2020年高考文科数学新课标第一轮总复习练习：5-2等差数列及其前n项和含解析
2020版高考数学一轮复习 第5章 数列 第2讲 等差数列及其前n项和讲义 理(含解析)
）．见举例说明 2。
1．(2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an｝的前 n 项和．若 a4＋a5＝ 24，S6＝48，则｛an}的公差为（ )
A．1 B．2 C．4 D．8 答案 C 解析 设{an｝的公差为 d，则 由错误!得错误! 解得 d＝4.故选 C. 2．在公差为 d 的等差数列｛an}中，已知 a1＝10，且 5a3·a1＝(2a2＋2)2. （1）求 d,an； (2)若 d〈0，求｜a1｜＋｜a2|＋｜a3｜＋…＋|an|。 解 （1)由题意得 5a3·a1＝(2a2＋2)2，即 d2－3d－4＝0，故 d＝－1 或 d＝4，所以 an＝－n＋11，n∈N＊或 an＝4n＋6，n∈N*. (2）设数列{an}的前 n 项和为 Sn,因为 d〈0， 由（1)得 d＝－1，an＝－n＋11， 则当 n≤11 时，|a1|＋|a2|＋｜a3|＋…＋|an|＝Sn＝－错误!n2＋错误!n， 当 n≥12 时,｜a1|＋｜a2|＋｜a3|＋…＋｜an|＝－Sn＋2S11＝错误!n2－ 错误!n＋110。 综上所述， |a1｜＋|a2|＋|a3|＋…＋|an｜＝错误!
1．概念辨析
(1)已知数列｛an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数）,则数列 ｛an｝一定是等差数列．（ )
（2）数列{an｝为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函
数．( ）
(3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．（ ）
（4）数列｛an｝为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋1＝an
所以数列｛bn｝是以－52为首项，1 为公差的等差数列．
（2)由(1）知 bn＝n－错误!，则 an＝1＋错误!＝1＋错误!. 设 f(x）＝1＋错误!，
2020高考数学一轮复习第五章数列5.2等差数列及其前n项和课件文
【小题热身】
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)若一个数列从第 2 项起每一项与它的前一项的差都是常数， 则这个数列是等差数列．( × ) (2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意 n∈N*，都有 2an＋ 1＝an＋an＋2.( √ ) (3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为 n 的一次函 数．( × ) (4)已知数列{an}的通项公式是 an＝pn＋q(其中 p，q 为常数)， 则数列{an}一定是等差数列．( √ ) (5)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数．( × )
解析：(1)设等差数列{an}的公差为 d，由 3S3＝S2＋S4， 得 33a1＋3×23－1×d＝2a1＋2×22－1×d＋4a1＋4×24－1 ×d，将 a1＝2 代入上式，解得 d＝－3， 故 a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 故选 B.
(2)本题主要考查等差数列的通项公式．
考向二 等差数列的判定与证明
[自主练透型]
[2019·湖北华中师大附中期中]已知数列{an}满足 a1＝2，n(an ＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)．
(1)求证：数列ann是等差数列，并求其通项公式； (2)设 bn＝ 2an－15，求数列{bn}的前 n 项和 Sn________．
解析：∵a1＝40，d＝37－40＝－3， ∴an＝40＋(n－1)×(－3)＝－3n＋43， 令 an<0，即－3n＋43<0，解得 n>433， 故第一个负数项是第 15 项，即 a15＝－3×15＋43＝－2. 答案：－2
解析：(1)证明：∵n(an＋1－n－1)＝(n＋1)(an＋n)(n∈N*)，
2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版讲义：第六章第二节等差数列及其前n项和含答案
(组 )可
求出剩余的两个量．
[针对训练 ]
1． 已知数列
an n
是等差数列，且
a3＝ 2， a9＝ 12，则 a15＝ (
)
A． 10
B． 30
C． 40
D． 20
解析： 选 B
法一： 设数列
an n
是公差为
d 的等差数列，∵
a3＝ 2， a9＝ 12，∴
6d＝ a9－ a3＝ 12－ 2＝2，∴ 9 3 9 33
n 项和 Sn
的最值问题．
[ 例 2] (2018 全·国卷Ⅱ )记 Sn 为等差数列 {an}的前 n 项和，已知 a1＝－ 7， S3＝－ 15.
(1) 求 {an}的通项公式； (2) 求 Sn，并求 Sn 的最小值．
[ 解 ] (1)设 {an}的公差为 d， 由题意得 3a1＋ 3d＝－ 15. 又 a1＝－ 7，所以 d＝ 2.
(1) 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数 列．符号表示为 an＋1－ an＝ d(n∈N *， d 为常数 ) ．
(2) 等差中项：数列 a， A，b 成等差数列的充要条件是
A
a＋ ＝2
b，其中
A 叫做
a， b 的等差中项．
2． 等差数列的有关公式
[ 例 1] (1)(2019 武汉·模拟 )若数列 {an}为等差数列， Sn 为其前 n 项和，且 a1＝ 2a3－ 3，则 S9＝ ( )
A． 25
B． 27
C． 50
D． 54
(2)(2019 莆·田九校联考 )在等差数列 {an}中，若 a1，a2 019 为方程 x2－ 10x＋ 16＝0 的两根，则 a2＋ a1 010＋ a2 018＝ (
2020新课标高考数学(文)总复习专题限时训练：等差数列、等比数列通项与求和含解析
解得q2＝1或q2＝－2(舍去)、∴q＝±1.
∴a2 017＝4·(±1)2 017－1＝4.
答案：4
16．设等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn、若对任意自然数n都有 ＝ 、则 ＋ 的值为.
解析：∵{an}、{bn}为等差数列、
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝ .
∵ ＝ ＝ ＝ ＝ 、∴ ＝ .
所以S2 016＝2 016×a1＋ d＝0.故选D.
答案：D
10．已知数列an的前n项和为Sn、且Sn＋1＋Sn＝ (n∈N*)、若a10＜a11、则Sn取最小值时n的值为()
A．10B.9
C.11D.12
解析：∵Sn＋1＋Sn＝ ①、
由等差数列前n项和的性质、知数列{an}为单调递增的等差数列、
解析：由题意知a1＝2、由S3＝3a1＋ ×d＝12、解得d＝2、所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12.故选C.
答案：C
2．等差数列{an}的公差为2、若a2、a4、a8成等比数列、则数列{an}的前n项和Sn＝()
A．n(n＋1)B.n(n－1)
C. D.
解析：∵a2、a4、a8成等比数列、
∴a ＝a2·a8、即(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋7d)、将d＝2代入上式、解得a1＝2.
∴S5＋ ＝ ×34＝ ×34＝ 、
∴S5＝121.
答案：1 121
15．数列{an}是首项a1＝4的等比数列、且4a1、a5、－2a3成等差数列、则a2 017＝.
解析：设公比为q、则a5＝a1q4、a3＝a1q2.
又4a1、a5、－2a3成等差数列、
∴2a5＝4a1－2a3、即2a1q4＝4a1－2a1q2、
2020版高考数学大一轮复习第五章数列第2节等差数列及其前n项和讲义理含解析新人教A版
第节等差数列及其前项和考试要求.理解等差数列的概念；.掌握等差数列的通项公式与前项和公式；.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；.体会等差数列与一次函数的关系.知识梳理.等差数列的概念()如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：＋－＝(∈*，为常数).()若，，成等差数列，则叫做，的等差中项，且＝..等差数列的通项公式与前项和公式()若等差数列{}的首项是，公差是，则其通项公式为＝＋(－).()前项和公式：＝＋＝..等差数列的性质()通项公式的推广：＝＋(－)(，∈*).()若{}为等差数列，且＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋.()若{}是等差数列，公差为，则，＋，＋，…(，∈*)是公差为的等差数列.()若为等差数列{}的前项和，则数列，－，－，…也是等差数列.()若为等差数列{}的前项和，则数列也为等差数列.[微点提醒].已知数列{}的通项公式是＝＋(其中，为常数)，则数列{}一定是等差数列，且公差为. .在等差数列{}中，＞，＜，则存在最大值；若＜，＞，则存在最小值..等差数列{}的单调性：当＞时，{}是递增数列；当＜时，{}是递减数列；当＝时，{}是常数列..数列{}是等差数列⇔＝＋(，为常数).基础自测.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)()数列{}为等差数列的充要条件是对任意∈*，都有＋＝＋＋.( )()等差数列{}的单调性是由公差决定的.( )()数列{}为等差数列的充要条件是其通项公式为的一次函数.( )()等差数列的前项和公式是常数项为的二次函数.( )解析()若公差＝，则通项公式不是的一次函数.()若公差＝，则前项和不是二次函数.答案()√()√()×()×.(必修改编)设数列{}是等差数列，其前项和为，若＝且＝，则等于( )解析由已知可得解得∴＝＋＝.答案.(必修改编)在等差数列{}中，若＋＋＋＋＝，则＋＝.解析由等差数列的性质，得＋＋＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.答案.(·全国Ⅰ卷)记为等差数列{}的前项和.若＝＋，＝，则＝( ).－ .－解析设等差数列{}的公差为，则(＋)＝＋＋＋，即＝－.又＝，∴＝－，∴＝＋＝＋×(－)＝－.答案.(·上海黄浦区模拟)已知等差数列{}中，＝，前项和＝－，则数列{}的公差为( ).－ .－.－ .－解析设等差数列{}的首项为，公差为，因为所以解得＝－.答案.(·苏北四市联考)在等差数列{}中，已知＋>，且<，则，，…，中最小的是.解析在等差数列{}中，∵＋>，<，∴＋＝＋>，＝＝<，∴<，>，∴，，…，中最小的是.答案考点一等差数列基本量的运算【例】 ()(一题多解)(·全国Ⅰ卷)记为等差数列{}的前项和.若＋＝，＝，则{}的公差为( )()(·潍坊检测)设等差数列{}的前项和为，＝，＝－，若＝，则＝( )解析()法一设等差数列{}的公差为，依题意得所以＝.法二等差数列{}中，＝＝，则＋＝＝＋，又＋＝，所以－＝＝－＝，则＝.()设等差数列{}的公差为，依题意得解得∴＝＋(－)＝－＝，∴＝.答案() ()规律方法.等差数列的通项公式及前项和公式共涉及五个量，，，，，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题..数列的通项公式和前项和公式在解题中起到变量代换作用，而和是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【训练】 ()等差数列()，()，(＋)，…的第四项等于( )()(一题多解)设等差数列{}的前项和为，＝，＝，则＝.解析()∵()，()，(＋)成等差数列，∴()＋(＋)＝()，∴[(＋)]＝()，则(＋)＝，解之得＝，＝(舍去).∴等差数列的前三项为，，，∴公差＝－＝，∴数列的第四项为＋＝＝.()法一设数列{}的首项为，公差为，由＝，＝，可得解得所以＝＋＝.法二由{}为等差数列，故可设前项和＝＋，由＝，＝可得解得即＝－，则＝－＝.答案() ()考点二等差数列的判定与证明典例迁移【例】 (经典母题)若数列{}的前项和为，且满足＋－＝(≥)，＝.()求证：成等差数列；()求数列{}的通项公式.()证明当≥时，由＋－＝，得－－＝－－，所以－＝，又＝＝，故是首项为，公差为的等差数列.()解由()可得＝，∴＝.当≥时，＝－－＝－＝＝－.当＝时，＝不适合上式.故＝【迁移探究】本例条件不变，判断数列{}是否为等差数列，并说明理由. 解因为＝－－(≥)，＋－＝，所以－－＋－＝(≥).所以－＝(≥).所以是以为首项，为公差的等差数列.所以＝＋(－)×＝，故＝.所以当≥时，＝－－＝－＝，所以＋＝，又＋－＝－＝＝.所以当≥时，＋－的值不是一个与无关的常数，故数列{}不是一个等差数列.【迁移探究】本例中，若将条件变为＝，＋＝(＋)＋(＋)，试求数列{}的通项公式. 解由已知可得＝＋，即－＝，又＝，∴是以＝为首项，为公差的等差数列，∴＝＋(－)·＝－，∴＝－.规律方法.证明数列是等差数列的主要方法：()定义法：对于≥的任意自然数，验证－－为同一常数.()等差中项法：验证－＝＋－(≥，∈*)都成立..判定一个数列是等差数列还常用到结论：()通项公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列.()前项和公式：＝＋(，为常数)⇔{}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义. 【训练】(·全国Ⅰ卷)记为等比数列{}的前项和.已知＝，＝－.()求{}的通项公式；()求，并判断＋，，＋是否成等差数列.解()设{}的公比为，由题设可得解得故{}的通项公式为＝(－).()由()可得＝＝－＋(－).由于＋＋＋＝－＋(－).＝＝，故＋，，＋成等差数列.考点三等差数列的性质及应用多维探究角度等差数列项的性质【例－】(·临沂一模)在等差数列{}中，＋＋＝，则＋的值为( )解析∵在等差数列{}中，＋＋＝，由等差数列的性质，＋＋＝＝，∴＝，∴＋＝＝.答案角度等差数列和的性质【例－】设等差数列{}的前项和为，若＝，＝，则＋＋等于( )解析由{}是等差数列，得，－，－为等差数列，即(－)＝＋(－)，得到－＝－＝，所以＋＋＝.答案规律方法.项的性质：在等差数列{}中，若＋＝＋(，，，∈*)，则＋＝＋. .和的性质：在等差数列{}中，为其前项和，则()＝(＋)＝…＝(＋＋)；()－＝(－).【训练】 ()已知是等差数列{}的前项和，若＝－，)－)＝，则＝.()(·荆州一模)在等差数列{}中，若＋＋＝，＝，则的值是( )()等差数列{}与{}的前项和分别为和，若＝，则等于( )解析()由等差数列的性质可得也为等差数列.设其公差为，则)－)＝＝，∴＝.故)＝＋＝－＋＝，∴＝× ＝ .()由＋＋＝及等差数列的性质，∴＝，则＝.又＋＝，得＋＝×.∴＝－＝.()＝＝＝＝＝＝.答案() () ()考点四等差数列的前项和及其最值【例】(·衡水中学质检)已知数列{}的前项和为，≠，常数λ>，且λ＝＋对一切正整数都成立.()求数列{}的通项公式；()设>，λ＝，当为何值时，数列()))的前项和最大？解()令＝，得λ＝＝，(λ－)＝，因为≠，所以＝，当≥时，＝＋，－＝＋－，两式相减得－－＝(≥).所以＝－(≥)，从而数列{}为等比数列，＝·－＝.()当>，λ＝时，由()知，＝，则＝＝＝－＝－，所以数列{}是单调递减的等差数列，公差为－，所以>>…>＝＝ > ＝，当≥时，≤＝ < ＝，所以数列()))的前项和最大.规律方法求等差数列前项和的最值的常用方法：()函数法：利用等差数列前项和的函数表达式＝＋(≠)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.()利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求的最值.①当>，<时，满足的项数使得取得最大值为(当＋＝时，＋也为最大值)；②当<，>时，满足的项数使得取得最小值为(当＋＝时，＋也为最小值).【训练】 ()等差数列{}的公差≠，且，，成等比数列，若＝，为数列{}的前项和，则数列的前项和取最小值时的为( )或或()已知等差数列{}的首项＝，公差＝－，则前项和的最大值为.解析()由题意知由≠，解得＝－，＝，∴＝＝－＋－＝－，则－≥，得≥，∴数列的前项和取最小值时的为或.()因为等差数列{}的首项＝，公差＝－，＝＋＝－×＝－＋＝－＋，又因为∈*，所以＝或＝时，取得最大值，最大值为.答案() ()[思维升华].证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前项和＝＋及通项＝＋来判断一个数列是否为等差数列..等差数列基本量思想()在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于，的方程组进行求解.()若奇数个数成等差数列，可设中间三项为－，，＋.若偶数个数成等差数列，可设中间两项为－，＋，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.()灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.[易错防范].用定义法证明等差数列应注意“从第项起”，如证明了＋－＝(≥)时，应注意验证－是否等于，若－≠，则数列{}不为等差数列..利用二次函数性质求等差数列前项和最值时，一定要注意自变量是正整数.基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.已知等差数列{}前项的和为，＝，则＝( )解析设等差数列{}的公差为，由已知，得所以所以＝＋＝－＋＝.答案.(·淄博调研)设是等差数列{}的前项和，若＝，则＝( ).－解析由于＝＝×＝.答案.(·中原名校联考)若数列{}满足－＝(∈*，为常数)，则称数列{}为调和数列，已知数列为调和数列，且＋＋…＋＝，则＋＝( )解析依题意，－＝＋－＝，∴{}是等差数列.又＋＋…＋＝＝.∴＋＝，从而＋＝＋＝.答案.(·北京海淀区质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把斤绵分给个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多斤绵，那么第个儿子分到的绵是( )斤斤斤斤解析用，，…，表示个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列，，…，是公差为的等差数列，且这项的和为，∴＋×＝，解之得＝.∴＝＋×＝，即第个儿子分到的绵是斤.答案.已知等差数列{}的前项和为，＝，－＝－，则取最大值时的为( )或解析由{}为等差数列，得－＝－＝＝－，即＝－，由于＝，所以＝－＋，令＝－＋<，得>，所以取最大值时的为.答案二、填空题.已知等差数列{}的公差为，项数是偶数，所有奇数项之和为，所有偶数项之和为，则这个数列的项数为.解析设项数为，则由偶－奇＝得，－＝解得＝，故这个数列的项数为.答案.已知数列{}满足＝，－＋＝＋，则＝.解析将－＋＝＋两边同时除以＋，－＝.所以是以＝为首项，为公差的等差数列，所以＝＋×＝，即＝.答案.设是等差数列{}的前项和，＝，－＝，则＝.解析依题意，，－，－，…，－依次成等差数列，设该等差数列的公差为.又＝，－＝，因此－＝＝＋(－)＝＋，解得＝，因此＝＋＝×＋×＝.答案三、解答题.等差数列{}中，＋＝，＋＝.()求{}的通项公式；()设＝[]，求数列{}的前项和，其中[]表示不超过的最大整数，如[]＝，[]＝.解()设数列{}首项为，公差为，由题意得解得所以{}的通项公式为＝.()由()知，＝.当＝，，时，≤<，＝；当＝，时，≤<，＝；当＝，，时，≤<，＝；当＝，时，≤<，＝.所以数列{}的前项和为×＋×＋×＋×＝..已知等差数列的前三项依次为，，，前项和为，且＝.()求及的值；()设数列{}的通项公式＝，证明：数列{}是等差数列，并求其前项和.()解设该等差数列为{}，则＝，＝，＝，由已知有＋＝，得＝＝，公差＝－＝，所以＝＋·＝＋×＝＋，由＝，得＋－＝，解得＝或＝－(舍去)，故＝，＝.()证明由()得＝＝(＋)，则＝＝＋，故＋－＝(＋)－(＋)＝，即数列{}是首项为，公差为的等差数列，所以＝＝.能力提升题组(建议用时：分钟).(·济宁模拟)设数列{}满足＝，＝，且＝(－)－＋(＋)＋(≥且∈*)，则＝( )解析令＝，则＝－＋＋(≥)，所以{}为等差数列，因为＝，＝，所以公差＝，则＝－，所以＝，则＝，所以＝.答案.(·青岛诊断)已知等差数列{}，{}的前项和分别为，(∈*)，若＝，则＝( )解析由题意不妨设＝(－)，＝(＋)，所以＝－＝×－×＝，＝－＝×(＋)－×(＋)＝－＝，所以＝＝.答案.设数列{}的通项公式为＝－(∈*)，则＋＋…＋＝.解析由＝－(∈*)知{}是以－为首项，为公差的等差数列，又由＝－≥得≥，∴≤时，≤，当>时，>，∴＋＋…＋＝－(＋＋＋)＋(＋＋…＋)＝＋＝.答案.(·长沙雅礼中学模拟)设为等差数列{}的前项和，已知＋＝，＝.()求{}的通项公式；()令＝，＝＋＋…＋，若－≤对一切∈*成立，求实数的最小值.解()∵等差数列{}中，＋＝，＝，∴解得∴＝＝＝，∴＝＋(－)＝＋(－)＝－.()∵＝＝＝，∴＝＝，∵随着的增大而增大，知{}单调递增.又>，∴<，∴≥，∴实数的最小值为.新高考创新预测.(多填题)设为等差数列{}的前项和，满足＝，－＝，则＝，公差＝.解析由{}为等差数列，得数列是首项为，公差为的等差数列，∵－＝，∴＝⇒＝，又＝⇒＋＝＋×⇒＝－.答案－。
专题31 等差数列及其前n项和-2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)(解析版)
专题31等差数列及其前n 项和最新考纲1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系.基础知识融会贯通1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列． (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2 或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(d是常数)⇔{a n}是等差数列．(2)等差中项法：2a n＋1＝a n＋a n＋2 (n∈N*)⇔{a n}是等差数列．(3)通项公式：a n＝pn＋q(p，q为常数)⇔{a n}是等差数列．(4)前n项和公式：S n＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{a n}是等差数列．重点难点突破【题型一】等差数列基本量的运算【典型例题】已知{}是等差数列，且a1，a4＝1，则a10＝（）A．﹣5 B．﹣11 C．﹣12 D．3【解答】解：∵{}是等差数列，且a1，a4＝1，∴，即，解得d，∴9d，解得a10＝﹣11．故选：B．【再练一题】等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝3，S5＝35，则数列{a n}的公差为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．7【解答】解：∵a1＝3，S5＝35，∴5×335，解得d＝2．故选：B．思维升华等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，a n，d，n，S n，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．【题型二】等差数列的判定与证明【典型例题】设数列{a n}满足关系式：a1＝﹣1，a n试证：（1）试求数列{a n}的通项公式．（2）b n＝lg（a n+9）是等差数列．（3）若数列{a n}的第m项的值，试求m【解答】解：（1）∵a1＝﹣1，a n，∴，∴，令T n＝a n+9，则Tn是公比为的等比数列，，∴，（2）∵b n＝lg（a n+9），＝lg12+（lg2﹣lg3）n．由数列{b n}通项公式可知，{bn}是公差为（lg2﹣lg3）的等差数列．（3）若数列数列{a n}的第m项的值，化简得a m＝（29﹣38）÷3612由a n通项公式可知，a m＝a7，m＝7．【再练一题】已知数列{a n}、{b n}满足：a1，a n+b n＝1，b n+1．（1）求a2，a3；（2）证数列{}为等差数列，并求数列{a n}和{b n}的通项公式；（3）设S n＝a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1，求实数λ为何值时4λS n＜b n恒成立．【解答】（1）解：∵，∴，，，，．∴；（2）证明：由，∴，∴，即a n﹣a n+1＝a n a n+1，∴∴数列{}是以4为首项，1为公差的等差数列．∴，则，∴；（3）解：由，∴S n＝a1a2+a2a3+…+a n a n+1．∴，要使4λS n＜b n恒成立，只需（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＜0恒成立，设f（n）＝（λ﹣1）n2+3（λ﹣2）n﹣8当λ＝1时，f（n）＝﹣3n﹣8＜0恒成立，当λ＞1时，由二次函数的性质知f（n）不满足对于任意n∈N*恒成立，当λ＜l时，对称轴nf（n）在[1，+∞）为单调递减函数．只需f（1）＝（λ﹣1）n2+（3λ﹣6）n﹣8＝（λ﹣1）+（3λ﹣6）﹣8＝4λ﹣15＜0 ∴，∴λ≤1时4λS n＜b n恒成立．综上知：λ≤1时，4λS n＜b n恒成立．思维升华等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n都有a n＋1－a n等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n都有2a n＋1＝a n＋a n＋2.(3)通项公式法：得出a n＝pn＋q后，再根据定义判定数列{a n}为等差数列．(4)前n项和公式法：得出S n＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{a n}为等差数列．【题型三】等差数列性质的应用命题点1等差数列项的性质【典型例题】．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，则a2﹣a8+a14等于（）A．10 B．12 C．11 D．﹣4【解答】解：等差数列{a n}中，a1+3a8+a15＝60，可得：5a8＝60，解得a8＝12，则a2﹣a8+a14＝a8＝12，故选：B．【再练一题】已知等差数列{a n}的公差不为零，且a2，a3，a9成等比数列，则（）A．B．C．D．【解答】解：设等差数列{a n}的公差d≠0，且a2，a3，a9成等比数列，∴a2•a9，∴（a1+d）（a1+8d），a1d≠0．则．故选：B．命题点2等差数列前n项和的性质【典型例题】已知等差数列{a n}，a1＝﹣2018，前n项和为S n，，则S2019＝（）A．0 B．1 C．2018 D．2019【解答】解：因为数列{a n}为等差数列，所以，又因为，所以{}是为首项是﹣2018，公差为1的等差数列，所以2018+（2019﹣1）×1＝0，所以S2019＝0．故选：A．【再练一题】已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，则使S n取得最大值时n的值为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a6+a8＝6，S9﹣S6＝3，∴2a1+12d＝6，3a1+21d＝3，联立解得：a1＝15，d＝﹣2，∴a n＝15﹣2（n﹣1）＝17﹣2n．令a n＝17﹣2n≥0，解得n≤8．则使S n取得最大值时n的值为8．故选：D．思维升华等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n}中，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m＋a n＝a p＋a q.(2)和的性质：在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，则①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(a n＋a n＋1)；②S2n－1＝(2n－1)a n.基础知识训练1．【西省太原市2019届高三上学期期末考试】已知数列{a n }为等差数列，，若，则＝( ) A ．−22019 B ．22020C ．−22017D ．2201【答案】A 【解析】数列为等差数列，且，则 ，又 ，则，，， 同理 ，以此类推，又 ，所以。
2020版高考数学(文)新精准大一轮课标通用版检测：第六章 第2讲 等差数列及其前n项和 含解析
[基础题组练]1．(2019·开封市高三定位考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 5＝10，S 4＝16，则数列{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1＋4d ＝10，4a 1＋4×32×d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，故选B.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为S 4＝4(a 1＋a 4)2＝2(a 1＋a 5－d )＝2(10－d )＝16，所以d ＝2，故选B.2．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2，若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝( ) A ．21 B ．22 C ．23D ．24解析：选C.3a n ＋1＝3a n －2⇒a n ＋1＝a n －23⇒{a n }是等差数列，则a n ＝473－23n .因为a k ·a k ＋1<0，所以⎝⎛⎭⎫473－23k ⎝⎛⎭⎫453－23k <0，所以452<k <472，所以k ＝23.3．(2019·四川三地四校联考)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 015，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018＝( )A ．2 018B ．－2 018C ．4 036D ．－4 036解析：选C.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则S n n ＝An ＋B ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为S 1212－S 1010＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的公差为1，又S 11＝a 11＝－2 015，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以－2 015为首项，1为公差的等差数列，所以S 2 0182 018＝－2 015＋2 017×1＝2，所以S 2 018＝4 036.故选C.4．(2019·衡水中学二调)今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，问：几何日相逢？( )A ．12日B ．16日C ．8日D ．9日解析：选D.由题易知良马每日所行里数构成一等差数列，其通项公式为a n ＝103＋13(n －1)＝13n＋90，驽马每日所行里数也构成一等差数列，其通项公式为b n ＝97－12(n －1)＝－12n ＋1952，二马相逢时所走路程之和为2×1 125＝2 250，所以n (a 1＋a n )2＋n (b 1＋b n )2＝2 250，即n (103＋13n ＋90)2＋n ⎝⎛⎭⎫97－12n ＋19522＝2 250，化简得n 2＋31n －360＝0，解得n ＝9或n ＝－40(舍去)，故选D.5．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且a 3＋a 9＝a 10－a 8.若a n ＝0，则n ＝________． 解析：因为a 3＋a 9＝a 10－a 8，所以a 1＋2d ＋a 1＋8d ＝a 1＋9d －(a 1＋7d )， 解得a 1＝－4d ，所以a n ＝－4d ＋(n －1)d ＝(n －5)d ， 令(n －5)d ＝0(d ≠0)，可解得n ＝5. 答案：56．(2019·江苏适应性测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝5，且S 1，S 5，S 7成等差数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝5，a 1＋7a 1＋21d ＝10a 1＋20d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －17．(2019·长春市质量检测(二))已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －11. (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)令b n ＝|a n |，求数列{b n }的前10项和S 10.解：(1)证明：由a n ＝2n －11，可得a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－11－2n ＋11＝2(n ∈N *)， 因此数列{a n }为等差数列．(2)因为a n ＝2n －11，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧11－2n ，n ≤5，2n －11，n >5，因此，S 10＝5×9＋12×5×4×(－2)＋5×1＋12×5×4×2＝50.8．已知等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110. (1)求a 及k 的值；(2)已知数列{b n }满足b n ＝S nn ，证明数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .解：(1)设该等差数列为{a n }，则a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ， 由已知有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2， 所以S k ＝ka 1＋k (k －1)2·d ＝2k ＋k (k －1)2×2＝k 2＋k .由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10. (2)由(1)得S n ＝n (2＋2n )2＝n (n ＋1)，则b n ＝S nn＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列， 所以T n ＝n (2＋n ＋1)2＝n (n ＋3)2.[综合题组练]1．(2019·西安市八校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A ．10B ．11C ．12D ．13解析：选C.由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7<0，S 12＝12(a 1＋a 12)2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.2．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，等差数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( )A ．S n <2T nB ．b 4＝0C ．T 7>b 7D ．T 5＝T 6解析：选D.因为点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝x 2－10x 的图象上，所以S n ＝n 2－10n ，所以a n ＝2n －11，又b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，数列{b n }为等差数列，设公差为d ，所以2b 1＋d ＝－9，2b 1＋3d ＝－7，解得b 1＝－5，d ＝1，所以b n ＝n －6，所以b 6＝0，所以T 5＝T 6，故选D.3．(2019·重庆适应性测试(二))设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，则S 100＝________．解析：依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案：2004．(创新型)(2019·安徽省淮南模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n S 2n为常数，则称数列{a n }为“精致数列”．已知等差数列{b n }的首项为1，公差不为0，若数列{b n }为“精致数列”，则数列{b n }的通项公式为________．解析：设等差数列{b n }的公差为d ，由S n S 2n 为常数，设S n S 2n ＝k 且b 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎡⎦⎤2n ＋12×2n (2n －1)d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0.因为对任意正整数n ，上式恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧d (4k －1)＝0，(2k －1)(2－d )＝0，解得d ＝2，k ＝14，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)．答案：b n ＝2n －1(n ∈N *)5．已知数列{a n }满足：a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4(n ＞1，n ∈N *)． (1)求a 1，a 2及通项公式a n ；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，则数列S 1，S 2，S 3，…中哪一项最小？ 解：(1)因为数列{a n }满足a 3＝－13，a n ＝a n －1＋4， 所以a n －a n －1＝4，即数列{a n }为等差数列且公差为d ＝4， 所以a 2＝a 3－d ＝－13－4＝－17， a 1＝a 2－d ＝－17－4＝－21，所以通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－21＋4(n －1)＝4n －25. (2)令a n ＝4n －25≥0可解得n ≥254，所以数列{a n }的前6项为负值，从第7项开始为正数， 所以数列S 1，S 2，S 3，…中S 6最小．6．(2019·洛阳市第一次统一考试)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ≠0，a 1＝1，且2a n a n ＋1＝4S n－3(n ∈N *)．(1)求a 2的值并证明：a n ＋2－a n ＝2； (2)求数列{a n }的通项公式． 解：(1)令n ＝1得2a 1a 2＝4S 1－3， 又a 1＝1，所以a 2＝12.2a n a n ＋1＝4S n －3，① 2a n ＋1a n ＋2＝4S n ＋1－3.②②－①得，2a n ＋1(a n ＋2－a n )＝4a n ＋1. 因为a n ≠0，所以a n ＋2－a n ＝2. (2)由(1)可知：数列a 1，a 3，a 5，…，a 2k －1，…为等差数列，公差为2，首项为1， 所以a 2k －1＝1＋2(k －1)＝2k －1， 即n 为奇数时，a n ＝n .数列a 2，a 4，a 6，…，a 2k ，…为等差数列，公差为2，首项为12，所以a 2k ＝12＋2(k －1)＝2k －32，即n 为偶数时，a n ＝n －32.综上所述，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为奇数，n －32，n 为偶数.。
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课时规范练A 组 基础对点练1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 3＋a 5＝3，则S 5＝( A ) A ．5 B.7 C ．9D.112．(2018·合肥质量检测)已知等差数列{a n }，若a 2＝10，a 5＝1，则{a n }的前7项和等于( C ) A ．112 B.51 C ．28D.18解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得d ＝a 5－a 25－2＝－3，a 1＝a 2－d ＝13，则S 7＝7a 1＋7×(7－1)2d ＝7×13－7×9＝28，故选C.3．(2018·陕西省高三质量检测)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9＝( D ) A ．27 B.36 C ．45D.54解析：因为在等差数列{a n }中，2a 8＝a 5＋a 11＝6＋a 11，所以a 5＝6，则S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9a 5＝54.故选D.4．(2018·西安地区八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( B ) A ．S 4<S 3 B.S 4＝S 3 C ．S 4>S 1D.S 4＝S 1解析：设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎨⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎨⎧a 1＝－9，d ＝3.则S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.5．设等差数列{a n }的公差为d .若数列{2a 1a n }为递减数列，则( C ) A ．d <0 B.d >0 C ．a 1d <0D.a 1d >0解析：∵等差数列{a n }的公差为d ，∴a n ＋1－a n ＝d ， 又数列{2a 1a n }为递减数列，∴2a 1a n ＋12a 1a n ＝2a 1d <1，∴a 1d <0.故选C.6．设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是( C ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 解析：∵{a n }是等差数列， ∴a 2＝a 1＋a 32.A 项中只提供a 1＋a 2＞0，并不能判断a 2＋a 3＞0，即A 错误． 同理B 也是错误的．假设0＜a 1＜a 2，则a 1＞0，公差d ＞0， ∴a 3＞0， ∴a 1＋a 32＞a 1a 3，∴a 2＞a 1a 3. 即C 正确．D 项中无法判断公差d 的正负，故(a 2－a 1)(a 2－a 3)无法判断正负，即D 错误．故选C.7．(2016·高考北京卷)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝__6__. 8．中位数为1 010的一组数构成等差数列，其末项为2 015，则该数列的首项为__5__.9．(2016·高考江苏卷)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和．若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是__20__.解析：设等数差数{a n }的公差为d ，则由a 1＋a 22＝－3，S 5＝10， 可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5(5－1)2d ＝10，解得d ＝3，a 1＝－4，所以a 9＝a 1＋8d ＝20.10．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 5＝5a 4－10，则数列{a n }的公差为__2__. 解析：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝5a 4－10， ∴5a 3＝5a 4－10，∴5(a 4－a 3)＝5d ＝10，解得d ＝2.11．(2016·高考全国卷Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2. 解析：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有2a 1＋5d ＝4，a 1＋5d ＝3. 解得a 1＝1，d ＝25.所以{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋35. (2)由(1)知b n ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋35. 当n ＝1,2,3时，1≤2n ＋35<2，b n ＝1；当n ＝4,5时，2<2n ＋35<3，b n ＝2； 当n ＝6,7,8时，3≤2n ＋35<4，b n ＝3；当n ＝9,10时，4<2n ＋35<5，b n ＝4，所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *，且点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ； (2)设b n ＝12(S n －n )，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由点(2，a 2)，(a 7，S 3)均在直线x －y ＋1＝0上，得⎩⎨⎧a 2＝3，a 7－S 3＋1＝0，又S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝3a 2，解得⎩⎨⎧a 2＝3，a 7＝8，即⎩⎨⎧ a 1＋d ＝3，a 1＋6d ＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝1，∴a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2. (2)∵b n ＝12(S n －n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. B 组 能力提升练1．(2018·广州综合测试)等差数列{a n }的各项均不为零，其前n 项和为S n ，若a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，则S 2n ＋1＝( A ) A ．4n ＋2 B.4n C ．2n ＋1D.2n解析：因为{a n }为等差数列，所以a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，又a 2n ＋1＝a n ＋2＋a n ，所以a 2n ＋1＝2a n ＋1.因为数列{a n }的各项均不为零，所以a n ＋1＝2，所以S 2n ＋1＝(a 1＋a 2n ＋1)(2n ＋1)2＝2a n ＋1×(2n ＋1)2＝4n ＋2.故选A.2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝1，S 30＝5，则S 40＝( B ) A ．7 B.8 C ．9D.10解析：根据等差数列的性质，知S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30构成等差数列，所以(S 20－S 10)＋(S 30－S 20)＝S 10＋(S 40－S 30)，即S 30－S 10＝S 40－S 30＋S 10，所以S 40＝2S 30－2S 10＝8.故选B.3．(2018·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( A ) A ．55 B.11 C ．50D.60解析：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，所以a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.法二 设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，解得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.4．设等差数列{a n }满足a 2＝7，a 4＝3，S n 是数列{a n }的前n 项和，则使得S n >0成立的最大的自然数n 是( A ) A ．9B.10C ．11 D.12解析：由题意可得{a n }的公差d ＝3－74－2＝－2，a 1＝9，所以a n ＝－2n ＋11，则{a n }是递减数列，且a 5>0>a 6，a 5＋a 6＝0，所以S 9＝2a 52·9>0，S 10＝a 5＋a 62·10＝0，S 11＝2a 62·11<0，故选A. 5．若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为调和数列，已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 5＋x 16＝( B ) A ．10 B.20 C ．30D.40解析：∵数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为调和数列，∴11x n ＋1－11x n ＝x n ＋1－x n ＝d ，∴{x n }是等差数列． ∵x 1＋x 2＋…＋x 20＝200＝20(x 1＋x 20)2， ∴x 1＋x 20＝20，又∵x 1＋x 20＝x 5＋x 16， ∴x 5＋x 16＝20.故选B.6．(2018·贵阳适应试题)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思是“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱(“钱”是古代的一种重量单位)，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”在这个问题中，丙所得为( D ) A.76钱 B.56钱 C.23钱D.1钱解析：法一 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d ，则由题意， 得⎩⎨⎧ a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，即⎩⎨⎧5a 1＋10d ＝5，2a 1＋d ＝3a 1＋9d ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，所以a 3＝a 1＋2d ＝1.故选D.法二 设甲、乙、丙、丁、戊所得钱数分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，因为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等差数列，所以a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，所以5a 3＝5，则a 3＝1，所以丙所得为1钱．故选D. 7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 8＝32，则a 2＋2a 5＋a 6＝__16__. 解析：∵S 8＝32， ∴8(a 1＋a 8)2＝32，可得a 4＋a 5＝a 1＋a 8＝8. 则a 2＋2a 5＋a 6＝2(a 4＋a 5)＝2×8＝16.8．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{S n }也为等差数列，则S n ＋10a 2n 的最大值是__121__.解析：设数列{a n }的公差为d ， 由题意得2S 2＝S 1＋S 3，因为a 1＝1，所以22a 1＋d ＝a 1＋3a 1＋3d ， 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，所以S n ＋10a 2n＝(n ＋10)2(2n －1)2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋102n －12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12(2n －1)＋2122n －12＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12. 又⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋212n －12为单调递减数列，所以S n ＋10a 2n ≤S 11a 21＝112＝121. 9．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为__－49__. 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10a 1＋10×92d ＝0，S 15＝15a 1＋15×142d ＝25，解得a 1＝－3，d ＝23，所以nS n ＝n 2a 1＋n 2(n －1)2d ＝n 33－10n 23.由于函数f (x )＝x 33－10x 23在x ＝203处取得极小值，又n ＝6时，6S 6＝－48，n ＝7时，7S 7＝－49，故nS n 的最小值为－49.10．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．解析：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，也即(a n －1)2＝a 2n －1，因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.11．(2018·郑州质量预测)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝8，且2a 1，a 3,3a 2成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝1n log 2a n ，求{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，因为2a 1，a 3,3a 2成等差数列，所以2a 3＝2a 1＋3a 2，即2a 1q 2＝2a 1＋3a 1q . 所以2q 2－3q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－12(舍去)， 所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝1n log 22n ＋2＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛ 1n －⎭⎪⎫1n ＋2， 所以S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).。