2017年北京各区高考数学模拟题压轴题(含答案)

2017年北京各区高考数学模拟题压轴题(含答案)

1（2017海淀二模）对于无穷数列{}n

a ，记

{|,}

j i T x x a a i j ==-<，若数列{}n

a 满足：“存在t T ∈，使

得只要m

k a

a t

-=（*

,m k ∈N 且m k >），必有1

1m k a

a t

++-=”，

则称数列{}n

a 具有性质()P t . （Ⅰ）若数列{}n

a 满足2,

2,25,3,

n

n n a

n n ≤?=?

-≥?判断数列{}n

a 是否具

有性质(2)P ？是否具有性质(4)P ？

（Ⅱ）求证：“T 是有限集”是“数列{}n

a 具有性质

(0)

P ”的必要不充分条件；

（Ⅲ）已知{}n

a 是各项为正整数的数列，且{}n

a 既具

有性质(2)P ，又具有性质(5)P ，求证：存在整数N ，使得1

2,,,,,N

N N N k a a

a a +++L L

是等差数列.

2（2017

海淀一模）已知含有n 个元素的正整数集

12{,,,}n A a a a =???12(,3)

n a a a n <

()

S A (其中1

2

()n

S A a a

a =++???+)的正整数,k 存在数集A 的一

个子集，使得该子集所有元素的和等于k . （Ⅰ）写出1

2

,a a 的值；

（Ⅱ）证明：“1

2

,,,n

a a a L 成等差数列”的充要条件是“(1)()2n n S A +=”；

（Ⅲ）若()2017S A =，求当n 取最小值时，n

a 的最大值.

3（2017

西城二模）设集合

*2{1,2,3,,2}(,2)

n A n n n =∈N L ≥．如

果对于2n

A 的每一个含有(4)m m ≥个元素的子集P ，P 中必有4个元素的和等于41n +，称正整数m 为集合

2n

A 的一个“相关数”．

（Ⅰ）当3n =时，判断5和6是否为集合6

A 的

“相关数”，说明理由；

（Ⅱ）若m 为集合2n

A 的“相关数”，证明：

30

m n --≥；

（Ⅲ）给定正整数n ．求集合2n

A 的“相关数”

m

的最小值．

4（2017

西城一模）如图，将数字1,2,3,,2(3)n n L ≥全部

填入一个2行n 列的表格中，每格填一个数字．第一行填入的数字依次为1

2

,,,n

a a a L ，第二行填入的数

字依次为1

2

,,,n

b b b L ．

记1

1

2

21

||||||||

n

n

i

i

n n i S a b a b a

b a b ==-=-+-++-∑L ．

（Ⅰ）当3n =时，若1

1a =，2

3

a

=，3

5

a

=，写出3

S 的

所有可能的取值；

（Ⅱ）给定正整数n ．试给出1

2

,,,n

a a a L 的一组取

值，使得无论1

2

,,,n

b b b L 填写的顺序如何，n

S 都只有一

个取值，并求出此时n

S 的值；

（Ⅲ）求证：对于给定的n 以及满足条件的所有填法，n

S 的所有取值的奇偶性相同．

5（2017东城二模）对于n 维向量12(,,,)n

A a a a =L ，若

对任意{1,2,,}i n ?L 均有0

i

a =或1

i

a

=，则称A 为n 维T

向量.对于两个

n

维T

向量,A B

，定义

1(,)||

n

i i i d A B a b ==-?.

（Ⅰ）若(1,0,1,0,1)A =，(0,1,1,1,0)B =，求(,)d A B 的值. （Ⅱ）现有一个5维T 向量序列：，若

1(1,1,1,1,1)

A = 且满足：1(,)2

i

i d A A

+=，*

i ?

N .求证：

该序列中不存在5维T 向量(0,0,0,0,0).

（Ⅲ）现有一个12维T 向量序列：，若

1

12(1,1,,1)A L 14243个

= 且满足：1

(,)i

i d A A m +=，*

m ?N ，

1,2,3,i =L

，若存在正整数j 使得12(0,0,,0)j

A

L 14243

个

=，

j

A 为12维T 向量序列中的项，求出所有的m .

1

2

3

,,,A A A L 1

2

3

,,,A A A L

6

（2017东城一模）已知集合

12{,,,},1,2,,n i A a a a a ,i n

R =∈=L L ，并且

2

n ≥．定义

1()||

j i i j n

T A a a ≤<≤=

-∑

（例如

：

21313213

||||||||

j i i j a a a a a a a a ??-=-+-+-?

）．

（Ⅰ）若{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A =，{1,2,3,4,5}M =，集合A 的子

集N 满足：N M

1

，且()()T M T N =，求出一个

符合条件的N ；

（Ⅱ）对于任意给定的常数C 以及给定的集合

12{,,,}

n A a a a =L ，求证：存在集合1

2

{,,,}n

B b b b =L ，

使得()()T B T A =，且1

n

i i b C ==∑.

（Ⅲ）已知集合1

2

2{,,,}m

A a a a =L 满足：

1

i

i a a +<，1,2,,21i m =-L ，2

m 3，

1

2,m

a a a b

==，其中,a b ?R 为给定的常数，

求()T A 的取值范围．

7（2017

朝阳二模）各项均为非负整数的数列}

{n

a 同时满足下列条件： ①m

a

=1

()N m ∈*

；②1

n

a

n ≤- (2)n ≥；③n 是1

2

n

a a

a +++L 的

因数（1n ≥）．

（Ⅰ）当5=m 时，写出数列}{n

a 的前五项；