椭圆及其性质

学生姓名： 年级： 学科： 授课教师：
上课时间： 课时计划：第（ ）课时
椭 圆
学习目标：
掌握椭圆的定义、标准方程及几何性质. 基本知识：
一、椭圆的定义：平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数122(2)a a F F >的动点P 的轨迹叫椭圆,其
中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点.
当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在;
当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段. 二、椭圆的方程与几何性质:
三、重要题型
题型1:椭圆定义的运用
[例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性 质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭 圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它 的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径 不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小 球经过的路程是（ D ）
A ．4a
B ．2()a c -
C ．2()a c + D
练习：
1、短轴长为5，离心率3
2
=
e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是（ C ）
A.3
B.6
C.12
D.24
2、已知P 为椭圆
22
12516
x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ B ）
A ． 5
B ． 7
C ．13
D ． 15
题型2 求椭圆的标准方程
[例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程.
[解析]设椭圆的方程为122
22
=+b y a x 或)0(122
22
>>=+b a a y b x ，则⎪⎩
⎪
⎨⎧
+=-=-=2
22)12(4c b a c a c b ，
解之得：24=a ，b =c ＝4.
则所求的椭圆的方程为
116322
2=+y x 或132
1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系．
［警示］易漏焦点在y 轴上的情况． 练习：
3、如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________.
[解析](0,1). 椭圆方程化为22x +k
y 22=1. 焦点在y 轴上，则k 2
>2，即k <1. 又k >0，∴0<k <1.
4、椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是3，则椭圆方程是__________________.
[解析] ⇒⎩⎨⎧==-c a c a 23⎪⎩⎪⎨⎧==3
3
2c a ，3=∴b ，所求方程为122x +92y =1或92x +122y =1.
题型3 求椭圆的离心率（或范围）
[例3 ] 在ABC △中，3,2||,300===∠∆ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ． [解析] 3sin ||||2
1
=⋅=
∆A AC AB S ABC ， 32||=∴AC ，2cos ||||2||||||22=⋅-+=A AC AB AC AB BC 2
1
32322||||||-=
+=+=
BC AC AB e 练习：
5、如果一个椭圆的长轴长是短轴长的两倍,那么这个椭圆的离心率为（ B ） A .
45 B .23 C .2
2 D .21
6、已知m ，n ，m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆
12
2=+n y m x 的离心率为 [解析]由⇒⎪⎩
⎪⎨⎧≠=+=0222
2m n n
m n n m n ⎩⎨
⎧==4
2n m ，椭圆122=+n y m x 的离心率为22
题型4 椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）
[例4 ] 已知实数y x ,满足12
42
2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值. 【解题思路】 把x y x -+2
2
看作x 的函数
[解析] 由
12
42
2=+y x 得22212x y -=, 2202
122
≤≤-∴≥-
∴x x ]2,2[,2
3
)1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x
当1=x 时,x y x -+22取得最小值2
3,当2-=x 时,x y x -+2
2取得最大值6
练习：
7、已知点B A ,是椭圆22
221x y m n +=（0m >，0n >）上两点,且BO AO λ=,则λ=
[解析] 由
12
42
2=+y x 得22212x y -=, 2202
122
≤≤-∴≥-
∴x x ]2,2[,2
3
)1(212212222-∈+-=+-=-+∴x x x x x y x
当1=x 时,x y x -+22取得最小值2
3
,当2-=x 时,x y x -+22取得最大值6
10、如图，把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分成8等份，过每个分点作
x 轴的垂线交椭圆的上半部分于1234567,,,,,,P P P P P P P 七个点，
F 是椭圆的一个焦点，则
1234567PF P F PF P F P F P F P F ++++++=________________. ［解析］由椭圆的对称性知：
352536271==+=+=+a F P F P F P F P F P F P ． 题型5 椭圆与向量、解三角形的交汇问题
[例6 ] 已知椭圆C 的中心为坐标原点O ,一个长轴端点为()0,1,短轴端点和焦点所组成的四边形为正方
形，直线l 与y 轴交于点P （0，m ），与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且3AP PB =
．
（1）求椭圆方程； （2）求m 的取值范围．
[解析]（1）由题意可知椭圆C 为焦点在y 轴上的椭圆，可设22
22:1(0)y x C a b a b
+=>>
由条件知1a =且b c =，又有222
a b c =+，解得 1,a b c ===
故椭圆C 的离心率为c e a ==，其标准方程为：12
122
=+x y （2）设l 与椭圆C 交点为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）
⎩
⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m 2x 2＋y 2
＝1 得（k 2＋2）x 2＋2kmx ＋（m 2－1）＝0 Δ＝（2km ）2－4（k 2＋2）（m 2－1）＝4（k 2－2m 2＋2）>0 （*） x 1＋x 2＝－2km k 2＋2， x 1x 2＝m 2－1k 2＋2
⎧x 1＋x 2＝－2x 2
消去x 2，得3（x 1＋x 2）2
＋4x 1x 2＝0，∴3（－2km k 2＋2）2＋4m 2－1
k 2＋2
＝0
整理得4k 2m 2＋2m 2－k 2－2＝0
m 2
＝14时，上式不成立；m 2≠14时，k 2
＝2－2m 24m 2－1
，
因λ＝3 ∴k ≠0 ∴k 2
＝2－2m 24m 2－1
>0，∴－1<m <－12 或 1
2<m <1
容易验证k 2>2m 2－2成立，所以（*）成立
即所求m 的取值范围为（－1，－12）∪（1
2
，1）
练习：
11、设过点()y x P ,的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A 、B 两点，点Q 与点P 关于y 轴
对称，O 为坐标原点，若BP PA = ，且1OQ AB ∙=
，则P 点的轨迹方程是（ ）
A. ()0,0132322>>=+y x y x
B. ()0,0132
32
2>>=-y x y x
C. ()0,0123322>>=-y x y x
D. ()
0,0123322
>>=+y x y x
[解析]
),(),3,23(y x y x -=-=132
322=+∴y x ，选A. 12、已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线
AB 交y 轴于点P ，若2AP PB =
，则椭圆的离心率是（ D ）
A B. 2
C. 13
D. 12。