高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 . 两角和与差的正弦、余弦与正切公式练习 理创新.
C．－ 答案 解析
D．1
1 π 4．[2016·济宁期末]tan － 等于( 12 tanπ 12 A．4 C．2 3 答案 D
B．－4 D．－2 3
1
解析
π π － π 4 ∵tan ＝tan 3 12
π π －tan 3 4 ＝ π π 1＋tan ·tan 3 4 tan ＝ 3－1 1＋ 3 ＝2－ 3，
7．[2016·兰州检测]在斜三角形 ABC 中，sinA＝－ 2cosB·cosC，且 tanB·tanC＝1 － 2，则角 A 的值为( A. C. π 4 π 2 A 由题意知，sinA＝－ 2cosB·cosC＝sin(B＋C)＝sinB·cosC＋cosB·sinC，在 tanB＋tanC π ＝－1＝－tanA，即 tanA＝1，所以 A＝ . 1－tanBtanC 4 ) B. D. π 3 3π 4
3
得 x＝
kπ π ＋ ，k∈Z. 4 12
π .故选 A. 12
当 k＝0 时，x＝
9．化简：sin50°(1＋ 3tan10°)＝________. 答案 解析 1 sin50°(1＋ 3tan10°) sin10° 1＋ 3· cos10°＋ 3sin10° cos10° ＝sin50°× cos10°
x x 2x 3sin ，1 cos ，cos 4 4 4 ，函数 f(x)＝m·n. ，n＝
2π －x (1)若 f(x)＝1，求 cos 3 的值； 1 (2)在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 acosC＋ c＝b，求 f(2B) 2 的取值范围．
x π ＋ x x 3 x 1 x 1 1 2x 解 f(x)＝ 3sin cos ＋cos ＝ sin ＋ cos ＋ ＝sin 2 6 ＋ . 4 4 4 2 2 2 2 2 2 x π ＋ 1 (1)由 f(x)＝1，可得 sin 2 6 ＝ ， 2
7
∴
π π 2π <B＋ < ， 3 6 3
又 f(2B)＝sin ∴
B＋
π 1 6 ＋ ， 2
1＋ 3 3 <f(2B)≤ . 2 2
1＋ 3 3 ， ∴f(2B)的取值范围是 2 2 .
8
α － 2
α α 3 ·cos － 的值为________． 2 2 2
6
答案
5 13 π －α 由题意得|OB|＝|BC|＝1， 从而△OBC 为等边三角形， ∴sin∠AOB＝sin 3 ＝
解析
5 α α 3 1＋cosα sinα 3 1 3 2α ， 3cos －sin cos － ＝ 3· － － ＝－ sinα ＋ cosα ＝ 13 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2π 2π π α＋ α＋ －α 5 3 ＝sin π－ 3 ＝sin 3 sin ＝ . 13 4．[2015·承德二模]已知向量 m＝
1 π ∴tan － 12 tanπ 12 ＝2－ 3－ 1 2－ 3 ＝－2 3.
π 7π ＋α α＋ 4 3 6 的值是( 5．[2015·贵阳监测]已知 sin 3 ＋sinα＝ ，则 sin 5 A．－ C. 4 5 D 2 3 5 B. 2 3 5 4 5
)
D．－
答案 解析
π ＋α 4 3 π π 4 3 3 sin 3 ＋sinα＝ ⇒sin cosα＋cos sinα＋sinα＝ ⇒ sinα＋ 5 3 3 5 2
＝sin50°
1 3 cos10°＋ sin10° 2 2 2 ＝sin50°× cos10° ＝ 2sin50°·cos50° sin100° cos10° ＝ ＝ ＝1. cos10° cos10° cos10°
1 1 10． [2015· 河 北 摸 底]已 知 tan(3π － α)＝ － ， tan(β － α)＝ － ， 则 tanβ ＝ 2 3 ________. 答案 解析 1 7 1 1 依题意得 tanα ＝ ，又 tan(β － α)＝－ ，∴tanβ ＝tan[(β － α)＋ α]＝ 2 3
12． [2015·常德模拟]已知函数 f(x)＝ 2sinωx＋mcosωx(ω>0， m>0)的最小值为－2， 且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和 m 的值；
θ π 3π π ， θ＋ 6 4 ，求 f 8 的值． (2)若 f 2 ＝ ，θ∈ 4 5
解 (1)易知 f(x)＝ 2＋m sin(ωx＋φ)(φ为辅助角)，
1－cos50° ＝sin25°，所以 b>c>a，故选 D. 2 π π α＋ 2α＋ 4 6 ＝ ，则 sin 12 的值为________． 2．设α为锐角，若 cos 5 答案 17 2 50
π α＋ 4 6 ＝ ， 解析 因为α为锐角，cos 5 所以 sin
α＋
π π α＋ 3 24 6 ＝ ，sin2 6 ＝ ， 5 25
2 5 . 5
π ＋α π π 故 sin 4 ＝sin cosα＋cos sinα 4 4 2 5 2 － 2 5 10 ＝ × 5 ＋ × ＝－ . 2 2 5 10
4
2 5 5 － 4 5 ＝－ ，cos2α＝1－2sin2α＝1－ (2)由(1)知 sin2α＝2sinαcosα＝2× × 5 5 5π 5 －2α 3 5π 5π 2 2× 5 ＝ ，所以 cos 6 ＝cos cos2α＋sin sin2α 5 6 6 ＝ － 4 3 3 1 － 4＋3 3 2 × ＋ × 5 ＝－ . 5 2 10
cos2
α＋
π 7 6 ＝ ， 25
π α＋ π π 2α＋ 6 － 2 12 ＝sin 所以 sin 4 ＝sin 2 ＝
α＋
π π α＋ π π 6 cos －cos 2 6 sin 4 4
24 2 7 2 17 2 × － × ＝ . 25 2 25 2 50
3．[2016·江西八校联考]如图，圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A，点 C，B 在圆 O 上， 12 5 ，－ 13 ，∠ AOC ＝ α.若|BC|＝1，则 且点 C 位于第一象限，点 B 的坐标为 13 sin 3cos2
2 2 ∴f(x)min＝－ 2＋m ＝－2，∴m＝ 2.
由题意知函数 f(x)的最小正周期为π， ∴ 2π ＝π，∴ω＝2. ω
π 2x＋ 4 ， (2)由(1)得 f(x)＝ 2sin2x＋ 2cos2x＝2sin
θ π θ＋ 6 4 ＝ ， ∴f 2 ＝2sin 5
∴sin
θ＋
π π 3π ， 3 4 ＝ ，∵θ∈ 4 4 ， 5
C．－ 答案 解析
D．－
1 cos(15°＋45°)＝cos60°＝ . 2 2．[2015·衡水中学二调] A．4 C．－2 答案 解析 ＝ D 3 1 3 1 3sin10°－cos10° － ＝ － ＝ cos10° sin170° cos10° sin10° sin10°cos10° ＝ －2sin20° ＝－4，故选 D. 1 sin20° 2 3 1 － ＝( cos10° sin170° B．2 D．－4 )
tan β－α ＋tanα 1 ＝ . 1－tan β－α· tanα 7 π ，π 5 11．[2014·江苏高考]已知α∈ 2 ，sinα＝ . 5 π ＋α (1)求 sin 4 的值； 5π －2α (2)求 cos 6 的值． 解 π ，π 5 (1)因为α∈ 2 ，sinα＝ ， 5
2
所以 cosα＝－ 1－sin α＝－
答案 解析
等式－ 2cosB·cosC＝sinB·cosC＋cosB·sinC，两边同除以 cosB·cosC 得 tanB＋tanC＝ － 2，又 tan(B＋C)＝
π π 3x＋ x－ 3 ·cos 6 8．[2016·日照一模]函数 y＝sin －cos 3x＋ π 12 π 12 π π x＋ 3 cos 3 的图象的一条对称轴方程是( B．x＝ π 6 π 24 )
第三章 三弦与正切公 式练习 理
[A 组·基础达标练] 1．化简 cos15°cos45°－cos75°sin45°的值为( A. 1 2 1 2 A cos15°cos45° － cos75°sin45° ＝ cos15°cos45° － sin15°·sin45° ＝ B. 3 2 3 2 )
7π α＋ 3 4 3 3 1 4 7π 7π 6 ＝sinαcos cosα＝ ⇒ sinα＋ cosα＝ ，故 sin ＋cosαsin ＝－ 2 5 2 2 5 6 6 3 1 sinα＋ cosα 4 2 2 ＝－ . 5 π 0， 1 1 2 ， 6． [2015·中山一模]已知 cosα＝ ， cos(α＋β)＝－ ， 且α， β∈ 则 cos(α 3 3 －β)的值等于( A．－ C．－ 答案 解析 1 2 1 3 D π 0， 2 ，∴2α∈(0，π)． ∵α∈ ) B. D. 1 2 23 27
π ，π π ∴θ＋ ∈ 2 ， 4 ∴cos
θ＋
π 4 ＝－
π θ＋ 4 4 ＝－ ， 1－sin 5
2
π π π θ＋ － θ＋ π π π 7 2 4 4 ＝sin 4 cos －cosθ＋ sin ＝ ∴sinθ＝sin ， 4 4 4 10 π θ＋ π π θ＋ 2 8 ＋ 8 ＝2sin ∴f 4 π 2θ ＋ 2 ＝2cos2θ ＝2sin 7 2 ＝2(1－2sin θ)＝2 1－2× 10
2sin 10°－30° 1 sin20° 2
π π ＋α α－ 1 π 3 的值是 3．[2016·山西四校联考]已知 sin 2 ＝ ，－ <α<0，则 cos 2 2 ( ) A. 1 2 1 2 C π α－ 1 3 1 3 1 3 ＝ cosα＋ sinα＝－ . 由已知得 cosα＝ ，sinα＝－ ，cos 2 2 2 2 2 ) B. 2 3
2019版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
动态演示
结合动画演示，直观地呈现三角函数的计算过 程。
总结
1 重点内容概括
回顾本章重点内容，检 查概念与公式的掌握程 度。
2 解题方法总结
总结解题技巧和常用公 式，为下一步的练习做 好准备。
3 知识点巩固提示
练习做题、做笔记，多 次温习概念与公式，通 过追溯源头的方式加深 理解。
正弦、余弦、正切公式
正弦公式
三角形任意两边的比值相等，即a/sinA=b/sinB=c/sinC。
余弦公式
根据勾股定理和余弦函数，得到c²=a²+b²-2ab*cosC。
正切公式
将正弦公式与余弦公式相除得到tanA=a/b*tanC-b/a。
解题技巧
1
使用两角和/差公式
判断题中是否存在三角形两个角之和/
合理运用公式
2
差，使用对应的公式。
根据题目中所给的信息，选择合适的
公式，并化简，变形运用。
3注意化简Fra bibliotek将多个三角函数合并为一个统一的三 角函数，然后进行化简，避免表达式 过于复杂。
练习题
求第三个角度
已知三角形内两角的度数，求第三个角的度数。
求解三角形的边长
已知部分边长与角度，求解三角形剩余边长度。
复杂问题
数学一轮复习：三角函数 解三角形
本课件旨在帮助你理解三角形的两角和与差，掌握正弦、余弦、正切公式， 并运用解题技巧快速解决问题。
三角形的两角和与差
两角和公式
两个角的和为第三个角的补角，即A+B=180°-C， 其中C为第三个角的度数。
两角差公式
两个角的差的余角等于这两个角的余角之积，即 A-B=C-》sinA*sinB=sinC*sin(A+B)。
高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文
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第十八页，共四十五页。
2cos 1.
10°－sin sin 70°
20°的值是___3_____．
[解析] 原式＝2cos（30°－sin207°0°）－sin 20°
＝2（cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°）－sin
20°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
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三角函数的给值求值、给值求角(高频考点)
(1)已 知
0
＜
β＜
π 2
＜
α
＜
π
，
且
cos
α－β2
＝
－
1 9
，
sinα2－β＝23，求 cos(α＋β)的值；
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α－β)＝12，tan β＝－17，求 2α
－β 的值．
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2．已知函数 f(x)＝2sin13x－π6，x∈R. (1)求 f54π的值； (2)设 α，β∈0，π2，f3α＋π2＝1103，f(3β＋2π)＝65，
求 cos(α＋β)的值．
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[解] (1)f54π＝2sin 13×54π－π6＝2sinπ4＝ 2. (2)由 f3α＋π2＝2sin α＝1130，
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＝－19× 35＋4 9 5×23＝7275，
所以 cos(α＋β)＝2cos2α＋2 β－1＝2×497×295－1＝－722399.
2024届高三数学一轮复习--三角函数与解三角形第3练 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(解析版)
【详解】因为
cos
4
5 ，所以 5
2 cos 2
2 sin 2
5 ，平方后可得 5
1 cos2 sin2 sin cos 1 ，整理得 1 1 sin 2 1 ，所以 sin 2 3 .
2
5
22
5
5
故选：D.
2．B
【分析】运用两角和与差的正弦公式和同角的商数关系，计算即可得到所求值
6
，则
tan
（
）
A． 3
B． 2 3
C． 6
D． 6 3
3．（2023·全国·高三专题练习）若
1 1
tan tan
π 4 π 4
1 2
，则
cos
2
的值为（
）
A．- 3 5
B． 3 5
C． 4 5
D． 4 5
4．（2023
秋·江苏泰州·高三泰州中学校考开学考试）已知
cos
12
【详解】因为
sin
3
sin
6
，所以
1 2
sin
3 cos 2
3 sin 1 cos ，
2
2
所以 3 1 cos 3 1 sin ，所以 tan 3 1 2 3 . 3 1
故选：B
3．A
【分析】由已知可得
tan
π 4
1 3
，进而求出
四个命题：
甲： tan 1 ；
2 乙： tan tan 7 : 3 ；
丙：
sin cos
5 4
；
丁： tan tan tan tan 5 : 3 .
如果其中只有一个假命题，则该命题是（ ）
A．甲
(浙江专版)高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式教
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos _αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2α＝2sin αcos α；(2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． (2)公式C 2α的变形： ①sin 2α＝12(1－cos 2α)；②cos 2α＝12(1＋cos 2α)．(3)公式的逆用：①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2； ②sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A ．－32B.32C ．－12D.12D [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故选D.]3．若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－15C.15D.45D [∵cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ. 又∵tan θ＝－13，∴cos 2θ＝1－191＋19＝45.]4．(2017·某某二次统一检测)函数 f (x )＝3sin x ＋cos x 的最小值为________．－2 [函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的最小值是－2.]5．若锐角α，β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝________. π3[由(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4， 可得tan α＋tan β1－tan αtan β＝3，即tan(α＋β)＝ 3.又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.]三角函数式的化简(1)化简：sin 2α－2cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________. 【导学号：51062114】(2)化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)22cos α [原式＝2sin αcos α－2cos 2α22sin α－cos α＝22cos α.](2)原式＝－2sin 2x cos 2x ＋122sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝121－sin 22x2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝12cos 22x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝12cos 2x .[规律方法] 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向． 2．三角函数式化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．[变式训练1] (2017·某某镇海中学测试卷一)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－255B ．－3510C ．－31010D.255A [2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α，由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，得tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－tanπ41＋tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4tanπ4＝－13，即3sin α＝－cos α，又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝±1010， 而－π2<α<0，所以sin α＝－1010，故2sin 2α＋sin 2αcos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－255.]三角函数式的求值☞角度1 给角求值(1)2cos 10°－sin 20°sin 70°＝( )A.12B.32C. 3D. 2(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________. (1)C (2)1[(1)原式＝2cos 30°－20°－sin 20°sin 70°＝2cos 30°·cos 20°＋sin 30°·sin 20°－sin 20°sin 70°＝3cos 20°c os 20°＝ 3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°⎝⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10°＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.]☞角度2 给值求值(1)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，则sin 2α＝( )A.725B.15 C ．－15D ．－725(2)(2017·某某某某十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝( )A.1＋358 B.1＋538 C.1－358D.1－538(1)D (2)A [(1)∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴sin 2α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×925－1＝－725. (2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin 2α)，即4sin 2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝14.∵α为锐角，∴cos α＝154，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝14×12＋154×32＝1＋358，故选A.] ☞角度3 给值求角已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( )A.5π12 B.π3 C.π4D.π6C [∵α，β均为锐角，∴－π2＜α－β＜π2.又sin(α－β)＝－1010，∴cos(α－β)＝31010. 又sin α＝55，∴cos α＝255， ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝55×31010－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝22. ∴β＝π4.][规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的X 围，最后确定角.三角变换的简单应用已知函数f (x )＝sin 2x －sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值和最小值．[解] (1)由已知，有f (x )＝1－cos 2x 2－1－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π32＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x －12cos 2x ＝34sin 2x －14cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.6分 (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，－π6上是减函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－14，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝34， 所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最大值为34，最小值为－12.14分[规律方法] 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．2．把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．[变式训练2] (1)(2016·某某高考)函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________.【导学号：51062115】(1)B (2)1 [(1)法一：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝4⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x －12sin x＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.法二：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.(2)f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)． ∴f (x )max ＝1.][思想与方法]三角恒等变换的三种变换角度(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β.(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“1”的代换等．(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等． [易错与防X]1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的X 围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该X 围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的X 围是(0，π)，选余弦较好；若角的X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．2．计算形如y ＝sin(ωx ＋φ)，x ∈[a ，b ]形式的函数最值时，不要将ωx ＋φ的X 围和x 的X 围混淆．课时分层训练(十九)两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．已知sin 2α＝23，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A.16B.13 C.12D.23A [因为cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π42＝1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π22＝1－sin 2α2＝1－232＝16，故选A.]2.cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32B.22C.12D ．1C [原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin 30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.]3．(2017·某某二次质检)函数f (x )＝3sin x 2cos x2＋4cos 2x2(x ∈R )的最大值等于( )A ．5 B.92 C.52D ．2B [由题意知f (x )＝32sin x ＋4×1＋cos x 2＝32sin x ＋2cos x ＋2≤94＋4＋2＝92，故选B.]4．(2017·某某模拟训练卷(三))若θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ＝( ) 【导学号：51062116】A.35B.45C.74D.34D [由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得sin θ≥cos θ>0，则sin θ＋cos θ＝1＋sin 2θ＝9＋67＋716＝3＋74，sin θ－cos θ＝1－sin 2θ＝9－67＋716＝3－74，两式相加得sin θ＝34.]5．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc .若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α sin βcos α cos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于( )A.π12 B.π6 C.π4D.π3D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin2α－β＝1314，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β) ＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.] 二、填空题6.sin 250°1＋sin 10°________. 12 [sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10° ＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12.]7．(2017·某某模拟训练卷(四))已知函数f (x )＝4cos 2x ＋(sin x ＋3cos x )2，则函数f (x )的最小正周期为________，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4时，函数f (x )的值域为________. 【导学号：51062117】π [4＋3，4＋23] [f (x )＝7cos 2x ＋sin 2x ＋23sin x cos x ＝1＋3(1＋cos 2x )＋3sin 2x ＝4＋23sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，故函数f (x )的最小正周期为π. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， ∴12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1， ∴4＋3≤f (x )≤4＋23，故函数f (x )的值域为[4＋3，4＋23]．] 8．化简2＋2cos 8＋21－sin 8＝________.－2sin 4 [2＋2cos 8＋21－sin 8＝21＋cos 8＋21－2sin 4cos 4 ＝2×2cos 24＋2sin 4－cos 42＝－2cos 4＋2(cos 4－sin 4)＝－2sin 4.]三、解答题9．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值． [解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12.又π2＜α＜π，所以cos α＝－32.6分 (2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π， 所以－π＜－β＜－π2，故－π2＜α－β＜π2.10分 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.14分10．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x. (1)求函数f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值. 【导学号：51062118】 [解] (1)要使f (x )有意义，则需cos x ≠0，∴f (x )的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π＋π2，k ∈Z .6分 (2)f (x )＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x cos x＝1＋cos 2x －sin 2x cos x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos x＝2(cos x －sin x ).10分由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α. 又sin 2α＋cos 2α＝1，且α是第四象限角，∴cos 2α＝925，则cos α＝35，sin α＝－45. 故f (α)＝2(cos α－sin α)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45＝145.14分B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－22，则cos α＋sin α的值为( ) A ．－72 B ．－12 C.12D.72 C [∵cos 2αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22sin α－cos α ＝－2(sin α＋cos α)＝－22，∴sin α＋cos α＝12.]2．(2017·某某名校(柯桥中学)交流卷三)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α的值是________；cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值是________． 1379 [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝13； cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－2π3＝1－2· cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝79.] 3．已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，求函数f (x )的值域. 【导学号：51062119】 [解] (1)f (x )＝2sin x ⎝⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝π.3分由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ， 解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .8分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，12分 f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32. 故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋32.15分。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文
1 2．[2018· 全国卷Ⅲ]若 sinα＝3，则 cos2α＝( 8 7 A.9 B.9 7 8 C．－9 D．－9
)
12 7 1 2 解析：∵sinα＝3，∴cos2α＝1－2sin α＝1－2×3 ＝9.故选 B. 答案：B
3 1 3．已知 tanα＝－4，tan(π－β)＝2，则 tan(α－β)的值为( 2 2 A．－11 B.11 11 11 C. 2 D．－ 2 1 1 解析：因为 tan(π－β)＝2＝－tanβ，所以 tanβ＝－2， tanα－tanβ 2 则 tan(α－β)＝ ＝－11. 1＋tanαtanβ 答案：A
4．角的变换技巧 2α＝(α＋β)＋(α－β)； α＋β α－β α＝(α＋β)－β；β＝ 2 － 2 ； α－β β α α＋ － ＋β. 2 2 2 ＝
二、必明 2 个易误点 1．在使用两角和与差的余弦或正切公式时运算符号易错． 2 2．在(0，π)范围内，sin(α＋β)＝ 2 所对应的角 α＋β 不是唯一 的．
【小题热身】 1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成立．( √ ) tanα＋tanβ (3)公式 tan(α＋β)＝ 可以变形为 tanα＋tanβ＝tan(α＋ 1－tanαtanβ β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × ) (4)存在实数 α，使 tan2α＝2tanα.( √ )
)
5．[教材改编]sin15° ＋sin75° 的值是________．
解析：sin15° ＋ sin75° ＝sin15° ＋ cos15° ＝ 2sin(15° ＋ 45° )＝ 2 6 sin60° ＝2. 6 答案： 2
(浙江通用)高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式-
【步步高】（某某通用）2017版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β)) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β (C (α＋β)) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β (S (α－β)) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β (S (α＋β)) tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β (T (α－β))tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β (T (α＋β))2．二倍角公式sin 2α＝2sin_αcos_α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°等于( )A ．1 B. 3 C. 2 D ．2 答案 C解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos 40°cos 25°·2sin 25°＝cos 40°22sin 50°＝ 2.2．已知α∈R ，sin α＋2cos α＝102，则tan 2α等于( ) A.43 B.34 C ．－34 D ．－43 答案 C解析 ∵sin α＋2cos α＝102，又sin 2α＋cos 2α＝1， 联立解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－1010，cos α＝31010或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝31010，cos α＝1010，故tan α＝sin αcos α＝－13或tan α＝3，代入可得tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－131－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝－34， 或tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×31－32＝－34.3．(2015·某某)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( )A.17B.16C.57D.56 答案 A解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tan α1＋tan α＋βtan α＝12－131＋12×13＝17.4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________. 答案22解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．(2015·某某质量检测)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．答案17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425，∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4)＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin α＋π4＝________.(2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 答案 (1)－75 (2) 3解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cos α＝－45.∴原式＝－75.(2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α， ∴cos α＝－12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π， ∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－－32＝ 3.思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α等于( )A.35B.45 C ．－35 D ．－45(2)已知sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝________________________. 答案 (1)A (2)36＋4210解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17，∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵si n 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925.又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35.(2)∵sin α＝35，且α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝45，f ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π12＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin αcos π6＋cos αsin π6＝36＋4210. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为( ) A.2B.22C.12D.32(2)(2015·某某)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 (1)B (2)C解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos[90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin[(65°－x )＋(x －20°)] ＝sin 45°＝22.故选B.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( ) A.π4B.π3 C.π2D.3π4(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋3D ．2－ 3 答案 (1)A (2)B解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β等于( ) A.2525 B.255C.2525或255 D.55或525(2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是________．答案 (1)A (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin2α＋β＝±45.又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.于是cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525.(2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453，∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453，∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45.思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示：①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2等于( )A.33 B ．－33 C.539 D ．－69答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.4．三角函数求值忽视角的X 围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为________．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝________.易错分析 (1)角α2－β，α－β2的X 围没有确定准确，导致开方时符号错误．(2)对三角形中角的X 围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角． 解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π，∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，∴cosα＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527，∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.(2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34，∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin2A ＋B ＝－53， ∴cos A ＝cos[(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－53×⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729(2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的X 围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧] 1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎪⎫sin α2±co s α22，1＋cos α＝2cos2α2，1－cos α＝2sin2α2.2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． [失误与防X]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的X 围．A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1． cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°等于( )A ．－32B.22C.12D ．1 答案 C解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin 30°－25°＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12.2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45 C.74D.34答案 D解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得(sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74.同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34.3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ等于( )A.3B ．－ 3C.33D ．－33答案 A解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3.4．若sin(π＋α)＝35，α是第三象限角，则sin π＋α2－cos π＋α2sin π－α2－cos π－α2等于() A.12B ．－12C ．2D ．－2答案 B解析 sin π＋α2－cos π＋α2sin π－α2－cos π－α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＝cos 2α2＋2sin α2cos α2＋sin 2α2cos 2α2－sin 2α2＝1＋sin αcos α.∵sin(π＋α)＝－sin α＝35，∴sin α＝－35. ∵α是第三象限角，∴cos α＝－45，故原式＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－45＝－12.5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝14，那么tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( )A.1318B.1322C.322D.16答案 C解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎪⎫β－π4， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4 ＝tan α＋β－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π41＋tan α＋βtan ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝________. 答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°21＋sin 10°＝1－cos 90°＋10°21＋sin 10°＝1＋sin 10°21＋sin 10°＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝________. 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3的最大值为__________． 答案 1－32解析 ∵f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝2cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， ∴f (x )的最大值为1－32. 9．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值． 解 (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3 ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3 ＝12. (2)∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，∴2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．如图，已知单位圆上有四点E (1,0)，A (cos θ，sin θ)，B (cos 2θ，sin 2θ)，C (cos3θ，sin 3θ)，0<θ≤π3，分别设△OAC ，△ABC 的面积为S 1和S 2.(1)用sin θ，cos θ表示S 1和S 2；(2)求S 1cos θ＋S 2sin θ的最大值及取最大值时θ的值． 解 (1)根据三角函数的定义，知∠xOA ＝θ，∠xOB ＝2θ，∠xOC ＝3θ，所以∠xOA ＝∠AOB＝∠BOC ＝θ，所以S 1＝12·1·1·sin(3θ－θ)＝12sin 2θ. 因为S 1＋S 2＝S 四边形OABC＝12·1·1·sin θ＋12·1·1·sin θ＝sin θ， 所以S 2＝sin θ－12sin 2θ＝sin θ(1－cos θ)． (2)由(1)知S 1cos θ＋S 2sin θ＝sin θcos θcos θ＋sin θ1－cos θsin θ ＝sin θ－cos θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＋1. 因为0<θ≤π3，所以－π4<θ－π4≤π12， 所以－22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4≤sin π12＝6－24， 所以S 1cos θ＋S 2sin θ的最大值为3＋12，此时θ的值为π3. B 组 专项能力提升(时间：15分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos α－π4等于( )A ．－255B ．－3510C ．－31010 D.255答案 A解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos α－π4＝2sin αsin α＋cos α22sin α＋cos α＝22sin α ＝－255. 12．若α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( ) A.22B.33C.2D. 3 答案 D解析 ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14， ∴sin 2α＋cos 2α－sin 2α＝14， ∴cos 2α＝14， ∴cos α＝12或－12(舍去)， ∴α＝π3，∴tan α＝ 3. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝________. 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝________. 答案 ± 3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3，∴a ＝± 3. 15．(2015·某某一模)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8[sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π8 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由(1)可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8∈[－1，2]，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
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[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
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冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
2022届高考一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式
(2)和差角公式变形：
sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，
cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，
tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
[拓展]
1±sin α＝sin
α2±cos
α22，1＋cos α＝2cos2
2．三角函数求值有三类 (1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值， 解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． (2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔 细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合 公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解． (3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的 范围，确定角．
[例 2]
(1)化简：2tan2（coπ4s－4xx－）2scions22（x＋x＋12 π4）＝________．
[解析]
原式＝2ta2nco（s2π4x－（xc）os2cxo－s2（1）π4－＋x12）
＝
－4cos2xsin2x＋1
4sin（π4－x）cos（π4－x）
＝2si1n－（sπ2i－n222xx）
[破题技法] 1.应用三角公式化简求值的策略 (1)使用两角和、差及倍角公式时，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例 如两角和、差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”． (2)使用公式求值时，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． (3)使用公式求值时，应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用，用特殊角 来表示非特殊角等．
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式习题课件理
在△ABC 中，根据余弦定理， 得 a2＝b2＋c2－2bccosπ3＝(b＋c)2－3bc. 由 b＋c＝2，知 bc≤b＋2 c2＝1，即 a2≥1. ∴当且仅当 b＝c＝1 时，取等号． 又由 b＋c>a 得 a<2.所以 a 的取值范围是[1,2)．
第三十三页，共43页。
得 cosα＋β2＝5 93，故选 C.
第九页，共43页。
7．(2018·长春模拟)已知 tan(α＋β)＝－1，tan(α－β)＝12，
则ssiinn22αβ的值为( )
1 A.3
B．－13
C．3
D．－3
第十页，共43页。
解析 ssiinn22αβ＝ssiinn[[αα＋＋ββ＋－αα－－ββ]] ＝ssiinnαα＋＋ββccoossαα－－ββ＋－ccoossαα＋＋ββssiinnαα－－ββ ＝ttaannαα＋＋ββ＋－ttaannαα－－ββ＝13.故选 A.
解析 cos130°－sin1170°＝cos130°－sin110°
＝ 3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝ 2sin110°－30°＝－12sin20°＝ －
2sin20°
2sin20°
4. 故选 D.
第七页，共43页。
6．若 0<α<π2，－π2<β<0，cosπ4＋α＝13，cosπ4 － β2＝ 33，
第十六页，共43页。
10．(2018·河北模拟)已知 θ∈0，π4，且 sinθ－cosθ＝－
414，则2ccoossπ42θ＋－θ1 等于(
)
2433 A.3 B.3 C.4 D.2
第十七页，共43页。
解析 由 sinθ－cosθ＝－ 414，得 sinπ4－θ＝ 47， ∵θ∈0，π4，∴π4－θ∈0，π4， ∴cosπ4－θ＝34， ∴2ccoossπ42θ＋－θ1 ＝sicnoπ4s－2θθ＝ssiinnπ2π4－－2θθ ＝sisnin2π4π4－－θθ＝2cosπ4－θ＝32.故选 D.
高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形3_5两角和与差的正弦余弦和正切公式文新人教A版
∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－34π. [答案] (1)A (2)－34π
名师点拨 已知三角函数值求角时，要先确定所求角的范围，再选择在该范围内 具有单调性的某一三角函数求解，否则容易出现增根．如若 α∈(0，π)，则选余弦 函数；若 α∈－π2，π2，则选正弦函数．
)
A．－285
8 B.25
C．－1275
17 D.25
(2)已知 tan(α＋β)＝25，tan β＝13，则 tan(α－β)的值为________．
[解析] (1)sin 2α＝－cosπ2＋2α＝2 sin2π4＋α－1＝2×252－1＝－1275. (2)∵tan(α＋β)＝25，tan β＝13，∴tan α＝tan[(α＋β)－β]＝1t＋antaαn＋αβ＋－βt·atannββ＝1＋25－25×13 13 ＝117， ∴ [答ta案n(]α－(1β))C＝1t＋a(2n)tα－an－2α7t6taannββ＝1＋1171－ 17×13 13＝－276.
跟踪训练 (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)若 sin α＝13，则 cos 2α＝________
8
7
A.9
B.9
C．－79
D.－89
解析：cos 2α＝1－2sin2α＝1－29＝79，故选 B.