工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第3章(倪光正主编教材)

第三章 静态电磁场II ：恒定电流的电场和磁场

3．1 恒定电场的基本方程与场的特性

1．恒定电场

由麦克斯韦组的磁场旋度方程，对于导电媒质中的传导电流密度J c ，有

c J H =⨯∇

上式两边取散度，得

c =•∇J

又由麦克斯韦组的另一旋度方程

=⨯∇E

而导电媒质的构成方程为

E J γ=c

由此可见，导电媒质中(电源区域外)恒定电场具有无散无旋场。

仿照静电场的处理，引入标量电位函数ϕ(r )作为辅助场量，即令E = -∇ϕ ，可得电位ϕ满足拉普拉斯方程，即

∇2

ϕ = 0

例1：设一扇形导电片，如图所示，给定两端面电位差为U 0。试求导电片内电流场分布及其两端面间的电阻。

[解]：采用圆柱坐标系，设待求场量为电位ϕ，其边值问题为：

()()⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧==∈=∂∂⋅=∇==0022220,01,,U D

z θφφϕϕφρφϕ

ρφρϕ

积分，得

ϕ =C 1φ + C 2

由边界条件，得

θ

1U C =

， 02=C

图 扇形导电片中的恒定电流场

故导电片内的电位 φθ

ϕ⎪⎭

⎫ ⎝

⎛=0U

电流密度分布为

φφρθ

γθφφργϕγγe e E J 00U U -=⎪⎭⎫

⎝⎛∂∂⋅-

=∇-== 对于图示厚度为t 的导电片两端面的电阻为

()⎪⎭⎫ ⎝⎛=

-⋅-=•==

⎰

⎰a b t td U U d U I U R b

a

S

0ln γθ

ρρθγφφe e S

J

2．电功率

在恒定电流场中，沿电流方向截取一段元电流管，如图所示。该元电流管中的电流密度J 可认为是均匀的，其两端面分别为两个等位面。在电场力作用下，dt 时间内有dq 电荷自元电流管的左端面移至右端面，则电场力作功为

dW = dU ⨯ dq

于是外电源提供的电功率为

()()EJdV d d dI dU dt

dq

dU dt dW dP =•⨯•=⨯=⨯==

S J l E 故电功率体密度

γ

γ22

d d J E EJ V P p =

=== 或写成一般形式

p = E •J

3．不同媒质分界面上的边界条件 两种不同导电媒质分界面上的边界条件：

类同于静电场的讨论，在两种不同导电媒质分界面上场量的边界条件为

J 1n = J 2n 或 e n ⋅(J 2-J 1)=0 E 1t = E 2t 或 e n ⨯(E 2-E 1)=0

对于线性且各向同性的两种导电媒质，有如下类比于静电场的折射定律

2

1

21tg tg γγαα= 图 电功率的推导

良导体与不良导体分界面上的边界条件：

当电流从良导体流向不良导体时，如图所示，设γ1 >>γ2，由折射定律可知，只要α1 ≠ 90︒，就有α2 ≈ 0。这表明，当电流由良导体侧流向不良导体侧时，电流线总是垂直于不良导体(α2≈0)。换句话说，这时可以不计良导体内部的电压降，而把良导体表面可近似看作为等位面。

导体与理想介质分界面上的边界条件：

此时，由于J c2n = 0，必然有J c1n = 0；且E 1t = E 2t ，电场强度的切向分量连续。应指出的是，虽然E 1n =J c1n /γ1= 0，但E 2n ≠ 0，其结果将使导体外表面处的电场强度E 2，与导体表面不相垂直，如图所示。然而，分量E 2t 与E 2n 相比是极其微小的，因而在研究导体外表面附近的电场时，可以略去E 2t 分量的影响。即近似为静电场中导体的边界条件。也就是说，当分析载有恒定电流的导体外部电场时，可以应用静电场分析方法。

两种有损电介质分界面上的边界条件： 如图所示，在两种有损电介质的分界面上，应有

n n E E 2211γγ=

同时，还有

σεε=-n n E E 1122

联立求解，得分界面上自由电荷面密度为

图 由良导体(γ1)到不良导体

(γ2)的电流流向

图 输电线电场示意图

2图

两种有损电介质的分界面

2

n J 22

12

112γγγεγεσ-=

由此可见，只有当两种媒质参数满足2112γεγε=条件时，其上表面自由电荷才为零，即

σ=0。

例2：设一平板电容器由两层非理想介质串联构成，如图所示。其介电常数和电导率分别为ε1，γ1和ε2，γ2，厚度分别为d 1和d 2，外施恒定电压U 0，忽略边缘效应。试求：(1)两层非理想介质中的电场强度；(2)单位体积中的电场能量密度及功率损耗密度；(3)两层介质分界面上的自由电荷面密度。

[解]：(1) 忽略边缘效应，可以认为电容器中电流线与两介质交界面相垂直，用边界条件

2211E E γγ=

又有电压关系

02211U d E d E =+

联立求解两式，得

1221021d d U E γγγ+=

， 1

2210

12d d U E γγγ+=

(2)两非理想介质中的电场能量密度分别为

211211e E w ε=， 2

2

2212e E w ε= 相应的单位体积中的功率损耗分别为

2

111E p γ=， 2

222E p γ=

(3)分界面上的自由电荷面密度为

01

22121122212112U d d J γγγ

εγεγγγεγεσ+-=-=

3．2 恒定电场与静电场的比拟

1．静电比拟法

将均匀导电媒质中的恒定电场与无源区中均匀介质内的静电场相比较，可以看出，两者有如下表的对应关系。

图 非理想介质的平板电容器

中的恒定电流场

2

1