇点） （1是奇点）在右端第一个积分中，因为102x ⎛⎫=≤<≤ ⎪⎝⎭根据柯西判别法，所以右端第一个积分收敛；在右端第二个积分中，因为112x ⎛⎫=≤≤< ⎪⎝⎭（注意上限1是奇点）根据柯西判别法，所以右端第二个积分也收敛.因此，奇异积分1x ⎰收敛.2.无穷积分 在计算某些几何量或物理量时，有时会遇到无限区间上的“积分”，即()d af x x +∞⎰，或()d b f x x -∞⎰，或()d f x x +∞-∞⎰它们都不是正常积分中那种积分和的极限，而是变上(下)限积分(看作函数时)的极限.例如图4-33中那个由曲线21y x =与Ox 轴和直线1x =围成的无界图形的面积，规定为极限211d x x +∞=⎰211limd bb x x →+∞⎰11lim bb x →+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭1lim 11b b →+∞⎛⎫=-= ⎪⎝⎭(单位平方) 是合理的.的点电荷，在它周围产生有静电场(图4-34).今有单r 时，电场力所做的功为211aq a a r x ⎛⎫- ⎪+⎝⎭图4-33O · q· a a +r · x 图4-34第 187 页因为通常把无穷远处的电位看作零，所以点a 处的电位是211()limd lim a r r r aqq U a x q a a r a x μμμ+→+∞→+∞⎛⎫==-= ⎪+⎝⎭⎰还有，当用换元积分法计算正常积分时，经过换元有时也会遇到无穷积分.例如，tan 22012d d 1sin (1)x t x txt ⎡⎤=⎢⎥π+∞⎣⎦=====++⎰⎰]d 12d ,12[sin 22t t x t t x +=+= 因此，我们有必要来定义无穷积分.虽然这种积分不是用积分和的极限定义的正常积分，但是它与正常积分是相通的.设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续.形式上就定义无穷积分为()d lim()d b b aaf x x f x x +∞→+∞=⎰⎰所谓“形式上”，是因为右端的极限可能不存在.若右端的极限是存在的，则称无穷积分是收敛的；否则，就说它是发散的.在后一种情形下，()d af x x +∞⎰仅是一个记号.类似地，也可形式上定义无穷积分()d lim()d b b a af x x f x x →-∞-∞=⎰⎰和()d lim()d lim()d ()d ()d cbca b accf x x f x x f x x f x x f x x +∞+∞→-∞→+∞-∞-∞=+=+⎰⎰⎰⎰⎰并且规定：+∞-∞⎰()d f x x 是收敛的，当且仅当-∞⎰()d cf x x 和+∞⎰()d cf x x 都是收敛的.请读者注意，不能把其中的无穷积分()d f x x +∞-∞⎰理解为极限()d lim()d aa af x x f x x +∞→+∞-∞-=⎰⎰因为右端极限存在时，而左端的无穷积分有可能不收敛.例如limsin d 0aaa x x -→+∞=⎰，但sin d x x +∞-∞⎰不收敛.例22e d lime d limd(e )b b xxx b b x x x x x +∞---→+∞→+∞==-⎰⎰⎰0lim ee bxxb x --→+∞⎡⎤=--⎣⎦lim e e 10011b b b b --→+∞⎡⎤=--+=++=⎣⎦ 注意，其中()lim e (0)0b b b -→+∞-∞⋅=是根据洛必达法则.计算正常积分的牛顿—莱布尼茨公式，也可以转移到无穷积分上来.若函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续，)(x F 为它的一个原函数，则()d ()()()a af x x F x F F a +∞+∞==+∞-⎰其中记号)(lim )(x F F x +∞→=+∞.若有极限)()(lim +∞=+∞→F x F x ，则无穷积分()d af x x +∞⎰是收敛的；否则，它就是发散的.因此，例22就可以直接做成e d e d [e e ]1x x x x x x x xx +∞+∞+∞----==--=⎰⎰其中原函数在上限的值当然是指它在无穷远处．．．．．．)(+∞的极限．．．.类似地，像下面这样的演算也是合法的，即2211d d arctan 2211x x x x x +∞+∞+∞-∞-∞-∞ππ⎛⎫===--=π ⎪++⎝⎭⎰⎰或2220111d 2d 2d 111x x x xx x +∞+∞+∞-∞==+++⎰⎰⎰2arctan 22x +∞π==⋅=π （偶函数的积分）正常积分中的换元积分法和分部积分法，也可以转移到无穷积分上来.例如，若函数()f x 和()g x 都有连续导数，则有()d ()()()()d ()aa af xg x f x g x g x f x +∞+∞+∞=-⎰⎰因此，例22也可以做成e d d(e )[e ](e )d xx xx x x x x x +∞+∞+∞+∞----=-=---⎰⎰⎰e 1x+∞-=-=例23 在含参数μ的无穷积分1d (0)ax a x μ+∞>⎰中， 若1μ>，则11111d 11x x aax x a xμμμμμ+∞=+∞--===--⎰； 若1μ≤，则1(1)ln 1d 1(1)1x x a x a x a x x x x μμμμμ=+∞+∞==+∞-=⎧==+∞⎪=⎨<=+∞⎪-⎩⎰因此，当1μ>时，它收敛；当1≤μ时，它发散.因为无穷积分实际上也是函数的极限，根据函数极限的运算性质，所以有下面的结论： ⑴ 若无穷积分()d af x x +∞⎰和()d ag x x +∞⎰都收敛，则[]()()d af xg x x αβ+∞±⎰也收敛，且有[]()()d ()d ()d aaaf xg x x f x x g x x αβαβ+∞+∞+∞±=±⎰⎰⎰(线性运算性质)第 189 页⑵ 若无穷积分()d af x x +∞⎰和()d ag x x +∞⎰中有一个收敛，另一个发散，则[]()()d af xg x x +∞±⎰必发散.但是请读者注意，若无穷积分()d af x x +∞⎰和()d ag x x +∞⎰都发散时，则[]()()d af xg x x +∞±⎰有可能收敛.在许多理论问题中，只需要知道一个无穷积分是否收敛，而不需要知道它收敛时的积分值(甚至有时就根本求不出它的积分值).在这种情形下，像奇异积分那样，就需要下面的柯西判别法.柯西判别法 设函数)(x f 在区间),[+∞a 上连续(0)a >.若有某个正数1>μ和某个正数A ，使)0()(+∞<≤<≤x a x A x f μ(4-24)则无穷积分()d af x x +∞⎰收敛；相反，若有某个正数1μ≤和某个正数A ，使()(0)Af x a x xμ≥<≤<+∞ (4-25) 则无穷积分()d af x x +∞⎰发散.证 当满足条件(4-24)时，有μμμxAx A x f x A x f 2)()(0≤+≤+≤ )0(+∞<≤<x a于是，对于a b >，根据积分单调性，有110()d 2d 2d b b aaa A f x x A x A x x xx μμμ+∞⎡⎤≤+≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰121A a M μμ-==-(常数) 即作为上限b 的函数()()d ba A gb f x x x μ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰)0(+∞<<<b a 有上界； 又当+∞→b 时，函数)(b g 是增大的(因为被积函数是非负的)，所以有极限(单调有界原理)lim ()limb b g b →+∞→+∞=()d b aA f x x x μ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦⎰()d aA f x x x μ+∞⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰因此，也有极限lim()d limb b b af x x →+∞→+∞=⎰()d b aA A f x x x x μμ⎧⎫⎡⎤+-⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭⎰lim()d b b aA f x x x μ→∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰lim d b b aAx x μ→+∞-⎰)1(>μ()d aA f x x x μ+∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎰d aAx x μ+∞-⎰【因为右端两个积分都是收敛的】即无穷积分()d af x x +∞⎰收敛.其次，当条件(4-25)满足时，函数)(x f 不变号，不妨认为)(0)(a x x f ≥>.于是有1()d lim()d lim d b b b b aaaf x x f x x Ax x μ+∞→+∞→+∞⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰1d aA x xμ+∞==+∞⎰（例23） 即无穷积分()d af x x +∞⎰发散.例24 研究积分2e d x x +∞--∞⎰的收敛性.解 见图4-35，在概率论中称函数2()e x x ϕ-=为标准正态分布的密度函数.为了讨论无穷 积分2ed x x +∞--∞⎰的收敛性，需把它分成两个积分，即2ed x x +∞--∞⎰20ed x x --∞=+⎰2e d x x +∞-⎰在右端第二个积分中，根据不等式e 1(0)x x x ≥+≥，则有22e 1x x ≥+，所以222110e 1ex x x -≤=≤+ 因此，对于任意0b >，有22200110ed d d 11bb x x x x x x +∞-≤≤≤++⎰⎰⎰0arctan 2x +∞π== 注意到积分2e d b x x -⎰关于上限b 是单调增大的，根据函数极限的单调有界原理，必有极限22limed e d bx x b x x +∞--→+∞=⎰⎰即2e d x x +∞-⎰收敛.又积分2ed x x --∞⎰2()ed t x t t +∞=--====⎰2e d x x +∞-⎰所以20ed x x --∞⎰也收敛.因此，2e d x x +∞--∞⎰收敛.图4-35第 191 页因为概率论中用到无穷积分2e d x x +∞--∞⎰，所以称它为概率积分(历史上称它为欧拉—泊松积分).在节后的附录中，进一步证明了2e d x x +∞--∞=⎰.【注】概率论中用到的是下面的结论.设函数()t ϕ在任意有限区间上可积分，且无穷积分()d xt t ϕ-∞⎰对任意(,)x ∈-∞+∞都收敛，则在概率论中就用()()d xF x t t ϕ-∞=⎰定义连续型随机变量的分布函数.等读者学习到§5-1时，就能够像正常积分那样证明：⑴函数()F x 是连续函数；⑵若()t ϕ在点x 是连续的，则()F x 在点x 可微分且()()F x x ϕ'=.3.绝对收敛和条件收敛 在正常积分中，若函数()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上也可积(相反的结论不成立).可是在反常积分中，结论恰好相反.譬如在奇异积分中，若()d b af x x ⎰收敛（*），则()d b af x x ⎰也收敛(相反的结论不成立).这个结论的证明与柯西判别法的证明是一样的.事实上，不妨设a 为函数()f x 的奇点.因为0()()2()f x f x f x ≤+≤，所以作为ε的函数()()()d ba g f x f x x +⎡⎤=+⎣⎦⎰εε(0)b a <<-ε 当0+→ε时单调增大有上界，因此有极限00lim ()lim ()()d ()()d b b a ag f x f x x f x f x x ++→→+⎡⎤⎡⎤=+=+⎣⎦⎣⎦⎰⎰εεεε从而也有极限{}00lim()d lim ()()()d b ba a f x x f x f x f x x ++→→++⎡⎤=+-⎣⎦⎰⎰εεεε()()d ()d bbaaf x f x x f x x ⎡⎤=+-⎣⎦⎰⎰即()d b af x x ⎰收敛.若()d b af x x ⎰收敛，从而()d b af x x ⎰也收敛，则称()d b af x x ⎰的收敛性为绝对收敛；而若()d b af x x ⎰收敛，但()d b af x x ⎰发散，则称()d b af x x ⎰的收敛性为条件收敛.同样，对于无穷积分来说，若()d a f x x +∞⎰收敛，则()d af x x +∞⎰也收敛，在这种情形下，就说()d af x x +∞⎰是绝对收敛的.若()d af x x +∞⎰收敛，但()d af x x +∞⎰发散，就说()d af x x+∞⎰是条件收敛的.（*）有时称函数()f x 在[,]a b 上绝对可积。
反常积分概念
反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广. 一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
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一、反常积分的背景
在讨论定积分时有两个最基本的条件：积分区间 的有穷性; 被积函数的有界性. 但以下例子告诉我们有时我们需要考虑无穷区间
上的“积分”或无界函数的“积分”. 例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火 箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初
lim f ( x ) A.
3. f ( x ) 在 [a, ) 上定义, 且
当
x
a
f ( x )dx 收敛时,是否必有 A 0?
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通常称a 为 f 的瑕点. 又称 a f ( x )dx 为瑕积分, 类似定义瑕点为 b 时的瑕积分
f ( x ) dx . a f ( x ) dx ulim a b
b
则称 f ( x )dx 发散.
a
a b
u a
b
b
u
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其中 f 在 [a, b) 有定义, 在 b 的任一左邻域内无界,
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类似定义
f ( x )dx , f ( x )dx ulim u
b b
f ( x )dx
a
f ( x )dx
a
f ( x )dx .
其中 a 是( ， ) 内任意一点 .
定义2 设函数 f 定义在 (a, b] 上, 在 a 的任意右邻
r
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当 r 时,其极限 mgR 就是火箭无限远离地
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仍记作
b
a f (x)dx
y
即 b f (x)dx
b
lim f (x)dx
a
ta t
y=f(x)
这时，称反常积分
b
f (x)dx
收敛，
a
若极限不存在，则称反常积分发散
0 at
bx
9
y 类似有[a,b)上的反常积分
即 b f (x)dx
t
lim f (x)dx
a
tb a
y=f(x)
0a
ax
a
p 1:
dx
1
x1p
a xp 1p a
1 (
1p
1pa1p) a
当 1 p 0 即 p 1 时 ， 无 穷 积 分 收 敛 ；
当 1 p 0 即 p 1 时 ， 无 穷 积 分 发 散 ；
a
dx xp
a 1 p p 1
p 1 p 1
发散
收 敛
5
例3 计算 xe pxdx P 为常数，且 p>0 0
第五章 定积分
第五节 反常积分 无穷区间上的反常积分 无界函数的反常积分
1
一、无穷区间上的反常积分
定义 设函数f(x)在区间[a,+)上连续，任取t >a，如果极限
t
lim f (x)dx
t a
存在，则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的反常积分
记为：Βιβλιοθήκη tf ( x)dx lim f (x)dx
a
t a
或 称 fx 在 [ a , ) 上 的 无 穷 积 分 收 敛 .
否 则 称 fx 在 [ a , ) 上 的 无 穷 积 分 发 散 .
y
0a
t
x
2
类似有
b
b
f (x)dx
lim t t
f (x)dx
f (x)dx
lim
a
f (x)dx
lim
a
f (x)dx
例1
求无穷积分 1 1x2
dx.
解
1 1 x2
dx
arctan x
＝limarctanx－limarctanx
x
x
()()
22
y
y
1
1 x2
o
x
4
例2
证 明 d x (p 0 ,a 0 ) 当 p 1 收 敛 ， p 1 发 散 。 ax p
解
p1: dxlnx 无穷积分发散。
dx
2 x ln 2 x
lim t
t dx 2 xln2 x
t
lim
1
dlnx lim (
1
t
)
t 2 ln2 x
t ln x 2
1 ln 2
12
例6 下列做法是否正确？
1 1 d x
1 x 2
1 x
1 1
2
正确做法：
1 1
1 x2
d
x
0
1dx
11 dx
1 x2
0 x2
1
(1)
dx
0 1 x
t dx
lim t1 0 1 x
lim(2 t1
1x)|t0
d(2 1x) 1 dx 1x
lim(21t2)2 t 1
a
(2)0
dx
a2 x2
lim ta
t 0
dx a2 x2
xt lim(arcsin )
t a
a0
limarcsin( t )
ta
a2
d(arcsinx) 1 dx 1x2
1
1 x
arctxanx1 1x(1 1x2)dx
4
1
1 x3(1
1 x2
dx )
1
42
1
1
(1
1 x2
d )
1
x2
412ln(1x12)1
4
1 2
ln
2.
arctan x
1
x2 dx
令 arctanxt 4 2tan t2tsec2tdt
2 t csc2 tdt 4
注意：上面 <a ,>a, a ， 可以任意取。 由牛顿—莱布尼兹公式
a f(x )d x F (x )a x l im F (x ) F (a ) b f(x )d x F (x )b F (b ) x l im F (x ) f(x )d x F (x ) x l im F (x ) x l im F (x )
1
1
tl im 0(t1)l im 0(1) 发散
注意：t <0, >0 是任意取的
作业：P.260 1（单数） 2.
谢 谢!
15
例7
讨论
b dx
(q0,ab)
a (xa)q
敛散性
解
p 1,
lim b dx limln(xa)b
ta t x a
ta
t
lim ln (ba )ln (ta 积分发散。 t a
11
例5 (1)判 断12xldnx2x的 敛 散 性 .
解
2 d x
2 dx
1 x ln 2 x
lim t1 t x ln2 x
21
lim
dlnx
t1 t ln2 x
12 lim ( )
t 1 ln x t
11
lim( ) t1 lnt ln2
积分发散。
(2)判 断2xldnx2x的 敛 散 性 .
4 2td(cott) tcott 2 4 4 2 cottdt
lnsinx
4
2
4
ln
4
2 2
二、无界函数的反常积分
定义
设函数 f(x) 在区间 (a，b]上连续，且
limf (x)
xa
取t>a，如果极限
b
lim f (x)dx
ta t
a称为f(x)的瑕点
存在，则称此极限为函数f(x)在区间（a，b]上的反常积分
p 1,
b dx
lim
ta t (x a)q
b
1 lim ta (1q)(xa)p1
t
q 1
1 1qtl im a(b1a)q1(t1a)q1
积分发散，0 q 1 积分收敛
b dx (ba)1q a (xa)q (1q)
16
解 xe pxdx 1 xde px .
0
p0
1(xepx
p
00epx.dx)
1(limxepx 1epx
p x
p
0 )
lim xe px
x
x lim
e x px
1[0 p
1 (01)] p
1 p2
lim 1 x pe px
0
6
1
arctan x2
xdx
arctanxd
[ a , b ] 内瑕点 x = c 的无界函数的反常积分
b
c
b
y
af(x)d xaf(x)d xcf(x)d x
b
lim f (x)dx c a
lim tc t
f (x)dx
tbx y=f(x)
a 0 ct
bx
例4
(1)求 1 dx 的值.
0 1x
a dx
(2) 0 a2 x2
解