证明√2是无理数反证法
反证法的一般步骤
反证法的一般步骤反证法是一种重要的数学证明方法，也是逻辑推理中常用的一种推理方法。
通过对假设的否定进行论证，以此证明所要证明的命题成立。
本文将介绍反证法的一般步骤，以帮助读者更好地理解和运用这一推理方法。
第一步：明确所要证明的命题在使用反证法证明一个命题之前，首先需要明确所要证明的命题是什么。
这个命题可以是一个数学定理、一个命题、一个推论等。
第二步：假设反命题成立在使用反证法证明一个命题时，我们首先假设反命题成立。
也就是假定所要证明的命题是错误的。
第三步：推理求矛盾在假设反命题成立的前提下，推理出一个矛盾的结论。
这个矛盾可以是逻辑矛盾、数学矛盾等。
第四步：得出结论由于假设的反命题推理出了一个矛盾的结论，根据逻辑的原理，这意味着假设的反命题是错误的。
换句话说，所要证明的命题是正确的。
通过以上四个步骤，我们可以使用反证法证明一个命题。
下面我们来通过一个简单的例子来说明反证法的应用。
例子：证明根号2是无理数。
要证明根号2是无理数，我们可以运用反证法。
第一步：明确所要证明的命题所要证明的命题是：“根号2是无理数”。
第二步：假设反命题成立假设根号2是有理数，即可以表示为两个整数的比值，且两个整数没有公因数。
第三步：推理求矛盾假设根号2是有理数，那么可以表示为a/b的形式，其中a和b是整数，且没有公因数。
根据这个假设，我们可以得到以下等式：根号2 = a/b将两边的平方，可以得到：2 = (a/b)²进一步变形得到：2b² = a²由于a²是偶数，那么a也是偶数（假设 a = 2k）。
将其代入上面的等式中，可以得到：2b² = (2k)²2b² = 4k²b² = 2k²同理，由于b²是偶数，那么b也是偶数。
所以，我们可以得出结论：如果根号2是有理数，那么a和b都是偶数。
然而，这与我们最初的假设矛盾，我们假设a和b没有公因数，但事实上a和b都是偶数，它们至少有2这个公因数。
令人称奇的简单证明：五种方法证明根号2是无理数
令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数令⼈称奇的简单证明：五种⽅法证明根号2是⽆理数我喜欢各种各样的证明。
⼈们很难想到这样⼀些完全找不到突破⼝的东西竟然能够证明得到。
说“没有突破⼝”还不够确切。
准确地说，有些命题多数⼈认为“怎么可能能够证明”却⽤了⼀些技巧使得证明变得⾮常简单。
我看了五⾊定理的证明，定理宣称若要对地图进⾏染⾊使得相邻区域不同⾊，五种颜⾊就够了。
没看证明之前，我⼀直在想这个玩意⼉可以怎么来证明。
直到看了证明过程后才感叹居然如此简单，并且⽴即意识到四⾊定理基本上也是这种证明⽅法。
还有，像“⼀个单位正⽅形⾥不可能包含两个互不重叠且边长和超过1的⼩正⽅形”这样的命题竟然完全⽤初中学的那些平⾯⼏何知识证明到了，简单得不可思议。
关键是，我们能够读懂证明过程，但只有⽜⼈才能想到这个证明过程。
今天在OIBH上看到了这个帖⼦，帖⼦中哲⽜分享的⼀篇⽂章The Power Of Mathematics恰好说明了这⼀点。
⽂章中包含有⼀个推翻“万物皆数”的新思路，相当有启发性。
今天我想把我已经知道的四种证明连同新学到的这⼀个⼀起写下来。
如何证明存在⼀种不能表⽰为两个整数之⽐的数？古希腊曾有“万物皆数”的思想，这种认为“⼤⾃然的⼀切皆为整数之⽐”的思想统治了古希腊数学相当长的⼀段时间，许多⼏何命题都是根据这⼀点来证明的。
当时的很多数学证明都隐性地承认了“所有数都可以表⽰为整数之⽐”，“万物皆数”的思想是古希腊数学发展的奠基。
直到有⼀天，毕达哥拉斯的学⽣Hippasus告诉他，单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
被⼈们公认的假设被推翻了，⼤半命题得证的前提被认定是错的，古希腊时代的数学⼤厦轰然倒塌，数学陷⼊了历史上的第⼀次危机。
最后，Eudoxus的出现奇迹般地解决了这次危机。
今天我们要看的是，为什么单位正⽅形的对⾓线长度不能表⽰为两个整数之⽐。
单位正⽅形的对⾓线长度怎么算呢？从上⾯的这个图中我们可以看到，如果⼩正⽅形的⾯积是1的话，⼤正⽅形的⾯积就是2。
什么是无理数及其定义是什么
什么是无理数及其定义是什么什么是无理数及其定义是什么无理数最早是由毕达哥拉斯学派弟子希伯索斯发现，那么什么是无理数?下面店铺就带大家一起来详细了解下吧。
无理数基本定义无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。
若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。
常见的无理数有大部分的平方根、π和e(其中后两者同时为超越数)等。
无理数的另一特征是无限的连分数表达式。
传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟-子希伯斯发现。
他以几何方法证明无法用整数及分数表示。
而毕达哥拉斯深信任意数均可用整数及分数表示，不相信无理数的存在。
但是他始终无法证明不是无理数，后来希伯斯将无理数透露给外人——此知识外泄一事触犯学派章程——因而被处死，其罪名等同于“渎神”。
无理数是无限不循环小数和开方开不尽的数. 如圆周率、√2(根号2)等。
有理数是所有的分数，整数，它们都可以化成有限小数，或无限循环小数。
如22/7等。
实数(real number)分为有理数和无理数(irrational number)。
有理数可分为整数(正整数、0、负整数)和分数(正分数、负分数) 也可分为正有理数，0，负有理数。
除了无限不循环小数以外的数统称有理数。
1、把有理数和无理数都写成小数形式时，有理数能写成整数、小数或无限循环小数，比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而无理数只能写成无限不循环小数，比如√2=1.414213562…………根据这一点,人们把无理数定义为无限不循环小数。
2、无理数不能写成两整数之比。
利用有理数和无理数的主要区别，可以证明√2是无理数。
证明：假设√2不是无理数，而是有理数。
既然√2是有理数，它必然可以写成两个整数之比的形式：√2=p/q再假设p和q没有公因数可以约，所以可以认为p/q 为最简分数,即最简分数形式。
把√2=p/q 两边平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶数，p 必定为偶数，设p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也为偶数，设q=2n既然p和q都是偶数，他们必定有公因数2，这与前面假设p/q 是最简分数矛盾。
反证法在中小学数学中的运用例谈
在 中小学数学中，还有许 多求证无限性的 问 题 ，这时，如 果我们从正面证 明往往十分复杂，无从 下手 ，那么，我们就可 以用反证法从反面证明 了。如 ：问题 中含有 “ 无 穷” 、“ 无限” 等概念 时。
例 题 ３： 反 证 法 证 明根 号 ２ 是无理数。
数学 中常常运用反证法。一个 问题很难从正 面来解答 ，但是从
前 言
数学的重要证 明方法就是反证法 。反证 法是 ３在解答数 ＂ － 学 题 目时，对一个命题进行直接证 明感到十分 困难或者并不能证 明时，所采用的方法 。因为此方法在 中小学数学 中应 用十分广 泛，所以 中小学生应该对这一方法做到掌握和灵活运 用。 反正法的原理以及步骤
一
定理的缺乏 ，我们往往也采取反证法进行证明 。如 ： 我们 为了 推 出“ 至少存在 ” ， 往往是从其相反的结论“ 必定不存在 ” 出发的。 例题２ ： 一个三角形的三个内角 中， 至少存在 两个角是锐角。 假设三 角形有 ２ 个角大于或等于 ９ ０ 度． 那 么这个三 角形 的 内角和就大于 １ ８ ０ 度与 勾股定理 矛盾 ，所以三 角形 中至少有 两
反 证 法 的开 头 就 是 “ 否定 结论 ” ， 因此 一 定要 准确 无误 。 ２ ． “ 逻辑特点 ”要 明确 反证法是用相反 的假设来证明原假设的正确，而运用反证
在 中小学数 学之 中，运用反证 法证 明 了许 多的基 本定理 。 因为这种命题 的 已 经知道的定理 、公式、法则比较 少， 在得到 这个结论之 前，能够得到的定理或者公 式不多，或者 由于题设 条件 所能推 出的结论很 少，所以我们 为 了得 到这些基 本定理， 往往 采用反证 法。如 ： “ 两条相交直线只有一个 交点 ， ”“ 勾股 定理 ”“ 过平面外一点只有平面的一条垂线 ”这些 中小学常常
判断无理数的四个方法
判断无理数的四个方法无理数是指不能表示为两个整数的比值的数，它的小数部分无限不循环。
在数学中，我们经常需要判断一个数是否为无理数。
下面将介绍四种常见的方法来判断一个数是否为无理数。
方法一：反证法反证法是一种常用的数学证明方法，用于证明某个命题的否定。
对于判断一个数是否为无理数，我们可以采用反证法。
假设一个数是有理数，即可以表示为两个整数的比值。
然后我们推导出一个矛盾的结论，即这个数同时也可以表示为两个互质的整数的比值。
因为有理数可以化简为最简形式，所以这个假设与无理数的定义相矛盾，从而证明了这个数是无理数。
方法二：连分数展开法连分数是一种将一个实数表示为一个无限连分数的方法。
对于一个无理数来说，它的连分数展开是无限不循环的。
因此，我们可以通过计算连分数展开的有限项来判断一个数是否为无理数。
如果连分数的展开具有循环结构，那么这个数就是有理数；如果连分数的展开没有循环结构，那么这个数就是无理数。
方法三：代数证明法有些无理数可以通过代数方程的解来表示，这种无理数称为代数无理数。
对于一些特定的代数无理数，我们可以通过代数运算和方程的性质来判断它们是否为无理数。
例如，根号2是一个代数无理数，我们可以通过假设根号2是有理数，然后推导出一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
方法四：几何证明法几何证明法是通过几何图形的性质来判断一个数是否为无理数。
例如，我们可以通过构造正方形的对角线长度为1的等腰直角三角形来证明根号2是无理数。
假设根号2是有理数，那么我们可以构造出一个边长为1的正方形，然后根据勾股定理可以得到对角线的长度为根号2。
但是根号2是无理数，所以我们得出了一个矛盾的结论，从而证明根号2是无理数。
通过以上四种方法，我们可以判断一个数是否为无理数。
无理数的研究在数学中有着重要的地位，它不仅与代数、几何等数学分支密切相关，还在物理、工程等应用领域有着广泛的应用。
因此，对于无理数的判断方法的研究和应用具有重要的意义。
人教版七年级数学下册《为什么说根号2不是有理数》教学设计 (1)
二、讲授新课
1、5分钟时间带着2个问题自学58页阅读与思考。
（1）√2不是有理数这句话是命题吗？
（2）探究证明√2不是有理数需要应用哪些知识点？
2、学生发言“√2不是有理数”是否命题？
一般都能说出是真命题。题设是？结论是？
3、学生发言“探究证明√2不是有理数还需应用哪些知识点？”
题设：有一个数是√2，
结论：这个数不是有理数。
√2：不是有理数，是无理数
方法：反证法，奇偶分析法
4、教师给予所需知识点的补充说明证明真命题的方法：反证法。
反证法：通过断定与命题相反的结论的虚假来确定原命题的真实性的论证方法。
与命题相反的结论是什么？题设成立，方法。
（1）先把结论否定，假设√2是有理数，用之前复习的有理数可写成分数形式
（2）利用分子=分数值*分母
《为什么说根号2不是有理数》
教学
目标
知识与技能
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
过程与方法
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
情感、态度与价值观
培养学生的探究能力和归纳问题的能力。
课型
新授课
课时
第一课时
教学重点
掌握利用奇偶分析法证明根号2不是有理数。
教学难点
熟练使用奇偶分析法来证明被开方数是2的数不是有理数的证明方法。
教学方法
通过创设情境引发学生思考，引导学生积极动手动脑进行探索。教学环节的设计与展开都以生活中的常见问题为出发点，让学生在自主探索的过程中，形成自己的观点。
教学准备
PPT课件
教学过程设计
教学过程
教学过程
教学内容
数学名人故事手抄报内容
数学名人故事手抄报内容数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。
它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。
今天小编在这给大家整理了数学名人故事，接下来随着小编一起来看看吧!数学名人故事(一)徐光启(公元1562—1633年)字子先，号玄扈，吴淞(今属上海)人。
他从万历末年起，经过天启、崇祯各朝，曾作到文渊阁大学士的官职(相当于宰相)。
他精通天文历法，是明末改历的主要主持人。
他对农学也颇有研究，曾根据前人所著各种农书，附以自己的见解，编写了著名的《农政全书》，全书有六十余卷，共六十多万字。
明朝末年，满族的统治阶级从东北关外屡次发动战争，徐光启曾屡次上书论军事，并在通州练新兵，主张采用西方火炮。
他是一位热爱祖国的科学家。
他没有入京做官之前，曾在上海、广东、广西等地教书。
在此期间，他曾博览群书，在广东还接触到一些传教士，对他们传入的西方文化开始有所接触。
公元1600年，他在南京和利玛窦相识，以后两人又长期同住在北京，经常来往。
他和利玛窦两人共同译《几何原本》一书，1607年译完前六卷。
当时徐光启很想全部译完，利玛窦却不愿这样做。
直到晚清时代，《几何原本》后九卷的翻译工作才由李善兰(公元1811—1882年)完成。
《几何原本》是我国最早第一部自拉丁文译来的数学著作。
在翻译时绝无对照的词表可循，许多译名都从无到有，当时创造的。
毫无疑问，这是需要精细研究煞费苦心的。
这个译本中的许多译名都十分恰当，不但在我国一直沿用至今，并且还影响了日本、朝鲜各国。
如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形……这许多名词都是由这个译本首先定下来的。
其中只有极少的几个经后人改定，如“等边三角形”，徐光启当时记作“平边三角形”;“比”，当时译为“比例”;而“比例”则译为“有理的比例”等等。
《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。
徐光启对《几何原本》区别于中国传统数学的这种特点，有着比较清楚的认识。
√2是无理数的证明方法
√2是无理数的证明方法
要证明√2是无理数，需要使用反证法。
即假设√2是有理数，可以表示为p/q，其中p和q都是整数，并且它们没有公共因数。
则根据等式√2=p/q，两边平方得到：2=p^2/q^2。
将等式的两边乘以q^2，得到：2q^2=p^2。
由此可知，p^2必定是2的偶数倍。
因为偶数的平方仍然是偶数，奇数的平方是奇数。
所以，p必须是偶数，即p=2k（k为整数）。
代入原方程中，得到2q^2 = (2k)^2，即 q^2 = 2k^2。
同理，q^2也是2的偶数倍。
这与最初的假设矛盾，因为p和q 不可能同时为2的偶数倍，否则它们就有公共因数2，与最初的前提矛盾。
因此，√2不能表示成两个整数的比值，即√2是无理数。
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证明√2是无理数反证法
【实用版】
目录
1.引言：介绍√2 的无理性的重要性
2.反证法的定义和应用
3.假设√2 是有理数
4.推导出矛盾结果
5.结论：√2 是无理数
正文
1.引言
在数学中，无理数是指不能表示为两个整数之比的实数。
其中，最著名的无理数之一就是√2，即平方根 2。
证明√2 是无理数可以追溯到古希腊时代的数学家，他们使用了一种叫做反证法的证明方法。
在本文中，我们将使用反证法来证明√2 是无理数。
2.反证法的定义和应用
反证法是一种数学证明方法，其基本思想是：假设某个命题的反面成立，然后通过逻辑推理得出矛盾结果，从而证明原命题成立。
这种证明方法在数学中有着广泛的应用。
3.假设√2 是有理数
首先，我们假设√2 是一个有理数，即可以表示为两个整数 p 和 q 的比，其中 p 和 q 没有公共因数（即它们是互质的）。
根据这个假设，我们可以得到如下等式：
√2 = p/q
其中 p 和 q 是互质的整数。
4.推导出矛盾结果
接下来，我们将对上述等式进行平方操作，得到：
2 = p^2/q^2
这意味着 p^2 是 q^2 的 2 倍，即存在一个整数 k，使得：
p^2 = 2k * q^2
由于 2 是质数，所以它的质因数分解中，质数 2 的指数必须是偶数。
因此，我们可以设：
2k = 2m * n
其中 m 和 n 是整数。
将上式代入 p^2 = 2k * q^2 中，得到：
p^2 = 2m * n * q^2
这意味着 p^2 是 q^2 的 2m 倍，即存在另一个整数 l，使得：
p^2 = 2m * l * q^2
将这个等式与前面得到的等式相比较，我们可以发现：
2m * n = 2m * l
这说明 n 和 l 是相等的。
但根据假设，p 和 q 是互质的，所以 p^2 和 q^2 的质因数分解中，质数 2 的指数必须是不同的。
然而，我们刚刚证明了它们是相等的，这就产生了矛盾。