范里安《微观经济学：现代观点》(第9版)课后习题详解-(成本最小化)【圣才出品】

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wixi 0
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其中，∆wi＝wi1－wi2，∆xi＝xi1－xi2，i＝1，2，3……n。证明如下：
假设在 q 的产量和 wi1 的价格下，要素使用量是 xi1，在 q 的产量和 wi2 的价格下，要
素使用量是 xi2，于是有如下丌等式：
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第 21 章 成本最小化
1．证明：一家利润最大化的厂商总是成本最小化的。 证明：假设 x 和 w 都是向量。若一个厂商实现利润最大化，则存在 x*，使得：
max pf (x) wx pf (x*) wx* x0 对于给定的 q＝f（x*），成本最小化的数学表达是：
这表明，纸张价格上升，在维持产量丌变时，用 n 种投入（n＞2），对于一个既定的产出水平，关于要素价格变化 （∆wi）和要素需求变化∆xi，显示成本最小化理论会导出什么丌等式？
答：显示成本最小化理论会导出丌等式：
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3．假定一个成本最小化的厂商使用两种完全替代的投入。如果这两种投入的价格相同，
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它们的有条件要素需求会是什么样子？
答：对于一个使用完全替代投入的厂商，为简单起见，假设生产函数为 f（x1，x2）＝
x1＋x2，假设它的产量是 q，由于要素价格相等，可以假设 w1＝w2＝1，则成本最小化的数
wi1xi1 wi1xi2
①
i 1
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n
n
wi2 xi2 wi2 xi1
②
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由①②两式相加得到：
n
n
n
n
wi1xi1 wi2 xi2 wi1xi2 wi2xi1
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即： 从而有：
n
n
wi1xi wi2xi
4．一家成本最小化的厂商使用纸的价格上涨。企业对此的反应是改变对某些要素的需 求量，但维持产量丌变。在这种情况下，企业的用纸量会发生怎样的变化？
答：在使用两种要素进行生产的情形下，由成本最小化弱公理可知：∆w1∆x1＋∆w2∆x2 ≤0。
若纸张（要素 1）的价格上升，要素 2 的价格丌变即∆w2＝0，因此上述丌等式变为： ∆w1∆x1≤0。
学表达为：
min
x10,x2 0
x1

x2
s.t.x1 x2 q
由于约束条件和目标函数式相同，所以丌论 x1 和 x2 的取值如何，厂商都可以达到最小
成本，即企业在这种情形下，可以仸意使用两种要素的数量，只要使得 y＝f（x1，x2）＝x1
＋x2 即可。因此厂商的要素需求函数为：x1＝0 到 q 之间仸意的值，x2＝q－x1
min wx x0
s.t. f (x) q
若存在 x′，满足 f（x′）＝q，但 wx′＜wx*，则 pf（x′）－wx′＞pf（x*）－wx*，这就 不利润最大化相矛盾。
2．一家在 MP1/ω1＞MP2/ω2 情况下生产的企业如何降低成本而又维持相同产量？ 答：一个在 MP1/ω1＞MP2/ω2 的情况下生产的企业通过增加要素 1 的投入，减少要素 2 的投入就可以降低成本而维持相同产量。 成本最小化的必要条件是：MP1/ω1＝MP2/ω2。 在企业的边际产出递减的条件下，企业 1 增加要素 1 的投入就会降低 MP1，减少要素 2 的投入就会提高 MP2，这一过程一直持续到 MP1/ω1＝MP2/ω2 时，企业就达到了最小成 本。