数学23等差数列的前n项和
2023年 等差数列的前n项和说课稿
2023年等差数列的前n项和说课稿2023年等差数列的前n项和说课稿1尊敬的各位专家、评委：上午好！今天我说课的课题是人教A版必修5第二章第三节《等差数列的前n项和》。
我尝试利用新课标的理念来指导教学，对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、目标分析、教法学法分析、教学过程分析和评价分析五个方面来谈谈我对教材的理解和教学的设计，敬请各位专家、评委批评指正。
一、教材分析地位和作用数列是刻画离散现象的函数，是一种重要的属性模型。
人们往往通过离散现象认识连续现象，因此就有必要研究数列。
高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。
本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。
在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1。
从特殊到一般的研究方法；2。
倒叙相加求和。
不仅得出来等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。
等差数列的前n项和是学习极限、微积分的基础，与数学课程的其他内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。
二、目标分析（一）、教学目标1、知识与技能掌握等差数列的前n项和公式，能较熟练应用等差数列的前n项和公式求和。
2、过程与方法经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。
3、情感、态度与价值观获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
（二）、教学重点、难点1、重点：等差数列的前n项和公式。
2、难点：获得等差数列的前n项和公式推导的思路。
三、教法学法分析（一）、教法教学过程分为问题呈现阶段、探索与发现阶段、应用知识阶段。
探索与发现公式推导的思路是教学的重点。
如果直接介绍“倒叙相加”求和，无疑就像波利亚所说的“帽子里跳出来的兔子”。
所以在教学中采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得公式的推导方法。
应用公式也是教学的重点。
等差数列公式
分享到等差数列求助编辑百科名片等差数列，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。
等差数列的通项公式为：an=a1+(n-1)d (1)前n项和公式为：Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2 注意：以上n 均属于正整数。
目录多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质多项式数列等差数列的基本公式通项公式（第n项）前n项和公式推论等差中项等差数列小故事等差数列的基本性质r次等差数列一次数列的性质等差数列的判定一道例题等差数列前n项和公式S 的基本性质等差数列的特殊性质展开编辑本段多项式数列等差数列是多项式数列的一种简称：A.P (arithmetic progression)多项式数列:p(n)=b(0)+b(1)*n+...+b(k)*n^k多项式数列的和可以用一个矩阵来转换。
令这个转换矩阵为A，做向量b=[b0,b1,...,bk]令向量c=A*b'，c就是和公式的向量。
和项S(n)=c(1)*n+..+c(k)*n^k+c(k+1)*n^(k+1)。
3阶多项式数列的A=A有专门的算法，可以用于matlab中。
function p=leeqi(r)format ratp=zeros(r,r);for k=1:r,w=2:k; p(1,k)=1-sum(p(w,k));for n=2:r-k+1,p(n,n+k-1)=(n+k-2)/n*p(n-1,n+k-2);end等差数列是多项式数列的一次形式b(0)+b(1)*n，在这里把多项式数列的一次形式简称为（一次数列）。
一次数列的通项公式为：p(n)=b(0)+b(1)*n；前n项和的公式为：S(n)=[n,n^2]*[1,1/2;0,1/2]*[b(0);b(1)].编辑本段等差数列的基本公式通项公式（第n项）a(n)=a(1)+(n-1)×d ，注意：n是正整数即第n项=首项+第n-1项×公差前n项和公式S(n)=n*a(1)+n*(n-1)*d/2或S(n)=n*(a(1)+a(n))/2注意：n是正整数（相当于n个等差中项之和）等差数列前N项求和，实际就是梯形公式的妙用：上底为：a1首项，下底为a1+(n-1)d,高为n.即[a1+a1+(n-1)d]* n/2=a1 n+ n (n-1)d /2.推论一.从通项公式可以看出，a(n)是n的一次函数(d≠0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由前n项和公式知，S(n)是n的二次函数(d≠0)或一次函数(d=0，a1≠0)，且常数项为0。
等差数列前n项和的性质及应用
密码学：等差数列 前n项和公式可用于 设计密码算法和加 密方案
计算机图形学：等差数 列前n项和公式可用于 生成等差数列曲线，用 于计算机图形学中的渲 染和动画制作
定义：等差数 列中，任意两 项的差为常数
公式： Sn=n/2*(a1+a
n)
推导：利用等 差数列的定义， 将前n项和展开，
得到 Sn=na1+n(n-
算法优化：通过减少重复计算和利用已知值来加速计算过程，从而提高了算法的效率。
应用场景：等差数列前n项和的优化算法在数学、物理、工程等领域有广泛的应用， 尤其在处理大规模数据时具有显著优势。
计算等差数列前n项和的最小 值
求解等差数列中项的近似值
判断等差数列是否存在特定性 质
优化等差数列前n项和的计算 过程
,a click to unlimited possibilities
汇报人：
01
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06
等差数列前n项和 是数列中前n个数 的和，记作Sn。
等差数列前n项和的 公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，其中a1为 首项，an为第n项。
等差数列前n项和 的性质包括对称性、 奇偶性、线性关系 等。
等差数列前n项和的定义：一个数列， 从第二项起，每一项与它的前一项的 差都等于同一个常数，这个数列就叫 做等差数列。
等差数列前n项和的性质1：若 m+n=p+q，则S_m+S_n=S_p+S_q。
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等差数列前n项和的公式： S_n=n/2*(2a_1+(n-1)d)，其中a_1 是首项，d是公差。
等差数列的前n项和
an Sn Sn1 来求出数列an 的通项公式。
因为：
Sn a1 a2 an1 an Sn1 a1 a2 an1
更深层次的理解：课本45页上面的探究。
学习新知： 1、引入： 6 1+2+3=_____________ 10 1+2+3+4=___________
例2、已知一个等差数列an 的前10项和是310，前20项和是1220。 由这些条件能确定这个等差数列的前n项和公式吗？
1 例3、已知数列an 的前n项和为 S n n n，求这个数列的通项 2 公式。这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是什 么？
2
收获：已知数列 an 的前n项和公式 S n 我们可以通过
1+2+3+4+5+6+…+n=? S = 1 + 2+ … + n-1 + n 令 + S = n + n-1+… + 2 + 1 则
倒序相加法
2S =(n+1) +(n+1) +…+ (n+1) + (n+1)=(n+1)×n
n( n 1) 则 S 2 2、推导等差数列前n项和公式：
Sn a1 a2 a3 an2 an1 an
2.3 等差数列前n 项和
北重三中 钟燕燕
复习旧知： 1、等差数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项 的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。
4.2.2等差数列的前n项和公式
= 1 +
.
2
作用：已知 a1，d和 n，求 Sn.
典型例题
例1已知数列{an}是等差数列.
（1）若a1=7，a50=101，求 S50；
5
（2）若a1=2，a2= ，求S10；
2
1
1
（3）若a1= ，d= − ，Sn=−5，求n.
2
6
解：（1）∵a1=7，a50=101，
当n＝6时，an＝0；
所以 an＋1＜an .所以{an}是递减数列.
当n＞6时，an＜0.
由 a1＝10，dБайду номын сангаас＝－2，
得 an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12.
所以 , S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…
令 an＞0，解得 n ＜6.
所以，当n＝5或6时，Sn最大.
因为5 = 5 × 10
2
= + (1 − ).
2
2
Sn＝Sn－1＋an（n≥2）
函数思想
课后作业
1.某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，
所以2 = (1 + ) + (1 + ) + ⋯ + (1 + )
= (1 + ).
(1 + )
=
.
2
等差数列的前n项和公式
等差数列{an}的前n项和Sn公式：
(1 + )
=
.
2
作用：已知 a1，an 和 n，求 Sn.
an＝a1＋(n－1)d，(n∈N*)
，有
2
101 + 45 = 310，
2.3等差数列的前n项和(一)
§2.3 等差数列的前n 项和(一)学习目标 1.掌握等差数列前n 项和公式及其获取思路(重点)；2.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思；3.熟练掌握等差数列的五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 的关系，能够由其中三个求另外两个(重、难点).预习教材P42－43完成下列问题： 知识点一 数列a n 与前n 项和S n 的关系 1.数列的前n 项和的概念一般地，我们称a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用S n 表示，即S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .2.数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系当n ≥2时，有S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1，所以S n －S n －1＝a n ； 当n ＝1时，a 1＝S 1.综上可得a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.【预习评价】1.利用数列的前n 项和S n 求数列的通项公式时，能不能直接运用S n －S n －1＝a n 求解？提示 不能.因为当n ＝1时，S 1－S 0没有意义. 2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，怎样求a 1，a n? 提示 a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又n ＝1时也适合上式，所以a n ＝2n －1，n ∈N *.知识点二 等差数列的前n 项和公式 1.等差数列的前n 项和公式2.两个公式的关系：把a n ＝a 1＋(n －1)d 代入S n ＝1n 2中，就可以得到S n＝na 1＋n （n －1）2d .【预习评价】1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差数列前100项的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n ，不知道共有奇数项还是偶数项怎么办？提示 不知共有奇数项还是偶数项导致不能配对.但我们可以采用倒序相加来回避这个问题：设S n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ， 又S n ＝n ＋(n －1)＋(n －2)＋…＋2＋1，∴2S n ＝(1＋n )＋[2＋(n －1)]＋…＋[(n －1)＋2]＋(n ＋1)， ∴2S n ＝n (n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.2.能否用“倒序相加法”求首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和S n 呢？提示 由上节课学到的性质：在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和.即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝….“倒序相加法”可以推广到一般等差数列求前n 项和，其方法如下： S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＋a n＝a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋…＋[a 1＋(n －2)d ]＋[a 1＋(n －1)d ]；S n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1＝a n ＋(a n －d )＋(a n －2d )＋…＋[a n －(n －2)d ]＋[a n －(n －1)d ]. 两式相加，得2S n ＝(a 1＋a n )×n ，由此可得等差数列{a n }的前n 项和公式：S n ＝n （a 1＋a n ）2.根据等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ， 代入上式可得S n ＝na 1＋n （n －1）2d .知识点三 等差数列前n 项和的性质 1.若数列{a n }是公差为d的等差数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也是等差数列，且公差为d2.2.若S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列，公差为m 2d .3.设两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，则a n b n ＝S 2n －1T 2n －1.4.若等差数列的项数为2n ，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)， S 偶－S 奇＝nd ，S 偶S 奇＝a n ＋1a n. 5.若等差数列的项数为2n ＋1，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1， S 偶－S 奇＝－a n ＋1，S 偶S 奇＝nn ＋1.【预习评价】1.数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( ) A .－2 B.－1 C .0D.1解析 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1. 答案 B2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5＝( )A .1 B.－1 C.2D.12解析 由于S 2n －1＝(2n －1)a n ，则， S 9S 5＝9a 55a 3＝95×59＝1. 答案 A题型一 数列的前n 项和S n 与通项a n 之间的关系【例1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝na 1＋12n (n －1)d (d 为常数).求证：数列{a n }是等差数列.证明 根据S n ＝na 1＋12n (n －1)d ， a n ＋1＝S n ＋1－S n＝(n ＋1)a 1＋12(n ＋1)[(n ＋1)－1]·d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤na 1＋12n （n －1）d＝a 1＋nd .① 当n ＞1时， a n ＝S n －S n －1＝na 1＋12n (n －1)d －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）a 1＋12（n －1）（n －2）d＝a 1＋(n －1)d ，当n ＝1时，a 1＝S 1，适合此式. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d (n ∈N *).∴a n ＋1－a n ＝(a 1＋nd )－[a 1＋(n －1)d ]＝d (常数)，对任意n ∈N *成立. ∴数列{a n }是等差数列.规律方法 已知前n 项和S n 求通项a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1求得a 1，再由n ≥2时，a n ＝S n －S n －1求a n ，最后验证a 1是否符合a n ，若符合则统一用一个解析式表示.【训练1】 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋12n ，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解 根据S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n 可知S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1(n ＞1)， 当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋12n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n －1）2＋12（n －1）＝2n －12，① 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12＋12×1＝32，也满足①式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12.由此可见：数列{a n }是以32为首项，2为公差的等差数列.题型二 等差数列前n 项和的有关运算 【例2】 在等差数列{a n }中， (1)a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .解 (1)由题意得，S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8（a 1＋a 8）2＝8（4＋a 8）2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.规律方法 等差数列中基本计算的两个技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差数列的性质解题.【训练2】 在等差数列{a n }中， (1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10； (2)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解(1)⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得a 1＝－5，d ＝3. ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(2)S 17＝17×（a 1＋a 17）2＝17×（a 3＋a 15）2＝17×402＝340.【例3】 (1)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A.13 B.35 C.49D.63(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( )A.7B.23 C.7013 D.214(3)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则数列{S nn }的前10项的和为________.解析 (1)S 7＝72(a 1＋a 7)＝72(a 2＋a 6)＝72(3＋11)＝49. (2)a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝S 9T 9＝7×99＋3＝214.(3)∵S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2).∴S nn ＝n ＋2，∴数列{S nn }是以首项为3，公差为1的等差数列，∴{S nn }的前10项和为10×3＋10×92×1＝75. 答案 (1)C (2)D (3)75【迁移1】 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n (n >1)项和分别是S n 和T n ，且S n ∶T n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，求a 9b 9的值.解 法一 a 9b 9＝2a 92b 9＝a 1＋a 17b 1＋b 17＝a 1＋a 172×17b 1＋b 172×17＝S 17T 17＝2×17＋13×17－2＝3549＝57. 法二 ∵数列{a n }，{b n }均为等差数列， ∴S n ＝A 1n 2＋B 1n ，T n ＝A 2n 2＋B 2n . 又S n T n ＝2n ＋13n －2，∴令S n ＝tn (2n ＋1)，T n ＝tn (3n －2)，t ≠0，且t ∈R . ∴a n ＝S n －S n －1＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －2＋1) ＝tn (2n ＋1)－t (n －1)(2n －1)＝t (4n －1)(n ≥2)， b n ＝T n －T n －1＝tn (3n －2)－t (n －1)(3n －5) ＝t (6n －5)(n ≥2).∴a n b n ＝t （4n －1）t （6n －5）＝4n －16n －5， ∴a 9b 9＝4×9－16×9－5＝3549＝57. 【迁移2】 已知两个等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别是S n 和T n ，且a n ∶b n ＝(2n ＋1)∶(3n －2)，则S 9T 9＝________.解析 ∵{a n }，{b n }均为等差数列， 则S 9T 9＝9a 59b 5＝2×5＋13×5－2＝1113.答案1113规律方法 等差数列前n 项和运算的几种思维方法(1)整体思路：利用公式S n ＝n （a 1＋a n ）2，设法求出整体a 1＋a n ，再代入求解.(2)待定系数法：利用S n 是关于n 的二次函数，设S n ＝An 2＋Bn (A ≠0)，列出方程组求出A ，B 即可，或利用S n n 是关于n 的一次函数，设S nn ＝an ＋b (a ≠0)进行计算. (3)利用S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列进行求解.课堂达标1.在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A.12 B.24 C.36D.48解析 S 10＝10（a 1＋a 10）2＝5(a 1＋a 10)＝120，∴a 1＋a 10＝24. 答案 B2.记等差数列前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( ) A.2 B.3 C.6D.7解析 法一 由⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2a 1＋d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝20，解得d ＝3.法二 由S 4－S 2＝a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 2＋2d ＝S 2＋4d ，所以20－4＝4＋4d ，解得d ＝3. 答案 B3.等差数列{a n }的前四项之和为124，后四项之和为156，各项和为210，则此数列的项数为( ) A.5 B.6 C.7D.8解析 由题意知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝124， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝156， ∴4(a 1＋a n )＝280， ∴a 1＋a n ＝70.又S ＝n （a 1＋a n ）2＝n2×70＝210，∴n ＝6.答案 B4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2n －48，则S n 取得最小值时，n 为________. 解析 ∵a 24＝0，∴a 1<0，a 2<0，…，a 23<0，故S 23＝S 24最小. 答案 23或245.已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n ； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d . 解 (1)∵S n ＝n ×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×n （n －1）2＝－15，整理得n 2－7n －60＝0， 解之得n ＝12或n ＝－5(舍去).(2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，解之得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ， 解之得d ＝－171.课堂小结1.求等差数列前n 项和公式的方法称为倒序相加法，在某些数列求和中也可能用到.2.等差数列的两个求和公式中，一共涉及a 1，a n ，S n ，n ，d 五个量，若已知其中三个量，通过方程思想可求另外两个量，在利用求和公式时，要注意整体思想的应用，注意下面结论的运用：若m ＋n ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q (n ，m ，p ，q ∈N *)，若m ＋n ＝2p ，则a n ＋a m ＝2a p .3.本节基本思想：方程思想、函数思想、整体思想、分类讨论思想.基础过关1.已知等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8，则该数列的前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36D.45解析 S 9＝92(a 1＋a 9)＝92(a 2＋a 8)＝36. 答案 C2.等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d 等于( )A.12B.2C.14D.4解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ， ∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.答案 A3.已知等差数列{a n }中，a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9，且a n ＜0，则S 10为( )A.－9B.－11C.－13D.－15解析 由a 23＋a 28＋2a 3a 8＝9得(a 3＋a 8)2＝9，∵a n ＜0，∴a 3＋a 8＝－3，∴S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 3＋a 8）2＝10×（－3）2＝－15. 答案 D4.在一个等差数列中，已知a 10＝10，则S 19＝________.解析 S 19＝19（a 1＋a 19）2＝19（a 10＋a 10）2＝19a 10＝19×10＝190. 答案 1905.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由6S 5－5S 3＝5，得3(a 1＋3d )＝1，所以a 4＝13. 答案 136.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，求a 9. 解 设等差数列的公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22d ＝3a 1＋3d ＝3，即a 1＋d ＝1，S 6＝6a 1＋6×52d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，2a 1＋5d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝2.故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.7.已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 10＝100，S 100＝10，求S 110. 解 法一 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，∵S 10＝100，S 100＝10，∴⎩⎨⎧10a 1＋10（10－1）2d ＝100，100a 1＋100（100－1）2d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 099100，d ＝－1150. ∴S 110＝110a 1＋110（110－1）2d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150＝－110. 法二 ∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100，…成等差数列，设公差为d ，∴该数列的前10项和为10×100＋10×92d ＝S 100＝10，解得d ＝－22，∴前11项和S 110＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.能力提升8.在等差数列{a n }中，前四项之和为20，最后四项之和为60，前n 项之和是100，则项数n 为( )A.9B.10C.11D.12解析 由题意及等差数列的性质可得4(a 1＋a n )＝20＋60＝80，∴a 1＋a n ＝20.∵前n 项之和是100＝n （a 1＋a n ）2，解得n ＝10，故选B. 答案 B9.等差数列{a n }中，已知前15项的和S 15＝90，则a 8等于( )A.452B.12C.6D.454解析 在等差数列{a n }中， ∵S 15＝90，由S 15＝15a 8＝90，得a 8＝6.故选C.答案 C10.已知{a n }为等差数列，a 2＋a 8＝43，则S 9等于________.解析 由等差数列的求和公式可得：S 9＝9（a 1＋a 9）2＝9（a 2＋a 8）2＝9×432＝6. 答案 611.含2n ＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为________.解析 S 奇＝（n ＋1）（a 1＋a 2n ＋1）2，S 偶＝n （a 2＋a 2n ）2. ∵a 1＋a 2n ＋1＝a 2＋a 2n ，∴S 奇S 偶＝n ＋1n . 答案 n ＋1n12.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝32n －n 2＋1，(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前多少项和最大.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝32－1＋1＝32；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(32n －n 2＋1)－[32(n －1)－(n －1)2＋1]＝33－2n ；所以：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32，n ＝1，33－2n ，n ≥2；(2)S n ＝32n －n 2＋1＝－(n 2－32n )＋1＝－(n －16)2＋162＋1；所以，前16项的和最大.13.(选做题)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n ＋5(n ∈N *)，数列{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{a n }的前n 项和；(2)求数列{b n }的通项公式. 解 (1)∵a n ＝6n ＋5(n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝[6(n ＋1)＋5]－(6n ＋5)＝6(n ∈N *). ∴数列{a n }是以公差为6的等差数列. 又∵a 1＝11，∴数列{a n }的前n 项和：S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n [11＋（6n ＋5）]2＝3n 2＋8n . (2)∵a n ＝b n ＋b n ＋1， ∴a 1＝b 1＋b 2，a 2＝b 2＋b 3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋b 2＝11，b 2＋b 3＝17. 设数列{b n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2b 1＋d ＝11，2b 1＋3d ＝17，∴⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4，d ＝3. ∴数列{b n }的通项公式：b n ＝3n ＋1.。
第二节 等差数列及其前n项和
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第二节
等差数列及其前n项和
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[解] (1)证明：当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－2SnSn－1，① ∴Sn(1＋2Sn－1)＝Sn－1. 由上式知若 Sn－1≠0，则 Sn≠0. ∵S1＝a1≠0， 由递推关系知 Sn≠0(n∈N*)， 1 1 由①式得S － ＝2(n≥2)． Sn－1 n
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第二节
等差数列及其前n项和
结束
解析：根据已知条件，得到 am 和 am＋1，再根据等差数列的定义 得到公差 d，最后建立关于 a1 和 m 的方程组求解．由 Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，得 am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1 －Sm＝3，所以等差数列的公差为 d＝am＋1－am＝3－2＝1， am＝a1＋m－1d＝2， 由 1 S ＝a1m＋2mm－1d＝0， m a1＋m－1＝2， a1＝－2， 得 解得 1 a1m＋2mm－1＝0， m＝5. 答案：C
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[类题通法]
1．判断等差数列的解答题，常用定义法和等差中项法，而 通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的 简单判断． 2．用定义证明等差数列时，常采用两个式子 an＋1－an＝d 和 an－an－1＝d，但它们的意义不同，后者必须加上“n≥2”， 否则 n＝1 时，a0 无定义．
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第二节
等差数列及其前n项和
结束
1．要注意概念中的“从第 2 项起”．如果一个数列不是从 第 2 项起， 而是从第 3 项或第 4 项起， 每一项与它前一项的差是 同一个常数，那么此数列不是等差数列．
2．注意区分等差数列定义中同一个常数与常数的区别．
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种形式及应用
各有千秋,难分伯仲——等差数列前n项和公式的五种
形式及应用
一、定义：
等差数列（Arithmetic Sequence）是指一组数满足相邻两项之差均为常数的数列。
它是有序数列中最为常见的类型，而且它在数学中有着重要的应用。
二、公式：
等差数列的前n项和公式有五种形式，即：
1. 极差法：Sn = n*a + [(n-1)*d]/2；
2. 等比数列的和公式：Sn = a*(1-rn) / (1-r)；
3. 通项法：Sn = n/2(a+l)；
4. 等差前n项和公式：Sn = n/2(2a+(n-1)d)；
5. 首项和末项乘积法：Sn = n/2(a×l)。
三、应用：
1. 等差数列可以用于说明几何形体的对称性，如三角形、正方形和正多边形。
2. 等差数列可以用于推断和解决实际问题，如求解时间与距离的关系等。
3. 等差数列可以用于衡量某一事物的递增规律或趋势，如检测股价的波动趋势、记账的收入支出趋势等。
4. 等差数列可以用于估算一组数据的平均值，如计算某一时间段内股票的平均价格、计算某一地区的平均气温等。
5. 等差数列可以用于表达函数的性质，如线性函数y=ax+b、抛物线函数y=ax2+bx+c等。