频率特性分析的bode图法
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自动控制原理3第三节典型环节的频率特性
左图是不同阻尼系数情况下的 对数幅频特性和对数相频特性 图。上图是不同阻尼系数情况 下的对数幅频特性实际曲线与 渐近线之间的误差曲线。
1 2T 1 T 2 T 5 T 10 T
1 5T
Saturday, November 05, 2016
15
微分环节的频率特性
⒌ 微分环节的频率特性： 微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。传递函 数分别为： G( s) s
05, 2016
12
振荡环节的波德图
2 T ( ) tg 相频特性： 1 T 2 2
1
几个特征点： 0, ( ) 0;
1 , ( ) ; , ( ) 。 T 2
由图可见：
K 10, T 1, 0.3 10 G ( j ) 2 s 0.6s 1 1 o T
1
幅频特性为： 相频特性为：
A( )
(1 T 2 2 )2 (2T )2 2 T ( ) tg 1 1 T 2 2
L( ) 20 log A( ) 20 log (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2 对数幅频特性为：
低频段渐近线： T 1时，L( ) 0 高频段渐近线： T 1时， L( ) 20 log (T 2 2 ) 2 40 log T 1 两渐进线的交点 o 称为转折频率。斜率为-40dB/Dec。 T Saturday, November
1 2
T
时，无谐振峰值。当
M p A( p )
1 2
1 0.707时， p 0 。 2
时，有谐振峰值。
1 2 1 2
1 当 0 ， A(0 ) ， 。 L ( ) 20 lg 2 0 2
第六章-2-Bode图
Wintersweet 浙江大学控制科学与工程学系
2
Bode plots (Logarithmic plots )
Bode图（对数坐标图）
对数坐标图的优点 1) 将乘积和除法的数学操作转化为加法和减法; 2) 传递函数的获取大多采用图表法，而不是分析法; 3) 半对数坐标扩展了低频段 首先运用直线近似的方法来获得系统的近似特性，然后修正直线， 提高精度. 对数坐标图 足够多的数据 极坐标图
dB
可以计算出 ω 对应的Lm，然后绘制出频率响应。但是绘制对数幅 频渐近特性曲线会更容易，也更常用. 当 ω很小时, 也就是说 ωT<<1
Lm1 jT 20 log1 0
1
dB
Lm(dB) 20 -20 1/T 10/T ω
对数幅频渐近特性曲线 Lm 在低 频段为 0 dB 线
1
浙江大学控制科学与工程学系
Bode plots (Logarithmic plots )
自动控制理论
第六章
频域特性分析法
周立芳
浙江大学控制科学与工程学系
浙江大学控制科学与工程学系
Bode plots (Logarithmic plots )
主要内容
简介 Bode 图 (对数频率特性曲线) 极坐标图 Nyquist’s yq 稳定判据 相角裕度和幅值裕度，以及与稳定性的关系 ………
dB
K m (1 jT1 )(1 jT2 ) r G ( j ) 2 ( j ) m (1 jTa )[1 (2 / n ) j (1 / n )( j ) 2 ]
对数幅值:
LmG ( j ) LmK m Lm(1 jT1 ) rLm(1 jT2 ) mLm( j ) 2 1 2 Lm L (1 jTa ) Lm L 1 j 2 ( j ) n n
系统的频率特性分析(第二讲)
-45°
-90° 111
20T 10T 5T
112 2T T T
5 10 20 TTT
一阶惯性环节伯德图
一阶微分环节的Bode图与惯性环节的Bode图关于 横轴对称。
二阶微分环节的频率特性
③ 二阶微分环节： G(s) 2s2 2 s 1
幅频和相频特性为：
A
(1 22 )2 (2 )2 ,() arctan 2 1 22
常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，
仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。
而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。
G(s) 5 s 1
当增益 改变时， 相频特 性不变， 幅频特 性上下 平移。
Matlab 绘制的惯性环节的Bode图
4
振荡环节（要重视）G(s)
0.7 0.8 1.0
5
10
T
T
-30°
-60°
0.1
-90° 0.2
0.3
-120° 0.5
-150° 0.7
1.0
-180°
1
1
10T 5T
1
1
2
2T
T
T
左图是不同阻尼系数情况下 的对数幅频特性和对数相频 特性图。上图是不同阻尼系 数情况下的对数幅频特性实 5 10 际曲线与渐近线之间的误差 T T 曲线。
1
0.086 0.34 1.29 2.76 4.30 6.20 4.30 2.76 1.29 0.34 0.086
K 10,T 1, 0.3
G(
j )
s2
10 0.6s
1
o
1 T
40dB/ Dec
第6章 频率特性 3 bode plot
Automatic control
Lecture: Bode Plot
L (w ) = -20 lg 1 + T 2 w 2
工程上常采用近似画法来画幅频曲线，即利用渐进线 近似表示，其原理如下:
当T w << 1时，即w << 1/T ，则
-20 lg wT
L (w ) = -20 lg 1 + T 2 w 2 » -20 lg1 = 0 幅频曲线是一条零分贝水平线。
3
2012/11/6
Automatic control
Lecture: Bode Plot
Automatic control
Lecture: Bode Plot
G ( s ) = Ts + 1 频率特性 G ( jw ) = 1 + jT w
(4). 一阶微分环节
L (w ) = 20 lg 1 + jT w = 20 lg 1 + T 2 w 2 j (w ) = (1 + jT w )
2
2
当w << wn时， L (w ) = -20 lg1 = 0 ，渐近线为一条 0dB线。
当w >> wn时， w2 w = -40 lg , 渐近线为 2 wn wn 一条过 (w， n 0) 点﹑斜率为 - 40dB/dec的直线。 L (w ) » -20 lg
éæ w 2 ö æw÷ öù ç1- ÷ ç ÷ú ÷ + j 2x ç j (w ) = - êêç ÷ 2÷ ç ç ø è wn ÷ øúúû êëè wn ÷
Automatic control
Lecture: Bode Plot
第4章第12节频率响应与频率特性及频率特性的图示法
4.1频率响应与频率特性
▪ 频率特性是复变量s＝jω的复变函数，因此 有
▪ 一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应 为
4.2频率特性的图示法——奈氏图 和伯德图
4.2.1奈魁斯特图
▪ 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在 数学上，频率特性可以用直角坐标式表 示，；也可以用幅相式（指数式）表示， 即
因是系统有储能元件、有惯性，对频率 高的输入信号，系统来不及响应。 （3）系统的频率特性是系统的固有特性，取 决于系统结构和参数。
4.1频率响应与频率特性
4.1.6求取频率特性的解析方法 ▪ 当已知系统的传递函数时，可按下式求取，
即
G(j)G(s) sj
▪ 当从系统原理图开始求取系统的频率特性 时，应该先求出系统的传递函数。
4.1频率响应与频率特性
可以看出： 随着输入信号频率的变化，输出、输入信号 的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生 变化。 因此，可以利用这一特性，保持输入信号的 幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究 系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规 律，即可达到研究系统性能的目的。
4.1频率响应与频率特性来自4.1频率响应与频率特性
4.1.3频率响应
▪ 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称 为频率响应。
▪ 另外一种表达： 当正弦信号作用于稳定的线性系统时，系 统输出响应的稳态分量是与输入同频率的 正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。
线性系统的频率响应
求上图中输出信号与输入信号的 1、相位差A(ω) 2、幅值比ψ(ω)
两个问题：
1、正弦输入信号可不可以代表所 有信号？
2、什么是系统的频率特性？其图 形表示是什么样子？
4.1频率响应与频率特性
04 频率特性法——奈氏判据和伯德图判据
分析开环系统 G(s)H(s)的零点 都在S左半平面
一、开环频率特性与闭环频率 特性的关系
开环频率特性
G(s)H(s)
闭环频率特性
G( s ) ( s) 1 G( s ) H ( s )
F(s)=1+G(s)H(s)
二、奈斯判据
奈斯判据： s沿着奈氏路径绕一圈（当ω从 -∞→+∞变化时），G(jω)H(jω)曲线逆 时针包围（-1，j0）点R圈。 若 R=P （右半平面极点个数即正 实部极点分析系统稳定性。
Im
P0
0
Im
P 1
0
0
R
Re
R
K
0
Re
(a)
(b)
解： (a) N= N+ - N –=（0-1）= -1，P =0，故
Z=P-2N=2，闭环系统不稳定。 (b) K>1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，P=1，故 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K<1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，故 Z= P-2N=2，闭环系统不稳定； K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个 根在虚轴上，闭环系统不稳定。
R=2N=2(N+-N-)=P
注意：
正穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时从下向上穿越－180°线； 负穿越对应于Bode图φ(ω)曲线当ω增大 时，从上向下穿越－180°线。
例：开环特征方程有两个右根，P=2，试判定闭环系统的稳定性。 解：
P=2
正负穿越数之差（N+-N-）为1
第5章4——Bode图
2
1 2 n
2
n
2 arc tg n 2 1 2 n
0 0 ( ) 90 n 180
autocumt@ 22
振荡环节L()
L()dB 40 20 0dB -20
(rad / s)
10 -2
10 -1
1
10
0
2 3 4
10
1
autocumt@
自动控制原理
对数分度：
lg 2 0.301
lg 3 0.4771 lg 4 2lg 2 0.602 lg 5 0.699 lg 6 lg 3 lg 2 0.778
lg 7 0.845 lg 8 3 lg 2 0.903 lg 9 2 lg 3 0.954
（）º
(rad / s)
10 -2
autocumt@
10 -1
3
100
10
1
20 10 0
自动控制原理
L() dB -10
-20 -30 -40 900 450
( )
00 0 -450 -900
-1350
完 整 图 二 合 一
-1800
10 -2
autocumt@
[-20] 0.1 0.2
1
2
10 20
[-20]
100
16
5-4 对数频率特性——Bode图
（5）一次微分环节
传递函数： G（S） TS＋ 1 频率特性： G ( j ) Tj 1
0 0 1 相频特性 ( ) arctanT 45 T 90
自动控制原理：第六章频域分析法——伯特图及稳定性分析
• 当阻尼系数接近1时，振荡环节具有低通滤波的作用； • 而随着减小，=n=1/T处的幅值迅速增大，表明其对输
入信号中该频率附近分量的放大作用逐渐加强，此时，振
荡环节具有选频作用。
6.4 系统开环频率特性-典型环节的伯德图
40
Bode Diagram
二阶微分环节:
30
20
转折频率 渐近线
L() /(dB)
10 /T
1) 将乘除运算转化为加减运算，因而可通过简单的图像叠加 快速绘制高阶系统的伯德图 ；如 G( j) A1()e j1() A2 ()e , j2 () 则20lgA1()A2()=20lgA1()+20lgA2()
2) 伯德图还可通过实验方法绘制，经分段直线近似整理后， 很容易得到实验对象的频率特性表达式或传递函数.
i 1
i m1 1
v n1
v n1 nv n1 2
( jTl 1)
(1 Tl2 2 2 j lTl )
l v 1
l v n1 1
(6 - 17)
其 中 ，K ,0 i 1,0 l 1, i 0,Tl 0都 为 常 数 。
除此外，也存在某个Tl<0,开环不稳定，但闭环可能仍然 稳定的情况。
1
A(ω)
1 ωT 2 2 2ζωT 2
L() /(dB)
10
0
-10 -20
(1 T 22
j2T)1
0.05 0.1 0.3
-30
0.7
1 -40
180
转折频率 渐近线
135
(ω)
arctan
1
2ζωT
ωT
2
90 45
0
() /()
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6
◆Bode图的优点
① 可将串连环节幅值的乘除化为加减，系统的Bode图为各环节的Bode图 的线性叠加；
② 可通过近似方法作图；先分段用直线作出对数幅频的渐近线，再用修 正曲线对渐近线进行修正。
③ 可分别作出各环节的Bode图，然后用叠加法得出系统的Bode图。 ④ 横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。
2022/3/23
11
对数幅频特性
ωT : 转角频率
20lg G( j) 20lg T 20lg T2 2
低频段（ω<<ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB 高频段（ω>>ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lg 始于点（ωT ，0）, 斜率－20dB/dec的直线 对数相频特性：
应重点掌握）。 将函数化成实部和虚部之和或差，再用欧拉公式。
G( j) G(s) | G( j) | ejG( j) s j
3.用实验的方法求取。
2022/3/23
3
例 系统的传递函数为 G(s) K ，
Ts 1
若输入信号为 xi(t)=xisint，求系统的频率特性
和频率响应。
第一，用j替换s，即G( j) G(s) s j
对数相频特性：过点（0，90o ）平行于横轴的直线
2022/3/23
10
(4)惯性环节
惯性环节的频率特性为G( j) 1 1 jT
若令T
1 T
，设T
为转角频率
则有G( j) T T j
故幅频特性为G( j) T T2 2
相频特性为G( j) arctan T
对数幅频特性 20lg G( j) 20lg T 20lg T2 2
20lg G( j) 20lg T 20lg T2 2
低频段渐近线： 20lgG(j)0dB
误差：e() 20lg T 20lg T2 2
高频段渐近线： 20lgG(j)20lgT－20lg e() 20lg 20lg T2 2
最大误差发生在转角频
率 T 处，其误差为 －3dB。
1 T 2 2
2022/3/23
5
◆频率特性的对数坐标图(Bode图)
对数坐标图由对数幅频特性图和对数相频特性图组成
分别表示幅频特性和相频特性
① 对数幅频特性图
横坐标：ω，对数分度，标注真值； 纵坐标：G(j)的分贝值dB， 1dB=20lgG(j)；线性分度。
0dB,| G( j) | A() X 0 () 1
Xi 输出幅值等于输入幅值
dec (10倍频程）
dB 0,| G( j) | A() X 0 () 1
Xi 输出幅值 输入幅值(放大)
dB 0,| G( j) | A() X 0 () 1
Xi 输出幅值 输入幅值(衰减)
2022/3/23
② 对数相频特性图 横坐标：同上 纵坐标：∠G(j) ，线性分度
第二，利用复变函数的欧拉公式，得到系统的频率特性
G( j) G(s)
K
K
earctanT
s j 1 jT 1 T 2 2
2022/3/23
即
A()
G(
j)
K
1 T 2 2
() G( j) arctanT
G( j) G(s) K s j 1 jT
（1
K（1 jTw） jT）（1 jTw）
20lgG(j)＝ 20lg 1/= － 20lg
对数幅频特性：过点（1，0）斜率－20dB/dec的直线 对数相频特性：过点（0，－90o ）平行于横轴的直线
2022/3/23
9
(3)微分环节
传递函数 G(s)=s 频率特性G(j)=j 20lgG(j)＝ 20lg G(j)= 90o
对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线
相频特性
放大电路的电压放大倍数与频率的关系称为幅频特性, 输出信号与输入信号的相位差与频率之间的关系称为相频特性。 两者统称频率特性。
◆频率特性：当输入量波形变化时，其输出量随频率变化的特性。
2022/3/23
2
◆频率特性的三种求法
1.根据系统的频率响应来求取。
2.将传递函数中的s换为jω （s= jω ）来求取（最常用，
行拉氏变换 • w=logspace(-2,3,100); %产生介于10^(-2)和10^3之间的100个频率点 • grid; • bode(nunG1,denG1,w) %绘制bode图。
（exno2）
2022/3/23
14
• 谢谢！
2022/3/23
15
K（1 jTw） 1 T 2 2
1
K T 2
2（实部）
j
1
KTw T 2
2（虚部）,
利用欧拉公式得到
K（2 1 T 2 2） （1 T 2 2）2 e
arcta
nT
K
e a r c ta nT
1 T 2 2
4
第三，系统的频率响应
xo(t) Xi G( j) sin[t G( j)] XiK sin(t arctanT)
2022/3/23
（matlab：GXhuanjie）
G(jω） arctan ω ωT
=0， G(j)=0°；
=T，G(j)=－45°； =， G(j)=－90°；
对数相频特性曲线对称于点(T，－45°) ≤0.1T 时，G(j) 0° ≥10T 时，G(j)90°
12
误差修正曲线
对数幅频特性
在分析和研究系统时，低频特性很重要。
2022/3/23
7
◆典型环节的Bode图
(1)比例环节
比例环节的频率特性为 G(j)=K
其对数幅频特性和相频特性分别为 20lgG(j)＝20lgK G(j)=0。
2022/3/23
8
(2)积分环节
积分环节的传递函数为G(s)=1/s，则频率特性为G(j)=1/j， 故幅频特性|G(j)|=1/，相频特性G(j)= －90。
频率特性分析的Bode图法
李焱
2022/3/23
1
◆频率响应
线性定常系统对谐波输入的稳态响应。瞬态分量：XiKTw 1T2w2
t
*eT
系统的稳态响应公式
xo(t) G( j) Xi sin[t G( j)]
则系统的幅频特性和相频特性分别为
A()
Xo()
G( j) 幅频特性
X22/3/23
13
作传递函数的为 G(s) （5s2（42）0.2（5s0.005.s5） 2）的系统的BODE图
• k=24;nunG1=k*[0.25 0.5]; %系统的传递函数，分子及分母 • denG1=conv([5,2],[0.05 2]);%conv 用来求卷积的函数命令，在此处是进
◆Bode图的优点
① 可将串连环节幅值的乘除化为加减，系统的Bode图为各环节的Bode图 的线性叠加；
② 可通过近似方法作图；先分段用直线作出对数幅频的渐近线，再用修 正曲线对渐近线进行修正。
③ 可分别作出各环节的Bode图，然后用叠加法得出系统的Bode图。 ④ 横坐标采用对数分度，所以能把较宽频率范围的图形紧凑地表示出来。
2022/3/23
11
对数幅频特性
ωT : 转角频率
20lg G( j) 20lg T 20lg T2 2
低频段（ω<<ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lgT＝0dB 高频段（ω>>ωT）， 20lgG(j)20lgT－20lg 始于点（ωT ，0）, 斜率－20dB/dec的直线 对数相频特性：
应重点掌握）。 将函数化成实部和虚部之和或差，再用欧拉公式。
G( j) G(s) | G( j) | ejG( j) s j
3.用实验的方法求取。
2022/3/23
3
例 系统的传递函数为 G(s) K ，
Ts 1
若输入信号为 xi(t)=xisint，求系统的频率特性
和频率响应。
第一，用j替换s，即G( j) G(s) s j
对数相频特性：过点（0，90o ）平行于横轴的直线
2022/3/23
10
(4)惯性环节
惯性环节的频率特性为G( j) 1 1 jT
若令T
1 T
，设T
为转角频率
则有G( j) T T j
故幅频特性为G( j) T T2 2
相频特性为G( j) arctan T
对数幅频特性 20lg G( j) 20lg T 20lg T2 2
20lg G( j) 20lg T 20lg T2 2
低频段渐近线： 20lgG(j)0dB
误差：e() 20lg T 20lg T2 2
高频段渐近线： 20lgG(j)20lgT－20lg e() 20lg 20lg T2 2
最大误差发生在转角频
率 T 处，其误差为 －3dB。
1 T 2 2
2022/3/23
5
◆频率特性的对数坐标图(Bode图)
对数坐标图由对数幅频特性图和对数相频特性图组成
分别表示幅频特性和相频特性
① 对数幅频特性图
横坐标：ω，对数分度，标注真值； 纵坐标：G(j)的分贝值dB， 1dB=20lgG(j)；线性分度。
0dB,| G( j) | A() X 0 () 1
Xi 输出幅值等于输入幅值
dec (10倍频程）
dB 0,| G( j) | A() X 0 () 1
Xi 输出幅值 输入幅值(放大)
dB 0,| G( j) | A() X 0 () 1
Xi 输出幅值 输入幅值(衰减)
2022/3/23
② 对数相频特性图 横坐标：同上 纵坐标：∠G(j) ，线性分度
第二，利用复变函数的欧拉公式，得到系统的频率特性
G( j) G(s)
K
K
earctanT
s j 1 jT 1 T 2 2
2022/3/23
即
A()
G(
j)
K
1 T 2 2
() G( j) arctanT
G( j) G(s) K s j 1 jT
（1
K（1 jTw） jT）（1 jTw）
20lgG(j)＝ 20lg 1/= － 20lg
对数幅频特性：过点（1，0）斜率－20dB/dec的直线 对数相频特性：过点（0，－90o ）平行于横轴的直线
2022/3/23
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(3)微分环节
传递函数 G(s)=s 频率特性G(j)=j 20lgG(j)＝ 20lg G(j)= 90o
对数幅频特性：过点（1，0）斜率20dB/dec的直线
相频特性
放大电路的电压放大倍数与频率的关系称为幅频特性, 输出信号与输入信号的相位差与频率之间的关系称为相频特性。 两者统称频率特性。
◆频率特性：当输入量波形变化时，其输出量随频率变化的特性。
2022/3/23
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◆频率特性的三种求法
1.根据系统的频率响应来求取。
2.将传递函数中的s换为jω （s= jω ）来求取（最常用，
行拉氏变换 • w=logspace(-2,3,100); %产生介于10^(-2)和10^3之间的100个频率点 • grid; • bode(nunG1,denG1,w) %绘制bode图。
（exno2）
2022/3/23
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• 谢谢！
2022/3/23
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K（1 jTw） 1 T 2 2
1
K T 2
2（实部）
j
1
KTw T 2
2（虚部）,
利用欧拉公式得到
K（2 1 T 2 2） （1 T 2 2）2 e
arcta
nT
K
e a r c ta nT
1 T 2 2
4
第三，系统的频率响应
xo(t) Xi G( j) sin[t G( j)] XiK sin(t arctanT)
2022/3/23
（matlab：GXhuanjie）
G(jω） arctan ω ωT
=0， G(j)=0°；
=T，G(j)=－45°； =， G(j)=－90°；
对数相频特性曲线对称于点(T，－45°) ≤0.1T 时，G(j) 0° ≥10T 时，G(j)90°
12
误差修正曲线
对数幅频特性
在分析和研究系统时，低频特性很重要。
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7
◆典型环节的Bode图
(1)比例环节
比例环节的频率特性为 G(j)=K
其对数幅频特性和相频特性分别为 20lgG(j)＝20lgK G(j)=0。
2022/3/23
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(2)积分环节
积分环节的传递函数为G(s)=1/s，则频率特性为G(j)=1/j， 故幅频特性|G(j)|=1/，相频特性G(j)= －90。
频率特性分析的Bode图法
李焱
2022/3/23
1
◆频率响应
线性定常系统对谐波输入的稳态响应。瞬态分量：XiKTw 1T2w2
t
*eT
系统的稳态响应公式
xo(t) G( j) Xi sin[t G( j)]
则系统的幅频特性和相频特性分别为
A()
Xo()
G( j) 幅频特性
X22/3/23
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作传递函数的为 G(s) （5s2（42）0.2（5s0.005.s5） 2）的系统的BODE图
• k=24;nunG1=k*[0.25 0.5]; %系统的传递函数，分子及分母 • denG1=conv([5,2],[0.05 2]);%conv 用来求卷积的函数命令，在此处是进