不确定关系
不确定关系
本文还没有给出公式和以图的形式给出的字母，等我以后看能不能补上，这会影响阅读的流畅和理解。
但大体意思是可以看出来的，先发上来供感兴趣的人讨论）。
可以通过很多方法推导出“不确定关系”的表达式，困难在于公式的解释及其物理意义；另外由于推导公式的前提不同，也会影响到对公式本身的理解。
直到今天，其实也没有取得一致公认看法。
当然，争论尽管存在，但丝毫不耽误对这个公式的使用。
下面，我准备把这个公式的来龙去脉理一理，也许对朋友们理解这个公式有些帮助。
一、海森伯格的云雾室和不确定关系的导出１９２６年的一天，年轻的２５岁物理学家海森伯格，面对着电子在云雾室运动时留下的径迹发呆。
不久前，他刚天才地用矩阵力学，完全摈弃了波尔量子论一直使用的电子轨道的概念，处理了氢原子、谐振子等束缚态的能级差、跃迁几率的问题，这些量都是可和实验比较的可观察量。
既然理论不需要轨道这种经典概念，那怎样解释云雾室的径迹呢？通宵达旦废寝忘食地苦思冥想了几个月，时间进入了１９２７年，仍然不得要领。
这时，他电光石火般地想起在一次讨论会上，他向爱因斯坦提出，“一个完善的理论必须以可观察量为依据。
”爱因斯坦摆动着他硕大的脑袋笑眯眯地又不容置疑地说，“在原则上，试图单靠可观察量建立理论是完全错误的；实际正好相反，是理论决定我们能够观察到什么。
”嗯？理论告诉我没有轨道，就是没有轨道，或者换句话来说，我看到的不是电子真实的轨道，是什么呢？是一串小水珠而已。
小水珠的体积是电子的几百万倍，当然不可能给出电子精确的动量和位置，原则只是给出坐标动量的一种近似模糊的描写，径迹不可能是经典意义下的轨道。
但是，位置、动量这些概念都是经典概念，于是他转而研究量子理论的要求对经典描写的限制，即对坐标动量的观察的不确定度两者之间是否满足一定一定条件。
下面就看看海森伯格是如何严格推导出他的不确定关系公式的。
当时薛定谔方程已经提出，波恩也给出了波函数的统计解释，狄拉克和约丹也给出了表象变换理论。
没确定关系的浪漫祝福语
没确定关系的浪漫祝福语“我想对你说，每次和你聊天都是我一天中最期待的事情。
希望我们可以继续保持这样的联系，让彼此的心更加靠近。
”。
“或许我们现在还不确定彼此的关系，但我相信时间会证明一切。
希望未来的某一天，我们可以一起走在阳光下，手牵手共度浪漫的时光。
”。
“我不知道我们之间会发展成什么样的关系，但我知道我对你的感情是真挚的。
愿你在每一个美好的日子里都能感受到我的祝福和关怀。
”。
“或许我们还不确定我们之间的关系，但我想告诉你，我对你的喜欢并不需要标签。
希望我们可以一起享受这份美好的情感，不必担心太多。
”。
“我知道我们之间的关系还不确定，但我想对你说，我真心希望我们可以继续相识下去，一起创造更多美好的回忆。
”。
“或许我们还没有确定我们之间的关系，但我想对你说，我会用我的真心和努力来证明我对你的感情。
希望你能感受到我对你的真诚和热情。
”。
“我知道我们之间的关系还不确定，但我想对你说，我会用我的行动来证明我对你的真心。
愿我们可以一起走向更美好的未来。
”。
“或许我们还不确定我们之间的关系，但我想告诉你，我会用我的真诚和努力来赢得你的信任和喜爱。
希望我们可以一起创造属于我们的浪漫故事。
”。
“我知道我们之间的关系还不确定，但我想对你说，我会用我的真心和关怀来呵护你，愿我们可以一起享受这份美好的情感。
”。
“或许我们还不确定我们之间的关系，但我想告诉你，我会用我的真诚和努力来赢得你的心。
希望我们可以一起走向幸福的未来。
”。
无论我们和对方之间的关系是否已经确定，都可以用这些祝福语来表达自己的心意。
希望每一个人都能在这个浪漫的季节里，找到属于自己的幸福。
愿我们都能用真心和努力，创造属于我们的浪漫故事。
不确定关系
海森堡认为，微观粒子既不是经典的粒子，也不是经典 的波；当人们用宏观仪器观测微观粒子时，就会发生观测 仪器对微观粒子行为的干扰，使人们无法准确掌握微观粒 子的原来面貌；而这种干扰是无法控制和避免的，就像盲 人想知道雪花的形状和构造。通过仔细分析，海森堡得出 电子坐标的不确定程度Δx和动量的不确定程度Δp遵从： Δx·Δp～h；同样，能量和时间这种正则共轭物理量也遵从 测不准关系，海森堡认为“这种不确定性，正是量子力学 中出现统计关系的根本原因”。
3.2 不确定关系
一、不确定关系的表达式 二、不确定关系的含义 三、不确定关系应用举例
1
一、不确定关系的表达式
1927年，海森堡在论文《量子论中运动学和动力学的 可观测内容》中，提出了著名的“测不准原理”。为了 说明他的测不准原理，海森堡设计了一个理想实验：用 一个γ射线显微镜观测一个电子。由于显微镜的分辨率 受光波波长的限制，为了精确确定电子的位置，应该使 用波长短的光，而波长越短，光子的动量越大，根据康 普顿散射，引起电子动量的变化就越大。因此电子的位 置愈准确，就愈难确定电子的动量。反之亦然。
14
*微观粒子和宏观物体特性之比较
动规律用牛顿力学描述
连续可测的运动轨道 有运动轨迹可以分辨
可处于任意能量状态， 即能量可以连续变化
测不准关系不表现出实际意义
解：电子的动量为
p mv 9.11031 200 1.81028 kg.m.s1
动量的不确定范围为
p 0.01% p 1.81032 kg.m.s1
由不确定关系，得电子位置的不确定范围
x
h
4px
6.63 1034
4 1.81032
s m
1010 m / s
不确定关系的物理表述及物理意义
电子驻波
德布罗意关系与爱因斯坦质能关系有着同样重要意义。 光速c是个“大”常数；普朗克常数是个“小”常数。
E mc
2
物质波的实验验证 戴维逊和革末的实验是用电子束垂直投射到镍单晶， 电子束被散射。其强度分布可用德布罗意关系和 衍射理论给以解释，从而验证了物质波的存在。
A G M
d
a sin(2 ) k , k 1,2,3,
定义算符： 2 x 2 y 2 z 2
2 2 2
p 则得： 2 (r , t ) 2 k (r , t ) k
p2 自由粒子的能量： E 2m
k (r , t ) i E k (r , t ) t
2
2 k (r , t ) 2 i k (r , t ) t 2m
* 1 * 2
第三项称为相干项。
量子力学中态的叠加原理导致了叠加态下观测 结果的不确定性，出现了干涉图样。 它是由微观粒子波粒两象性所决定的。
例题18-3 设粒子在一维空间运动，其 状态可用波函数描述为：
( x, t ) 0
( x b / 2), x b / 2)
iE x ( x, t ) A exp( t ) cos( ) (b / 2 x b / 2) b
可见 Vx V ,
Vx 10 8 V
这时可认为电子的位置和动量能同时确定，电子 具有确定的轨道，可用经典理论来描述。
电子单缝衍射 电子单缝衍射实验说明了电子的波粒两象性， 并验证了不确定关系。
p
a
y
x
p
pSin
X
根据单缝衍射公式半角宽： sin a a 电子通过单缝后，动量在y方向上的改变至少：
不确定关系
从电子的单缝衍射现象不难理解位置和动量的不确定关系
电子束
缝 宽
电子通过单缝时发生衍射， 单缝衍射一级暗纹条件 概略地用一级衍射角所对 应的动量变化分量 粗 估其动量的不确定程度
相对论效应，用 得 代入
10
6mБайду номын сангаас
·s
-1
若以氢原子的线度 10 –10 m 作为电子 的坐标不确定量
5.79×10 5 m ·s –1
已大到与 的大小相当。
电子速度的
不确定量
随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
不确定关系说明 （1）粒子的坐标是不能 精确确定的； （ 2 ）粒子的动量是不能 精确测定的；
（ 3 ）粒子的坐标和动量都 是不能精确确定的； （4）以上结论都不对。
结束选择
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（ 3 ）粒子的坐标和动量都 是不能精确确定的； （4）以上结论都不对。
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量子力学初步
你身边的高考专家
不确定关系
23-4
不确定关系
1927年，德国物理学家海森伯提出 微观粒子不能同时具有确定的位置和动量， 同一时刻
位 置 的 不 确 定 量 该方向动量的不确定量
的关系
称为海森伯位置和动量的不确定关系，它说明， 同时精确测定微观粒子的位置和动量是不可能的。 （注：不确定关系又称测不准关系，在上述
（ 3 ）粒子的坐标和动量都 是不能精确确定的； （4）以上结论都不对。
教科版选修3《不确定关系》教案及教学反思
教科版选修3《不确定关系》教案及教学反思一、课程背景本文所涉及的教科版选修3中的《不确定关系》为高中数学的一个重要主题，主要涉及概率与统计的相关知识点，学生需要掌握概率的基本概念、计算方法以及应用，能够理解随机事件的概念和基本性质，掌握常见离散型和连续型随机变量及其分布，能够运用相关知识解决实际问题。
二、教学目标1.了解概率的基本概念和性质，学会计算事件的概率。
2.掌握离散型和连续型随机变量的概念及其分布，能够运用相关知识解决实际问题。
3.能够应用概率和统计的相关知识解决实际问题，培养学生的分析问题和解决问题的能力。
三、课堂设计1. 课前预习（10分钟）要求学生预习本次课程内容，重新复习和巩固已经学习的相关知识点，同时解决或记录遇到的问题和疑惑，便于在课堂上与教师进行交流和讨论。
2. 课堂导入（10分钟）教师通过简短的导入，引出本节课所要学习的知识点，向学生展示实际中充斥着概率与统计的例子，例如大家的期末考试成绩的分布情况、彩票购买的赔率等等，并引导学生思考和提问，以激发学生的兴趣和好奇心。
3. 教学重点（30分钟）针对本节课所要学习的三个主要知识点进行深入讲解，分别为概率和计算方法的介绍与实例，离散型和连续型随机变量的概念及其分布的介绍和实例，实例的讲解重点在于如何运用知识切实解决实际问题，例如掷硬币次数、车站候车时间、快递包裹的寄送时间等等。
4. 教学引申（10分钟）此处教师可以通过展示一些有趣但不是特别复杂的问题，激发学生的思考和好奇心，引导学生思考如何将所学知识应用到实际中，例如概率的计算、随机变量的处理等等。
5. 课堂练习（20分钟）课堂练习是课堂教学的重要环节，教师可以通过展示一些典型的练习问题，让学生自行尝试解决，同时监控学生的思路和解决问题的能力，及时给予指导和反馈。
6. 课堂总结（5分钟）在本节课的最后，教师可以通过简短的总结，概括本次课程内容和所学知识点，同时提醒学生将今天所学的知识及时整理和归纳，便于巩固和日后的应用。
不确定关系名词解释
不确定关系名词解释
不确定关系是指在一个命题中，存在一个或多个未确定的成分，需要通过进一步的信息来确定其具体含义或取值。
这种关系通常涉
及到条件、假设、推断或未知因素。
不确定关系常见于逻辑推理、
数学问题、科学研究以及日常生活中的推断和判断。
在逻辑推理中，不确定关系可以表现为条件语句中的假设或前提，需要根据具体情况来判断其真假。
例如，“如果明天下雨，我
就带雨伞。
”这个命题中的不确定关系就是明天是否下雨，只有在
明天的天气情况确定后，我们才能确定是否需要带雨伞。
在数学问题中，不确定关系常涉及到未知数或变量的取值范围。
例如，求解方程“2x + 5 = 13”，其中的不确定关系就是未知数 x 的取值。
通过代入不同的值来解方程，我们可以确定 x 的具体值。
在科学研究中，不确定关系常常涉及到实验结果的可靠性和推
论的准确性。
科学实验中的不确定性因素包括测量误差、样本偏差、实验条件等，需要通过统计分析和进一步研究来确定结果的可信度
和推论的有效性。
在日常生活中，我们经常需要根据不确定关系做出判断和决策。
例如，根据天气预报来决定是否带雨伞、根据交通状况来选择出行
路线等。
这些决策都基于对不确定因素的估计和判断。
总而言之，不确定关系是指在一个命题或问题中存在未确定的
成分，需要通过进一步的信息、推理或实证来确定其具体含义或取值。
不确定关系 课件
从缝上哪一点通过的呢?也就是说，电子通过
狭缝的瞬时，其坐标x为多少?显然，这一问题，
我们无法准确地回答，因为此时该电子究竟在
缝上哪一点通过是无法确定的，即我们不能准
确地确定该电子通过狭缝时的坐标。研究表明：
对于第一衍射极小，
s in 1
a
上式中λ为电子的德布罗意波长。电子的 位置和动量分别用x和p来表示。电子通过狭 缝的瞬间，其位置在 x 方向上的不确定量为 △x=a同一时刻，由于衍射效应，粒子的速度 方向有了改变，缝越小，动量的分量 px变化 越大。分析计算可得：
不确定关系式表明： （1） 微观粒子的坐标测得愈准确，动量就 愈不准确 （2）微观粒子的动量测得愈准确，坐标就 愈不准确
不确定关系不是说微观粒子的坐标测不准 ；也不是说微观粒子的动量测不准；更不是 说微观粒子的坐标和动量都测不准；而是说 微观粒子的坐标和动量不能同时测准。
（2） 微观粒子的坐标和动量不能同时测准 因为微观粒子的坐标和动量本来就不同时具
xp h
4
式中h为普朗克常量。这就是著名的不确定 性关系，简称不确定关系。
上式表明： （1）许多相同粒子在相同条件下实验，粒 子在同一时刻并不处在同一位置。 （2）用单个粒子重复，粒子也不在同一位 置出现。
例1．一颗质量为10g 的子弹，具有 200m·s-1的速率，若其动量的不确定范围为动 量的0. 01%(这在宏观范围是十分精确的了)， 则该子弹位置的不确定量范围为多大?
原子核的数量级为10-15m，所以，子弹位置 的不确定范围是微不足道的。可见子弹的动量 和位置都能精确地确定，不确定关系对宏观物 体来说没有实际意义 。
例2．一电子具有200 m/s的速率，动量的不 确定范围为动量的0.01%(这已经足够精确了)， 则该电子的位置不确定范围有多大?
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显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因 此通过单缝后，其动量大小P不变。 但不同的电 子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有 不同。
X
1
Y
I
也就是说到U达正负一级暗纹间的电子在单缝 处电的子动大量部在分X轴都上到的达分中量央的明不纹确处定，量作为为：分析：
要先来电由估抓研子0单a算住究在s缝si单到。单in暗nP缝达即缝纹s1处中正处1i条n电央负的件k子明一动a1：p在 纹 级 量x处 暗 在X轴的 纹XP1上轴电 间为s1i上的为子 的n一的分一在 电级P1量分级单 子暗x 量的暗缝来纹值不纹处研的P确为的的究衍a：定衍不。射量射确这角，角定部可量分
置是完全确定的。求此时动量的不确定度。
解： x 106 m 由坐标和动量的不确定度关系：
p
2 x
1034 106
1028 kg m s1
m 2kg m s1
坐标和动量可以同时确定，应该用经典力学来处理。
3）对宏观粒子，因 h 很小，所以 xpx 0
可视为位置和动量能同时准确测量 .
求此时动量的不确定度。
0
解：x a 1 A
p
2 x
1034 1010
1024 kg m s1
m 1031 106 1025 kg m s1
电子动量不确定，应该用量子力学来处理。
问题？
例2 m 102 kg 的乒乓球 , 直径 d 5cm
200m s1，若 x 106 m , 可以认为其位
解：
Vx
2mex
0.6 106 m
/
s
由玻尔理论可估算出氢原子中电子的轨道运动速度约为106 m / s.
可见速度的不确定量与速度的大小的数量积基本相同，甚至还大。
因此原子中电子在任一时刻没有完全确定的位置和速度，也没有确
定的轨道，（轨道的概念是建立在有同时确定的位置和动量的基础
上的）不能看成经典粒子，必须用电子在各处的概率分布来描述。
即： Et 能量与时间不确定关系式 2
不确定关系的物理表述:
xp、Et均称为共轭物理量。
xPx / 2
Et 2
故不确定关系式又可表达为：
一对共轭物理量的不确定量的乘积 / 2
四）不确定关系的物理意义：
1）不确定关系说明用经典物理学量----动量,坐标来描写 微观粒子行为时将会受到一定的限制 , 因为微观粒子不 可能同时具有确定的动量及位置坐标
a
X
a
Pa Pb
bc
K
Pc
XUP
Px Pd B源自Pedae
Pa Pb
Pc
Pd
其衍射P角e
分别为：
dabe
c
E 单缝处，衍射角为的电子在X轴上存在动量的
分量 Pax P sin a
PPbexx
P P
sin sin
eb
Pcx P sin c 0 Pdx P sin d
······
即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值
px .x x .Px
如： x 0则p 动量完全不确定 p 0则x 粒子位置完全不确定， 可在全空间出现。
又以一个作匀速运动的一维粒子为例，它可在整个 X轴上出现；x p 0 p 为常数
2）不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的， 不能理解为仪器的精度达不到。
比如我们试图通过单缝来确定粒子的位置，但单缝隙越
窄（x越小）衍射也越厉害，动量的不确定量也大。
如果要减小动量的不确定 量，则单缝的宽度就要增 大，位置 的不确定量也就 变大。
a sin (2k 1)
2
X
K
v a
pp 1
U B
不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定E的，不确定关系
更确切、更准确地反映了微观粒子的本质
例1 一电子以速度 1.0 106 m s1 的速度穿过晶体。
1)位置的不确定程度
我们来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不
确定程度
用单缝来确定电子在穿过单缝
电子在单
时的位置
缝的何处
通过是不
确定的!
只知是在
宽为a的
的缝中通
U
过.
结论:电子在单缝处的位置 不确定量为x a
2）单缝处电子的动量的不确定程度
先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象 性的结果，不能归于外部的原因，即不是外界 作用的结果。
X
1
Y
I
由德布罗意U关系式：
h
Px P a
P
Px
h
Pxx
a h
考虑到还存在1方向
h
的电子，这些方向电子 的动量不确定量还要大
x
Pxx h
动量位置不确定量关系式
量子力学给出了更准确的表达 二）海森伯不确定关系式
当我们同时测量一个粒子的位 置q和动量p时，位置 q（广义坐 标）和动量p的不确定量满足如 下关系式：
qP / 2
对三维直角坐标系有：
{ xPx / 2 yPy / 2 zPz / 2
三）能量与时间不确定关系 设有一个速度为V，质量为m的粒子，其能量
E m02C 4 P2C 2
考虑到E的增量：
E
2C 2PP
C 2mVP
2 m02C 4 P2C 2
E
VP q P
t
Et qp / 2
可以用来判断粒子的行为究竟应该用经典力学来描 写还是用量子力学来描写。
测不准关系-----经典与量子理论的分界线
若: ho
若 : h o不可忽略
具体问题中: 则 : xp 0 则 : xp 0
经典描述 量子描述
总之，当h的大小不能忽略时，就必须作统计解释
微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？
例3. 一束直径 d 0.01 mm的电子射线，通过电压为 1000V的电场加速，能否将这些电子看成是经典粒子？
解： 若 p >>p 就可看成是经典粒子 x v
1 m v2 eU 2
vx
0.1mm电子射线
所以电子加速后获得的动能为Ek=1000eV
动量为 p 2me Ek 2 9.11031 10001.61019
=1.7×10-23 (kg.m.s-1)
电子束的直径d就是电子位置的不确定量x
故：p= h/d =6.6×10-34/10-5=6.6×10-29(kg.m.s-1) 因为p >>p ，此时能将电子看作经典粒子。
例4、电子质量me=9.110-31千克，在原子中电子的x 10 -10
米，求电子速度的不确定量。