最新【北师大版】选修4-5数学：2.3.2《数学归纳法的应用》ppt课件精品课件
选修4-5《数学归纳法》课件
05
练习与思考
练习题一
总结词
理解数学归纳法的原理
详细描述
通过解答练习题一，学生可以加深对数学归纳法原理的理解，掌握归纳法的应用步骤，并能够运用归 纳法证明一些简单的数学问题。
练习题二
总结词
应用数学归纳法证明
详细描述
练习题二要求学生运用数学归纳法证 明一个复杂的数学问题。通过解答这 道题，学生可以巩固数学归纳法的应 用技巧，提高数学证明能力。
利用数学归纳法证明不等式时，同样需要验证基础步骤和递推关系，同时需要 注意不等式的性质和变换技巧。
详细描述
在证明不等式时，首先验证n=1时不等式是否成立。然后假设n=k时不等式成 立，再证明n=k+1时不等式也成立。在证明递推关系的过程中，需要注意不等 式的性质和变换技巧，如放缩法、比较法等。
解决数列问题
总结词
数学归纳法在解决数列问题时，主要应用于证明数列的性质和求数列的通项公式。
详细描述
利用数学归纳法可以证明数列的性质，如单调性、有界性等。在求数列的通项公式时，也可以利用数学归纳法来 推导。首先验证n=1时公式是否成立，然后假设n=k时公式成立，再推导n=k+1时公式的形式，最终得到数列的 通项公式。
举例：在证明一个组合数的性质时， 需要验证从第k项到第k+1项的递推关 系是否成立，以确保整个性质的正确 性。
避免循环论证
循环论证是一种常见的逻辑错误，在数学归纳法中要特别注意避免。在证明过程中，不要将待证明的结论或假设作为递推基 础或递推关系的依据，否则会导致逻辑上的循环。
举例：在证明一个不等式时，不能将待证明的不等式作为递推基础或递推关系的依据，而应该从已知的事实或公理出发进行 推导。
北师大版选修四 数学归纳法的应用 课件
②
将①和②相加得
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
③
数学D 选修4-5
第二章 几个重要的不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
(2)当0<x<1时，1>x>x2>…>xn， 但①②仍然成立，于是③也成立． 综合(1)(2)，证毕． [方法技巧] 分类讨论的目的在于明确二个序列的大小顺 序关系．
数学D 选修4-5
数学D 选修4-5
第二章 几个重要的不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
3．设 a，b，c 为正数，则b＋a c＋c＋b a＋a＋c b的最小值为 ________.
答案：
3 2
数学D 选修4-5
第二章 几个重要的不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
4．已知 a，b，x，y∈R＋，且1a>1b，x>y，求证：x＋x a>y＋y b.
1 2．已知x＋2y＝1，则x2＋y2的最小值为___5____.
数学D 选修4-5
第二章 几个重要的不等式
预习学案
课堂讲义
课后练习
1．定理1：设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那 么__a_c_＋__b_d_≥_a_d_＋__b_c__，此式当且仅当a＝b(或c＝d)时取“＝”
号．
2．排序不等式：设有两个有序实数组 a1≥a2≥…≥an 及 b1≥b2≥…≥bn 则 ( 顺 序 和 )___a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__…__＋__a_n_b≥n ( 乱 序 和 ) _a_1_b_j1_＋__a_2b_j_2_＋__…__＋__a_nb_j_n_≥(反序和)__a_1b_n_＋__a_2_b_n－__1＋__…__＋__a_n_b_1_，
2019-2020高中北师版数学选修4-5第2章 §3 3.2 数学归纳法的应用
3.2 数学归纳法的应用学习目标：1.会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题.2.了解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式．(难点)教材整理 贝努利不等式定理阅读教材P 38～P 39“练习”以上部分，完成下列问题． 定理 对任何实数x ≥－1和任何正整数n ，有(1＋x )n ≥1＋nx .在贝努利不等式中当x ＝0时，n 为大于1的自然数，不等式形式将有何变化？[解] 当x ＝0时，不等式将变成等式，即(1＋x )n ＝1＋nx .【例1】 设b >a >0，n ∈N ＋，证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≥na (b －a )＋1.[精彩点拨] 由b >a >0，令1＋x ＝ba (x >0)，利用贝努利不等式证明． [自主解答] 由b >a >0，知ba >1， 令1＋x ＝ba (x >0)， 则x ＝ba －1，由贝努利不等式(1＋x )n ≥1＋nx ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n ＝(1＋x )n ≥1＋nx ＝1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －1， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫b a n ≥na (b －a )＋1.利用1＋x ＝ba 代换，为利用贝努利不等式创造条件.1．试证明⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2n +1 >1－1n ＋1与⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n +1 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n (n ∈N ＋)．[证明] 由n ∈N ＋，∴n ＋1≥2. 由贝努利不等式，得(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1(n ＋1)2n +1 >1－n ＋1(n ＋1)2＝1－1n ＋1.(2)由(1)得⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1n +1 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n +1 >1－1n ＋1，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n +1 >⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1-n ＝⎝⎛⎭⎪⎫n ＋1n n ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n .＋[精彩点拨] 验证n ＝1，2，3时，不等式成立―→假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1―→n ＝k ＋1成立，结论得证[自主解答] (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，左边>右边； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边； 当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边． 因此当n ＝1,2,3时，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N )时，不等式成立． 当n ＝k ＋1时， 2k +1＋2 ＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，则k－3≥0，k＋1>0)≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.所以2k+1＋2>(k＋1)2.故当n＝k＋1时，原不等式也成立．根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立．通过本例可知，在证明n＝k＋1时命题成立的过程中，针对目标k2＋2k＋1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，达到目标.2．已知S n＝1＋12＋13＋…＋1n(n>1，n∈N＋)，求证：S2n>1＋n2(n≥2，n∈N＋)．[证明](1)当n＝2时，S22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n＝2时命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即S2k＝1＋12＋13＋…＋12k>1＋k2.当n＝k＋1时，S2k+1＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k＋1＋…＋12k+1>>1＋k2＋2k2k＋2k＝1＋k2＋12＝1＋k＋12.故当n＝k＋1时，命题也成立．由(1)(2)知，对n∈N＋，n≥2，S2n>1＋n2都成立．【例3】 设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，由f (1)＝1>12，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…. (1)你能得到怎样的结论？并证明；(2)是否存在一个正数T ，使对任意的正整数n ，恒有f (n )<T 成立？并说明理由．[精彩点拨] 找出数列1,3,7,15，…的通项公式，再利用数列12，1，32，2，…的通项公式，猜想一般性的结论，然后用数学归纳法证明．[自主解答] (1)数列1,3,7,15，…的通项公式为a n ＝2n －1；数列12，1，32，2，…的通项公式为a n ＝n2，∴猜想：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k －1)>k2，则f (2k +1－1)＝f (2k －1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k +1－2＋12k +1－1>>f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立．据①②知，对任何n ∈N ＋原不等式均成立．(2)对任意给定的正数T ，设它的整数部分为T ′，记m ＝T ′＋1，则m >T . 由(1)知，f (22m －1)>m ，∴f (22m －1)>T ，这说明，对任意给定的正数T ，总能找到正整数n (如可取假设中n 为2m )，使得f (n )≥T ，∴不存在正数T ，使得对任意的正整数n ，总有f (n )<T 成立．利用数学归纳法解决探索型不等式的思想是先通过观察、判断，猜想出结论，然后用数学归纳法证明，否定一个命题，只需找出一个反例即可.3．若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．[解] 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a24，则2624>a24，∴a <26， 又a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证． (2)假设当n ＝k 时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524. ∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝⎛ 13k ＋2⎭⎪⎫＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1).∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)， ∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0， ∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524， ∴a 的最大值为25.1．用数学归纳法证明2n ≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )A ．假设n ＝k 时命题成立B ．假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C ．假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D ．假设n ＝k (k >5)时命题成立 [解析] 由题意知n ≥5，n ∈N ＋， ∴应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立． [答案] C2．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k -1项D ．2k 项[解析] 1＋12＋13＋…＋12k +1－1－⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k +1－1.∴共增加2k 项． [答案] D3．用数学归纳法证不等式1＋12＋14＋…＋12n -1＞12764成立，起始值至少取( )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127. ∴n ＞7，∴n 取8，选B. [答案] B4．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N ＋，n >1)时，第一步即证明不等式__________成立．[解析] 因为n >1，所以第一步n ＝2，即证明1＋12＋13<2成立． [答案] 1＋12＋13<2 5．证明：1＋12＋13＋…＋1n<2n (n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，不等式成立． (2)假设n ＝k 时，不等式成立， 即1＋12＋13＋…＋1k<2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1<2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1<k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1.这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立． 根据(1)(2)可知不等式对任意n ∈N ＋成立．。
课件3：2.3.2 数学归纳法应用举例
立，那么可推得当 n＝k＋1 时该命题也成立，现已知 n
＝5 时，该命题不成立，那么可以推得
(C )
A．n＝6 时该命题不成立 B．n＝6 时该命题成立
C．n＝4 时该命题不成立 D．n＝4 时该命题成立
【解析】∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得 当 n＝k＋1 时该命题成立．∴若 n＝5 时，该命题 不成立，则 n＝4 时该命题不成立．
2.3.2 数学归纳法应用举例
学习要求 1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学 归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数 学命题． 2．掌握证明 n＝k＋1 成立的常见变形技巧：提公因式、 添项、拆项、合并项、配方等．
试一试
1．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k (k∈N*)时命题成
小结 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增 项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成 n＝k 时 的情形，再利用归纳假设使问题获证．
跟踪训练 2 证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被 x＋y 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被 x＋y 整除．
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即 x2k－1＋y2k－1 能被 x＋y 整除． 那么当 n＝k＋1 时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1 ＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)． ∵x2k－1＋y2k－1 能被 x＋y 整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被 x＋y 整除， ∴当 n＝k＋1 时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1 能被 x＋y 整除． 由(1)，(2)可知原命题成立．
2.3数学归纳法 线上课程课件-北师大版高中数学选修4-5
讲授新课
③ 提出数学归纳法两大步：
i.归纳奠基：证明当 n 取第一个值 n0时命题成立；
ii.归纳递推：假设n = k k N*，k n0 时命题成立，证明当
n = k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正 整数 n 都成立.
证明
（1）当
n
=
1时，左边
=
12
=1
，右边＝
1
2
3
1
6
等式成立。
6
（2）假设当 n = k时，等式成立即12 22 32
k 2 k(k 1)(2k 1)
那么当 n = k +1 时,12 22 32 k 2 (k 1)2
6
k(k 1)(2k 1) (k 1)2 k(k 1)(2k 1) 6(k 1)2
归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法. 特 点：由特殊→一般. 不完全归纳法：根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论
的推理方法叫不完全归纳法.
（结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜想） 完全归纳法：把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法. （结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难）
6
6
(k 1)(2k2 7k 6) (k 1)(k 2)(2k 3)
6
6
(k 1)(k 1) 12(k 1) 1
6
这就是说，当n = k +1时等式也成立。
根据（1）和（2），可知等式对任何 n N*都成立。
方法小结
根据相似性，规范两步骤
2.3.1数学归纳法 课件(北师大版选修4-5)
∴从 k 到 k＋1 左边需增加的代数式为 2k＋1.
【答案】 D
菜单
BS ·数学 选修4-5
课
4．用数学归纳法证明：“当 n 为奇数时，xn＋yn 能被 x 当
前
堂
自 主
＋y 整除”时，在归纳假设中，假设当 n＝k 时命题成立，那
双 基
导
达
学 么下一步应证明 n＝__________时命题也成立．
当
前
堂
自
双
主 导 学
1－12＋13－14＋…＋2n1－1－21n＝n＋1 1＋n＋1 2＋…＋21n(n
基 达 标
∈N＋)．
课
【思路探究】 要证等式的左边共 2n 项，右边共 n 项，
堂
互 动 探 究
f(k)与 f(k＋1)相比左边增二项，右边增一项，而且左、右两边 的首项不同．因此，由“n＝k”到“n＝k＋1”时要注意项的
数学归纳法原理是：设有一个关于 正整数n 的命题，若
基 达
学
标
当 n 取第 1 个值 n0 时，该命题成立，又在假设当 n 取第 k 个
值时该命题成立后可以推出 n 取 第k＋1 个值时该命题成立，
课
堂 互
则该命题对一切自然数 n≥n0
都成立．
动
探
究
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
课
2．数学归纳法证明的步骤
D．1＋2＋3＋4
课 堂
【解析】 当 n＝1 时左边有 2×1＋1＝3 项，∴左边所
互
动 得的代数式为 1＋2＋3.
探
究
【答案】 C
课 时 作 业
菜单
BS ·数学 选修4-5
北师大版数学选修4-5同步教学课件：第2章3.2数学归纳法的应用
由①②可知，
对任意n∈N＋不等式都成立.
证明
反思与感悟 (1)第一掌握好数学归纳法求解问题的步骤及等差、等比数 列的基础知识，这是解决这类问题的基础. (2)此类题型通常与数列的递推公式、通项公式有关，有时要证明的式子 是直接给出，有时是根据条件从前几项入手，通过视察、猜想，归纳出 一个式子，然后再用数学归纳法证明.
跟踪训练 1 用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋2n－1 1＜n(n∈N＋，n＞1). 证明 (1)当 n＝2 时，左边＝1＋12＋13，右边＝2，左边＜右边，不等式成立. (2)假设当n＝k(k>1，k∈N＋)时，不等式成立，
即 1＋12＋13＋…＋2k－1 1<k， 则当 n＝k＋1 时，有 1＋12＋13＋…＋2k－1 1＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1 <k＋21k＋2k＋1 1＋…＋2k＋11－1<k＋1×2k2k＝k＋1，
知识点二 贝努利不等式 对任意实数x≥－1和任何正整数n，有(1＋x)n≥1＋nx.
题型探究
类型一 数学归纳法与放缩法结合证明不等式
例 1 证明：1＋212＋312＋…＋n12＜2－1n(n∈N＋，n≥2).
证明
反思与感悟 在归纳递推过程中常用到放缩法，这也是在用数学归纳法 证明不等式问题时常用的方法之一.
312＋
…
＋
1 n＋
12＞
12－
1 n＋
2
.
假
设
当
n＝
k 时，不等式成立，则当 n＝k＋1 时，应推证的目标不等式是 _2_12_＋__31_2_＋__…__＋__k_＋_1_1__2＋___k_＋_1_2__2＞__12_－__k_＋_1_3____.
数学归纳法及其应用PPT优秀课件
不完全归纳法
可能 错误， 如何 避免
穷 举 法 作业：
数 学 归 纳 法
递推基础不可少， 归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉
P67 习题2.1 1，2
谢谢! 请多多指导!!
~ 完~
85.每一年，我都更加相信生命的浪费是在于：我们没有献出爱，我们没有使用力量，我们表现出自私的谨慎，不去冒险，避开痛苦，也失去了快乐。――[约翰· B· 塔布] 86.微笑，昂首阔步，作深呼吸，嘴里哼着歌儿。倘使你不会唱歌，吹吹口哨或用鼻子哼一哼也可。如此一来，你想让自己烦恼都不可能。――[戴尔· 卡内基] 87.当一切毫无希望时，我看着切石工人在他的石头上，敲击了上百次，而不见任何裂痕出现。但在第一百零一次时，石头被劈成两半。我体会到，并非那一击，而是前面的敲打使它裂开。――[贾柯· 瑞斯] 88.每个意念都是一场祈祷。――[詹姆士· 雷德非] 89.虚荣心很难说是一种恶行，然而一切恶行都围绕虚荣心而生，都不过是满足虚荣心的手段。――[柏格森] 90.习惯正一天天地把我们的生命变成某种定型的化石，我们的心灵正在失去自由，成为平静而没有激情的时间之流的奴隶。――[托尔斯泰] 91.要及时把握梦想，因为梦想一死，生命就如一只羽翼受创的小鸟，无法飞翔。――[兰斯顿· 休斯] 92.生活的艺术较像角力的艺术，而较不像跳舞的艺术；最重要的是：站稳脚步，为无法预见的攻击做准备。――[玛科斯· 奥雷利阿斯] 93.在安详静谧的大自然里，确实还有些使人烦恼.怀疑.感到压迫的事。请你看看蔚蓝的天空和闪烁的星星吧!你的心将会平静下来。[约翰· 纳森· 爱德瓦兹] 94.对一个适度工作的人而言，快乐来自于工作，有如花朵结果前拥有彩色的花瓣。――[约翰· 拉斯金] 95.没有比时间更容易浪费的,同时没有比时间更珍贵的了，因为没有时间我们几乎无法做任何事。――[威廉· 班] 96.人生真正的欢欣，就是在于你自认正在为一个伟大目标运用自己；而不是源于独自发光.自私渺小的忧烦躯壳，只知抱怨世界无法带给你快乐。――[萧伯纳] 97.有三个人是我的朋友爱我的人.恨我的人.以及对我冷漠的人。 爱我的人教我温柔；恨我的人教我谨慎；对我冷漠的人教我自立。――[J·E·丁格] 98.过去的事已经一去不复返。聪明的人是考虑现在和未来，根本无暇去想过去的事。――[英国哲学家培根] 99.真正的发现之旅不只是为了寻找全新的景色，也为了拥有全新的眼光。――[马塞尔· 普劳斯特] 100.这个世界总是充满美好的事物，然而能看到这些美好事物的人，事实上是少之又少。――[罗丹] 101.称赞不但对人的感情，而且对人的理智也发生巨大的作用，在这种令人愉快的影响之下，我觉得更加聪明了，各种想法，以异常的速度接连涌入我的脑际。――[托尔斯泰] 102.人生过程的景观一直在变化，向前跨进，就看到与初始不同的景观，再上前去，又是另一番新的气候――。[叔本华] 103.为何我们如此汲汲于名利，如果一个人和他的同伴保持不一样的速度，或许他耳中听到的是不同的旋律，让他随他所听到的旋律走，无论快慢或远近。――[梭罗] 104.我们最容易不吝惜的是时间，而我们应该最担心的也是时间；因为没有时间的话，我们在世界上什么也不能做。――[威廉· 彭] 105.人类的悲剧，就是想延长自己的寿命。我们往往只憧憬地平线那端的神奇【违禁词，被屏蔽】，而忘了去欣赏今天窗外正在盛开的玫瑰花。――[戴尔· 卡内基] 106.休息并非无所事事，夏日炎炎时躺在树底下的草地，听着潺潺的水声，看着飘过的白云，亦非浪费时间。――[约翰· 罗伯克] 107.没有人会只因年龄而衰老，我们是因放弃我们的理想而衰老。年龄会使皮肤老化，而放弃热情却会使灵魂老化。――[撒母耳· 厄尔曼] 108.快乐和智能的区别在于：自认最快乐的人实际上就是最快乐的，但自认为最明智的人一般而言却是最愚蠢的。――[卡雷贝· C· 科尔顿] 109.每个人皆有连自己都不清楚的潜在能力。无论是谁，在千钧一发之际，往往能轻易解决从前认为极不可能解决的事。――[戴尔· 卡内基] 110.每天安静地坐十五分钟· 倾听你的气息，感觉它，感觉你自己，并且试着什么都不想。――[艾瑞克· 佛洛姆] 111.你知道何谓沮丧---就是你用一辈子工夫，在公司或任何领域里往上攀爬，却在抵达最高处的同时，发现自己爬错了墙头。－－[坎伯] 112.「伟大」这个名词未必非出现在规模很大的事情不可；生活中微小之处，照样可以伟大。――[布鲁克斯] 113.人生的目的有二：先是获得你想要的；然后是享受你所获得的。只有最明智的人类做到第二点。――[罗根· 皮沙尔· 史密斯] 114.要经常听.时常想.时时学习，才是真正的生活方式。对任何事既不抱希望，也不肯学习的人，没有生存的资格。 ――[阿萨· 赫尔帕斯爵士] 115.旅行的精神在于其自由，完全能够随心所欲地去思考.去感觉.去行动的自由。――[威廉· 海兹利特] 116.昨天是张退票的支票，明天是张信用卡，只有今天才是现金；要善加利用。――[凯· 里昂] 117.所有的财富都是建立在健康之上。浪费金钱是愚蠢的事，浪费健康则是二级的谋杀罪。――[B·C·福比斯] 118.明知不可而为之的干劲可能会加速走向油尽灯枯的境地，努力挑战自己的极限固然是令人激奋的经验，但适度的休息绝不可少，否则迟早会崩溃。――[迈可· 汉默] 119.进步不是一条笔直的过程，而是螺旋形的路径，时而前进，时而折回，停滞后又前进，有失有得，有付出也有收获。――[奥古斯汀] 120.无论那个时代，能量之所以能够带来奇迹，主要源于一股活力，而活力的核心元素乃是意志。无论何处，活力皆是所谓“人格力量”的原动力，也是让一切伟大行动得以持续的力量。――[史迈尔斯] 121.有两种人是没有什么价值可言的：一种人无法做被吩咐去做的事，另一种人只能做被吩咐去做的事。――[C·H·K·寇蒂斯] 122.对于不会利用机会的人而言，机会就像波浪般奔向茫茫的大海，或是成为不会孵化的蛋。――[乔治桑] 123.未来不是固定在那里等你趋近的，而是要靠你创造。未来的路不会静待被发现，而是需要开拓，开路的过程，便同时改变了你和未来。――[约翰· 夏尔] 124.一个人的年纪就像他的鞋子的大小那样不重要。如果他对生活的兴趣不受到伤害，如果他很慈悲，如果时间使他成熟而没有了偏见。――[道格拉斯· 米尔多] 125.大凡宇宙万物，都存在着正、反两面，所以要养成由后面.里面，甚至是由相反的一面，来观看事物的态度――。[老子] 126.在寒冷中颤抖过的人倍觉太阳的温暖，经历过各种人生烦恼的人，才懂得生命的珍贵。――[怀特曼] 127.一般的伟人总是让身边的人感到渺小；但真正的伟人却能让身边的人认为自己很伟大。――[G.K.Chesteron] 128.医生知道的事如此的少，他们的收费却是如此的高。――[马克吐温] 129.问题不在于：一个人能够轻蔑、藐视或批评什么，而是在于：他能够喜爱、看重以及欣赏什么。――[约翰· 鲁斯金]
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
课件2-数学归纳法应用-
假设当n
k(k
3)时有Ak
Bk ,即(1 lg x)k
1 k
lg x
k(k 1) 2
lg2
x
1 10
x
11
lg
x
0, 则Ak 1
(1
lg
x)k 1
Bk
(1
lg
x)
1 (k 1) lg x k(k 1) lg2 x k(k 1) lg3 x
2
2
1
(k
1)
lg
x
k(k 1) 2
lg2
x(放缩)
( 2 ) 猜想出 a n的表达式 ,
并用数学归纳法证明
.
9 .已知 {a n }是首项为
2公比为
1 的等比数列 2
,
sn为它的前 n项的和 .
(1)用 sn表示 sn1;
[分析] :
sn
2[1 (1 )n ] 2
1 2
2[(1 )n 2
1]
(1)n 2
1 2
sn
1
sn1
2[( 1 )n1 2
1]
Bk 1
7.已知 f ( x )
xn xn
xn xn
(n N ), 试比较
f(
2)
与
n2 n2
1 的大小 1
, 并说明理由
.
8 .已知 { a n } 满足 a 1 ctg ,
a n a n 1 cos sin( n 1 ) ( n 2 )
(1) 求 a 2 与 a 3 ;
n
1时
左边
2.用数学归纳法证明: (n 1)(n 2)(n n) 2n 1 2 3(2n 1)(n N ), 从k到k 1左端需增乘的代数式为
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探究一
探究二
探究三
探究一用数学归纳法证明不等式
有关自然数的不等式证明问题,可以考虑数学归纳法,其主要步骤是: (1)证明当n=n0(第一个自然数)时不等式成立; (2)假设不等式当n=k(k≥n0)时成立,证明n=k+1时不等式也成立; 由(1)(2)知对于n≥n0的一切正整数,不等式都成立.
注意:使用数学归纳法证明不等式,难点往往出现在由n=k时命题成立推出
3.2 数学归 纳法的应用
学习目标 1.进一步掌握利用数学归纳法证 明不等式的方法和技巧. 2.了解贝努利不等式,并能利用它 证明简单的不等式.
思维脉络
1.用数学归纳法证明不等式 运用数学归纳法证明不等式的两个步骤实际上是分别证明两个不等式.尤其是 第二步:一方面需要我们充分利用归纳假设提供的“便利”,另一方面还需要结合运 用比较法、综合法、分析法、反证法和放缩法等其他不等式的证明方法.
点拨
在用数学归纳法证明不等式的问题中,从“n=k”到“n=k+1”的过渡,利用归纳假设 是比较困难的一步,它不像用数学归纳法证明恒等式问题一样,只需拼凑出所需要 的结构来,而证明不等式的第二步中,从“n=k”到“n=k+1”,只用拼凑的方法,有时也 行不通,因为对不等式来说,它还涉及“放缩”的问题,它可能需通过“放大”或“缩小” 的过程,才能利用归纳假设,因此,我们可以利用“比较法”“综合法”“分析法”等来分 析从“n=k”到“n=k+1”的变化,从中找到“放缩尺度”,准确地拼凑出所需要的结构.
做一做1
用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起 始值n0应取( A.2 B.3 ) C.5 D.6
解析:取n=1,2,3,4,5,6,7计算知n0=5. 答案:C
2.贝努利不等式 对任何实数x≥-1和任何正整数n,有(1+x)n≥1+nx.
做一做2
设n∈N+,求证:3n>2n. 证明:3n=(1+2)n,根据贝努利不等式,有(1+2)n≥1+n×2=1+2n. 上式右边舍去1,得(1+2)n>2n.故3n>2n成立.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
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探究二
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探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
3Hale Waihona Puke 4512
3
4
5
1
2
3
4
5
n=k+1时命题也成立.为了完成这步证明,不仅要正确使用归纳假设,还要灵活利用 问题中的其他条件以及相关知识,过去讲过的证明不等式的方法在此都可以使用,
如比较法、放缩法、分析法、反证法等.
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
探究一
探究二
探究三
点评
利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n=k到n=k+1的变形.为满足题 目的要求,常常要采用“放”与“缩”等手段,但是放缩要有度,这是一个难点,解决这 类难题一是要仔细观察题目的结构,二是要靠经验积累.