《空间中的垂直关系：直线与平面垂直》参考教案
《空间中直线、平面垂直的性质》教案
课题：空间中直线、平面垂直的性质（1课时）一、教学设计1．教学内容解析本节课为人教版A版必修2第二章第三节《直线、平面垂直的判定与性质》第3课时，主要内容为直线与平面垂直的性质定理、平面与平面垂直的性质定理，是一节性质的新授课。
新课标教材对“立体几何初步”的内容设计，“垂直”在描述直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系中起着重要的作用，集中体现为：空间中垂直关系之间的转化，以及空间中垂直与平行关系之间的转化。
教材将本节内容置于“平行关系”的判定与性质以及“垂直关系”的判定之后，目的是使学生在明确“什么是图形位置关系的性质”的基础上，通过类比直线、平面“平行关系”的性质，从整体上提出“垂直关系的性质”的猜想，学生经历直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，获得“垂直关系”的性质。
本节中，几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养，增进学生对空间几何本质的理解，体会蕴含在其中的数学思想方法。
基于以上分析，我将本节课的教学重点确定为：类比直线、平面“平行关系”的性质，探究直线与平面垂直的性质定理。
2．学生学情诊断经过前面的学习，学生已具备一定的空间想象力与思维能力，能准确使用图形和数学语言表述几何对象的位置关系，已了解“平行关系”的性质和判定方法，以及“垂直关系”的判定方法。
然而，在直线与平面、平面与平面垂直的条件下，有哪些特殊的位置关系尚不明确；直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的转化与联系比较模糊；空间位置关系的认识仍停留在平行关系之间的转化、垂直关系之间的转化上，平行与垂直关系之间的联系未能建立起来。
基于以上分析，我将本节课的教学难点确定为：直线与平面垂直性质定理的探究和论证。
3．教学目标设置（1）通过生活实例和类比推理，学生能从定义出发探究性质，观察、论证得到线面垂直性质定理，能独立探究发现面面垂直的性质定理；（2）通过体验直观感知、操作确认、思辨论证等探究过程，图形、符号语言的表达与交流，发展学生几何直观和空间想象、合情推理和论证推理的能力，培养学生的数学核心素养；（3）通过将现实空间问题抽象为数学图形，自主探究的实践与展示，帮助学生认识现实空间，激发学生的创新精神和应用意识。
部编《直线与平面垂直》教学设计
部编《直线与平面垂直》教学设计教学设计：《直线与平面垂直》一、教学目标1.知识目标：了解直线与平面的定义，理解直线与平面垂直的概念，学会判断直线与平面是否垂直。
2.技能目标：能够通过给定的条件判断直线与平面是否垂直，能够应用垂直性质解决实际问题。
3.情感目标：培养学生对几何知识的兴趣和探索精神，培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、教学重点与难点1.教学重点：直线与平面的定义，直线与平面垂直的概念。
2.教学难点：判断直线与平面是否垂直的方法和理由。
三、教学过程1.导入（5分钟）教师出示一张平面图，向学生提问：“在这张平面图上，你认为哪些直线与平面垂直？”让学生思考并回答。
引导学生注意直线与平面垂直的特点。
2.新知呈现（10分钟）教师通过示意图和实物模型来呈现直线与平面垂直的定义和概念，引导学生理解直线与平面垂直的含义。
并讲解直线与平面垂直的必要条件。
3.实例分析（15分钟）教师出示几个实例，与学生一起分析每个实例中的直线与平面是否垂直。
引导学生观察直线与平面的相对位置和角度，并根据给定的条件判断直线与平面的关系。
4.讲解判断方法（15分钟）教师讲解判断直线与平面垂直的方法和理由。
引导学生根据垂直性质进行判断，并归纳总结出判断直线与平面垂直的规律。
5.练习与讨论（15分钟）教师出示一些练习题，让学生通过练习判断直线与平面的关系。
学生在解题过程中可以互相讨论和交流，共同探讨如何判断直线与平面是否垂直。
6.拓展延伸（15分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生进一步思考直线与平面垂直的相关问题，并结合实际生活中的例子进行讨论，拓宽学生的思维和应用能力。
7.总结与评价（10分钟）教师对本节课所学的知识进行总结，并通过提问和讨论的方式评价学生对于直线与平面垂直的理解程度。
四、教学资源1.平面图、直线模型、实物模型2.相关课本教材和练习题五、教学评价1.学生能够准确理解直线与平面垂直的概念和定义。
2.学生能够正确判断直线与平面是否垂直的方法和理由。
《直线和平面垂直》教案
§2.3.1直线与平面垂直的判定（一）一、教材分析1、教材内容教材选自：人教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》必修2，第二章第三节的第一课时。
本节课主要学习直线与平面垂直的定义、判定定理及其初步运用。
直线与平面垂直的是直线与平面相交中的一种特殊情况，它是空间中线线垂直位置关系的拓展。
它既是后面学习面面垂直的基础，又是连接线线垂直和面面垂直的纽带！因此线面垂直是空间中垂直位置关系间转化的重心，它是点、直线、平面间位置关系中的核心概念之一。
在教材中起到了承上启下的作用。
2、学情分析在本节课之前学生已学习了空间点、直线、平面之间的位置关系和直线、平面平行的判定及其性质，具备了学习本节课所需的知识。
同时已经有了“通过观察、操作等数学活动抽象概括出数学结论”的体会，参与意识、自主探究能力有所提高，对空间概念建立有一定基础。
但是，对于我们景泰一中的学生而言，他们的抽象概括能力、空间想象力还有待提高。
3、教学目标《课程标准》指出本节课学习目标是：通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理；能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
我将本节课的教学目标确立为：知识与技能：①、经历对实例、图片的观察，提炼直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义；②、通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题。
过程与方法：①、通过类比空间的平行关系提高提出问题、分析问题的能力；②、在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力，同时感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”、“无限转化为有限”等化归的数学思想；③、尝试用数学语言(文字、符号、图形语言)对定义和定理进行准确表述和合理转换。
情感、态度与价值观：经历线面垂直的定义和定理的探索过程，提高严谨与求实的学习作风，形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。
直线与平面垂直教案
直线与平面垂直教案教案标题：直线与平面垂直教案教学目标：1. 理解直线与平面垂直的概念及特征。
2. 能够判断给定直线与平面是否垂直。
3. 掌握求解直线与平面垂直关系的方法。
教学重点：1. 直线与平面垂直的概念理解。
2. 判断直线与平面垂直的方法。
教学难点：1. 求解直线与平面垂直关系的方法。
教学准备：1. 教师准备：黑板、彩色粉笔、投影仪、教学PPT。
2. 学生准备：课本、笔记本。
教学过程：Step 1: 引入新知识 (5分钟)1. 教师使用投影仪或黑板上展示一条直线和一个平面的图形，引导学生观察并思考直线与平面之间的关系。
2. 教师提问：“你们观察到了什么？”学生回答后，教师引导学生，让他们意识到直线与平面之间可能存在的垂直关系。
Step 2: 直线与平面垂直的概念讲解 (10分钟)1. 教师使用教学PPT或黑板，讲解直线与平面垂直的定义：如果一条直线与平面上的任意一条直线都垂直相交，那么这条直线与该平面垂直。
2. 教师通过示例图形和实际生活中的例子，帮助学生更好地理解直线与平面垂直的概念。
Step 3: 判断直线与平面垂直的方法 (15分钟)1. 教师讲解判断直线与平面垂直的方法：a. 方法一：直线上的两个向量与平面上的法向量的点积为零。
b. 方法二：直线上的一点到平面上的任意一点的向量与平面的法向量的点积为零。
2. 教师通过具体的例子，演示如何使用这两种方法来判断直线与平面的垂直关系。
3. 教师鼓励学生进行思考和讨论，解决一些实际问题，以加深他们对判断直线与平面垂直关系的理解。
Step 4: 练习与巩固 (15分钟)1. 教师提供一些练习题，让学生独立或小组合作完成。
2. 学生完成练习后，教师进行讲解和答疑。
Step 5: 拓展应用 (10分钟)1. 教师提供一些拓展应用题，让学生运用所学知识解决实际问题。
2. 学生进行思考和解答，教师引导学生讨论和分享答案。
Step 6: 总结与反思 (5分钟)1. 教师对本节课的重点内容进行总结，并强调直线与平面垂直的判断方法。
直线与平面垂直的判定教案
直线与平面垂直的判定教案一、教学目标：1. 让学生理解直线与平面垂直的概念。
2. 让学生掌握直线与平面垂直的判定方法。
3. 培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 直线与平面垂直的定义。
2. 直线与平面垂直的判定方法。
3. 直线与平面垂直的性质。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：直线与平面垂直的判定方法。
2. 教学难点：如何运用判定方法判断直线与平面是否垂直。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解直线与平面垂直的定义、判定方法和性质。
2. 利用几何模型和实物道具，直观展示直线与平面垂直的关系。
3. 开展小组讨论，让学生互相交流、合作解决问题。
4. 布置适量练习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 导入新课：通过提问方式引导学生回顾直线、平面垂直的相关概念。
2. 讲解直线与平面垂直的定义：直线与平面垂直是指直线在平面上的投影为一点。
3. 讲解直线与平面垂直的判定方法：（1）利用垂直线段判定法：若直线与平面内一条线段垂直，则该直线与平面垂直。
（2）利用垂线判定法：若直线与平面内任意一条直线都垂直，则该直线与平面垂直。
4. 讲解直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直的线段长度相等。
（2）直线与平面垂直的线段构成的角为直角。
5. 课堂练习：让学生运用判定方法判断给出的直线与平面是否垂直。
6. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，并提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
7. 布置作业：布置一些有关直线与平面垂直的练习题，让学生巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解、练习和作业，评价学生对直线与平面垂直的定义、判定方法和性质的理解程度。
2. 观察学生在解决问题时是否能灵活运用所学知识，判断其运用能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价其合作与交流能力。
七、教学反馈：1. 收集学生作业，分析其对直线与平面垂直知识的掌握情况。
2. 听取学生对教学内容的建议和意见，不断调整教学方法。
《直线与平面垂直的判定》1教案及说明
《直线与平面垂直的判定》1教案及说明教案标题：直线与平面垂直的判定教学目标：1.知识目标：了解直线与平面垂直的几何关系，掌握判定直线与平面垂直的方法。
2.能力目标：能够准确判断直线与平面的垂直关系，应用该知识解决相关几何问题。
3.情感目标：培养学生的观察、推理和解决问题的能力，激发学生对几何学习的兴趣。
教学重点：1.掌握直线与平面垂直的判定方法；2.运用垂直关系解决问题。
教学难点：1.理解直线与平面垂直的概念；2.灵活应用判定方法解决问题。
教学准备：1.教师准备：教学PPT、黑板、彩色粉笔、教材、实物模型等；2.学生准备：学生课本、笔记本、铅笔、橡皮等。
教学过程：一、导入（5分钟）教师引导学生回顾上节课所学内容，通过提问的方式激发学生对垂直关系的思考：什么是直线与平面垂直？在生活中能够观察到哪些直线与平面的垂直关系？二、讲解与示范（15分钟）1.讲解直线与平面垂直的定义：当直线与平面的交点为直线的端点，并且直线不在平面内部时，称直线与平面垂直。
2.示范如何判断直线与平面垂直：以图示为例，讲解判定方法，并进行实际操作演示。
三、小组讨论与合作（20分钟）1.学生分成小组，互相讨论学习，并运用判定方法判断给定的直线与平面是否垂直；2.学生讨论后向全班汇报结果，并理清判断思路和方法。
四、巩固与拓展（20分钟）1.在黑板上列举不同形式的题目，让学生一一判断是否直线与平面垂直，加深学生对垂直关系的理解；2.引导学生自己设计题目，相互出题训练。
五、课堂练习与总结（15分钟）1.让学生完成课堂练习，巩固所学内容；2.通过小组交流，学生总结判定直线与平面垂直的方法。
六、课后作业（5分钟）布置课后作业：设计几道直线与平面垂直的判定题目，并写出解题思路。
教学反思：通过本节课的教学，学生对直线与平面垂直的概念有了更深入的了解，并掌握了判定方法。
在教学中，我注意引导学生通过小组合作、讨论和设计题目等形式，培养学生的解决问题能力和思维逻辑能力。
直线与平面垂直教案
直线与平面垂直教案
一、教学目标
1.借助对图片、实例的观察，抽象概括出直线与平面垂直的定义，并能正确理解直线与平面垂直的定义。
2.通过直观感知，操作确认，归纳直线与平面垂直判定的定理，并能运用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题，进一步培养学生的空间观念。
3.让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
二、教学重点、难点
1.教学重点：操作确认并概括出直线与平面垂直的定义和判定定理。
2.教学难点：操作确认并概括出直线与平面垂直的判定定理及初步运用。
三、课前准备
1.教师准备：
教学课件。
2.学生自备：
三角形纸片、铁丝（代表直线）、纸板（代表平面）、三角板。
四、教学过程设计
1.直线与平面垂直定义的建构：
（1）创设情境：
①请同学们观察图片，说出旗杆与地面、高楼的侧棱与地面的位置有什么关系？
②请把自己的数学书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置有什么关系？
③请将①中旗杆与地面的位置关系画出相应的几何图形。
（2）观察归纳：
①思考：一条直线与平面垂直时，这条直线与平面内的直线有什么样的位置关系？
②多媒体演示：旗杆与它在地面上影子的位置变化。
③归纳出直线与平面垂直的定义及相关概念。
定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作：l⊥α。
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足。
人教B版高中数学必修二空间中的垂直关系教案(3)
空间中的垂直关系教学目标：1、直线与平面垂直的概念2、直线与平面垂直的判定与性质教学重点：直线与平面垂直的判定与性质教学过程：（一） 两条直线成的角为直角——两条直线垂直（二） 一直线与一平面内的所有与它相交的直线都垂直——直线与平面垂直（三） 一组概念：平面的垂线、垂足、垂线段、点到直线的距离、点到平面的距离、直线的垂面（四） 直线与平面垂直的判定：如果一条直线垂直于平面内的两条相交直线、那么这条直线与这个平面垂直（五） 推论：如果两条平行直线中有一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面（六） 直线与平面垂直的性质：（1）直线与平面垂直，则直线垂直于平面内的所有直线（2）垂直于同一平面的两条直线平行（七） （1）过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个（2）过一点与已知平面垂直的直线有且只有一个（八） 例子与练习例1 已知:在空间四边形ABCD 中,AC =AD ,BC =BD ,求证：AB ⊥CD证明：如图9-15，设CD 中点为E ，连接AE 、BE ，因为ΔACD 为等腰三角形,所以AE ⊥CD ; 同理BE ⊥CD . 所以CD ⊥平面ABE ,所以CD ⊥AB .例2 已知VC 是ΔABC 所在平面的斜线，V 在平面ABC 上的射影为N ，N 在ΔABC 的高CD 上，M 是VC 上的一点，∠MDC =∠CVN ,求证：VC ⊥平面AMB证明:如图9-16，因为∠MDC =∠CVN ,且∠VNC =︒90, 所以∠DMC =︒90,即VC ⊥MD .又VN ⊥AB ,CD ⊥AB所以AB ⊥平面VCN 所以VC ⊥AB ， 所以VC ⊥平面AMB .例3 如图9-18,已知AP 是∠ABC 所在平面的斜线,PO 是∠ABC 所在平面的垂线,垂足为O .(1)若P 到∠BAC 两边的垂线段PE 、PF 的长相等，求证：AO 是∠BAC 的平分线.(2)若∠PAB =∠PAC ,求证：AO 是∠BAC 的平分线.证明：（1）连OE 、OF ，因为PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，AB CD E A B C D VN M ABC EFO P由三垂线定理的逆定理知：OE⊥AB，OF⊥AC，由已知：PE＝PF，故ΔPEO≌ΔPFO，所以EO＝FO 所以AO是∠BAC的平分线.（2）过P作PE⊥AB，PF⊥AC,垂足为E、F，因为∠PAB=∠PAC，所以易知ΔPEA≌ΔPFA，则PE＝PF.（以下同（1））。
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β
α
m l
a α
a
α 1.2.3 直线与平面垂直
教学目的：
1.理解直线与平面垂直的定义；
2.掌握直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用；
3.应用直线与平面垂直的判定、性质定理解决问题 .
教学重点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及其应用. 教学难点：直线与平面垂直的判定、性质定理内容及论证过程
教学过程：
一、复习引入：
1.直线和平面的位置关系是什么?观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3）直线和平面平行（没有公共点）
它们的图形分别可表示为如下，符号分别可表示为a ⊂α，a ⋂α=A ，a//α.
2.线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.
推理模式：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒ 3.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经
过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
推理模式：//,,//l l m l αβαβ⊂⋂=⇒ 引入新课:在直线和平面相交的位置关系中,有一种相交是很特殊的,我们把它叫做垂直相交,这节课我们重点来探究这种形式的相交----引出课题.
二、研探新知
1.观察实例,发现新知
现实生活中线面垂直的实例:旗杆与地面的关系，大桥的桥柱与水面的位置关系，房屋的屋柱与地面的关系，都给人以直线与平面垂直的形象。
2.实例研探,定义新知
探究:什么叫做直线和平面垂直呢?当直线与平面垂直时，此直线与平面内的所有直线的关系又怎样呢?
变换时间观察现实生活中线面垂直的实例:在阳光下观
察直立于地面的旗杆及它在地面的影子，随着时间的变化，
尽管影子的位置在移动，但是旗杆所在的直线始终与影子所
在的直线垂直，就是说，旗杆AB所在直线与地面上任意一
条过点B的直线垂直（如图），事实上，旗杆AB所在直线与地面内任意一条不过点B的直线也是垂直的。
定义:如果直线l与平面α的任意一条直线都垂直，我们就说直线l
与平面α互相垂直，记作l⊥α，直线l叫平面α的垂线，平面α叫直线l 的垂面。
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫垂足。
说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做垂足.
③ a⊥α等价于对任意的直线m α，都有a⊥m.
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
如果一条直线垂直于一个平面，那么他就和平面内的任意一条直线垂直。
3.直线和平面垂直的画法
画直线与平面垂直时，通过把直线画成与表示表面的平行四
边形的一边垂直，如图。
4.探究直线和平面垂直的判定方法
提出问题：虽然可以根据定义判定直线与平面垂直，但这种方法实际上难以实施。
有没有比较方便可行的方法来判断直线和平面垂直呢？
师生活动：请同学们准备一块三角形的纸片，我们一起来做如图所示的试验：过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，
将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接
触），问如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂
直？
发现：当且仅当折痕AD是BC边上的高时，AD
所在的直线在平面α垂直。
定理一条直线与一个平面内的两条相交直线
．．．．．．都垂直，则该直线与此平面垂直。
特别强调：
①定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
②定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数
学思想。
5.探究一些重要推论
观察长方体模型中四条侧棱与同一个底面的位置关系。
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1、BB1、CC1、DD1所在直线都垂直于平面ABCD，它们之间是有什么位置关系？（显然互相平行）
然后进一步迁移活动：已知直线a⊥α 、b⊥α、那么直线a、b一定平行吗？（一定）我们能否证明这一事实的正
确性呢？
引导学生分析性质定理成立的条件，介绍证明性质定理成立的特殊方法——反证法，然后师生互动共同完成该推理过程，最后归纳得出：两条平行直线其一垂直于一平面，另一个也比垂直于该面；
垂直于同一个平面的两条直线平行。
三、例题示范,巩固新知
例1、一旗杆高8m，在它的顶点处系两条长10m的绳子，拉紧绳子并把它们的下端固定在地面上的两点（与旗杆脚不在同一条直线
上）。
如果这两点与旗杆脚距6m那么旗杆就与地面垂直，为什
么？
解：如图，旗杆PO＝8，两绳子长PA＝PB＝10，OA＝OB
＝6，A，O，B三点不共线
因此A，O，B三点确定平面α，
因为PO2＋AO2＝PA2，PO2＋BO2＝PB2，
所以PO⊥OA，PO⊥OB
又OA∩OB＝O
所以OP⊥α，因此旗杆与地面垂直。
例2、如图，已知a∥b，a⊥α。
求证：b⊥α。
分析：在平面内作两条相交直线，由直线与平面垂直的定
义可知，直线a与这两条相交直线是垂直的，又由b平行a，可
证b与这两条相交直线也垂直，从而可证直线与平面垂直。
证明过程略
例3、详见课本P50.
四、巩固练习
平行四边形ABCD所在平面 外有一点P，且P A=PB=PC=PD，求证：点P与平行四边形对角线交点O的连线PO垂直于AB、AD.
五、归纳小结
今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在
判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l垂直于平面α，那么l就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质
六、作业布置
P51页练习B组1、2题。