初三数学圆的有关性质知识精讲

初三数学圆的有关性质知识精讲圆的有关性质1. 圆的有关概念圆、圆心、半径、弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、弦心距、等弧、等圆、同心圆、弓形、弓形的高。

说明：（1）直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦。

（2）半圆是弧，但弧不一定是半圆。

（3）等弧只能是同圆或等圆中的弧，离开“同圆或等圆”这一条件不存在等弧。

（4）等弧的长度必定相等，但长度相等的弧未必是等弧。

2. 点和圆的位置关系说明：点和圆的位置关系与点到圆心的距离和半径大小的数量关系是对应的，即知量位置关系就可以确定数量关系；知道数量关系也可以确定位置关系。

3. 和圆有关的角圆心角、圆外角说明：这两种与圆有关的角，可以通过对比，从（1）角的顶点的位置；（2）角的两边与圆的位置关系，两个方面去把握它们。

补充：如果角的顶点在圆内，则称这样的角为圆内角，圆心角是特殊的圆内角；如果角的顶点在圆外，且角的两边都与同一个圆相交，则称这样的角为圆外角。

4. 圆的有关性质（1）圆的确定<1>圆心确定圆的位置半径确定圆的大小。

<2>不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）圆的对称性<1>圆是轴对称图形，任何一条经过圆心的直线都是它的对称轴。

<2>圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

说明：一个圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个，一个圆绕圆心旋转任意角度，都能够和原图形重合，即圆还具有旋转不变性。

（3）垂径定理如果一条直线具有(1)经过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的劣弧(5)平分弦所对的优弧，这五个性质的任何两个性质，那么这条直线就具有其余三个性质，即：垂径定理：(1)(2)⇒(3)(4)(5)推论1：(1)(3)⇒(2)(4)(5)(2)(3)⇒(1)(4)(5)(1)(4)（或(5)）⇒(2)(3)(5)（或(4)）(1)(3)⇒(2)(4)(5)是“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”其中的弦必须是非直径的弦，假若弦是直径，那么这两条直径不一定互相垂直。

推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。

说明：在解决圆的有关问题时，有以下几种常引用的辅助线：（1）连弦的端点与圆心的半径。

（2）作弦心距（3）连圆心和弦的中点（遇弦的中点时） （4）连圆心和弧的中点（遇弧的中点时） 主要目的是：<1>利用垂径定理及推论解决有关线段相等、弧相等，两条直线互相垂直的问题。

<2>构造直角三角形，沟通已知量及未知量之间的关系，利用解直角三角形的知识去解决问题。

（4）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

说明：<1>在运用上述定理时，一定要注意“在同圆或等圆中”这一前提，否则结论不一定成立。

<2>上述定理是论证同圆或等圆中弧相等、角相等、线段相等的重要依据，尤其在证明圆内两弦相等时，最常用的方法是证明它们的弦心距相等。

<3>在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小，小弦的弦心距较大。

<4>经过圆内任意一点最长的弦是过这一点的直径，最短的弦是与过这一点的直径垂直的弦。

（5）圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

说明：推论2的应用非常广泛，一般地，题目中已知条件有直径时，往往要作出直径所对的圆周角——直角，在解决问题需要直角或证明垂直时，往往作出直径。

推论3是直角三角形斜边上的中线的性质定理的逆定理，是判断直角三角形或直角的又一依据。

（6）圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

说明：<1>这个定理在圆中探求角的相等或互补关系时经常用到。

<2>这个定理的逆命题也是正确的，即对角互补的四边形内接于圆。

例（1998某某）已知：如图，在⊙O 的内接∆ABC 中，AB AC +=12，AD BC ⊥，垂足为D （点D 在边BC 上），且AD =3，设⊙O 的半径为y ，AB 的长为x 。

（1）求y 与x 之间的函数关系式。

（2）当AB 的长等于多少时，⊙O 的面积最大？并求出⊙O 最大面积。

分析：由题设，观察到图中有两个直角三角形：Rt ADC Rt ADB ∆∆、，要建立⊙O 的半径r 与AB 的长x 的函数关系式，就要以AB ，⊙O 的直径（或半径）为边构造直角三角形，利用直角三角形中的边角关系或利用相似三角形的对应边成比例，将两个量y 、x 联系起来。

则AD BC ADC ABE ADC ABEAD AB ACAE ⊥∴∠=∠∴∴=，∆∆~即3122x x y=- ∴=-+≤≤y x x x 162392()（2）y x x =-+1622=--+16662()x∴当x =6时，y 最大=6∴当AB 长为6时，⊙O 的最大面积为36π说明：此题先用几何知识建立函数关系式，再利用此关系式求解其他问题，只有善于观察图形与图形之间关系，才能顺利地将量与量联系起来。

例1. 已知⊙O ，弦AB 、CD 相交于P ，求证：∠⋂+⋂APC m AC BD 12()证明：连结AD∠=∠+∠⋂+⋂⋂+⋂APC A Dm BD AC m BD AC 121212()ABOCDP说明：（1）此题说明圆内角的度数等于它和它的对顶角所对的两弧度数和的一半。

（2）同学们用同样的方法可以证明圆外角的度数等于它所夹两弧度数差的一半。

掌握这两个结论，对提高解题速度大有帮助。

例 2. 在锐角三角形ABC 中，BC a CA b AB c ===，，外接圆半径为R ，求证：a Ab B cCR sin sin sin ===2 证明：连结CO ，并延长交⊙O 于A '则∠=∠∠=︒A A A BC ''，90∴===sin sin ''A A BC A C aR2 即aAR sin =2 同理b B R c C R sin sin ==22，∴===a A b B c CR sin sin sin 2 说明：上面这个等式就是正弦定理，它说明任意一个锐角三角形中，一边与其所对的角的正弦值之比都等于该三角形的外接圆的直径。

例3. 已知⊙O 中半径r cm =5，AB 、CD 是两条平行弦，且AB cm =8，CD cm =6，求AC 的长。

分析：理解题意，确定弦AB 、CD 的位置。

解：如图1，由垂径定理及勾股定理得 O 点到CD 的距离为562422-=()图1O 点到AB 的距离为582322-=()∴弦AB 与CD 间距离为437+=或431-=从而AC =+-=78625222()或AC =+-=1862222() 如图2，AC =72或AC =52图2例4. 已知：如图，⊙O 中，AB//CD ，AE ＝BF ，CG ＝DH ，求证：PQ ＝RS 。

分析一：要证同圆中的两条弦相等的一般方法有：等弧对等弦；相等的圆心角或圆周角所对弦相等；弦心距相等的两弦相等，如能证明两弦PQ 、RS 的弦心距OM ＝ON ，则PQ ＝RS 。

证法一：过O 作KL AB ⊥于K ，交CD 于L ，过O 作OM PQ ⊥于M过O 作ON RS ⊥于N ，连OE 、OF 、OG 、OH∴==∴=KA KBAE BF KE KF，OK AB ⊥于K ，∴=∴∠=∠OE OF ，12 KL AB AB CD KL CD ⊥∴⊥，，// 同理可证OG OH =∠=∠，34∴∠=∠EOG FOH ∴≅∴=∆∆EOG FOHOM ON∴=PQ RS分析二：由于圆是轴对称图形，作出⊙O 的对称轴XY ，利用对称性证明完全可行。

证法二：过O 作直线XY AB ⊥∴A 、B 两点，C 、D 两点关于直线XY 对称 ∴==AE BF CG DH ，∴E 、F 两点，G 、H 两点关于直线XY 对称 ∴PQ 、RS 关于直线XY 对称 XY 是⊙O 的对称轴 ∴=PQ RS例5. 已知：如图，AM 是⊙O 的直径，过⊙O 上一点B 作BN AM ⊥，垂足为N ，其延长线交⊙O 于点C ，弦CD 交AM 于点E 。

（1）如果CD AB ⊥，求证：EN NM =。

（2）如果弦CD 交AB 于点F ，且CD ＝AB ，求证：CE EF ED 2=⋅。

（3）如果弦CD 、AB 的延长线交于点F ，且CD ＝AB ，那么（2）的结论是否仍成立？若证明：（1）连结BMAM 是直径，∴∠=︒ABM 90 CD AB BM CD ⊥∴，//∴∠=∠ECN MBN又AM BC CN BN ⊥∴=， ∴≅∴=Rt CEN Rt BMNEN NM∆∆点E 是BC 垂直平分线AM 上一点 ∴==∴⋂=⋂∴⋂=⋂∴∠=∠==∴≅∴∠=∠=∠BE ECCD AB CD AB AD BCACD BDC AB AC AE AE ABE ACEABE ACD BDC ，，，，又∆∆ 而∠BED 是公共角∴∴=⋅∴=⋅∆∆BED FEB BE EF ED CE EF ED~22 （3）结论成立，如图AB CEFDO仿（2）可证∆∆ABE ACE BE CE ≅∴=，∴∠=∠ABE ACE又 AB CD ACB DBC BD AC =∴∠=∠∴，，// ∴∠+∠=︒=∠+∠∴∠=∠BDE ACE FBE ABEBDE FBE180∠BED 是公共角，∴∆∆BED FEB ~ ∴=⋅∴=⋅BE EF EDCE EF ED221. 如图，⊙O 是∆ABC 的外接圆，AD 是BC 边上的高，已知BD ＝8，CD ＝3，AD ＝6，则直径AM 的长为________。

2. 已知：如图∆ABC内接于⊙O，过圆心O作BC的垂线交⊙O于点P，Q，交AB于点23. 如图，P为半⊙O直径AB延长线上一点，PCD交半⊙O于C、D，已知，，求∠ACD的度数。

2040P CAD∠=︒∠=︒4. 已知：如图，过平行四边形的顶点A 任作一圆分别交AB 、AC 、AD 于E 、F 、G ，求5. 已知⊙O 的半径r =4，AB 、CD 为⊙O 的两条弦，AB 、CD 的长分别是方程x x 24341630-++=()的两根，其中AB CD >且AB CD //，求AB 与CD 间的距离。

6. 已知：如图AB 是⊙O 直径，CD 是弦，AE CD ⊥，垂足为E ，BF CD ⊥，垂足为F 。