2023数学单元过关检测-平面向量与正余弦定理
【新结构】2023-2024学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题+答案解析
【新结构】2023-2024学年广东省东莞市高一下学期期末教学质量检查数学试题❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则()A.2B.C.D.2.为了解学生每日参加体育锻炼的情况，学校用比例分配的分层随机抽样方法从高一、高二、高三年级所有学生中抽取部分学生做抽样调查，已知该学校高一、高二、高三年级学生人数的比例如图所示，若抽取的样本中高三年级的学生有36人，则抽取的样本容量为()A.90B.100C.120D.1603.棱长为a的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积为()A. B. C. D.4.若，则()A. B.2 C. D.5.已知m，n为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是()A.若，，则B.若，，且，则C.若，，则D.若，，则6.已知向量，，且，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，则()A. B.6 C. D.37.已知三棱锥，平面ABC ，，，则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为()A. B. C. D.8.一枚质地均匀的正方体骰子，其六个面分别刻有1，2，3，4，5，6六个数字，投掷这枚骰子两次，设事件“第一次朝上面的数字是奇数”，则下列事件中与M 相互独立的是()A.第一次朝上面的数字是偶数B.第一次朝上面的数字是1C.两次朝上面的数字之和是8D.两次朝上面的数字之和是7二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知某地一周每天的最高温度单位：分别为：31、27、26、28、27、30、27，则下列关于这组数据的结论中正确的是()A.众数是27 B.极差是4C.中位数是28D.平均数是2810.已知的半径为2，为其内接三角形，则下列结论中正确的是()A.若，则B.若，则周长的最大值为C.若，则D.若，则面积的最大值为11.如图，在棱长为1的正方体中，点E，F分别为AB，的中点，平面经过点C，E，F，且与交于点G，则下列结论正确的是()A.平面B.平面平面C. D.二面角的正切值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
四川省部分中学2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用真题
四川省部分中学2023高中数学必修二第六章平面向量及其应用真题单选题1、在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A =45°，a =6，b =3√2，则B 的大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120° 答案：A分析：先由正弦定理求出sin B =12，可得B =30°或B =150°，再由a >b ，得A >B ，从而可求出B =30°. 由正弦定理得b sinB=asinA，即3√2sinB=6sin45°，解得sin B =12，又B 为三角形内角，所以B =30°或B =150°， 又因为a >b ，所以A >B ，即B =30°. 故选：A.2、已知平面向量a ⃑＝(1，2)，b ⃑⃑＝(－2，m )，且a ⃑∥b ⃑⃑，则2a ⃑＋3b ⃑⃑＝( ) A ．(－4，－8)B ．(－8，－16) C ．(4，8)D ．(8，16) 答案：A分析：根据向量平行的坐标表示求出m ，再根据向量线性运算得坐标表示即可求解. ∵a ⃑∥b ⃑⃑，∴1×m ＝2×(－2)，∴m ＝－4，∴b ⃑⃑＝(－2，－4)， ∴2a ⃑＋3b ⃑⃑＝(2，4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)． 故选：A.3、在平行四边形ABCD 中，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=3，若BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=（ ） A ．2√3B ．3√3C ．4√3D ．3 答案：B解析：由题意分析可知，四边形ABCD 为菱形且∠ABC =120∘，然后求解|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|. ∵BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则BD 平分∠ABC ，则四边形ABCD 为菱形. 且∠ABC =120∘，由|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑| = |BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=3，则|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=3√3, 故选：B.小提示：关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意a⃑⃑|a ⃑⃑|为a ⃑上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.4、一个骑行爱好者从A 地出发向西骑行了2km 到达B 地，然后再由B 地向北偏西60°骑行2√3km 到达C 地，再从C 地向南偏西30°骑行了5km 到达D 地，则A 地到D 地的直线距离是（ ） A ．8B ．3√7C ．3√3D ．5 答案：B分析：根据给定信息作出图形，再利用三角形正弦定理、余弦定理计算作答. 如图，在△ABC 中，∠ABC =150∘，AB =2,BC =2√3，依题意，∠BCD =90∘，在△ABC 中，由余弦定理得：AC =√AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC =√4+12+8√3×√32=2√7，由正弦定理得：sin∠ACB =ABsin∠ABCAC=2√7，在△ACD 中，cos∠ACD =cos(90∘+∠ACB)=−sin∠ACB =2√7，由余弦定理得： AD =√AC 2+CD 2−2AC ⋅CDcos∠ACD =√28+25+2×2√7×52√7=3√7，所以A 地到D 地的直线距离是3√7km. 故选：B5、已知a ⃑，b ⃑⃑是不共线的向量，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑−2b ⃑⃑，OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2a ⃑−3b ⃑⃑，若A,B,C 三点共线，则实数λ，µ满足（ ）A ．λ=μ−5B ．λ=μ+5C ．λ=μ−1D ．λ=μ+1答案：B解析：根据向量的线性运算方法，分别求得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−λ)a ⃑−(2+μ)b ⃑⃑，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−a ⃑−b ⃑⃑； 再由AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，得到3−λ=−(2+μ)，即可求解. 由OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=3a ⃑−2b ⃑⃑，OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2a ⃑−3b⃑⃑， 可得AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(3−λ)a ⃑−(2+μ)b ⃑⃑，BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−a ⃑−b ⃑⃑； 若A,B,C 三点共线，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑//BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，可得3−λ=−(2+μ)，化简得λ=μ+5. 故选：B.6、已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b 2=a (a +c )，则asinAbcosA−acosB的取值范围是（ ） A ．(0,√22)B ．(0,√32)C ．(12,√22)D ．(12,√32) 答案：C分析：由b 2=a(a +c)利用余弦定理，可得c −a =2acosB ，正弦定理边化角，在消去C ，可得sin(B −A)=sinA ，利用三角形ABC 是锐角三角形，结合三角函数的有界限，可得asinAbcosA−acosB 的取值范围． 由b 2=a(a +c)及余弦定理，可得c −a =2acosB正弦定理边化角，得sinC −sinA =2sinAcosB∵A +B +C =π∴sin(B +A)−sinA =2sinAcosB∴sin(B −A)=sinA∵ABC 是锐角三角形， ∴B −A =A ，即B =2A ． ∵0<B <π2，π2<A +B <π， 那么：π6<A <π4则asinAbcosA−acosB =sin 2Asin(B−A)=sinA ∈(12，√22) 故选：C小提示：方法点睛：解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化变；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.7、若非零向量a ⃗,b ⃑⃗满足|a ⃗|=3|b ⃑⃗|, (2a ⃗+3b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，则a ⃗与b ⃑⃗的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6 答案：C分析：设a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ, |b ⃑⃗|=t ，进而根据向量数量积的运算律和向量垂直时数量积为0得cosθ=−12，进而得答案.解：根据题意，设a ⃗与b ⃑⃗的夹角为θ, |b ⃑⃗|=t ，则|a ⃗|=3|b ⃑⃗|=3t ， 若(2a ⃗+3b ⃑⃗)⊥b ⃑⃗，则(2a ⃗+3b ⃑⃗)⋅b ⃑⃗=2a ⃗⋅b ⃑⃗+3b ⃑⃗2=6t 2cosθ+3t 2=0， 即cosθ=−12， 又由0≤θ≤π，则θ=2π3，故选：C ．8、如图，等腰梯形ABCD 中，AB =BC =CD =3AD ，点E 为线段CD 上靠近D 的三等分点，点F 为线段BC 的中点，则FE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ）A ．−1318AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+518AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑B ．−1318AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+118AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−1118AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+49AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．−1118AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+119AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 答案：B分析：以AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑为基底，利用平面向量线性运算的相关运算化简即可. FE⃑⃑⃑⃑⃑⃑=FC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23CD⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12(AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑−AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑)+23(BA⃑⃑⃑⃑⃑⃑+23CB⃑⃑⃑⃑⃑⃑)=12AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑−12AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−29AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−49AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−1318AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+118AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑故选：B9、a⃑,b⃑⃑为非零向量，且|a⃑+b⃑⃑|=|a⃑|+|b⃑⃑|，则（）A．a⃑//b⃑⃑，且a⃑与b⃑⃑方向相同B．a⃑,b⃑⃑是共线向量且方向相反C．a⃑=b⃑⃑D．a⃑,b⃑⃑无论什么关系均可答案：A分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量a⃑,b⃑⃑不共线时，a⃑+b⃑⃑的方向与a⃑,b⃑⃑的方向都不相同，且|a⃑+b⃑⃑|<|a⃑|+|b⃑⃑|；当两个非零向量a⃑,b⃑⃑同向时，a⃑+b⃑⃑的方向与a⃑,b⃑⃑的方向都相同，且|a⃑+b⃑⃑|=|a⃑|+|b⃑⃑|；当两个非零向量a⃑,b⃑⃑反向时且|a⃑|<|b⃑⃑|，a⃑+b⃑⃑的方向与b⃑⃑的方向相同，且|a⃑+b⃑⃑|=|b⃑⃑|−|a⃑|，所以对于非零向量a⃑,b⃑⃑，且|a⃑+b⃑⃑|=|a⃑|+|b⃑⃑|，则a⃑//b⃑⃑，且a⃑与b⃑⃑方向相同.故选：A.10、已知向量a⃑,b⃑⃑满足|a|⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1,a⃑⊥b⃑⃑，则向量a⃑−2b⃑⃑在向量a⃑方向上的投影向量为（）A．a⃑B．1C．-1D．−a⃑答案：A分析：根据给定条件，求出(a⃑−2b⃑⃑)⋅a⃑，再借助投影向量的意义计算作答.因|a|⃑⃑⃑⃑⃑⃑=1,a⃑⊥b⃑⃑，则(a⃑−2b⃑⃑)⋅a⃑=a⃑2−2b⃑⃑⋅a⃑=1，令向量a⃑−2b⃑⃑与向量a⃑的夹角为θ，于是得|a⃑−2b⃑⃑|cosθ⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=(a⃑⃑−2b⃑⃑)⋅a⃑⃑|a⃑⃑|⋅a⃑⃑|a⃑⃑|=a⃑，所以向量a⃑−2b⃑⃑在向量a⃑方向上的投影向量为a⃑.故选：A填空题11、海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S=√p(p −a)(p −b)(p −c),p =a+b+c 2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC 满足sinA:sinB:sinC =2:3:√7，则用以上给出的公式求得△ABC 的面积为___________． 答案：6√3分析：由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可． ∵sinA:sinB:sinC =2:3:√7，∴a:b:c =2:3:√7， ∴△ABC 周长为10+2√7，即a +b +c =10+2√7， ∴a =4，b =6，c =2√7，∴p =4+6+2√72=5+√7，∴△ABC 的面积S =√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3． 所以答案是：6√3．12、设a ⃗,b ⃑⃗为单位向量，且|a ⃗+b ⃑⃗|=1，则|a ⃗−b ⃑⃗|=______________. 答案：√3分析：整理已知可得：|a ⃑+b ⃑⃑|=√(a ⃑+b ⃑⃑)2，再利用a ⃑,b ⃑⃑为单位向量即可求得2a ⃑⋅b ⃑⃑=−1，对|a ⃑−b ⃑⃑|变形可得：|a ⃑−b ⃑⃑|=√|a ⃑|2−2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2，问题得解. 因为a ⃑,b ⃑⃑为单位向量，所以|a ⃑|=|b⃑⃑|=1 所以|a ⃑+b ⃑⃑|=√(a ⃑+b ⃑⃑)2=√|a ⃑|2+2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=√2+2a ⃑⋅b ⃑⃑=1 解得：2a ⃑⋅b⃑⃑=−1 所以|a ⃑−b ⃑⃑|=√(a ⃑−b ⃑⃑)2=√|a ⃑|2−2a ⃑⋅b ⃑⃑+|b ⃑⃑|2=√3 所以答案是：√3小提示：本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.13、已知下列各式：①AB⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； ②(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗)+BO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗； ③OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗； ④AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BD⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗+DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗.其中结果为0⃑⃗的是____.(填序号) 答案：①④##④①分析：利用向量加法的运算法则化简各项向量的线性表达式，即可确定结果是否为0⃑⃗. ①AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0⃑⃗;②(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗)+BO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)+(OM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗+MB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗≠0⃑⃗; ③OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BO ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗≠0⃑⃗;④AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗+DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)+(BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃗+DC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗)=CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=0⃑⃗. 所以答案是：①④. 解答题14、如图，已知向量a ⃑和向量b ⃑⃑，用三角形法则作出a ⃑−b ⃑⃑+a ⃑答案：作图见解析分析：利用向量的加法法则和减法法则求作即可解：作法：作向量OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，向量OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=b ⃑⃑，则向量BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑−b ⃑⃑, 如图所示，作向量AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑，则BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=a ⃑−b ⃑⃑+a ⃑15、在锐角△ABC 中，已知m ⃑⃑⃑=(2sin (A +C ),√3)，n ⃑⃑=(cos2B,2cos 2B2−1)，且m ⃑⃑⃑//n ⃑⃑． (1)求角B 的大小；(2)若AC =1，求△ABC 面积的最大值． 答案：(1)π6 (2)2+√34分析：（1）根据向量平行，结合二倍角正弦公式、降幂公式，化简整理，结合角B的范围，可求得答案；（2）根据（1）得角B，代入余弦定理，结合基本不等式，可得ac最大值，代入面积公式，即可得答案. (1)因为m⃑⃑⃑//n⃑⃑，所以2sin(A+C)(2cos2B2−1)=√3cos2B，因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=sin(π−B)=sinB，所以2sinBcosB=sin2B=√3cos2B，所以tan2B=sin2Bcos2B=√3，因为锐角三角形，B∈(0,π2)，所以2B∈(0,π)，所以2B=π3，B=π6.(2)设角A、B、C所对的边为a,b,c，则AC=b=1，由余弦定理得cosB=a 2+c2−b22ac=√32，所以a2+c2−1=√3ac，即a2+c2=√3ac+1，又a2+c2≥2ac，所以√3ac+1≥2ac，解得ac≤2+√3，当且仅当a=c时等号成立，所以△ABC面积的最大值S max=12acsinB=12×(2+√3)×12=2+√34.。
人教A版高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷含答案解析 (2)
高一数学必修第二册第六章《平面向量及其应用》单元练习题卷5（共22题）一、选择题（共10题）1. 在 △ABC 中，E ，F 分别为 AB ，AC 的中点，P 为 EF 上的任一点，实数 x ，y 满足 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +xPB ⃗⃗⃗⃗⃗ +yPC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，设 △ABC ，△PBC ，△PCA ，△PAB 的面积分别为 S ，S 1，S 2，S 3，记 S 1S=λi (i =1,2,3)，则 λ2⋅λ3 取到最大值时，2x +y 的值为 ( ) A ． −1 B ． 1C ． −32D ． 322. 在 △ABC 中，已知 b =2√3，c =2，C =30∘，那么 a 等于 ( ) A ． 2 B ． 4 C ． 2 或 4 D ．无解3. 若 ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=5，∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，则 ∣∣BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的取值范围是 ( ) A ． [1,5] B ． [1,9] C ． [4,5] D ． [0,9]4. 正方形 ABCD 的边长为 2，E 是线段 CD 的中点，F 是线段 BE 上的动点，则 BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是 ( ) A ． [−1,0]B ． [−1,45]C ． [−45,1]D ． [0,1]5. 若 P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则下列各式中不正确的是 ( )A ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=2∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣B ． ∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=4∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣C ． ∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣D ． 4∣P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=3∣P 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣6. 已知点 C 为线段 AB 上一点，P 为直线 AB 外一点，PC 是 ∠APB 的角平分线，I 为 PC 上一点，满足 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣−∣∣PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=4，∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，则 BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣的值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．57. 已知非零向量 a ，b ⃗ 满足 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，a ，b ⃗ 的夹角的余弦值为 13，且 a ⊥(a −kb ⃗ )，则实数 k 的值为 ( ) A ． 18 B ． 24 C ． 32 D ． 368. 在 △ABC 中，AC =3，BC =√7，AB =2，则 AB 边上的高等于 ( ) A ． 2√3 B ．3√32C ．√262D ． 329. 已知点 O 是 △ABC 内部一点，满足 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =mOC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，S △AOB S △ABC=47，则实数 m 为 ( ) A ． 2 B ． −2 C ． 4 D ． −410. 已知 A ，B 都是数轴上的点，O 为原点，A (3)，B (−2)，则 3OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 ( ) A ． 17B ． 1C ． −1D ． −17二、填空题（共6题）11. 设 I 为 △ABC 的内心，三边长 AB =7，BC =6，AC =5，点 P 在边 AB 上，且 AP =2，若直线 IP 交直线 BC 于点 Q ，则线段 QC 的长为 ．12. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形，若直角边长为 2，且 AD⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则 λ+μ= ．13. 设向量 a =(3,3)，b ⃗ =(1,−1)，若 (a +λb ⃗ )⊥(a −λb ⃗ )，则实数 λ= ．14. 思考辨析，判断正误．在 △ABC 中，若 a 2+b 2−c 2=0，则角 C 为直角．( )15. 如图，在折线 ABCD 中，AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘，E ，F 分别是 AB ，CD的中点，若折线上满足条件 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，则实数 k 的取值范围是 ．16. 山上有一塔，高 50 m ，自山下地面某点测得塔顶仰角为 75∘，测得塔底仰角为 45∘，则山高m ．三、解答题（共6题）17. 已知 ∣a ∣=1，∣∣b ⃗ ∣∣=2，a与 b ⃗ 夹角 π3，m ⃗⃗ =3a −b ⃗ ，n ⃗ =ka +2b ⃗ ． (1) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ∥n ⃗ ？ (2) 当 k 为何值时，m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ？18. 已知 △ABC 的三个内角 A ，B ，C 的对边分别是 a ，b ，c ，a >c ，且 2csinA =√3a ．(1) 求角 C 的大小；(2) 若 c =4，△ABC 的面积为 √3，求 △ABC 的周长．19. 在 △ABC 中，内角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，且 bsinA =√3acosB ．(1) 求角 B 的大小；(2) 若 b =3，sinC =2sinA ，求 a ，c 的值．20. 已知锐角 △ABC ，同时满足下列四个条件中的三个 ①A =π3；②a =13；③c =15；④sinC =13．(1) 请指出这三个条件，并说明理由； (2) 求 △ABC 的面积21. 对于任意实数 a ，b ，c ，d ，表达式 ad −bc 称为二阶行列式（determinant ），记作 ∣∣∣ab cd ∣∣∣． (1) 求下列行列式的值：① ∣∣∣1001∣∣∣； ② ∣∣∣1326∣∣∣； ③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣；(2) 求证：向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0． (3) 讨论关于 x ，y 的二元一次方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2(a 1a 2b 1b 2≠0) 有唯一解的条件，并求出解．（结果用二阶行列式的记号表示）22. 已知 O 为坐标原点，对于函数 f (x )=asinx +bcosx ，称向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,b ) 为函数 f (x ) 的伴随向量，同时称函数 f (x ) 为向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的伴随函数．(1) 设函数 g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)，试求 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2) 记向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )，当 f (x )=85，且 x ∈(−π3,π6) 时，求 sinx 的值； (3) 将（1）中函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），再把整个图象向右平移2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，已知 A (−2,3)，B (2,6)，问在 y =ℎ(x ) 的图象上是否存在一点 P ，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【知识点】平面向量的数量积与垂直2. 【答案】C【解析】由 bsinB =csinC 得， sinB =bsinC c=2√3sin30∘2=√32， 所以 B =60∘ 或 B =120∘． 当 B =60∘ 时，A =90∘， a =√(2√3)2+22=4；当 B =120∘ 时，A =30∘，a =c =2， 故 a =4 或 a =2． 【知识点】正弦定理3. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直4. 【答案】B【知识点】平面向量的数量积与垂直5. 【答案】A【知识点】平面向量的数乘及其几何意义6. 【答案】B【解析】因为 BI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AI ⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AC ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣+AP ⃗⃗⃗⃗⃗∣∣AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣)(λ>0)，所以 I 在 ∠PAB 的角平分线上，又 I 在 ∠APB 的角平分线上，所以 I 为 △PAB 的内心．因为 ∣∣PA ⃗⃗⃗⃗⃗ −PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=10，所以 ∣AB ∣=10．BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 表示 BI⃗⃗⃗⃗ 在 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影，过 I 作 IK 垂直 BA 于 K ，则由圆的切线性质和已知可得 ∣AK ∣+∣BK ∣=∣AB ∣=10，∣AK ∣−∣BK ∣=4，所以 ∣BK ∣=3，故BI⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 的值为 3 .【知识点】平面向量的分解、平面向量的数量积与垂直、平面向量的加减法及其几何意义7. 【答案】A【解析】由 ∣a ∣=6∣∣b ⃗ ∣∣，可设 ∣∣b ⃗ ∣∣=t ，则 ∣a ∣=6t (t >0)，因为 a ⋅(a −kb ⃗ )=∣a ∣2−ka ⋅b⃗ =36t 2−k ×6t ×t ×13=0， 所以 k =18．【知识点】平面向量的数量积与垂直8. 【答案】B【知识点】正弦定理、余弦定理9. 【答案】D【知识点】平面向量的分解10. 【答案】B【解析】 3OA⃗⃗⃗⃗⃗ +4OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标为 3×3+4×(−2)=1． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算二、填空题（共6题） 11. 【答案】138【解析】如图， 由题意易得 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ −IA ⃗⃗⃗⃗ =25(IB ⃗⃗⃗⃗ −IP ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IP ⃗⃗⃗⃗ =57IA ⃗⃗⃗⃗ +27IB⃗⃗⃗⃗ ． 设 CQ =x ，BQ =y ，则 x +y =6， 所以 CQ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x yBQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ −IC ⃗⃗⃗⃗ =x y(IB ⃗⃗⃗⃗ −IQ⃗⃗⃗⃗ )， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 7IC⃗⃗⃗⃗ +5IB ⃗⃗⃗⃗ +6IA ⃗⃗⃗⃗ =0， 点 I 是 △ABC 的内心，根据三角形内心的向量表示得向量等式． 所以 IC⃗⃗⃗⃗ =−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ ， 所以 IQ ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6IC ⃗⃗⃗⃗ =x 6IB ⃗⃗⃗⃗ +y 6(−57IB ⃗⃗⃗⃗ −67IA ⃗⃗⃗⃗ )=−y 7IA ⃗⃗⃗⃗ +(x 6−5y 42)IB ⃗⃗⃗⃗ ． 因为 IQ ⃗⃗⃗⃗ ∥IP⃗⃗⃗⃗ ，所以 (−y 7):(x 6−5y 42)=52，结合 x +y =6，解得 x =138．所以线段 QC 的长为138．【知识点】平面向量数乘的坐标运算12. 【答案】 1+√2【解析】因为 ∠DEB =∠ABC =45∘，所以 AB ∥DE ，过 D 作 AB ，AC 的垂线 DM ，DN ， 则 AN =DM =BM =BD ⋅sin45∘=√2， 所以 DN =AM =AB +BM =2+√2， 所以 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2+√22AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +√22AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 λ=2+√22，μ=√22，所以 λ+μ=1+√2．【知识点】平面向量的分解13. 【答案】 ±3【知识点】平面向量数量积的坐标运算14. 【答案】 √【知识点】余弦定理15. 【答案】 [−94,−2]【解析】以 BC 的垂直平分线为 y 轴，以 BC 为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为 AB =BC =CD =4，∠ABC =∠BCD =120∘， 所以 B (−2,0)，C (2,0)，A(−4,2√3)，D(4,2√3)．因为 E ，F 分别是 AB ，CD 的中点，所以 E(−3,√3)，F(3,√3)．设 P (x,y )，−4≤x ≤4，0≤y ≤2√3，因为 PE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k ， 所以 (−3−x,√3−y)(3−x,√3−y)=x 2+(y −√3)+9=k ， 即 x 2+(y −√3)=k +9．当 k +9>0 时，点 P 的轨迹为以 (0,√3) 为圆心，以 √k +9 为半径的圆． 当圆与直线 DC 相切时，此时圆的半径 r =3√32，此时点有 2 个；当圆经过点 C 时，此时圆的半径为 r =√22+3=√7，此时点 P 有 4 个．因为满足条件 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =k 的点 P 至少有 4 个，结合图象可得， 所以274≤k +9≤7，解得 −94≤k ≤−2，故实数 k 的取值范围为 [−94,−2]．【知识点】平面向量数量积的坐标运算16. 【答案】 25(√3−1)【知识点】解三角形的实际应用问题三、解答题（共6题） 17. 【答案】(1) −6． (2) 1．【知识点】平面向量的数乘及其几何意义、平面向量的数量积与垂直18. 【答案】(1) 由题意知 2csinA =√3a ，由正弦定理得 2sinCsinA =√3sinA ， 又由 A ∈(0,π)，则 sinA >0，所以 sinC =√32， 又因为 a >c ，则 ∠A >∠C ， 所以 ∠C =60∘．(2) 由三角形的面积公式，可得 S △ABC =12absinC =12ab ×√32=√3，解得 ab =4， 又因为 cosC =a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−422ab=12，解得 a 2+b 2=20， 即 (a +b )2=28，所以 a +b =2√7，所以 △ABC 的周长为 a +b +c =2√7+4． 【知识点】余弦定理、正弦定理19. 【答案】(1) 由 bsinA =√3acosB 及正弦定理 a sinA=b sinB，得 sinB =√3cosB ， 故有 tanB =sinBcosB =√3． 即 B =π3．(2) 由 sinC =2sinA 及正弦定理 a sinA=c sinC，得 c =2a, ⋯⋯①由 b =3 及余弦定理 b 2=a 2+c 2−2accosB ， 得 9=a 2+c 2−ac, ⋯⋯② 联立①②，解得 a =√3，c =2√3． 【知识点】正弦定理、余弦定理20. 【答案】(1) △ABC 同时满足 ①，②，③． 理由如下：若 △ABC 同时满足 ①，④，则在锐角 △ABC 中， sinC =13<12， 所以 0<C <π6． 又因为 A =π3， 所以 π3<A +C <π2．所以 B >π2，这与 △ABC 是锐角三角形矛盾， 所以 △ABC 不能同时满足 ①，④， 所以 △ABC 同时满足 ②，③． 因为 c >a ，所以 C >A 若满足 ④， 则 A <C <π6，则 B >π2， 这与 △ABC 是锐角三角形矛盾，故 △ABC 不满足 ④，故 △ABC 同时满足 ①，②，③．(2) 因为 a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 所以 132=b 2+152−2×b ×15×12，解得 b =8 或 b =7． 当 b =7 时 cosC =72+132−1522×7×13<0，所以 C 为钝角，与题意不符合， 所以 b =8．所以 △ABC 的面积 S =12bcsinA =30√3． 【知识点】余弦定理、判断三角形的形状21. 【答案】(1) ① ∣∣∣1001∣∣∣=1；② ∣∣∣1326∣∣∣=1×6−2×3=0；③ ∣∣∣−2510−25∣∣∣=(−2)×(−25)−5×10=0． (2) 若向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线，则 当 q ≠0⃗ 时，有 ad −bc =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=0， 当 q =0⃗ 时，有 c =d =0，即 ∣∣∣a b c d ∣∣∣=ad −bc =0， 所以必要性得证． 反之，若 ∣∣∣a b cd ∣∣∣=0，即 ad −bc =0， 当 c ，d 不全为 0 时，即 q ≠0⃗ 时， 不妨设 c ≠0，则 b =ad c，所以 p =(a,ad c)，因为 q =(c,d )，所以 p =a cq ，所以 p ∥q ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线， 当 c =0 且 d =0 时，q =0⃗ ， 所以向量 p =(a,b ) 与向量 q =0⃗ 共线， 充分性得证．综上，向量 p =(a,b ) 与向量 q =(c,d ) 共线的充要条件是 ∣∣∣ab cd ∣∣∣=0．(3) 用 b 2 和 b 1 分别乘上面两个方程的两端，然后两个方程相减， 消去 y 得 (a 1b 2−a 2b 1)x =c 1b 2−c 2b 1, ⋯⋯① 同理，消去 x 得 (a 1b 2−a 2b 1)y =a 1c 2−a 2c 1, ⋯⋯② 所以，当 a 1b 2−a 2b 1≠0 时，即 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时， 由①②可得 x =c 1b 2−c 2b 1a 1b 2−a 2b 1=∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =a 1c 2−a 2c 1a1b 2−a 2b 1=∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣， 所以，当 ∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣≠0 时，方程组 {a 1x +b 1y =c 1,a 2x +b 2y =c 2 有唯一解且 x =∣∣∣c 1b 1c 2b 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣，y =∣∣∣a 1c 1a 2c 2∣∣∣∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣． 【知识点】平面向量数乘的坐标运算、二阶行列式22. 【答案】(1) g (x )=√3sin (π+x )−sin (3π2−x)=−√3sinx +cosx,所以 g (x ) 的伴随向量 OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1)． (2) 向量 ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3) 的伴随函数为 f (x )=sinx +√3cosx ， 因为f (x )=sinx +√3cosx =2sin (x +π3)=85,所以 sin (x +π3)=45， 因为 x ∈(−π3,π6)， 所以 x +π3∈(0,π2)， 所以 cos (x +π3)=35， 所以sinx =sin [(x +π3)−π3]=12sin (x +π3)−√32cos (x +π3)=4−3√310. (3) 由（1）知 g (x )=−√3sinx +cosx =−2sin (x −π6)，将函数 g (x ) 的图象的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 y =−2sin (12x −π6)的图象，再把整个图象向右平移 2π3个单位长度得到 ℎ(x ) 的图象，则ℎ(x )=−2sin [12(x −2π3)−π6]=−2sin (12x −π2)=2cos 12x.设 P (x,2cos 12x)，因为 A (−2,3)，B (2,6)，所以 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x +2,2cos 12x −3)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x −2,2cos 12x −6)， 又因为 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以 (x +2)(x −2)+(2cos 12x −3)(2cos 12x −6)=0， 即 x 2−4+4cos 212x −18cos 12x +18=0， 所以 (2cos 12x −92)2=254−x 2（*），因为 −2≤2cos 12x ≤2， 所以 −132≤2cos 12x −92≤−52，所以254≤(2cos 12x −92)2≤1694．又因为254−x 2≤254，所以当且仅当 x =0，即 (2cos 12x −92)2和254−x 2 同时等于254时，（*）式成立．所以在 y =ℎ(x ) 的图象上存在点 P (0,2)，使得 AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质、三角函数的图象变换、平面向量数量积的坐标运算。
新教材2023高中数学第六章平面向量及其应用6.4平面向量的应用6.4.3余弦定理正弦定理6.4.3
公因式,应移项提取公因式,以免漏解.
【跟踪训练】
5.在△ABC 中,A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 b=acos C,试
判断△ABC 的形状.
解:因为 b=acos C,
由正弦定理,得 sin B=sin Acos C.
因为 B=π-(A+C),
第六章 平面向量及其应用
6.4 平面向量的应用
6.4.3 余弦定理、正弦定理
6.4.3.2 正弦定理
[学习目标] 1. 借助向量运算,探索三角形边长与角度
的关系,掌握正弦定理,培养数学抽象素养.
2.能利用正弦定理解决两类解三角形的基本问题.
正弦定理
[知识梳理]
所对角的正弦
[基础测试]
1.在△ABC 中,下列式子与
6- 2
.
2
6+ 2
或
2
探索点三 判断三角形的形状
【例 3】 在△ABC 中,若 sin A=2sin Bcos C,且
sin2A=sin2B+sin2C,试判断△ABC 的形状.
解:根据正弦定理,知
=
=
.
sin sin sin
因为 sin2A=sin2B+sin2C,所以 a2=b2+c2,
in
12
则
=
,解得 AC=4 6.
sin45° sin60°
方法规律
已知三角形任意两角和一边解三角形的思路
(1)由三角形的内角和定理求出第三个角.
(2)由正弦定理公式的变形,求另外的两条边.
易错提醒:若已知角不是特殊角时,往往先求出其正弦值
正余弦定理题型总结(全)
平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→→b a ,共线的充要条件是（ ）A.→→b a ,方向相 同 B. →→b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→→b a λλλλ变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→→b a //”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件变式二：设→→b a ,是两个非零向量（ ）A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b aB. 若→→⊥b a ，则→→→→=+b a b a _ C. 若→→→→=+b a b a _，则存在实数λ，使得→→=a b λ D 若存在实数λ，使得→→=a b λ，则→→→→=+ba b a _例二：设两个非零向量→→21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一：设→→21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。
变式二：已知向量→→b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（ ） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2BA BC BP +=则（ ）A. PB PA +=0B. PA PC +=0C. PC PB +=0D. PB PA PC ++=0变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且OC OB OA ++=20,那么（ ）A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02变式二：在平行四边形ABCD 中a AB =，b AD =，NC AN 3=,M 为BC 的中点，则=MN ( 用b a ,表示)例二：在三角形ABC 中，c AB =，b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( )A. ,3132c b +B. ,3235b c -C. ,3132c b -D. ,3231c b +变式一：(高考题) 在三角形ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分角ACB,a CB =，b CA =21==,则=CD ( )A. ,3231b a +B. ,3132b a +C. ,5453b a + D. ,5354b a +变式二：设D,E,F 分别是三角形ABC 的边BC,CA,AB 上的点，且,2BD DC =,2EA CE =,2FB AF =则CF BE AD ++,与BC ( )A.反向平行B. 同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直变式三：在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AF AE AC μλ+=,其,,R ∈μλ则μλ+=变式四：在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,a AC =,b BD =则=AF ( )A.,2141b a + B. ,3132b a + C. ,4121b a + D. ,3231b a +题型三：三点共线定理及其应用例一：点P 在AB 上，求证：OB OA OP μλ+=且μλ+=1（,,R ∈μλ）变式：在三角形ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 和N,若,AM m AB =,AN n AC =则m+n=例二：在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 与AF 交于点H,设,a AB =,b BC =则=AH A. ,5452b a - B. ,5452b a + C. ,5452b a +- D. ,5452b a --变式：在三角形ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 是边AC 上一点且AN=2NC,AM 与BN 相交于点P,若,PM AP λ=求λ的值。
2023新教材高中数学第六章平面向量初步单元质量测评课件新人教B版必修第二册
2. 如图，在等腰梯形 ABCD 中，①A→B与C→D是共线向量；②A→B＝C→D； ③A→B>C→D，以上结论中正确的个数为( )
A．0 C．2 答案 A
B．1 D．3
解析 A→B与C→D方向不相同也不相反，故①错误；A→B与C→D的长度相等， 但方向不同，故②错误；向量是不能比较大小的，故③错误．
3．已知A→B＝a＋5b，B→C＝－2a＋8b，C→D＝3(a－b)，则( ) A．A，B，C 三点共线 B．A，B，D 三点共线 C．B，C，D 三点共线D．A，C，D 三点共线
答案 B 解析 由题意，知A→B＝B→C＋C→D＝B→D，所以 A，B，D 三点共线．
4．已知向量 a＝(m,2)，b＝(1,1)．若|a＋b|＝|a|＋|b|，则实数 m＝( )
23O→B＝O→A＋B→A－23O→B＝O→A＋O→A－O→B－23O→B＝2a－53b.因为O→E＝λO→A＝λa， 设D→E＝μD→C＝2μ a－53μb，又O→E＝O→D＋D→E，所以 λa＝23b＋2μ a－53μb＝2μ a
＋23－35μb，所以λ23＝－253μμ，＝0，
所以 λ＝45.
m＝12或
2m－1 l2＝ λ l1(λ≠0)，即
l1∥l2.
8. 如图，在△OAB 中，点 B 关于点 A 的对称点为 C，D 在线段 OB 上， 且 OD＝2DB，DC 和 OA 相交于点 E.若O→E＝λO→A，则 λ＝( )
3341 A.4 B.5 C.5 D.2 答案 C
解析 解法一：设O→A＝a，O→B＝b，由题意得D→C＝O→C－O→D＝O→A＋A→C－
D．若|a|>|b|，则 a>b 答案 C
解析 对于 A，单位向量模都相等，方向不一定相同，故 A 错误；对 于 B，向量是既有大小又有方向的量，大小相等，但方向不一定相同或相反， 故 B 不正确；对于 D，尽管两个向量的模有大小之分，但两个向量是不能比 较大小的，故 D 也不正确；由平行向量的定义知选 C.
2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用考点专题训练
(名师选题)2023年人教版高中数学第六章平面向量及其应用考点专题训练单选题1、设λ为实数，已知向量m ⃗⃗ =(-1，2)，n ⃗ =(1，λ).若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则向量m →+2n ⃗ 与m →之间的夹角为（ ） A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4答案：A解析：根据向量垂直的坐标运算解得λ=12，再运用向量夹角的坐标运算公式可得选项.因为向量m ⃗⃗ =(−1,2),n ⃗ =(1,λ)，若m ⃗⃗ ⊥n ⃗ ，则m ⃗⃗ ⋅n ⃗ =−1×1+2λ=0，解得λ=12，所以m ⃗⃗ +2n ⃗ =(1,3)，所以(m ⃗⃗ +2n ⃗ )⋅m ⃗⃗ =1×(−1)+3×2=5，|m ⃗⃗ +2n ⃗ |=√12+32=√10，|m ⃗⃗ |=√(−1)2+22=√5，设向量m ⃗⃗ +2n ⃗ 与m ⃗⃗ 之间的夹角θ ，则0≤θ≤π， ∴cosθ=(m⃗⃗⃗ +2n ⃗ )⋅m ⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ +2n ⃗ |×|m ⃗⃗⃗ |=√10×√5=√22， 所以向量m ⃗⃗ +2n ⃗ 与m ⃗⃗ 之间的夹角为π4.故选：A.2、已知边长为1的正方形ABCD ，设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则|a −b ⃗ +c |=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合正方形的性质可得答案. 因为ABCD 是边长为1的正方形，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ， 所以a −b ⃗ +c =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 又|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，所以|a −b ⃗ +c |=|2AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=2故选：B3、在△ABC 中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若A =45°,B =60°,b =2√3，则c 等于（ ） A ．√6−√24B ．√6+√24C ．√6−√2D ．√6+√2答案：D分析：先求出C ，再由正弦定理求解即可. 解：在△ABC 中，C =180°−45°−60°=75°． 由正弦定理可知csinC =bsinB ，所 以csin75°=2√3sin60°， 故c =2√3sin75°sin60°=4sin75°=4sin(30°+45°)=4×√6+√24=√6+√2．故选：D.4、下列命题：（1）零向量没有方向；（2）单位向量都相等；（3）向量就是有向线段；（4）两向量相等，若起点相同，终点也相同；（5）若四边形ABCD 为平行四边形，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ．其中正确命题的个数是（ ） A ．1B ．2 C ．3D ．4 答案：A分析：零向量的方向是任意的可判断（1）；单位向量方向不一定相同可判断（2）；有向线段只是向量的一种表示形式可判断（3）；根据向量的二要素可判断（4）；由相等向量的定义可判断（5），进而可得正确答案. 对于（1）：零向量不是没有方向，而是方向是任意的，故（1）不正确．对于（2）：单位向量只是模均为单位1，而方向不相同，所以单位向量不一定都相等，故（2）不正确． 对于（3）：有向线段只是向量的一种表示形式，向量是可以自由移动，有向线段不可以自由移动，不能把两者等同起来，故（3）不正确，对于（4）：两向量相等，若起点相同，终点也相同；故（4）正确；对于（5）：如图：若四边形ABCD 为平行四边形，则AB =DC ，且方向相同，BC =DA 但方向相反，所以BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不相等，故（5）不正确； 所以正确的有一个， 故选：A.5、在平行四边形ABCD 中，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,4)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ） A ．-5B ．-4C ．-3D ．-2 答案：A分析：根据向量的加法和减法的几何意义，结合向量的数量积运算，即可得到答案； ∵ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴ AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=4AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12+22−(32+42)=−20， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−5， 故选：A6、已知平面向量a ,b ⃗ 满足|a |=√2,|b ⃗ |=1,a ⊥(a +2b ⃗ )，则向量a ,b ⃗ 的夹角为（ ） A ．π3B ．π4C ．2π3D ．3π4 答案：D解析：利用a ⋅(a +2b ⃗ )=0求出a ⋅b ⃗ ，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可. ∵a ⊥(a +2b ⃗ ),∴a ⋅(a +2b ⃗ )=0，即a 2+2a ⋅b ⃗ =0,∴a ⋅b ⃗ =−1， ∴cos〈a ,b ⃗ 〉=a⃗ ⋅b ⃗ |a⃗ ||b ⃗ |=√2×1=−√22．∵〈a ,b ⃗ 〉∈[0,π],∴〈a ,b⃗ 〉=3π4． 故选：D ．7、如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，动点M 从顶点B 出发，沿正六边形的边逆时针运动到顶点F ，若FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值和最小值分别是m ，n ，则m +n =（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12 答案：D分析：连接AC ，根据正六边形的特征可得FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而可得FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩，再根据当M 在BC 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩均逐渐减小，即可求得m ，n ，从而得出答案.解：连接AC ，在正六边形ABCDEF 中，FD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴FD ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩， ∵正六边形ABCDEF 的边长为2，∴|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3， 因为当M 在BC 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩均逐渐增大，当M 从D 移动到F 时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |与cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩均逐渐减小， 所以当M 在CD 上运动时，|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩取得最大值，为2√3， 当M 移动到点F 时，|AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos⟨AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⟩取得最小值，为0． ∴m =2√3×2√3=12，n =2√3×0=0，∴m +n =12． 故选：D.小提示：8、已知向量a =(√3,1)，向量a −b ⃗ =(√3+1,√3+1)，则a 与b ⃗ 的夹角大小为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：D分析：计算可得b →=(−1,−√3)，利用数量积公式计算即可得出结果. ∵向量a =(√3,1)，向量a −b ⃗ =(√3+1,√3+1)， ∴b →=(−1,−√3)，cos <a ,b ⃗ >=−√3−√32×2=−√32，且0≤<a ,b ⃗ >≤π， ∴a →,b →的夹角为5π6=150°. 故选：D.9、在△ABC 中，sin 2A =sinBsinC ，若∠A =π3，则∠B 的大小是（ ） A ．π6B ．π4C ．π3D ．2π3 答案：C分析：由正弦定理边角互化，以及结合余弦定理，即可判断△ABC 的形状，即可判断选项. 因为sin 2A =sinBsinC ，所以a 2=bc ，由余弦定理可知a 2=b 2+c 2−2bccos π3=b 2+c 2−bc =bc ， 即(b −c)2=0，得b =c ， 所以△ABC 是等边三角形，∠B =π3.故选：C10、a ,b ⃗ 为非零向量，且|a +b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则（ ） A ．a //b ⃗ ，且a 与b ⃗ 方向相同B ．a ,b ⃗ 是共线向量且方向相反 C ．a =b ⃗ D ．a ,b ⃗ 无论什么关系均可 答案：A分析：根据向量加法的性质及三角形边之间的关系即可得出答案.当两个非零向量a ,b ⃗ 不共线时，a +b ⃗ 的方向与a ,b ⃗ 的方向都不相同，且|a +b ⃗ |<|a |+|b ⃗ |； 当两个非零向量a ,b ⃗ 同向时， a +b ⃗ 的方向与a ,b ⃗ 的方向都相同，且|a +b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |； 当两个非零向量a ,b ⃗ 反向时且|a |<|b ⃗ |，a +b ⃗ 的方向与b ⃗ 的方向相同，且|a +b ⃗ |=|b ⃗ |−|a |， 所以对于非零向量a ,b ⃗ ，且|a +b ⃗ |=|a |+|b ⃗ |，则a //b ⃗ ，且a 与b ⃗ 方向相同. 故选：A.11、如图，四边形ABCD 是平行四边形，则12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A ．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B ．CD ⃗⃗⃗⃗⃗C ．CB ⃗⃗⃗⃗⃗D ．AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 答案：D分析：由平面向量的加减法法则进行计算. 由题意得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 故选：D.12、向量a ，b ⃗ 满足a =(1,√3)，|b ⃗ |=1，|a +b ⃗ |=√3，则b ⃗ 在a 方向上的投影为（ ） A ．-1B ．−12C ．12D ．1 答案：B解析：根据题条件，先求出a ⋅b ⃗ ，再由向量数量积的几何意义，即可求出结果. 因为向量a ，b ⃗ 满足a =(1,√3)，|b ⃗ |=1，|a +b⃗ |=√3， 所以|a |2+2a ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2=3，即4+2a ⋅b ⃗ +1=3，则a ⋅b⃗ =−1， 所以b ⃗ 在a 方向上的投影为|b →|cos <a →,b →>=a →⋅b →|a →|=−12.故选：B. 双空题13、在△ABC 中，A ＝π3，b ＝4，a ＝2√3，则B ＝________，△ABC 的面积等于________．答案： π2 2√3解析：利用正弦定理，结合已知条件，即可求得B ；根据勾股定理求得c ，利用面积公式，即可求得三角形面积.△ABC 中，由正弦定理得sin B ＝bsinA a＝4×sin π32√3＝1.又B 为三角形的内角，所以B ＝π2， 所以c ＝√b 2−a 2＝√42−(2√3)2＝2， 所以S △ABC ＝12×2×2√3＝2√3. 所以答案是：π2；2√3.小提示：本题考查利用正弦定理解三角形，以及利用三角形面积公式求三角形面积，属综合基础题.14、已知平面向量a ,b ⃗ 满足|a +b ⃗ |=2．记a 与3a +b ⃗ 的夹角为θ，且|a |cos θ=1，则a ⋅b ⃗ 的最小值是___，最大值是___．答案： −133##−413 1分析：根据题意，设出对应向量的坐标，利用数量积的坐标运算，构造a ⋅b ⃗ 关于坐标的函数，即可求得结果. 因为a 与3a +b ⃗ 的夹角为θ，且|a |cos θ=1，故可设3a +b ⃗ =(t,0),a =(1,s)，满足题意， 此时b ⃗ =(t −3,−3s)，则|a +b ⃗ |=2，等价于(t −2)2+4s 2=4； 故a ⋅b⃗ =t −3−3s 2=t −3−3×[1−(t−2)24]=34t 2−2t −3, 又s 2=1−(t−2)24≥0，解得0≤t ≤4，显然t ≠0，故可得0<t ≤4，又y =34t 2−2t −3在(0,43)单调递减，在(43,4)单调递增.故y max =34×42−2×4−3=1,y min =34×(43)2−2×43−3=−133.即a ⋅b⃗ 的最小值为−133，最大值为1. 所以答案是：−133;1.小提示：本题考察数量积的运算，其中合理的设出向量的坐标，是解决问题的关键步骤，属困难题.15、在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，已知b ＝1，c ＝2且2cos A （b cos C +c cos B ）＝a ，则A ＝__________；若M 为边BC 的中点，则|AM |＝__________答案： π3 √72解析：利用正弦定理、两角和的正弦公式、三角形内角和定理化简已知条件，求得cosA 的值，进而求得A 的大小.由M 是BC 的中点，得到2AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方后进行化简，由此求得|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的长. ∵2cos A （b cos C +c cos B ）＝a ，∴由正弦定理可得2cos A （sin B cos C +sin C cos B ）＝sin A ， ∴2cos A sin （B +C ）＝2cos A sin A ＝sin A ，∵A ∈（0，π），sin A ≠0，∴cos A ＝12，可得A ＝π3.∵M 为边BC 的中点，b ＝1，c ＝2，∴则2AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方可得4|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2＝|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB⃗⃗⃗⃗⃗ •AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ＝1+4+2×1×2×12＝7， ∴解得|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |＝√72．所以答案是：π3，√72小提示：本小题主要考查正弦定理解三角形，考查利用向量计算边长，属于中档题.16、如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，BC =12，AC =9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ，则a ⋅c 的最大值是_______；2|a |+3|b⃗ |的最小值是__________.答案： 90 12√10 解析：由a ·c =|c+a ⃗ |2−|c −a ⃗ |24，可得当点D 在线段AC 的延长线上时，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线同向，a ·c 取得最大值；在线段AC 上取一点M ，使得CM =4，证明△DCM ∽△ACD ，则|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||a⃗ |=23，可得2|a |+3|b ⃗ |=3(23|a |+|b ⃗ |)=3(|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|b⃗ |)⩾3|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12√10，当D ，M ，B 三点共线时取“=”． 解：设P 为AC 中点，因为a ⋅c =|c+a ⃗ |2−|c −a ⃗ |24=|2DP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2−|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |24≤4(|PC|+6)2−924=4(92+6)2−924=90，当点D 在线段AC 的延长线上取“=”；所以a ⋅c 的最大值是90在线段AC 上取一点M ，使得|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=4，又CD =6，CA =9，∴ CDCM =CACD ，而∠DCM =∠ACD ， ∴△DCM ∽△ACD ，则|DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||a⃗ |=23．又因为2|a |+3|b ⃗ |=3(23|a |+|b⃗ |) =3(|DM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|b ⃗ |)≥3|BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =3√122+42=12√10，当D ，M ，B 三点共线时取“=”. 所以2|a |+3|b⃗ |的最小值是12√10所以答案是：90，12√10小提示：本题考查平面向量数量积的运算与应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，考查运算求解能力，属于难题．17、托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形ABCD 的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC 、BD 是其两条对角线，BD =4，且△ACD 为正三角形，则△ABC 面积的最大值为___________，四边形ABCD 的面积为________________.（注：圆内接凸四边形对角互补） 答案： √3 4√3解析：先利用托勒密定理得出AB 与BC 的关系，然后利用基本不等式求解出AB ⋅BC 的最值，得出△ABC 面积最值，再利用S ABCD =S ΔABD +S BCD =12⋅AB ⋅AD ⋅sin∠ABD +12BC ⋅BD ⋅sin∠CBD 求解四边形的面积.如图所示，设△ACD 的边长为a ，则根据托勒密定理可得： 4a =a ⋅AB +a ⋅BC ，得AB +BC =4， 根据基本不等式得AB ⋅BC ≤(AB+BC )24=4，当且仅当AC =BC =2时等号成立.又△ACD 为等边三角形，则∠ADC =π3，根据圆内接凸四边形对角互补得∠ABC =2π3.所以△ABC 的面积S =12AC ⋅BC ⋅sin2π3≤12×4×√32=√3;又因为∠ABD =∠ACD =π3，∠CBD =∠CAD =π3，所以S ABCD =S ΔABD +S BCD =12⋅AB ⋅AD ⋅sin∠ABD +12BC ⋅BD ⋅sin∠CBD =12sin π3⋅BD ⋅(AB +BC )=4√3.所以答案是：√3；4√3.小提示：解答的关键在于根据托勒密定理得出AB +BC =4，然后利用基本不等式求出AB ⋅BC 的最大值. 解答题18、如图所示，△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，D 为AB 的中点，E 为CD 上的一点，且DC =4EC ，AE 的延长线与BC 的交点为F .(1)用向量a ，b ⃗ 表示AE⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)用向量a ，b⃗ 表示AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，并求出AE:EF 和BF:FC 的值. 答案：(1)AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =18a +34b ⃗ (2)AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =17a +67b ⃗ ，7，6 分析：（1）由已知得AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 为AB 的中点，可得答案；（2）设BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =tBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得 AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =tb ⃗ +(1−t )a ，设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =18a +34b ⃗ ，即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ8a +3λ4b ⃗ ，由a ，b⃗ 不共线和平面向量基本定理求得λ、t ，可得答案. （1）根据题意因为：DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，D 为AB 的中点，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =18a +34b⃗ . （2）因为B ，F ，C 三点共线，设BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =tBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−t )AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +tAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =tb ⃗ +(1−t )a ，A ，F ，E 三点共线，设AF⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由（1）可知AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =18a +34b ⃗ ，即AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ8a +3λ4b ⃗ ， a ，b ⃗ 不共线，由平面向量基本定理，所以{λ8=1−t 3λ4=t ，所以λ=87，t =67，所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =87AE⃗⃗⃗⃗⃗ ，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =67BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则AE:EF 的值为7，BF:FC 的值为6.19、如图，在梯形ABCD 中，AB //CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =2√7，求梯形ABCD 的面积； (2)若AC ⊥BD ，求tan∠ABD ． 答案：(1)7√3；(2)tan∠ABD =2√33． 分析：(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan∠ABD 的方程，解之即得.(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2−2AB ⋅BCcos∠ABC 得： 28=22+x 2−2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x −24=0，而x>0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin∠ABC =12⋅2⋅4⋅√32=2√3，梯形ABCD 中，AB //CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB 2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=5√3，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =7√3； (2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ， 则∠BDC =α，∠BAC =π2−α，∠DBC =2π3−a ，∠BCA =α−π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin∠BCA =BCsin∠BAC 得：2sin(α−π6)=BCsin(π2−α)，在△BDC 中，由正弦定理CDsin∠DBC=BC sin∠BDC得：5sin(2π3−α)=BC sinα，两式相除得：2sin(2π3−α)5sin(α−π6)=sinαsin(π2−α)⇒2⋅(√32cosα+12sinα)5⋅(√32sinα−12cosα)=sinαcosα，整理得5√3sin 2α−7sinαcosα−2√3cos 2α=0， 即5√3tan 2α−7tanα−2√3=0 解得tanα=2√33或tanα=−√35， 因为α∈(π6,π2)，则tanα=2√33，即tan∠ABD =2√33． 小提示：(1)三角形中已知两边及一边对角求第三边，利用余弦定理建立关于第三边的一元二次方程求解； (2)涉及平面多边形问题，把图形拆分成若干个三角形，再在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 20、记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+c 2−b 2=4，sinB =√154. (1)求△ABC 的面积；(2)若sinAsinC =12，求△ABC 的周长.答案：(1)√15； (2)√15+√35.分析：（1）由余弦定理及已知可得accosB =2，根据同角平方关系求出cosB ，进而求得ac =8，最后应用三角形面积公式求面积.（2）正弦定理求得b =√15，再应用余弦定理求得a +c =√35，即可得结果. （1）由余弦定理得：cosB =a 2+c 2−b 22ac，又a 2+c 2−b 2=4，所以accosB =2，则cosB >0，又sinB =√154，则cosB =(√154)=14，所以ac =2cosB =8，则S △ABC =12acsinB =√15.（2）由正弦定理得：bsinB =asinA=csinC，则b2sin2B=asinA⋅csinC=acsinAsinC=812=16，所以bsinB=4，b=4sinB=√15.由b2=a2+c2−2accosB=(a+c)2−2ac−2accosB，整理得(a+c)2=b2+2ac+2accosB=15+16+4=35，解得a+c=√35. 故△ABC的周长为√15+√35.。
专题04平面向量的应用(一)正弦定理和余弦定理(对点精练)(解析版)
2020-2021学年高一数学同步讲练测（人教A 版2019必修第二册）专题04平面向量的应用（一）正弦定理和余弦定理1．如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB ．a kmCakmD ．2akm【答案】B在ABC ∆中知∠ACB ＝120°，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC·BCcos120°＝2a 2－2a 2×12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝3a 2，∴AB a.故选:B.2．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知a =3c =，2cos 3A =，则b =（ ） A ．3 B ．1 C ．1或3D ．无解【答案】C 【解析】由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，即2430b b -+=，解得1b =或3b =.3．ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若222a c b ab -+=，则C =（ ） A ．30° B ．60° C ．120° D ．60°或120°【答案】B 【解析】解：在ABC 中，由222a c b ab -+=，可得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，∵0180C ︒<<︒， ∴60C =︒． 故选：B ．4．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定【答案】A因为在ABC ∆中，满足222sin sin sin A B C +<， 由正弦定理知sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===，代入上式得222a b c +<， 又由余弦定理可得222cos 02a b c C ab+-=<，因为C 是三角形的内角，所以(,)2C ππ∈，所以ABC ∆为钝角三角形，故选A.5．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC 的面积，若cos cos sin ,c B b C a A +=)222S b a c =+-，则B ∠= A ．90︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．30︒【答案】D 【解析】由正弦定理及cos cos sin ,c B b C a A +=得2sin cos sin cos sin ,C B B CA +=()2sin sin sin 1C B A A ⇒+=⇒=,因为000180A <<，所以090A =；由余弦定理、三角形面积公式及)222S b a c =+-，得1sin 2cos 2ab C ab C =,整理得tan C =00090C <<,所以060C =,故030B =.故选D6．若△ABC 中，2sin()sin()sin A B A B C +-=，则此三角形的形状是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】AABC ∆中，sin()sin A B C +=，∴已知等式变形得：2sin sin()sin C A B C -=，即sin()sin sin()A B C A B -==+，整理得：sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B A B A B -=+，即2cos sin 0A B =， cos 0A ∴=或sin 0B =（不合题意，舍去）， 0A π<< 90A ∴=︒，则此三角形形状为直角三角形． 故选：A7．△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，2228b c a +-=，则△ABC 的面积为________．【答案】3. 因为sin sin 4sin sin b C c B a B C +=，结合正弦定理可得sin sin sin sin 4sin sin sin B C C B A B C +=， 可得1sin 2A =，因为2228b c a +-=， 结合余弦定理2222a b c bccosA =+-，可得2cos 8bc A =， 所以A为锐角，且cos A =，从而求得bc =， 所以ABC ∆的面积为111sin 22323S bc A ==⋅⋅=，故答案是3. 8．设锐角ABC ∆三个内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、,cos cos )2sin a B b A c C +=，1b =，则c 的取值范围为__________．【答案】2⎛ ⎝cos cos )2sin a B b A c C +=222222)22a c b b c a a b ac bc+-+-⋅+⋅=2sin c C，即2sin c C =，所以sin 2C =ABC 为锐角三角形，所以3C π=．由正弦定理可得sin sin 2sin b C c B B==．由02B π<<且2032B ππ<-<可得62B ππ<<，所以1sin 12B <<，所以22sin B<<2c <<．故c 的取值范围为(2．故答案为 9．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4c =，a A =，且C 为锐角，则ABC ∆面积的最大值为________.【答案】4+因为4c =，又sin sin c aC A==所以sin 2C =，又C 为锐角，可得4C π=.因为(2222162cos 2a b ab C a b ab =+-=+≥，所以(82ab ≤=，当且仅当a b ==时等号成立，即1sin 424ABC S ab C ab ∆==≤+，即当a b ==ABC ∆面积的最大值为4+. 故答案为4+.10．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若22a b -=，sin C B =，则A =____. 【答案】6πsin C B =根据正弦定理：sin sin b cB C=∴可得c =根据余弦定理：2222cos a b c bc A =+-由已知可得：22a b -=故可联立方程：222222cos c a b c bc A a b ⎧=⎪=+-⎨⎪-=⎩解得：cos 2A =. 由0A π<<∴6A π=故答案为：6π. 11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222b a c ac =+-， （△）求角B 的大小；（△）若a ＝c ＝2，求△ABC 的面积； （△）求sinA ＋sinC 的取值范围. 【答案】（1）60°； （2）； （3）⎝. （Ⅰ）由.2222a c b cosB ac+-=，得12cosB =，所以3B π＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）得1602ABCSacsin =︒=（Ⅲ）由题意得23sinA sinC sinA sin A π⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭322sinA cosA =+6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 因为0＜A ＜23π，所以26A π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭.故所求的取值范围是⎝. 12．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cos c A ，cos b B ，cos a C 成等差数列.（1）求B ；（2）若2a c +=，b =ABC ∆的面积.【答案】(1)3B π=；(2)16. 【解析】（1）∵ccosA ，bcosB ，acosC 成等差数列, ∴2bcosB ccosA acosC =+，由正弦定理2a RsinA =，2c RsinC =，2b RsinB =，R 为ABC ∆外接圆的半径， 代入上式得：2sinBcosB sinCcosA sinAcosC =+， 即()2sinBcosB sinA C =+.又A C B π+=-，∴()2sinBcosB sin B π=-，即2sinBcosB sinB =. 而0sinB ≠，∴12cosB =，由0B π<<，得3B π=. （2）∵222122a cb cosB ac +-==，∴()222122a c acb ac+--=，又2a c +=，b = ∴27234ac ac --=，即54ac =，∴115224216ABC S acsinB ∆==⨯⨯=.13．已知a ，b ，c 分别为ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且cos 2sin A c C+=. （1）求角A 的大小；（2）若5b c +=，且ABC ，求a 的值.【答案】(Ⅰ)23π；(Ⅱ （Ⅰ）由正弦定理得，，∵，∴，即．∵∴，∴∴．（Ⅱ）由：可得．∴， ∵，∴由余弦定理得：，∴.1．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B =,且2b ac =，则a cb+的值为( )A．2 BC ．2D ．4【答案】A在ABC ∆中，因为sin cos 0b A B =,且2b ac =，由正弦定理得sin sin cos 0B A A B -=，因为(0,)A π∈，则sin 0A >，所以sin 0B B =，即tan B =，解得3B π=，由余弦定理得222222222cos ()3()3ba c ac B a c ac a c ac a cb =+-=+-=+-=+-，即()224b a c =+，解得2a cb+=，故选A ． 2．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ） A ．4π B ．2πC ．πD ．2π【答案】D由余弦定理得，2222cos b c a bc A +-=，1a = 所以2212cos b c bc A +-=又1sin 2S bc A =，2241S b c =+-， 所以有14sin 2cos 2bc A bc A ⨯=，即sin cos A A =，所以4A π=，由正弦定理得，12sin 4R=π，得2R =所以ABC 外接圆的面积为2π．答案选D ．3．在ABC ∆中，cos 25C =,BC=1,AC=5，则AB= A．BCD．【答案】A 【解析】因为223cos 2cos 12(1,255C C =-=⨯-=-所以22232cos 125215()325c a b ab C c =+-=+-⨯⨯⨯-=∴=，选A.4．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆=2sin 2sin sin a b cA B C++=++（ ） A．3B．3C．3D．【答案】A1sin 424ABC S bc A c ∆====利用余弦定理得到：2222cos 116413a b c bc A a =+-=+-=∴=正弦定理：sin sin sin a b cA B C==故2sin 2sin sin sin a b c a A B C A ++===++ 故选A5．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且2sin cos sin sin a C B a A b B =-+sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为（ ）A．3B．C．D【答案】D由2sin cos sin sin sin 2a C B a Ab B b C =-+，可得22222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即2c =.又c =，所以4b =．因为0OA OB OC ++=，所以点O 为ABC 的重心， 所以3AB AC AO +=，所以3AB AO AC =-，两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO=-∠2||AC +．因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+， 于是29||AO -940AO -=，所以43AO =，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=. 因为ABC 的面积是AOC △面积的3倍.故ABC6．设a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知()()()()sin sin sin b c A C ac A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC ，则()AB DA DB ⋅+等于()A ．2B ．4C ．4-D ．2-【答案】A ∵()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，， ∴由正弦定理可得：()()b a c b c a c +=+-（），整理可得：b 2+c 2﹣a 2=-bc ，∴由余弦定理可得：cosA=12-，∴由A ∈（0，π），可得：A=23π，又ABC ，即1223bcsin π=∴bc=4, 又()()()••AB DA DB DB DA DA DB +=-+=2DB -2DA =24CB -()24AB AC +=()24AB AC --()24AB AC+=4?4AB AC-=•AB AC -=-bccosA=2. 故选A.7．在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.【答案】1⎛ ⎝⎭【解析】 ∵22b a ac -=，∴22222cos b a ac a c ac B =+=+-， ∴2cos c a B a =+，由正弦定理得sin 2sin cos sin C A B A =+， 又sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴sin cos sin sin cos sin()A A B A B B A =-=-， ∵ABC ∆是锐角三角形， ∴A B A =-，∴2,3B A C A π==-，∴02022032A A A ππππ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<-<⎪⎩，解得64A ππ<<，∴232A ππ<<，即32B ππ<<．∵11cos cos sin cos cos sin sin()tan tan sin sin sin sin sin sin A B B A B A B A A B A B A B A B ---=-== sin 1sin sin sin A A B B ==．又sin 12B <<，∴1sin B <<11tan tan A B -的取值范围为．答案：(1,38．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC的面积为)2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]【解析】因为ABC的面积为)2224a b c +-，所以)2221sin 42a b c ab C +-=222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab+-=，sin C C =，即tan C =3C π=.由正弦定理可得sin sin sin a b c A B C ===，所以2(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+.故ABC的周长的取值范围是4,12].9．如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin a C c A b B +=，且.6CAB π∠=若点D 是ABC 外一点，2DC =，3DA =，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D =____．【答案】7【解析】cosC cos sin a c A b B +=，由正弦定理得到2sin()sin sin 1.2A CB B B π+=⇒=∴=在三角形ACD 中由余弦定理得到21312cos AC D =-，三角形ABC的面积为21248AC AC AC D ⨯==()+3sin D D D φ=-+当三角形面积最大时，sin()1,sin cos D D φφ-====故答案为710．在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD = 且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和CDB ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4ca b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭， 整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =把①代入②整理得2242aba b ++=， 又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立， 所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABC ab C S ∆=≤⨯⨯=．即ABC ∆5．11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（1）求角B 的大小； （2）设a =2，c =3，求b 和()sin2A B -的值.【答案】(Ⅰ)3π；(Ⅱ)b =14【解析】（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理a bsinA sinB=，可得bsinA asinB =， 又由π6bsinA acos B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，得π6asinB acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即π6sinB cos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得tanB = 又因为()0πB ∈，，可得B =π3． （Ⅱ）在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =π3，有22227b a c accosB =+-=，故b ．由π6bsinA acos B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得sinA =．因为a <c ，故cosA =．因此227sin A sinAcosA ==，212217cos A cos A =-=．所以，()222sinA B sin AcosB cos AsinB -=-=1127-= 12．在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠； （2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5. （1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠，所以sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1）知，cos sin5BDC ADB∠=∠=.在BCD∆中，由余弦定理得2222cos25825255BC BD DC BD DC BDC=+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC=.13．在ABC∆中，设角,,A B C的对边分别为,,a b c，已知222cos sin cos sin sinA B C A B=++.（1）求角C的大小；（2）若c=ABC∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin1sin sin sinA B C A B-=+-+，即222sin sin sin sin sinA B C A B+-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos222a b c abCab ab+--===-，又20,3C Cππ<<∴=.（2）2,2sin,2sin2sin sin sin sin3a b ca Ab BA B Cπ====∴==，则ABC∆的周长()2sin sin2sin sin2sin33L a b c A B A A Aππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++=+-+=++⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin133333A A Aπππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤⎪⎝⎭，2sin23Aπ⎛⎫∴<++≤+⎪⎝⎭ABC∴∆周长的取值范围是(2+.。
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第六章知识总结及测试
一、单选题（每题只有一个选项有正确答案，每题5分，8题共 40分） 1．设复数z 满足（1+i ）z=2i ，则|z|=（ ） A ． B ． C ． D ．2
2．复数 2
1−i
(i 为虚数单位)的共轭复数是( )
A. 1+i
B. 1−i
C. −1+i D . −1−i
3．[2022·湖北武昌模拟]已知向量a ＝(1,3)，则下列向量中与a 垂直的是( ) A ．(0,0) B ．(－3，－1) C ．(3,1) D ．(－3,1)
4．（2020·全国高一课时练习）海伦公式是利用三角形的三条边的边长,,a b c 直接求三角形面积S 的公式，
表达式为：2
a b c
S p ++=
=
；它的特点是形式漂亮，便于记忆.中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全
等价，因此海伦公式又译作海伦－秦九韶公式.现在有周长为10+ABC 满足
sin :sin :sin 2:A B C =，则用以上给出的公式求得ABC 的面积为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．12
5．（2020·全国高一课时练习）如果向量(0,1)=a ，(2,1)b =-，那么|2|a b += ( ) A ．6
B ．5
C ．4
D ．3
6．（2020·全国高一课时练习）设a ，b 是两个不共线的平面向量，已知2m a b =-，3()n a kb k R =+∈，若//m n ，则k =（ ） A ．2
B ．-2
C ．6
D ．-6
7．（2020·四川省叙永县第一中学校高一期中）在ABC 中，下列各式正确的是（ ） A ．
sin sin a B
b A
= B ．sin sin a C c B = C ．2
2
2
2cos()c a b ab A B =+-+
D ．sin()sin a A B c A +=
8．（2019·陕西省黄陵县中学高一期末）已知C 为ABC ∆的一个内角，向量
()()2cos 1,2,cos ,cos 1m C n C C =--=+.若m n ⊥，则角C =()
A ．
6
π
B ．
3
π C ．
23
π D ．
56
π 二、多选题（每题不止一个选项为正确答案，每题5分共4题20分）
9．（2020·江苏镇江市·高一期末）在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知
cos cos 2B b
C a c
=-
，ABC S =
△
b = ） A ．1cos 2
B =
B
．cos 2
B =
C
．a c +=D
．a c +=10．（2023秋·重庆）已知复数12,z z 是关于x 的方程210(22,)x bx b b ++=-<<∈R 的两根，则下列说法中正确的是（ ） A ．12z z = B ．
1
2
z z ∈R C ．121z z == D ．若1b =，则33
12
1z z == 11.
已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC →＝a ，CA →＝b ，AB →
＝c ，则下列命题中正确命题为( )
A.EF →＝12c －1
2b
B.BE →
＝a ＋12
b
C.CF →＝12b －12a
D.AD →＋BE →＋CF →＝0
12．（2020·全国高一）对于三角形ABC ，有如下判断，其中正确的判断是（ ） A ．若sin 2A ＋sin 2B ＜sin 2C ，则三角形ABC 是钝角三角形 B ．若A ＞B ，则sin A ＞sin B
C ．若a ＝8，c ＝10，B ＝60°，则符合条件的三角形ABC 有两个
D ．若三角形ABC 为斜三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 三、填空题（每题5分，4题共20分）
13．（2020·浙江杭州市·高一期末）在ABC 中，4,5,6AB BC AC ===，点M 为ABC 三边上的动
点，PQ 是ABC 外接圆的直径，则MP MQ ⋅的取值范围是_______________________
14．（2020·安徽安庆市·桐城市第八中学高一期中）已知向量()()()1
2311a b c λ===，，，，，.若2-a b 与c 共线，则a 在c 方向上的投影为 ________.
15．（2020·北京朝阳区·人大附中朝阳学校高一期末）已知平面向量a ，b 的夹角为120︒，且1a b ⋅=-，则a b -的最小值为________.
16．16．已知点P 为△ABC 内一点，2P A →＋3PB →＋5PC →
＝0，若F 为AC 中点，G 为BC 中点，||
PF →
||
PG
→＝
________.△APB ，△APC ，△BPC 的面积之比为________．
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17．（2020·深圳市）已知向量a =（cos x x ），b =（cos x ，sin x ）． （1）若a ∥b ，02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，，求x 的值；
（2）若f （x ）a =•b ，02x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，，求f （x ）的最大值及相应x 的值．
18．（2020·全国高一课时练习）ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知
sin sin (sin sin )b
A C
B
C a c
-=
-+.
（1）求角A ；
（2）从三个条件：①3a =；②3b =；③ABC 的面积为ABC 周
长的取值范围.
19．(12分)已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a|＝1. (1)若|b|＝2，求|a ＋b|；
(2)若(a ＋b)⊥(a －b)，λ∈R ，求|a ＋λb|的最小值．
20．（2020·全国高一课时练习）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设平面向量
()()sin cos ,sin ,cos sin ,sin p A B A q B A B =+=-，且2cos p q C ⋅=
（Ⅰ）求C ；
（Ⅱ）若c a b =+=ABC ∆中边上的高h .
21．（2020·全国高一课时练习）如图，在ABC ∆中，2AB =，3AC =，60BAC ∠=，2DB AD =，
2CE EB =.
（1）求CD 的长； （2）求AB DE ⋅的值．
22．（2020·全国高一单元测试）已知12,e e 是平面内两个不共线的非零向量，
12122,,AB e e BE e e EC λ=+=-+=122e e -+，且A ，E ，C 三点共线．
（1）求实数λ的值；
（2）若()()122,1,2,2e e ==-，求BC 的坐标；
（3）已知()3,5D ，在（2）的条件下，若,,,A B C D 四点按逆时针顺序构成平行四边形，求点A 的坐标．。