概率论综合练习卷 (2)

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《概率论与数理统计》期末测试卷(二)(答案解析版)

《概率论与数理统计》期末测试件（二）（答案解析版）一、（12分）一学生接连参加同一课程的两次考试。

第一次及格的概率为P ，若第一次及格则第二次及格的概率也为P ；若第一次不及格则第二次及格的概率为P 2。

（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率。

（2）若已知他第二次已经及格，求他第一次及格的概率。

解：A i ={他第i 次及格}，i=1,2已知P (A 1)=P (A 2|A 1)=P ，21P P(A /A )2= （1）B ={至少有一次及格}所以21}{A A B ==两次均不及格∴ )|()(1)(1)(1)(12121A A P A P A A P B P B P -=-=-= )]|(1)][(1[1121A A P A P ---=22123)21)(1(1P P P P -=---= （2）由乘法公式，有P (A 1 A 2)= P (A 1) P (A 2| A 1) = P 2 由全概率公式，有)|()()|()()(1211212A A P A P A A P A P A P +=222)1(2P P PP P P +=⋅-+⋅=得1222)|(2221+=+=P PP P P A A P .二、（14分）设随机变量~,22X U ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,求（1）随机变量X 的分布函数()F x ；（2） cos Y X =的密度函数 . 解：X 的密度函数为()1,220,x f x πππ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他cos Y X= 的可取值范围是()0,1当01y <<时，()()Y F y P Y y =≤arccos 2arccos 2arccos arccos 2211y yP Y y P y Y dx dxππππππ--⎛⎫⎛⎫=-≤≤-+≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+⎰⎰因此，cos Y X = 的密度函数()(),01Y Y f y F y y '===<<故，,01()0,Y y f y <<=⎩其他三、（16分）设随机向量（X , Y ）的联合密度为⎩⎨⎧<<<<=.,0,10,10 ,2),(其他y x x y x f(1) 计算P (Y > X )；(2) 求X , Y 的概率密度f X (x )，f Y (y );(3) 判断X 与Y 是否相互独立，说明理由； (4) 求Z = X+Y 的概率密度f Z (z ). 解：（1）.312),()(110===>⎰⎰⎰⎰>x xy xdy dx dxdy y x f X Y P（2）dyy x f x f X ⎰∞∞-=),()(.2x 2)(101x dy x f x X ==<<⎰时，当⎩⎨⎧<<=.,0,10,2)(其他x x x f Xdxy x f y f Y ⎰∞∞-=),()(.10,1 2)(10<<==⎰y dx x y f Y⎩⎨⎧<<=.,0,10,1)(其他y y f Y（3）因为，..),()(),(e a y f x f y x f Y X =所以X 与Y 相互独立. （4）.),()(dx x z x f z f Z ⎰∞∞--=.22)(21,2)(1021120z z dx x z f z z dx x z f z z Z zZ -==<<==<<⎰⎰-时，当时，当⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<=. ,0,2z 1 ,2,10 ,)(22其他z z z z z f Z四、（18分）设二维连续型随机变量(X ,Y )在区域D 上服从均匀分布。

概率论与数理统计试卷(二)

课程概率论与数理统计模拟试题（二）课程代码：考核方式: 闭卷考试时量：120 分钟试卷类型：一、填空题（每题2分，共20分）P（AB）=8次取到红球的概3、已知F0.05(3,4)=6.59，则F0.95(4,3)=________________;已知F～F(5，9)，则F1～_____分布4、随机变量X服从参数为λ的指数分布，则EX = EX2=5、根据泊松定理，对于成功率为p的n重伯努利试验，只要n充分大，而p充分小，其成功次数X近似的服从参数为λ= 的泊松分布。

6、设D(X)=1, D(Y)=4, 相关系数ρxy=12, 则COV(X,Y)=_______7、对于连续型随机向量，X与Y独立的充分必要条件是，对于任何（x，y）∈R2，有f（x，y）=8、T服从n个自由度的t分布，则T2服从自由度为的分布9、设总体X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ、σ2未知，则μ的置信度1-α(0<α<1)的置信区间为__________10、设X～N(1,3) ，则(X-1)2/3～________________分布。

二、单选题（在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请把你认为正确答案的题号，填入题干的括号内，多选不给分。

每题2分，共20 分）1.设随机事件A与B互不相容，且有P(A)>0，P(B)>0，则下列关系成立的是( ).A. A，B相互独立B. A，B不相互独立C. A，B互为对立事件D. A，B不互为对立事件2、对于任意两个随机事件A 与B ，有P(A-B)为（）．①②③. ④.3、对任意随机变量X，若E(X)存在，则E(E(E(X)))等于( )。

①. 0 ②. X ③. (E(X))3 ④. E(X)4、设随机变量X的分布函数为F(x),. Y=2X+1,则Y的分布函数为( )①. F(y /2-1/2)②. F(y/2+1)③. 2F(x)+1④. 1/2F(y)-1/25、若E(XY)=E(X))(YE⋅,则必有( )①D(XY)=D(X)D(Y) ②D(X+Y)=D(X)+D(Y)③X与Y相互独立④X与Y不相互独立6、设随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则随σ的增大,概率P{}σμ≤-X应（）①单调增大②单调减小③保持不变④不能确定7、设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从正态分布N（0，1）和N（1，1）则（）①P{}1≤+YX=1/2 ②P{}0≤+YX=1/2③P{}1.5X Y+≥=1/2 ④P{}0≥+YX=1/28、已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2，则EY=（）①10 ② 4 ③-2 ④–1/29、对正态总体的数学期望μ进行假设检验，如果的显著水平0.05下拒绝H0：μ=μ0，那么在显著水平0.01下，下列结论正确的是（）第 1 页座位号第 2 页① 必接受H 0 ②可能接受,也可能拒绝H 0 ③ 必拒绝H 0 ④ 不接受也不拒绝H 0 10、设),(21X X 是来自总体X 的一个容量为2的样本,则在下列E(X)的无偏估计量中, 最有效的估计量是 ( )① 2Ｘ1／３＋Ｘ2／３ ②Ｘ1／４＋３Ｘ2／４ ③ ２Ｘ1／５＋３Ｘ2／５ ④ Ｘ1／２＋Ｘ2／２三、判断题：（共12分） A,B 一定独立。

概率论与数理统计(II)期末考试样卷2参考答案

命题人或命题小组负责人签名：教研室（系）主任签名：分院（部）领导签名：概率论与数理统计（II ）期末考试样卷2参考答案注意：所有数据结果保留小数点后两位，本试卷可能用的数据如下：20.9750.9750.02520.9750.9750.95(1.5)0.933, 1.96,(24) 2.064,(2.10)0.98,(24)12.40,(24)39.36,(10) 2.23,(2,21) 3.47,U t t F χχΦ===Φ=====一、填空题( 每小题3分，共24分)1．在总体~(5,16)X N 中随机地抽取一个容量为36的样本，则样本均值x 落在4与6之间的概率为 0.87 .2. 设1234,,,X X X X 是取自正态总体~(0,4)X N 的简单随机样本且()()221234234Y a X X b X X =-+-，则a = 0.05 ，b = 0.01 时，统计量Y 服从2χ分布。

3．设161,,x x 是来自(8,4)N 的样本，则(1)(5)P x >= 16(0.933) . 4．设1,,n X X 为来自(0,)(0)U θθ>的一个样本，11,ni ni X X ==∑则未知参数θ的矩估计量是 2X ，最大似然估计是 1max(,,)n X X .5．设总体分布为()P λ，则其费希尔信息量为 1λ .6．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本，欲使1ˆni i c X X σ==-∑为σ的无偏估计，则常数 c 7．由来自正态总体2~(,0.9),X N μ容量为9的简单随机样本，若得到样本均值0.5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为 [-0.088,1.088] 。

8．设1,,n X X 为来自2(,)N μσ的一个样本,22111()ni n i S X X -==-∑,其中参数2,μσ未知，要检验假设2200:H σσ=应用 2χ 检验法，检验的统计量是2201n S σ-（）。

概率论与数理统计综合练习册

2012.9目录综合练习一 (1)综合练习二 (5)综合练习三 (7)综合练习四 (9)综合练习五 (11)综合练习六 (13)综合练习七 (15)综合练习八 (17)综合练习一一、填空题(3×4＝12分)1. 设3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)|(B A P _____________.2. 设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，且}2{}1{===ξξP P ，则=≥}1{ξP _________.3. 从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用ξ表示取到的号码的平均值，则=)(ξE _______.4.设总体)3.0,0(~2N ξ，nξξξ,,,21 是总体样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=44.11012i i P ξ________________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 设321,,x x x 是总体ξ的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[ ]. (A)321613121x x x ++； (B) )(31321x x x ++； (C) 321x x x -+； (D) )(2121x x +. 2. 设A ，B 是两个事件，则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为[ ]. (A) AB ； (B) B A B A ； (C) B A ； (D) B A .3. 设随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++ξξx x 有实根的概率为[ ]. (A)53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 4. 设随机变量ξ与η相互独立，其概率分布为和则下列式子中，正确的是[ ].(A) ηξ=； (B) 1}{==ηξP ； (C) 95}{==ηξP ； (D) 0}{==ηξP . 三、完成下列各题(6×8＝48分)1. 已知10个元件中有7个合格品及3个次品，每次随机抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品都找到为止，求需要测试次数ξ的概率分布.2. 设),0(~2σξN ，求||ξη=的概率密度.3. 甲、乙、丙3门炮向某一目标射击，每次射击时，甲、乙、丙击中目标的概率分别是0.l ，0.2，0.3，问3门炮需齐射多少次，方能使目标被击中的概率不小于99％？(设各炮各次射击时是否击中目标是相互独立的.)4. 某厂生产的某种设备的寿命ξ(单位：年)服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0041)(4x x ex f x，工厂规定，若出售的设备在1年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂方需花费300元，试求厂方出售1台设备净获利的数学期望.5. 设某厂生产的灯泡的寿命),1600(~2σξN ，如要求975.0}1200{≥>ξP ，问σ应满足什么条件？6. 设某种零件的长度服从正态分布),(2σμN ，测得8个零件长度(单位：mm)为97，99，94，102，103，97，98，102. (1)若已知μ=100，求2σ的置信区间； (2)未知μ，求2σ的置信区间.(均取α=0.05)7. 计算机在做加法运算时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，如将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？8. 设总体ξ的样本观察值为n x x x ,,,21 ，证明：∑-=+--=11212)()1(21ˆn i i i x x n σ是总体方差的无偏估计.四、(9分)设(ξ，η)的概率密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,15),(2xy x xy y x ϕ，(1)求ξ，η的边缘概率密度，说明ξ，η是否独立；(2)求ξ，η的协方差.五、(9分)在长度为L 的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段长度之比小于41的概率. 六、(10分)在8件产品中，次品数从0到4是等可能的，检查其中任意4件，发现3件是合格品，l 件是次品，问在剩下的4件产品中，再任取2件来检查，这2件都是合格品的概率是多少？综合练习二一、填空题(3×4＝12分)1. 设事件A ，B 相互独立2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A B A P _____________. 2. 设),(~2σμξN ，k ，h 为常数，0≠k ，h k +=ξη，则相关系数=||ξηρ____________.3. 将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.4. 将6张同排连号的电影票随机分给3个男生，3个女生，则男女生相间而坐的概率为_______________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 袋中有3个白球，2个红球，现从中依次取出2个(取后不放回)，则第2次取到红球的概率为[ ].(A)52; (B) 43; (C) 42; (D) 53. 2. 已知事件A 及B 的概率都是21，则下列结论中，一定正确的是[ ].(A) 1)(=B A P ; (B) 41)(=AB P ; (C) )()(B A P AB P =; (D)21)(=AB P .3. 设随机变量),(~p n B ξ，已知E (ξ)＝0.5，D (ξ)＝0.45，则n ，p 的值为[ ]. (A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.4. 若随机变量ξ与η满足D (ξ＋η)=D (ξ－η)，则下列式子中，正确的是[ ].(A) ξ与η相互独立; (B) ξ与η不相关; (C) D (ξ)=0; (D) D (ξ)·D (η)＝0.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 猎人在距离100m 处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第1次未击中，则进行第2次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m ，如果第2次又未击中，则进行第3次射击，这时距离变为200m ，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.2. 测量到某一目标的距离时发生的随机误差ξ(m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex πϕ，求在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.3. 每次射击时，击中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中，有180到220发炮弹命中目标的概率.4. 设随机变量ξ，η相互独立，)21,2(~B ξ，)32,2(~B η，求ξ＋η的概率分布及P {ξ>η}. 5. 设总体ξ的概率密度为)(21);(||+∞<<-∞=-x e x x θθθϕ，其中θ>0，若样本观测值为n x x x ,,,21 ，求θ的极大似然估计.6. 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得它们的电阻(单位：Ω)如下第一批：0.143，0.142，0.143，0.137；第二批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布),(211σμN 及),(222σμN ，其中，1μ，2μ，1σ，2σ都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差1μ－2μ对应于置信概率0.95的置信区间(假定1σ=2σ).7. 为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到x =1500h ，s ＝20h ，设灯炮使用时数服从正态分布，求 (1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)8. 设三事件A ，B ，C 相互独立，证明A －B 与C 也相互独立.四、(9分)甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检验的结果是在3个产品中发现1个次品，设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3，分别求这个次品是甲、乙、丙加工的概率.五、(9分)甲、乙两人约定某日上午8:00~12:00在某地相会，设两人到达该地的时间是相互独立的，求两人相会前等待时间的数学期望及方差.六、(10分)甲、乙两人在某一局乒乓球比赛时，双方得分打成20:20平，按规定，在后面的比赛中，只有当某一方连得2分时，方能取得该局的胜利. 设在后面的比赛中，甲每个球得分的概率均为0.6，乙均为0.4，各球的胜负是相互独立的，求甲在该局获胜的概率.综合练习三一、填空题(3×4=12分)1. 设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.2. 设ξ～B (10，0.3)，则在P {ξ=m }(m =0，l ，…，10)中，最大的值是_________________.3. 设ξ～N (2，σ2)，P {2<ξ<4}=0.3，则P {ξ<0}=_____________.4. 设ξ服从泊松分布P (λ)，抽取样本1x ，2x ，…，n x ，则样本均值x 的概率分布为_____________.二、选择题(3×4=12分)l. 从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为[ ].(A) 211； (B) 2112； (C) 218； (D) 2113. 2. 设总体ξ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.3. 设离散型随机变量ξ的分布律为P {ξ=k }=αβk (k =1，2，…)，且α>0，则β为[ ].(A) 11-=αβ； (B) 1+=ααβ； (C) 11+=αβ； (D) 1+=αβ. 4. 设两个相互独立的随机变量ξ和η的方差分别为6和3，则随机变量2ξ－3η的方差是[ ].(A) 51l ； (B) 21； (C) －3； (D) 36.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 射击运动中，1次射击最多能得10环，设某运动员在1次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在5次独立射击中得到不少于48环的概率.2. 设ξ在[－2，2]上服从均匀分布，η=ξ2，求η的概率密度及D (η).3. 设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为])()[(2122221221),(μμσπσϕ-+--=y x e y x ，其中σ>0，求随机变量U =a ξ＋b η，V =a ξ－b η的相关系数r uv ，其中a ，b 为常数.4. a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.5. 某系统备有30个电子元件a l ，a 2，…，a 30，先使用a l ，若a l 损坏，立即使用a 2；若a 2损坏，则立即使用a 3；…直至30个元件用尽. 设a i 的寿命(单位：h)服从参数为λ=0.1的指数分布，ξ为30个元件使用的总时间，求ξ超过350h 的概率.6. 设η服从参数为1的指数分布，ξ1，ξ2是0-l 分布， ⎩⎨⎧>≤=1,11,01ηηξ； ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,02ηηξ 求(ξ1，ξ2)的概率分布及E (ξ1ξ2).7. 在半径为R 的圆的某一直径上任取一点，过该点做垂直于该直径的弦，求弦长的数学期望及方差.8. 设随机变量ξ的数学期望为E (ξ)，方差为D(ξ)，证明对任意实数C ，均有)(])[(2ξξD C E ≥-.四、(9分)化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异. (取α=0.05)五、(9分)设ξ，η相互独立，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η服从参数21=λ的指数分布，求方程022=++ηξt t 有实根的概率.六、(10分)甲、乙两排球队进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束. 假定甲队在每场比赛中获胜的概率均为0.6，乙均为0.4，求比赛场数的数学期望及甲队胜4场的概率.综合练习四一、填空题(3×4=12分)1. 一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.2. 在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________. 3. ξ的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=.3,1;31,8.0;11,4.0;1,0}{)(x x x x x P x F ξ 则ξ的分布列为_________________________.4. ξ与η独立，且都服从N (0，32)分布，ξ1，ξ2，…，ξ9和η1，η2，…，η9分别是来自于总体ξ和η的随机样本，则统计量292191ηηξξ++++= U 服从______________分布.二、选择题(3×4=12分)1. 对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )；(C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2. 设随机变量ξ~N (μ，σ2)，则随σ的增大，P {|ξ−μ|<σ}[ ].(A) 单调增加； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定.3. 设两个随机变量ξ与η相互独立，且服从同分布P {ξ=－1}=P {η=－1}=21，P {ξ=1}=P {η=1}=21，则下面各式中，成立的是[ ]. (A) P {ξ=η}=21； (B) P {ξ=η}=1； (C) P {ξ+η=0}=41； (D) P {ξη}=41. 4. 设ξ和η的方差存在且不为零，则D (ξ+η)=D (ξ)+D (η)是ξ和η[ ].(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 独立的充分条件，但不是必要条件；(C) 不相关的充分必要条件； (D) 独立的充分必要条件.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 设有一群高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，今有一架敌机入侵领空，欲以99％的概率击中它，问需要多少高射炮射击.2. 把4个球随机地放入3个盒子中去，设ξ，η可分别表示第1个、第2个盒子中的球数，求(l)(ξ，η)的分布；(2)边缘分布；(3)已知η=1时ξ的条件分布.3. 做一件事情，一次成功的概率p =0.1，若进行100次重复独立试验，问事情最可能成功多少次，并求出其概率.4. 设ξ服从泊松分布 P {ξ=k }=!k e k λλ-(k =0，1，2，…)，问当k 取何值时，P {ξ=k }为最大.5. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P (0.2)，求这本书印刷错误的总数不超过70的概率.6. 已知高度表的误差的标准差σ=15m ，求飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保证平均高度x 的误差的绝对值小于30m ？假定高度表的误差服从正态分布.7. 求抛硬币多少次，才能使子样均值x 落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？8. 设(ξ，η)在区域D ：0<x <1，|y |<x 内服从均匀分布，求(1)关于ξ的边缘分布密度；(2) η=2ξ+l 的方差．四、(9分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现在从中随机抽取1件，记⎩⎨⎧=.,0;,1其他等品若抽取i i ξ (i ＝l ，2，3) 试求(1) ξ1和ξ2的联合分布；(2) ξ1和ξ2的相关系数.五、(9分)设ξ，η独立，证明D (ξ－η)=D (ξ)+D (η).六、(10分)某城市每天的耗电量不超过100万kW ·h ，每天的耗电量与百万kW ·h 的比值称为耗电率，设该城市的耗电率为ξ，其分布密度为 ⎩⎨⎧<<-=.0;10),1()(2其他x x A x ϕ 如果发电厂每天的供电量为80万kW ·h ，问任意一天供电量不足的概率为多少？综合练习五一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A )=P (B )=P (C )=41，P (AB )=0，P (AC )=P (BC )=81，则A ，B ，C 全不发生的概率为_________________.2. 设ξ的密度121)(-+-=x x e x πϕ，则ξ的期望为_______________，方差为_____________________.3. 设ξ服从参数为1的指数分布，则)(2ξξ-+e E =_______________________________.4. 设ξ1，ξ2，ξ3相互独立，其中ξ1在[0，6]上服从均匀分布，ξ2服从正态分布N (0, 22)，ξ3服从参数λ=3的泊松分布，记η=ξ1+2ξ2+3ξ3，则D(η)=_________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )；(C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).2. 设两个相互独立的随机变量ξ和η分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, l)，则[ ].(A) P {ξ+η≤0}=21； (B) P {ξ+η≤1}=21； (C) P {ξ－η≤0}=21； (D) P {ξ－η≤1}=21. 3. 设两个相互独立的随便机变量ξ和η的方差分别为4和2，则3ξ－2η的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.4. 设x 1，…，x n 是母体ξ的n 个子样. 21)(σ=x D ，∑==n i i x n x 11，∑=--=n i i x x n s 122)(11，则[ ].(A) s 是σ的无偏估计量； (B) s 是σ的极大似然会计量；(C) s 是σ的一致估计量； (D) s 与x 相互独立.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 任取两个真分数，求它们乘积不大于41下的概率.2. 设ξ在]2,2[ππ-上服从均匀分布，求η=cos ξ的概率密度. 3. 一电子仪器由两个部件构成，以ξ和η分别表示两个部件的寿命(单位：h)，已知ξ和η的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---.,0;0,0,1),()(5.05.05.0其他y x e e e y x F y x y x 问(1) ξ与η是否独立；(2)求两个部件的寿命都超过100h 的概率．4. 在长为L 的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望及均方差.5. 为了确定事件A 的概率，需要进行一系列的试验，在100次试验中，A 发生了36次；如果取频率0.36作为A 的概率p 的近似值，求误差小于0.05的概率.6．要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005(Ω)，今在生产的一批导线中取样品9根，测得s ＝0.007(Ω)，设总体服从正态分布，问在水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.7. 过半径为R 的圆周上的一点，任意做圆的弦，求这些弦的平均长度.8. 从南郊乘汽车前往北郊火车站乘火车，有两条路线可走．第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N (50, 102)；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60, 42)，若有70min 时间可用，问应走哪条路？四、(9分)2台同样的自动记录仪，每台记录仪无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中1台，当其发生故障时，停用，而另1台自动开动．试求2台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度．五、(9分)设总体ξ服从指数分布，其密度 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x ae x ax ϕ (a>0为常数) 求子样均值x 的分布．六、(10分)设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为λt 的泊松分布，试求(1)相继两次故障的时间间隔T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8h 的情况下，再无故障运行8h 的概率.综合练习六一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2. 若ξ在(1, 6)上服从均匀分布, 则x 2+ξx +1=0有实根的概率是______________.3. 某灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.2, 今3个灯泡在使用1000h 以后最多只坏1个的概率为________.4. 设由来自正态总体ξ~N (μ, σ2), 容量为9的简单随机样本得样本均值x =5, 则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则[ ].(A) A 和B 互不相容; (B) AB 是不可能事件; (C) AB 未必是不可能事件; (D) P (A )=0或P (B )=0.2. 设随机变量ξ的密度函数φ(x ), 且φ(－x )=φ(x ), F (x )是ξ的分布函数, 则对任意数a , 有[ ].(A) F (－a )=1－⎰a dx x 0)(ϕ; (B) F (－a )=211－⎰a dx x 0)(ϕ; (C) F (－a )= F (a ); (D) F (－a )= F (a )－1.3. 设随机变量ξ与η相互独立, 其概率分布为和则下式中, 正确的是[ ].(A) ξ=η; (B) P {ξ=η}=0; (C) P {ξ=η}=21; (D) P {ξ=η}=1. 4. 设x 1, …, x n 是来自正态总体N (μ, σ2)的简单随机样本, x 是平均值, 记∑=--=n i i x x n s 1221)(11; ∑=-=n i i x x n s 1222)(1; ∑=--=n i i x n s 1223)(11μ; ∑=-=ni i x n s 1224)(1μ. 则服从自由度为n －1的t 分布的随机变量是[ ].(A) 11--=n s x t μ; (B) 12--=n s x t μ; (C) n s x t 3μ-=; (D) n s x t 4μ-=.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 第一箱中有10个球, 其中有8个白球和2个黑球. 第二箱中有20个球, 其中有4个白球和16个黑球. 现从每箱中任取1球, 然后从这两球中任取1球. 问取到白球的概率是多少？2. 某种型号的电子管的寿命ξ(单位：h)具有以下的概率密度: ⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0;1000,1000)(2其他x x x ϕ现有一大批此种管子, 任取5只, 问其中有2只寿命大于1500h 的概率是多少？3. 某工厂生产过程中, 出现次品的概率为0.05, 每100个产品为一批. 检查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 若发现次品不多于1个, 则认为这批产品是合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.4. 点随机地落在中心在原点, 半径为R 的圆周上, 并且对弧长是均匀分布的. 求这点的横坐标的概率密度.5. 设x 和y 分别是取正态总体N (μ, σ2)的容量为n 的两组子样(x 1, …, x n )和(y 1, …, y n )的均值, 试确定n , 使两组子样的均值之差超过σ的概率大约为0.01.6. 某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.7. 某转炉炼某特种钢, 每一炉钢的合格率为0.7, 现有若干个转炉同时冶炼, 若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％, 问同时至少要有几个转炉炼钢？8. 对某一目标连续射击, 直到命中n 次为止, 设每次射击的命中率为p , 求子弹消耗量的数学期望.四、(9分)设二维随机变量(ξ, η)的密度为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;1,),(22其他y x y cx y x ϕ (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度.五、(9分)设总体ξ~P (λ), 抽取样本x 1, …, x n , 求样本均值x 的概率分布、数学期望及方差.六、(10分)设随机变量ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, 相互独立, 且同分布. P (ξi =0)=0.6, P (ξi =1)=0.4(i =1, 2, 3, 4), 求行列式4321ξξξξη=的概率分布.综合练习七一、填空题1.已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2.设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.3.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.4.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.5.设X ～N (2，σ2)，P {2<X <4}=0.3，则P {X <0}=_____________.6.设X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N (0, 22)，X 3服从参数λ=3的泊松分布，记Y =X 1+2X 2+3X 3，则D (Y )=_________________________.7.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________.二、选择题1.对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )； (C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++X Xx x 有实根的概率为[ ].(A) 53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 3.设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率分布为和 (A)X =Y ; (B) P {X =Y }=0; (C) P {X =Y }=21; (D) P {X =Y }=1. 4.设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )； (C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).5.设两个相互独立的随便机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X －2Y 的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.6.若随机变量X 与η满足D (X ＋Y )=D (X －Y )，则下列式子中，正确的是[ ].(A) X 与Y 相互独立; (B) X 与Y 不相关; (C) D (X )=0; (D) D (X )·D (Y )＝0.7.设总体X ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.8.设随机变量),(~p n B X ，已知E (X )＝0.5，D (X )＝0.45，则n ，p 的值为[ ].(A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.三、完成下列各题1.a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.2.某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.3.已知(X ,Y )的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<<<<+=其它010,10),(y x y x y x f ，求：（１）相关系数XY ρ；（２）判断X 与Y 的独立性。

概率论综合练习题2及参考答案

概率论综合练习2：一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.53.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示).5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y 相互独立，下列随机变量服从2χ分布的是【】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率. 2.a EX DX 3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩. (1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个，求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 三、计算题（36%）1.(,)X Y ()P X Y =2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？【注】上侧分位点0.0251.96z=，0.025(8) 2.306t=.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.概率论综合练习题2参考解答一、填空题（18%）1.已知()0.7P A =,()0.3P A B -=,则()P AB =______________.【解析】()()()()0.7()0.3P A B P A AB P A P AB P AB -=-=-=-=,解得 ()0.4P AB =. 2.设,A B 相互独立，()0.6P A =,()0.4P B =,(|)P A B =【】 A. 0.4 B. 0.6 C. 0.24 D. 0.5 【解析】由,A B 相互独立，可得()()()(|)()()()P AB P A P B P A B P A P B P B ====0.6，应选B. 3.若函数{cos ,()0,x x If x other∈=是某随机变量的密度函数，则区间I 为【】A.0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. ,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. []0,π D. 37,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由密度函数的性质()0f x ≥及()cos 1If x dx xdx +∞-∞==⎰⎰可知，A 正确，选项B,C,D 错误.4. 设随机变量,X Y 相互独立，~(0,1)X N ,~(1,1)Y N ,Z X Y =-,则(0)P Z >=_________ (用标准正态分布函数()x Φ表示). 【解析】~(1,2)Z X Y N =--~(0,1)N =,(0)12P Z P P P >=>=>=-≤5.设随机变量~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ,且,X Y χ分布的是【】A. 2()3X Y +B. 222Y X + C. 2()2X Y + D. 22233X Y +【解析】由~(0,1)X N ,~(0,2)Y N ~(0,1)N , 所以，222~(2)2Y X χ+，应选B.6.设123,,X X X 是来自总体X 的一组简单随机样本，EX μ=,2DX σ=,则以下关于μ的估计量中最有效的为【】 A.122X X + B. 2323X X + C. 1334X X + D. 1233X X X ++【解析】容易计算四个选项中的估计量的数学期望均为μ(即都是μ的无偏估计)，而22122()242X X D σσ+==,22223245()399X X D σσσ++==, 22213395()4168X X D σσσ++==,221233()393X X X D σσ++==,应选D.二、计算题（36%）1. 有朋友来自远方，他乘火车、乘船、乘汽车、乘飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4，乘火车迟到的概率为14,乘船迟到的概率为13，乘汽车迟到的概率为112，乘飞机不会迟到. (1)求他迟到的概率； (2)已知他迟到了，求他乘火车的概率.【解】记1A ——乘火车，2A ——乘船，3A ——乘汽车， 4A ——乘飞机，B ——迟到. (1) 1234()()P B P A B A B A B A B =()1234()()()P A B P A B P A B P A B =+++11223344()(|)()(|)()(|)()(|)P A P B A P A P B A P A P B A P A P B A =+++1110.30.20.10.404312=⨯+⨯+⨯+⨯ 1.80.1512==, (2) 1111()()(|)0.30.25(|)0.5()()0.15P A B P A P B A P A B P B P B ⨯====.2.设随机变量X 的分布律如下标所示：X0 1 2 3 Pa 0.2 0.3 0.1 (1)求a 的值； (2)求EX ； (3)求DX . 【解】(1) 10.20.30.10.4a =---=；(2) 00.410.220.330.1 1.1EX =⨯+⨯+⨯+⨯=;(3) 200.410.240.390.1 2.3EX =⨯+⨯+⨯+⨯=, 222() 2.3 1.1 1.09DX EX EX =-=-=.3. 某部件的寿命为X (单位：小时)的概率密度为2/,1000()0,A x x f x other ⎧>=⎨⎩.(1)求常数A ; (2)求(2000)P X >；(3)从一大批这种部件中任取4个，求至少有一个寿命大于2000小时的概率. 【解】(1) 由()1f x dx +∞-∞=⎰得 21000100011000A A A dx x x +∞+∞=-==⎰,解得1000A =; (2) 220002000100010001(2000)2P X dx x x +∞+∞>==-=⎰； (3) 设Y 为4个部件中寿命大于2000小时的个数，则~(4,0.5)Y B ,(P 任取4个，至少有一个寿命2000)>1(P =-4个的寿命都小于2000)441151(0)10.511616P Y C =-==-=-=. 三、计算题（36%）1. 设,X Y 相互独立，其分布律分别为：X 1 2 3 Y 1 2 3 P 0.3 0.5 0.2 P0.3 0.4 0.3 (1) 求(,)X Y 的联合分布律； (2) 求()P X Y =.【解】(1)由,X Y 的独立性及各自的边缘分布律可得(,)X Y 的联合分布律:Y X1 2 3 ()i P X x = 1 0.09 0.12 0.09 0.3 2 0.15 0.20 0.15 0.5 3 0.06 0.08 0.06 0.2 ()j P Y y = 0.3 0.4 0.3 1 (2) ()(1,1)(2,2)(3,3)P X Y P X Y P X Y P X Y ====+==+==0.090.20.060.35=++=. 2. 设随机变量(,)X Y 的联合分布密度函数为{6,0,01(,)0,x x y y f x y other≤≤≤≤=.(1) 分别求,X Y 的边缘密度函数()X f x 和()Y f y ；(2) 判断,X Y 是否相互独立，并说明理由. 【解】（1）边缘密度：166(1),01()(,)0,xX xdy x x x f x f x y dy other +∞-∞⎧⎪=-≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰，2063,01()(,)0,y Y xdx y y f y f x y dx other +∞-∞⎧⎪=≤≤==⎨⎪⎩⎰⎰； (2) 在0,01x y y <<<<内，2(,)6()()18(1)X Y f x y x f x f y xy x =≠=-，所以，,X Y 不相互独立.3. 设某电子元件的寿命服从指数分布，概率密度函数,0()0,0x e x f x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，其中参数0λ>.从中随机抽取5件，测得其寿命（小时）： 518, 612, 713,388,434.(1) 求参数λ的矩估计值λ； (2)求参数λ的最大似然估计值λ.【解】(1) 5186127133884345335x ++++==，0011xt EX xe dx te dt λλλλ+∞+∞--===⎰⎰，由EX X =得λ的矩估计量1X λ=，矩估计值11533x λ==； (2) i X 的密度函数为：,0()0,0i x i i ie xf x x λλ-⎧>=⎨≤⎩，1,2,,i n =似然函数：12()1()()n x x x n n L f x f x e λλ-+++==，10,0n x x >>，对数似然函数：1ln ln ni i L n x λλ==-∑，令1ln 0ni i d L n x d λλ==-=∑得 11nii nxxλ===∑，即λ的最大似然估计值为1533x λ==.四、解答题（10%）1.正常人脉搏平均为72次/分，现对某中疾病患者9人测得每分钟脉搏次数为：68,65,77,70,64,69,72,62,71设患者的脉搏次数X 服从正态分布，经计算得其样本标准差为 4.583,试在显著性水平0.05α=之下，检验患者的脉搏与正常人的脉搏次数有无显著差异（要求写出原假设、备择假设、检验统计量、拒绝域）？【注】上侧分位点0.025 1.96z =，0.025(8) 2.306t =. 【解】0:72H μ=;1:72H μ≠ 当0H 成立时，检验统计量72~(8)/9X T t S -=，拒绝域：0.025{||(8) 2.306}W t t =>=，由61820668.66793x ==≈， 4.583s =得检验统计量T 的值 2.1820t =-W ∉,因此，在显著性水平0.05α=之下认为患者的脉搏次数与正常人没有显著差异.2. 计算机在进行加法计算时，把每个加数取为最接近它的整数来计算，设所有取整误差是相互独立的随机变量，且在[-0.5, 0.5]上均匀分布，求1200个数相加时其误差总和的绝对值小于10 的概率. 【注】Φ(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772.【解】记误差变量为X ,则~(0.5,0.5)X U -, 0.50.502EX -+==, 2[0.5(0.5)]11212DX --==, 11200,,X X 为来自总体X 的样本，据独立同分布中心极限定理，得11200X X ++近似服从(0,100)N , 11(||10)(1010)n n P X X P X X ++<=-<++<111010()(11)10101010n nX X X X P P ++++=-<<=-<<(1)(1)2(1)1≈Φ-Φ-=Φ-=⨯-=.20.841310.6826。

概率论复习题2

西南科技大学*******学期《概率论与数理统计 B 》本科期末考试试卷（B 卷）一、填空题（共5题，每小题3分，共15分）1、设事件A B 、相互独立，()0.2,()0.7,==P A P B 则()=P A B .2、袋中有红球2个，白球8个，今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则两人都取得白球的概率是 .3、若随机变量ξ在(0,6)上服从均匀分布，则方程210x x ξ++= 无．实根的概率是 . 4、若随机变量1X ,2X 相互独立，且2212(2,3),(1,4)X N X N ，则12()D X X += .5、设2()0111<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩x F x xx x 是随机变量X 的分布函数，则1(1)2-<≤=P X .二、单项选择题（共5题，每小题3分，共15分） 1、设()f x 是连续型随机变量X 的概率密度函数，则+()f x dx ∞-∞=⎰( ).A. ()F x B. ()E xC. ()D xD. 12、设两个随机事件,A B 相互独立，则下列选项中错误的是( ).A ．AB 、不相互独立 B ．()()()P AB P A P B =C ．()()()P AB P A P B =D ．A B 、相互独立3、某人向目标独立重复射击，每次击中目标的概率为(01)p p <<，则此人第10次射击恰好第4次命中目标的概率是 ( ).A. 44610(1)C p p -B. 3469(1)C p p -C. 3459(1)C p p -D. 3369(1)C p p -4、设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数0.2502,02(,)0x y f x y ≤≤≤≤⎧=⎨⎩其它，则(1 1.8,12)P X Y <<<<= ( ).A ．0.8B ．1C ．0.2D ．0 5、设总体2(,)XN μσ，1X 、2X 、3X 是来自总体的一个样本，则下列关于μ的无偏估计量是（）.A. 12+X XB. 1231()3X X X ++ C. 121277X X + D. 1231()2X X X ++ 三、（8分）设,A B 为两事件，()0.4,()0.7,P A P AB ==求下列三种情况下()P B 的值.(1) A B 、互不相容；（2）A B ⊂；（3）A B 、相互独立.四、（8分）国家生育政策改变若干年后调查发现，有40%的新生来自有两个孩子的家庭（简称二孩家庭），60%的新生来自独生子女家庭.已知二孩家庭中女孩出生率为50%，独生子女家庭中女孩出生率为30%.现从新生中任抽出一名女生，问该女生来自二孩家庭的概率是多少？五、（10分）设随机变量X 的概率密度为：101()2⎧+<<⎪=⎨⎪⎩其它ax x f x ，求：（1）参数a 的值；（5分） (2)12()33<<P X .（5分）六、（8分）已知X 服从[0,]π上的均匀分布，（1）写出X 的密度函数（4分）；（2）求3Y X =的数学期望()E Y .（4分）七、（10分）设随机变量X 的分布律如下表，求：（1）X 的期望和分布函数()F x ；（5分）（2）X 的方差()D x ；（5分）八、（6分）设二维离散型随机变量(,)X Y 的概率分布律如右：（1）求关于,X Y 的边缘分布律；（4分）（2）说明,X Y 是否相互独立. （2分）九、（10分）设总体X 的概率密度函数为101(;)0θθθ-⎧<<=⎨⎩x x f x 其它，其中0θ>且未知.12,nX X X 是来自总体的简单随机样本.试求θ的矩估计量与极大似然估计量.十、（10分）化工厂用自动包装机包装化肥，每包重量X 服从正态分布2(,)N μσ，其中=100μ， =0.05σ. 某日开工后，为了确定包装机这天的工作是否正常，随机抽取9袋化肥，称得平均重量为=99.978x （单位：公斤）.已知方差不变，问在显著水平=0.05α下，能否认为这天的包装机工作正常？0.050.0250.050.050.0250.025=1.65,=1.96,(9)=(8)=1.86,(9)=2.261.(8)=281,.33z z t t t t一、填空题（每题3分，共15分） 1、0.44；2、2845；3、13；4、2255或者；5、14.二、选择题（每题3分，共15分） 1、D ； 2、A ；3 、B ；4、C ；5、B三、解答题（共8分）解：()()()0.7+-=P A P B P AB ,()0.4=P A 知()=0.3()+P B P AB ……（2分）（1）()=0()0.3⇒=P AB P B ……（2分）（2）()=()()0.30.40.7⇒=+=P AB P A P B ……（2分）（3）()=()()()0.3()()()0.5⇒=+⇒=P AB P A P B P B P A P B P B ……（2分）四、（共8分）解：设A 表示“抽到的学生来自二孩家庭”，B 表示“抽到的学生来自独生家庭”, C 表示 “抽到的学生是女生”. …（1分）()()()()()()()P C A P A P A C P C A P A P C B P B =+…（4分）0.50.40.50.40.30.6⨯=⨯+⨯52.63%1019==…（3分）五、（10分）解：（1）+111()()1222∞-∞=+=+=⎰⎰a f x dx ax dx ……（3分）=1⇒a ……（2分）（2）101()=20⎧+<<⎪⎨⎪⎩其它x x f x ……（2分）223132121113()()()1332233<<=+=+=⎰P X x dx x x …（3分）六、（8分）解：（1）1[0,]()=0ππ⎧∈⎪⎨⎪⎩其它x f x ……（4分）（2）3+331()()4πππ∞-∞=⋅==⎰⎰E Y x f x dx x dx ……（4分）七、（10分）解()=()F x P X x ≤（1）010.110()=0.3010.71212<-⎧⎪-≤<⎪⎪≤<⎨⎪≤<⎪≥⎪⎩x x F x x x x ……（5分）(2) ()0.10.40.60.9=-++=E X ，2()0.5 1.2 1.7=+=E X ……（2分）22()()(()) 1.70.810.89=-=-=D X E X E X ……（3分）八、（6分）解：（1） ……（4分）（2）因为121122(1,2)93927=≠⋅=⋅=P P P ，所以X,Y 不相互独立. ……（2分）九、（10分）解：（1）+1110()();1θθθθθθ∞--∞=⋅===+⎰⎰⎰E X x f x dx x x dx x dx ……（2分）()ˆ(),=1()1θθθ==--，令的矩估计量为E X X E X X E X X……（3分）（2）似然函数为：111111(;)()(01)θθθθθθθ---======<<∏∏∏nnnnni i i i i i i L x x x x x ……（2分）对数似然函数为：11ln (;)ln (1)ln n (;)ln (1)ln()θθθθθθ===+-=+-∑∏或者nni i i i L x n x L x n x ……（1分）对数似然方程为：11ln (;)ln (;)ln 0ln()0θθθθθθ===+==+=∑∏或者n n i i i i d L x n d L x n x x d d …（1分）解得θ的极大似然估计量为：11ˆˆln ln()θθ===-=-∑∏或者nnii i i n n x x ……（1分）十、（10分）解：每包重量2(,)X N μσ，且方差不变σ2=0.052，要对均值进行检验，故采用Z 检验法。

考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)

考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(16年)设随机变量X与Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(1，4)，则D(XY)＝【】A．6．B．8．C．14．D．15．正确答案：C解析：由题意知：EX＝1，DX＝2，EY＝1，DY＝4，于是E(X2)＝DX＋(EX)2＝2＋12＝3，E(Y2)＝DY＋(EY)2＝4＋12＝5，注意到X2与Y2是独立的，于是D(XY)＝E(XY)2－[E(XY)]2 ＝E(X2Y2)－[EX.EY]2 ＝E(X2).EY2－(EX)2(EY)2 ＝3×5－12×12＝14 故选C．知识模块：概率论与数理统计2．(94年)设X1，X2，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则服从自由度为n－1的t分布的随机变量是【】A．B．C．D．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计3．(02年)设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则【】A．X＋Y服从正态分布．B．X2＋Y2服从Z2分布．C．X2和Y2都服从χ2分布．D．X2／Y2服从F分布．正确答案：C解析：∵X～N(0，1)，Y～N(0，1)∴X2～χ2(1)，Y2～χ2(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计4．(11年)设总体X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，X1，X2，…，Xn(n ≥2)为来自该总体的简单随机样本．则对于统计量T1＝和T2＝，有【】A．ET1＞ET2，DT1＞DT2．B．ET1＞ET2，DT1＜DT2．C．ET1＜ET2，DT1＞DT2．D．ET1＜ET2，DT1＜DT2．正确答案：D解析：由题意知X1，X2，…，Xn独立同分布，EXi＝DXi＝λ，i＝1，2，…，n．故：可见ET1＜ET2，DT1＜DT2，故选D．知识模块：概率论与数理统计5．(12年)设X1，X2，X3，X4为来自总体N(1，σ2)(σ＞0)的简单随机样本，则统计量的分布为【】A．N(0，1)B．t(1)C．χ2(1)D．F(1，1)正确答案：B解析：由题意得：E(X1－X2)＝EX1－EX2＝1－1＝0，D(X1－X2)＝DX1＋DX2＝σ2＋σ2＝2σ2，∴X1－X2～N(0，2σ2) 同理，E(X3＋E4)＝EX3＋EX4＝1＋1＝2，D(X3＋X4)＝DX3＋DX4＝2σ2，∴X3＋X4～N(2，2σ2) 又∵X1－X2与X3＋X4独立，故知识模块：概率论与数理统计6．(14年)设X1，X2，X3为来自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，则统计量S＝服从的分布为【】A．F(1，1)B．F(2，1)C．t(1)D．t(2)正确答案：C解析：由题意可知：X1－X2～N(0，2σ)，∴～N(0，1) 又：～N(0，1)，∴～χ2(1)且X3与X1－X2独立，故～t(1) 即S～t(1)，故选C．知识模块：概率论与数理统计7．(15年)设总体X～B(m，θ)，X1，X2，…，Xn为来自该总体的简单随机样本，一为样本均值，则【】A．(m－1)nθ(1－θ)．B．m(n－1)θ(1－θ)．C．(m－1)(n－1)θ(1－θ)．D．mmθ(1－θ)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计8．(92年)设n个随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，DX1＝σ2，，则【】A．S是σ的无偏估计量．B．S是σ的最大似然估计量．C．S是σ的相合估计量(即一致估计量)．D．S与相互独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(05年)设一批零件的长度服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ，σ2均未知．现从中随机抽取16个零件，测得样本均值＝20(cm)，样本标准差s＝1(cm)，则μ的置信度为0．90的置信区间是【】A．(20－t0．05(16)，20＋t0．05(16))B．(20－t0．1(16)，20＋t0．1(16))C．(20－t0．05(15)，20＋t0．05(15))D．(20－t0．1(15)，20＋t0．1(15))正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(10年)设X1，X2，…，Xn是来自总体N(μ，σ2)(σ＞0)的简单随机样本．记统计量T＝，则ET＝_______．正确答案：σ2＋μ2解析：由题意知EXi＝μ，DXi＝σ2，∴EXi2＝DXi十(EXi)2＝σ2＋μ2，i＝1，2，…，n．故ET＝＝σ2＋μ2．知识模块：概率论与数理统计11．(14年)设总体X的概率密度为其中θ是未知参数，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本．若＝θ2，则c＝_______．正确答案：解析：由题意得：故c＝知识模块：概率论与数理统计12．(93年)设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5．则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为_______．正确答案：(4．804，5．196) 涉及知识点：概率论与数理统计13．(96年)设由来自正态总体X～N(μ，0．92)容量为9的简单随机样本，得样本均值＝5．则未知参数μ的置信度为0．95的置信区间是_______．正确答案：(4．412，5．588)解析：由题意知X～N(μ，) ∴～N(0，1) 故0．95＝＝P{－0．3×u0．975＜μ＜＋0．3×u0．975 而u0．975＝1．96，＝5，故得μ的置信度为0．95的置信区间为(5－0．3×1．96，5＋0．3×1．96)＝(4．412，5．588) 知识模块：概率论与数理统计14．(02年)设总体X的概率密度为而X1，X2，…，Xn是来自总体X 的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为_______．正确答案：解析：知识模块：概率论与数理统计15．(06年)设总体X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，X1，X2，…，Xn为总体X的简单随机样本，其样本方差为S2，则ES2＝_______．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计16．(95年)设X1，…，Xn是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，其中参数μ，σ2未知．记则假设H0：μ＝0的t检验使用的统计量t＝_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(89年)设X为随机变量且EX＝μ，DX＝σ2．则由切比雪夫不等式，有P{｜X－μ｜≥3σ}≤_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

201107概率论与数理统计(二)历年考卷和答案

2011年7月概率论与数理统计（二） 02197一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A ={2，4，6，8}，B ={1，2，3，4}，则A -B =（） A ．{2，4} B ．{6，8} C ．{1，3}D ．{1，2，3，4}2．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．123．设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =⋃=，则()P B =（） A ．0.2 B ．0.3 C ．0.4D ．0.54．设某试验成功的概率为p ，独立地做5次该试验，成功3次的概率为（）A ．35CB ．3325(1)C p p -C ．335C pD ．32(1)p p -5．设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y =2X -1，则Y 的概率密度为（）A ．1,11,()20,,Y y f y ⎧-≤≤⎪=⎨⎪⎩其他 B ．1,11,()0,,Y y f y -≤≤⎧=⎨⎩其他C ．1,01,()20,,Y y f y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其他D ．1,01,()0,,Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩其他6．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（）则c =A．112B．16C．14D．137．已知随机变量X的数学期望E(X)存在，则下列等式中不恒成立．．．．的是（）A．E[E(X)]=E(X) B．E[X+E(X)]=2E(X)C．E[X-E(X)]=0 D．E(X2)=[E(X)]28．设X为随机变量2()10,()109E X E X==，则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-10|≥6}≤（）A．14B．518C．34D．109369．设0，1，0，1，1来自X～0-1分布总体的样本观测值，且有P{X=1}=p，P{X=0}=q，其中0<p<1，q=1-p，则p的矩估计值为（）A．1/5 B．2/5C．3/5 D．4/510．假设检验中，显著水平α表示（）A．H0不真，接受H0的概率B．H0不真，拒绝H0的概率C．H0为真，拒绝H0的概率D．H0为真，接受H0的概率二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。

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综合练习卷二 1
概率论综合练习卷二
一、单项选择题
1. 对于任意两个随机事件B A ,，则下列选项中必定成立的是（）
（2）若AB =∅，则事件A 和事件B 相互独立
（B ）若0)(=AB P ，则事件A 与事件B 互斥
（C ）若0)(=A P ，则事件A 和事件B 相互独立
（D ）若AB ≠∅，则事件A 和事件B 不相互独立
2. 对于任意两个随机事件B A ,，其中1)(,0)(≠≠A P A P ，则下列选项中必定成立的是（）.
（A ） ()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的充分必要条件
（B ） ()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的充分条件非必要条件
（C ） ()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的必要条件非充分条件
（D ）()()A B P A B P = 是B A ,相互独立的既非充分条件也非必要条件
3. 设随机变量X 的概率密度函数为2()e
,()x f x x -=-∞<<+∞ ，则X 的分布函数是
（）
（A ） 20.5e ,0,()1,0x x F x x ⎧<=⎨≥⎩ （B ） 220.5e ,0,()10.5e ,0x x x F x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩ （C ） 210.5e
,0,()1,0x x F x x -⎧-<=⎨≥⎩ （C ） 220.5e ,0,()10.5e ,01,1,1x x x F x x x -⎧<⎪=-≤<⎨⎪≥⎩
.
4. 设随机变量4321,,,X X X X 相互独立且均服从相同的正态分布，即),0(~2σN X i ，0>σ.则下列随机变量中不服从2χ分布的是（）
（A ）
()222342112313X X X σ⎛⎫++ ⎪⎝⎭
（B ） ()221242116561X X X σ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ （C ） ()()221234211132431345X X X X σ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
工程数学概率统计简明教程（第二版）
2 （D ） ()()2212342111243525X X X X σ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭
二、在某外贸公司出口罐头的索赔事件中，有50%是质量问题引起的，有30%是数量短缺问题引起的，有20%是包装问题引起的.又已知在质量问题引起的索赔事件中经协商解决的占40%，数量短缺引起的索赔事件中经协商解决的占60%，包装问题引起的索赔事件中经协商解决的占75%.现在该公司遇到一出口罐头的索赔事件.
（1）求该索赔事件经协商解决的概率；
（2）若已知该索赔事件最终经协商解决，求该索赔事件不是由于质量问题引起的概率.
三、设随机变量X 的分布律为25.0)1()1(===-=X P X P ，5.0)0(==X P ，随机变量Y 服从11,3B ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，且11(1,0),(0,1)43P X Y P X Y ======. （1）求(,)X Y 的联合分布律；
（2）求)(XY E 和),cov(Y X ；
（3）问：Y X ,是否相互独立？Y X ,是否不相关？请说明理由.
四、设随机变量(,)X Y 的联合密度函数为
(6),02,04,(,)0,k x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩
其他. （1）求常数k ；
（2）2分别求,X Y 的边缘密度函数；
（3）问：Y X ,是否相互独立？Y X ,是否不相关？请说明理由；
（4）求()4≤+Y X P .
五、设某出租汽车公司有3 600辆出租车，每辆车每年需大修的概率为0.36.各辆车每年是否需要大修是相互独立的.记X 表示每年该公司需大修的车辆数.
（1）求X 的分布律；
（2）使用中心极限定理求概率()12601332P X <≤的近似值.
六、设某小杂货店一周的销售额（单位：万元）是一个随机变量，其密度函数为
24e ,0,()0,
0,t t t f t t -⎧>=⎨≤⎩ 假设各周的销售额是相互独立的.
求：（1）二周销售额的概率密度函数；（2）二周销售额的数学期望.
七、某地交通管理部门随机抽取了10辆卡车，得到它们在最近一天的行驶里程（单位：km ）的数据1021,,,x x x ，由数据算出145km x =，样本标准差24km s =.假设卡车一天
综合练习卷二 3
中行驶里程服从正态分布),(2σμN ，分别求出均值μ和方差2σ的置信水平为0.99的双侧置信区间.
八、设n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本，总体X 的密度函数为
(1)e ,e,(,)0,x x f x θθθθ-+⎧>=⎨⎩
其他其中θ为未知参数，01θ<<. （1）求出θ的最大似然估计；
（2）记1
αθ=，求参数α的最大似然估计；
（3）问：在（2）中求到的α的最大似然估计是否为α的无偏估计?请说明理由.。