经典：工程电磁场-第2章

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单个点电荷电位云图。
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2.电位与电场强度的关系 由电位计算电场强度，是求梯度的运算，也就是求微分的运算
由电场强度计算电位，是相反的运算，也就是求积分的运算。考虑电场强度的线积分
Q点电位已知
Q点为参考电位， 且=0，则
这就是说，P点的电位等于电 场强度从P点到参考点的线积 分。电场强度是单位电荷受 到的电场力。所以，P点的电 位表示将单位电荷从P点移动 到参考点，电场力所做的功。 电位和电压的单位是伏，V。
电荷元产生的电场强度与点电 荷相同，是一个无穷小的量， 积分可得整个源区所有电荷产 生的电场强度
电荷元
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线电荷、面电荷、体电 荷产生的电场强度
例2-1-1真空中长度为2l的直线段，均匀带电，电荷线密度为τ。求线段外任一点P的 电场强度。
解 根据对称性分析，采用柱坐标系分析比较方便。 坐标的源点位于线段的中心，z轴与线段重合。场点P 的坐标为（r, α, z），取电荷元τdz’，源点坐标为 （0, α’, z’）
单位伏/米，V/m 点电荷q产生的电场强度
R是从点电荷所在的源点(x’,y’,z’)到场点(x,y,z)的距离；eR为源点到场点 的单位矢量
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点电荷的电场强度
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3. 分布电荷的电场强度 电场力的叠加原理
N
F Fi
i 1
两个点电荷共同产生的电场强度N个点电荷共同源自生的电场强度6线密度
面密度
体密度
计算P点电场强度时，场点坐标(0,α,z)不变，源点坐标（a， α ‘ ，0)中只有α ‘是变量。
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电场强度趋近无穷大。
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2. 2电位与静电场的环路定理 1. 电位
场点的坐标是(x, y, z)，用距离矢量r表示; 源点的坐 标是(x`, y`, z`)，用距离矢量r`表示；R是以上两距 离矢量之差，也就是从源点到场点的距离矢量，且
2 静电场的基本原理
本章提示：
库仑定律，电场强度定义 静电场源的点、线、面、体电荷模型 电位，静电场的环路定理， 高斯通量定理 电偶极子模型，极化电荷，电介质对电场的影响 电位移矢量定义； 静电场的基本方程 电介质分界面条件、用电位表示的静电场边值问题，
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第二章 静电场的基本原理 2.1 库仑定律与电场强度 两个点电荷之间的作用力用下式表示
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电荷源在p点产生的电场强度的各分量为
场点坐标（r, α, z）是不变量，源点坐标（0, α’, z’）中z’是变量，统一用θ表 示
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总的电场强 度 若为无限长直导线
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整段线电荷在 P 点产生的电场强度
E
40r
cos 2
cos 1 er
+
40r
sin 2
sin 1 ez
若线段为无穷长直线，则 1 0, 2 。代入上式，
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体电荷 面电荷
线电荷
N个点电荷
电位的表示式中有常数C，说明电位数值不是惟一的。但由电位求负梯度得到的电
场强度却是惟一的。电位的惟一性问题，可以由选择电位参考点来解决。电位的参
考点就是强迫电位为零的点。在电荷分布于有限区域的情况下，选择无穷远处为电
位参考点，计算比较方便。这时，前面电位计算式中的常数C为零。
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3.静电场环路定理 对电场强度求旋度，可得
即电场强度的旋度为零，这是静电场环路定理的微分形式 根据斯托克斯定理，有
电场强度的闭合线积分为零，是静电场环路定理的积分形式
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对闭合曲线acbda，应用环路定理
可见，ab两点之间的电位差与积分路径无关，这 是静电场环路定理的具体体现。 旋度处处为零的场称为无旋场。静电场是无旋场。
场点P的坐标为(0,α,z) ，取一个电荷 元τad α ‘，源点坐标为 （a， α ‘ ，0)。再取一个电荷元 τad α ‘,源点坐标为 (a， α ‘ +π，0)。这样，两对称电 荷元在P点产生的电场强度沿er方向 两个分量符号相反，相互抵消;沿e α 方向的电场强度为零;沿ez方向的两个 分量符号相同。因此，由这两个对称 电荷元产生的电场强度为
可见，R与(x, y, z) 和(x`, y`, z`)都有关系。当源点不变，场点变化时， 的梯度 表示为 。当场点不变，源点变化时， 的梯度表示为
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电场强度计算公式
梯度是对场点进行的，ρ是电荷密度，是源点的函数，与场点无关
式中，体积分是对源点进行的，源点变化；求梯度是对场点进行的，场点变化， 故两种运算相互独立，可以交换次序 由上式可知，电场强度可表示为某个标量函数的负梯度。我们把这个标量函数定义 为电位，并用 来表示，则
E
40r
1
1 er
=
20r
er
当线电荷长度有限，场点落
在线电荷延长线上时， r 0 ， sin 2 sin 1 0
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电场强度无法用前面的公式计算。
在线电荷延长线上，讨论 z l 的情况
Ez
l l
4 0
R
2
dz
R z z z z R
所以
dz dR
代入上述积分公式
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zl
点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。
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2. 电场强度 电荷在其周围产生电场，产生电场的电荷称为电场的源。 相对于观察者静止的电荷产生的电场，称为静电场。
真空中放置一个点电荷q，在其附近放置一个试验电荷q1。在静电场中的某一点 （x, y,z），q1受到的作用力F与q1的电荷量成正比，而作用力F与q1电荷量的比值 与试验电荷无关，我们定义表征静电场的基本场矢量电场强度为：
在真空中， 两个静止点电荷q1及q2之间的相互作用力 的大小和q1与q2的乘积成正比，和它们之间距离R的平方 成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥， 异号电荷相吸。
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ε0是真空中的介电常数
电荷量的单位库仑，C 距离的单位米，m 力的单位牛，N ε0的单位是法/米，F/m
库仑定律是静电场的基础，也是电磁场的基础
Ez
dR
zl 40 R2
zl 40R z l
代入积分上下限，得
Ez
4 0
(1 zl
1) zl
2l 40 (z2
l2)
l 20 (z2
l2)
当 z l ，可根据对称性写出
Ez
l 20 (z2
l2)
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短线电荷产生的电场强度见图
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例2-1-2如图所示，真空中圆形线电荷半径为a，均匀带电，电荷线密度为τ，求在 其轴线上任一点的电场强度。 解 根据电荷分布的对称性，采用圆柱坐标系。设坐标原点在圆形线电荷的圆心，z 轴与线电荷圆心轴线重合。