一种推导科里奥利加速度的简单方法
科里奥利力简单推导
相对转动参考系运动的物体，
除受到离心力外，
还受到一个力 ，称科里奥利力。
表达式为：
f c 2m
推导见后
2
f c 2m
•式中m为地球质量，v为物体相对地球速 度， ω为地球自转角速度。“×”号为矢量 积的符号，它表示F科的方向恒垂直于。w 和w （v的方向沿地铀指向天极）所确定 的平面。如图1所示，F科的方向可用右手 螺旋法则确定。当右手四指由v沿α角（为 v与ω两向量间的夹角，取小于180°的一 个）转向ω的方向弯曲时，挠起的拇指所 指方向就是F科的方向。F科在数值上等于 2mvωsinα，即与运动物体的质量、速度和 α角的正弦成正比。由于科里奥利力垂直 于物体的运动方向，所以它只改变物体的 运动方向，不影响物运动速度的大小。
顶视 1 2 Fc 摆 Fc 2 3 地球 1
傅 科 摆
24小 时 摆平面转动周期 T Sin
49，T 31小时52分 巴黎，
40，T 37小时 15分 北京，
这是在地球上验证地球转动的著名的实验。
实物演示 8 科氏力
附：科里奥利力简单推导
我们以特例推导，然后给出一般表达式。
c
fc
北半球的河流 水流的右侧被冲刷较重
落体向东偏斜
付科摆摆动平面偏转
证明地球的自转
柏而 定律 图示
北半球的科氏力
信风的形成
旋风的形成
5
赤道附近的信风 (北半球东北， 南半球东南)
6
7
▲傅科摆 （傅科，1851，巴黎伟人祠，摆长67m， 摆锤28kg，摆平面转动）
如图，质点m在转动参 考系（设为S'系）中沿 光滑凹槽 一光滑凹槽运动， m · S ′ O 速度为 v r
科里奥利效应 推导
科里奥利效应推导
科里奥利效应是一种自然现象，也是大气科学领域的一个重要概念，它描述的是地球自转对风向偏转的影响。
科里奥利效应的推导可以通过下面几步来完成：
首先，我们需要知道风向偏转的原理。
当气流在地球表面上流动时，它会受到地球自转的作用，导致它的运动轨迹不是笔直的，而是稍微偏转了一些。
这个偏转的方向与风流动方向和地球自转方向的关系有关。
其次，我们需要了解科里奥利力的定义。
科里奥利力是描述气流偏转的力，可以用以下公式表示：
Fcor = 2mω× v
其中，Fcor 表示科里奥利力的大小，m 表示气流的质量，ω表示地球自转的角速度，v 表示气流的速度。
最后，我们将上述公式代入牛顿第二定律，可以得到气流加速度的表达式：
a = Fcor / m
将科里奥利力的公式代入，得到：
a = 2ω× v
这个公式描述了气流受到科里奥利力的加速度大小与气流速度和地球自转速度之间的关系。
通过上述推导，我们可以看到科里奥利效应的产生是由于地球自转的影响，这一效应在大气科学的各个领域都有着广泛的应用。
基于三角函数求导的科里奥利力表达式推导
基于三角函数求导的科里奥利力表达式推导①杨照锐，何尚文*（郑州大学力学与安全工程学院，河南郑州450001）［摘要］理论力学中，科里奥利力是非常重要且相对抽象不容易理解的教学内容。
利用旋转坐标中做匀速直线运动物体的相对运动，通过向量在直角坐标系下的描述以及三角函数求导，用数学的概念描述了科里奥利力的产生，并根据向量方向的特征解释了科里奥利力方向的判断。
能够使学生更加清晰地认识科里奥利力的同时深度理解高等数学在实际力学中的应用，培养学生更加严密的数理逻辑能力。
［关键词］科里奥利力；动参考系；三角函数求导［中图分类号］G642［文献标志码］A［文章编号］2096-0603（2021）28-0068-02科里奥利力（下文简称科氏力）是当动参考系发生旋转的同时质点相对于动系有相对运动而产生的惯性力，它是大学物理和力学专业课程中的重要组成部分[1]。
在点的运动合成中，动系的转动且质点有相对速度的运动状态比动系平移的情况要复杂而抽象，学生往往难以理解。
同时科氏力方向的判断给很多学生造成很大的困扰[2]。
尽管对于科氏力在生活和工程中应用的探讨和研究有很多，但是用较为严密的数学理论对科氏力的产生进行推导的讨论尚不多见[3][4]。
基于此，本文通过使用大学数学中最基本的坐标变换和三角函数求导对科氏力的产生进行数学描述。
采用该方法的讲解能够加深学生对低年级阶段学习的高等数学在实际力学问题中应用的理解，更深入地理解科氏力。
一、旋转坐标系中匀速运动的物体运动方程图1中圆盘以匀角速度ω沿逆时针方向旋转，xy坐标系为惯性系，XY系为随圆盘一起转动的随体坐标系。
质量为m的物体不受任何外力的情况下在圆盘上做匀速直线运动，速度为v。
当物体的运动方向沿惯性系的y轴时，在xy坐标下该物体的位置向量r→和速度v→分别表示为r→=（0，y）（1）v→=（0，v y）=（0，dy dt）（2）同时，该物体的运动在随体坐标XY下的描述为R→=（X，Y）=（y sinθ，y cosθ）（3）xyvmωθy sinθy cosθOXY图1旋转坐标下物体的运动V→=（V X，V Y）=（dX dt，dY dt）（4）转角θ为圆盘转动角速度关于时间的函数（ωt），则V X=dX dt=d dt（y sinωt）由复合函数求导可得V X=v·sinωt+y·ωcosωt（5）同理V Y=v·cosωt+y·（-ωsinωt）（6）式（5）和式（6）整理可得V→=（V X，V Y）=（v sinωt+yωcosωt，v cosωt-yωsinωt）物体在旋转坐标系XY下的加速度能够通过对速度V→求导得到。
科里奥利力的计算公式
科里奥利力的计算公式科里奥利力是一种在旋转参考系中出现的虚拟力，在物理学中有着重要的地位。
要理解科里奥利力，咱们得先从它的计算公式说起。
科里奥利力的计算公式是：F = -2m（ω×v）。
这里的 F 表示科里奥利力，m 是物体的质量，ω 是旋转参考系的角速度，v 是物体相对于旋转参考系的速度，而“×”表示矢量叉乘。
为了让大家更清楚这个公式，我给您讲个事儿。
有一次，我在公园里看到一个有趣的现象。
公园里有一个大型的旋转木马，很多小朋友在上面玩儿得不亦乐乎。
我就在旁边观察，突然发现一个小朋友扔出了一个小皮球。
从我们静止在地面上的人的视角看，这个小皮球的运动轨迹很奇怪，它不是直线，而是有一点点弯曲。
这就让我想起了科里奥利力。
就像这个旋转木马上的情况，木马在旋转，就相当于一个旋转参考系。
小朋友扔出的小皮球的速度 v 与旋转木马的角速度ω 相互作用，就产生了科里奥利力，让小皮球的运动轨迹发生了弯曲。
咱们再深入看看这个公式里的每个量。
物体的质量 m 很好理解，就是物体本身的“重量”。
角速度ω 呢，它描述了旋转参考系旋转的快慢。
想象一下地球的自转，地球自转的角速度就决定了很多大气环流和洋流的运动方向。
速度v 是物体在这个旋转参考系中的相对速度。
比如说，在地球上，风从一个地方吹向另一个地方，这个风的速度就是相对于地球这个旋转参考系的速度。
科里奥利力在很多实际的现象中都起着关键作用。
比如在北半球，河流冲刷河岸的时候，右侧的河岸往往受到更强烈的冲刷。
这就是因为河水流动的速度和地球自转的角速度相互作用，产生了科里奥利力，导致了这样的现象。
还有台风的旋转方向。
在北半球，台风通常是逆时针旋转的，而在南半球则是顺时针旋转。
这也是科里奥利力在“搞鬼”。
在日常生活中，我们可能不会直接用到科里奥利力的计算公式去计算什么具体的数值，但了解它能帮助我们更好地理解这个世界。
就像在公园里看到的那个小朋友扔出的小皮球，一个小小的现象背后，其实隐藏着深奥的科学原理。
科里奥利力(Coriolis ienertial force)与科里奥利加速度(Coriolis acceleration)
88 年
第四期
科 里奥 利 力( 与科 里 奥 利加 速度 (
金 子 布
本 文 旨在通 过 阐述科 氏力
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科 氏加 速度
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现在我们 来 看质 点 M 在 动 系
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清 科 氏 加速 度 与科 氏力 产生 的加 速 度 的
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一 几
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科里奥利质量流量计原理与应用
46一、科里奥利质量流量计原理当质量为m的质点以速度υ在对p 轴作角速度ω旋转的管道内移动时，质点受到两个分量的加速度及其力。
1）、法向加速度即向心力加速度αr，其量值等于ω2r，方向朝向P轴；2）、切向加速度αt 即科里奥利加速度，其量值等于2ωυ，方向与αr垂直。
由于复合运动，在质点的αt方向上作用着科里奥利Fc=2ωυm，管道对质点作用着一个反向力-Fc= -2ωυm。
当密度为ρ的流体在旋转管道中以恒定速度υ流动时，任何一段长度Δx的管2道都将受到一个ΔFc的切向科里奥利力。
（1）式中 A——管道的流通内截面积。
由于质量流量计流量即为δm，δm=ρυA，所以（2）因此，直接或间接的测量在旋转管道中的流动流体产生的科里奥利力就可以测的得质量流量，这就是CMF的基本原理。
二、影响质量流量计准确度的因素1.工艺温度对质量流量计准确度的影响。
科氏力质量流量计的质量流量测量原理都是基于下面公式【1】: (1)式中： 为质量流量;K 为传感管的扭转弹性模量;为左右传感管的时间差;为左右传感管的半径。
当K、r为常数时，仅与时间差 成正比。
然而与金属弹性变化有关的杨氏弹性模量是温度的函数。
当温度发生变化时，传感管的钢性也随之变化，K就不再是一个常数，从而影响质量流量计的准确度；当温度变化时，还会引起传感器的几何结构的不均衡, 从而影响到质量流量计的零点稳定度。
当流量较大时,工艺温度变化对流量测量准确度的影响不是很大。
就CMF200型来说,在额定流量时,每变化1度才影响准确度±0.0001%。
但流量较小时,工艺温度对准确度的影响就不可忽视了。
2.工艺压力对质量流量计准确度的影响。
从公式（1）我们知道，当r即左右传感管的半径发生变化，也会影响到质量流量计的测量准确度。
在实际应用中，我们知道传感管是一个弹性元件，一般管壁较薄,当压力增大时，r值也会随着增大，从而影响准确度。
压力对测量准确度的影响：当工艺压力增大，会使流量计产生一个负向偏差，表现为流量显示值比实际值偏小；当压力减小时；会使流量计产生一个正向偏差，表现为流量显示值比实际值偏大。
科氏加速度
一般地可以证明，当质量为m的质点相对 于转动参考系（角速度矢量为ω ）的速 度为V时，则在转动参考系内观察到的科 里奥利力为
Fc=2m V × ω。
傅科摆是科里奥利力的一个重要应用。
傅科摆 （１）用科里奥利力解析傅科摆 下面用科里奥利力向大家详细介绍一下有关傅科摆的问题。 上面已经说明，在一般情况下，科里奥利力的公式为： fc=2mv×ω w : 转动系的角速度矢量，w的方向与转轴重合，指向按右手螺旋法则 规定。 傅科摆受科里奥利力解释对于北半球Ａ点的傅科摆来讲，当摆在一 Ａ点有任意速度Ｖ时，其速度均可分为三个分量，径向分量Ｖr ，角向 分量ＶΦ ，轴向分量V//。 对于Ｖr ：根据公式，可知其受到的科里奥利力为：fc r = 2mvr ×ω, 其大小为2mvrω , 方向为沿y 轴正方向． 对于ＶΦ ：则根据分式有，fΦ ＝２mvΦ×ω , 其大小为2mvΦω ,方向 为沿x轴的正方向． 对于V// ：因为V// 与ω的方向夹角为0，所以其不受科里奥利力的作用。 则小球受到的科里奥利力为： fc = fc r + fΦ (3)
科里奥利质量流量计实物图
谢谢观看！ PB04203141 朱坤战
利用此例可导出科里奥利力的定量公式。 以转动系为参考系，球从A到 达B’的时间是
△t’=（OA－OB）/V’
在△t’时间内球偏离AB的距离 BB’=（V1－V2）△t’
=ω（OA－OB）△t’
= V’ω t '
2Leabharlann 在△t’很小的情况下，可以认为沿BB’的运动是匀加速运动而初速为0，以 2 a’表示以加速度应用BB’=1/2 a’ t ' ，与上一结果比较可得：a’=2V’ω。 在此转动参考系内形式地应用牛顿第二定律，可得科里奥利力大小为 FC=ma’=2m V’ω 在此例中，圆盘沿逆时针方向转动，科里奥利力方向指向质点运动的右 方。同理，如果圆盘沿顺时针方向转动，则科里奥利力的方向指向质点 运动的左方。
科里奥利力原理
流量
科里奥利加速度的大小为： ak = 2ωvr sin θ
方向：
垂直于角速度 ω 和相对加速度 vr 所决定的平面，它的
指向按右手定则决定。如图。
产生科里奥利加速度的 力称为科里奥利力
F = ma a0 = ar + ae + ak ∴mar = F − mae − mak = F + Qe + Qk
动点相对于静坐标系运动的加速度称为动点
的绝对加速度，以 aα 表示。
动点相对于动坐标系运动的加速度称为动点
的相对加速度，以 ar 表示。 动点的牵连加速度是指某瞬时动坐标系上
与动点相重合之点（牵连点）相对于静坐标系
运动的加速度，以 ae
表示。
重庆大学自动化学院 检测技术与仪表 V 2014.07 第168/220页
重庆大学自动化学院 检测技术与仪表 V 2014.07 第164/220页
流量
• 绝对速度、相对速度和牵连速度 动点相对于静坐标系运动的速度称为动点的绝对
速度，以 vα 表示； 动点相对于动坐标系运动的速度为动点的相对速
度，以 vr 表示。动坐标系是一个包含与之固连的刚体 在内的运动空间，除动坐标系作平移外，动坐标系上 各点的运动是不相同的。
流量
aα
= dvα dt
= dω × r + ω × dr + dvr
dt
dt dt
ω×
dr dt
= ω × d~r
dt
+ ω × r
= ω × vr
+ ω × (ω × r)
dvr dt
=
dv~r dt
+ ω × vr
（1） （2） （3）
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一种推导科里奥利加速度的简单方法第一封信
在许多普通物理教材中对科里奥利力都避而不谈。
大概都是因为科里奥利加速度太抽象，其推导又很复杂所致。
我最近找到一个简单的方法，不仅使科里奥利加速度更加直观，而且其推导也极为简单,只要知道如何根据定义来推导质点做圆周运动时的加速度a=ωv 的方法就可以了。
现介绍如下。
设质点以速度v ，在以角速度ω转动的参照系中，垂直于转动轴的平面里，从A 点通过转轴O 向B 点运动时（如图中的绿线所示），由于转盘转过了θ角，而实际到达了B ’点，如图所示。
在此过程中，开始时刻质点既有指向转轴的相对速度v 又跟随转盘以角速度ω旋转的牵连速度v t 所以其速度方向为AC 。
当A 点距离转轴足够近时其牵连速度v t 足够小，其合速度的大小仍为v 。
随着质点的运动，转盘不断旋转。
所以质点的运动实际为一圆弧。
其速度方向时刻与圆弧相切。
到达B ’点时，同样具有相对于转轴的相对速度v ，又有跟随转盘旋转的牵连速度v t 。
可以看出其所对应的圆周角∠ADB ’，等于转盘转过的角度θ。
而质点的圆周运动所转过的角度即其所对应的圆心角∠AO ’B ’等于转盘所转过角度θ的2倍，即其速度该变量为2v v θ∆=⨯，所以其加速度为a=2ωv .此即科里奥利加速度，又称旋转加速度。
其方向是与其速度v 垂直指向圆心O ’的。
当物体在其他点运动时，则可以把转动参照系移到该点，而成为不仅有转动且有圆周运动的参照系。
则可得到物体不仅具有科里奥利加速度且有向心加速度。
若物体不是在垂直于转轴的平面内，而是其运动方向与转轴有夹角θ，则其科里奥利加速度为a 科=2ωvsin θ。
首先要说的是，对科里奥利加速度的推导，一般是在理论力学中进行的，这种推导是建立在矢量分析的基础之上的。
而在普通物理教材中对科里奥利加速度都避而不谈，因为大一的学生刚刚学习了数学分析。
在我所接触到的普通物理教材中只有福里斯的普通物理中有关于科里奥利加速度的讨论。
当然在目前把微积分的基本方法下放的高中的情况下，大一的普通物理是如何讲的，我不太清楚。
不过我想仍然不应超出数学分析的水平。
你上次在教科所见面时，提到在普通物理中关于科里奥利加速度的推导。
我不知道你所说的是哪一本普通物理。
我的出发点，就是在普通物理的水平上来推导科里奥利加速度。
为此，我把福里斯的普通物
理中的相关推导方法作为附件（为了更加容易理解，我也做了少许改动），发给你。
下面回答你的问题：1.我并不是刻意要用向心加速度的公式来计算科里奥利加速度，我只是根据加速度的定义来求科里奥利加速度。
就如福里斯的普通物理中求科里奥利加速度的方法一样。
只是我选择了质点通过转轴的瞬间来求其加速度罢了。
我所以说只要知道圆周运动中a v ω=⨯就可以了，只是为了说明这种推导方法不需要什么预备知识。
2.如果质点所处的位置A ，不在转轴处时，则可以根据运动的合成原理来推理。
这我在下面已经说了：“当物体在其他点运动时，则可以把转动参照系移到该点，而成为不仅有转动且有圆周运动的参照系。
则可得到物体不仅具有科里奥利加速度且有向心加速度。
”
3.如上所述，当质点不处于转轴处时第三项——向心加速度自然就会出现。
4.你从矢量分析的推导得出的科里奥利加速度的组成的认识当然是对的，我的推导只是建立在数学分析的基础之上，就如同福里斯的普通物理一样，他适合于大一的水平。
但是这种推导又比福里斯的普通物理的推导简单明了得多。