2019年南昌市高一数学上期末第一次模拟试题带答案

2019年南昌市高一数学上期末第一次模拟试题带答案

一、选择题

1．已知定义在R 上的增函数f (x )，满足f (－x )＋f (x )＝0，x 1，x 2，x 3∈R ，且x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)的值 ( ) A ．一定大于0 B ．一定小于0 C ．等于0

D ．正负都有可能

2．已知函数3()3(,)f x ax bx a b =++∈R .若(2)5f =，则(2)f -=（ ） A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

3．设6log 3a =，lg5b =，14log 7c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<

B ．a b c >>

C ．b a c >>

D ．c a b >>

4．已知函数1

()log ()(011

a f x a a x =>≠+且）的定义域和值域都是[0，1]，则a=（ ）

A ．

12

B

C D ．2

5．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg 的驾驶员即为酒后驾车，80mg 及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg /mL ．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（ ）（参考数据：lg 0.2≈﹣0.7，1g 0.3≈﹣0.5，1g 0.7≈﹣0.15，1g 0.8≈﹣0.1） A ．1

B ．3

C ．5

D ．7

6．若函数()2log ,?

0,? 0x

x x f x e x >?=?≤?

，则12f f ?

?

??= ? ?????

（ ） A ．

1e B ．e

C ．

2

1e D ．2e

7．[]x 表示不超过实数x 的最大整数，0x 是方程ln 3100x x +-=的根，则0[]x =（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．已知函数()2log 14x f x x ?+=?+?

0x x >≤，则()()3y f f x =-的零点个数为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

9．函数

y =的定义域是( ) A ．（-1，2]

B ．[-1,2]

C ．（-1 ，2）

D ．[-1,2)

10．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的平面图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图所示，则点P 所走的图形可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

11．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）

B ．（2，+∞）

C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）

D ．（－2，2）

12．已知函数()()f x g x x =+，对任意的x ∈R 总有()()f x f x -=-，且(1)1g -=，则

(1)g =（ ）

A ．1-

B ．3-

C ．3

D ．1

二、填空题

13．若关于x 的方程42x x a -=有两个根，则a 的取值范围是_________

14．函数2

2log (56)y x x =--单调递减区间是 ．

15．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．

16．某食品的保鲜时间y （单位：小时）与储存温度x （单位：

）满足函数关系

（

为自然对数的底数，k 、b 为常数）．若该食品在0的保鲜时间

设计192小时，在22

的保鲜时间是48小时，则该食品在33

的保鲜时间是 小时.

17．对数式lg 25﹣lg 22+2lg 6﹣2lg 3＝_____． 18．若函数在区间

单调递增，则实数的取值范围为

__________．

19．若存在实数(),m n m n <，使得[],x m n ∈时，函数()(

)2log x

a f x a

t =+的值域也为

[],m n ，其中0a >且1a ≠，则实数t 的取值范围是______.

20．()()sin cos f x x π=在区间[]0,2π上的零点的个数是______.

三、解答题

21．已知函数2

()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2. （1）求m ，n 的值； （2）令()()f x g x x

=，若函数()()22x x

F x g r =-?在[]1,1x ∈-上有零点，求实数r 的取值范围.

22．已知()1log 1a

x

f x x

-=+（0a >，且1a ≠）. （1）当(],x t t ∈-（其中()1,1t ∈-，且t 为常数）时，()f x 是否存在最小值，如果存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由；

（2）当1a >时，求满足不等式()()2430f x f x -+-≥的实数x 的取值范围. 23．已知函数22()log (3)log (1)f x x x =-++. （1）求该函数的定义域；

（2）若函数()y f x m =-仅存在两个零点12,x x ，试比较12x x +与m 的大小关系. 24．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为

1

2,020,518,2030,10

t t t P t t t ?+≤≤∈??=??-+<≤∈??N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t

（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；

（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？

25．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的

成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()300301800

29030100x f x x x x <≤??

=?+-<

，

，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答

下列问题：

（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ （2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．

26．已知函数()()()()log 1log 301a a f x x x a =-++<<. （1）求函数()f x 的定义域;

（2）求函数()f x 的零点;

（3）若函数()f x 的最小值为4-,求a 的值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．A 解析：A 【解析】

因为f (x ) 在R 上的单调增,所以由x 2＋x 1>0，得x 2>-x 1,所以

21121()()()()()0f x f x f x f x f x >-=-?+>

同理得2313()()0,()()0,f x f x f x f x +>+> 即f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0,选A.

点睛：利用函数性质比较两个函数值或两个自变量的大小，首先根据函数的性质构造某个函数，然后根据函数的奇偶性转化为单调区间上函数值，最后根据单调性比较大小，要注意转化在定义域内进行

2．D

解析：D 【解析】 【分析】

令()3

g x ax bx =+，则()g x 是R 上的奇函数，利用函数的奇偶性可以推得(2)f -的值．

【详解】

令3

()g x ax bx =+ ，则()g x 是R 上的奇函数，

又(2)3f =，所以(2)35g +=， 所以(2)2g =，()22g -=-，

所以(2)(2)3231f g -=-+=-+=，故选D. 【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的应用，属于中档题．

3．A

解析：A 【解析】 【分析】

构造函数()log 2

x

x

f x =，利用单调性比较大小即可.

【详解】

构造函数()21log 1log 212log x

x x f x x

==-=-，则()f x 在()1,+∞上是增函数， 又()6a f =，()10b f =，()14c f =，故a b c <<. 故选A 【点睛】

本题考查实数大小的比较，考查对数函数的单调性，考查构造函数法，属于中档题.

4．A

解析：A 【解析】 【分析】

由函数()1

log ()=0,1

a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数，但在[0，1]上为减函数，得0

【详解】

由函数()1

log ()=0,1

a f x x =+(0,1)a a >≠的定义域和值域都是[0，1]，可得f(x)为增函数， 但

在[0，1]上为减函数，∴0

当x=1时，1

(1)log (

)=-log 2=111

a a f =+, 解得1=

2

a ， 故选A ．

本题考查了函数的值与及定义域的求法，属于基础题，关键是先判断出函数的单调性． 点评：做此题时要仔细观察、分析，分析出(0)=0f ，这样避免了讨论．不然的话，需要讨论函数的单调性.

5．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型0.70.2x ≤ 求解. 【详解】

因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg /mL , x 小时后血液中酒精含量为（1-30%）x mg /mL 的，

由题意知100mL 血液中酒精含量低于20mg 的驾驶员可以驾驶汽车，

所以()

3002%

1.x

-<，

0.70.2x <，

两边取对数得，

lg 0.7lg 0.2x < ，

lg 0.214

lg 0.73

x >

= ，

所以至少经过5个小时才能驾驶汽车. 故选：C 【点睛】

本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.

6．A

解析：A 【解析】 【分析】

直接利用分段函数解析式，认清自变量的范围，多重函数值的意义，从内往外求，根据自变量的范围，选择合适的式子求解即可. 【详解】

因为函数2log ,0(),0x x x f x e x >?=?≤?

，

因为

102

>，所以211

()log 122f ==-，

又因为10-<，

所以1

1(1)f e

e

--==， 即11

(())2

f f e

=

，故选A. 【点睛】

该题考查的是有关利用分段函数解析式求函数值的问题，在解题的过程中，注意自变量的取值范围，选择合适的式子，求解即可，注意内层函数的函数值充当外层函数的自变量.

7．B

解析：B 【解析】 【分析】

先求出函数()ln 310f x x x =+-的零点的范围，进而判断0x 的范围，即可求出[]

0x . 【详解】

由题意可知0x 是()ln 310f x x x =+-的零点，

易知函数()f x 是（0，∞+）上的单调递增函数，

而()2ln2610ln240f =+-=-<，()3ln3910ln310f =+-=->， 即()()230f f

结合[]x 的性质，可知[]

02x =. 故选B. 【点睛】

本题考查了函数的零点问题，属于基础题．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】 由题意，函数()()3y f

f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，设

()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根，

进而可得答案. 【详解】 由题意，函数()()3y f

f x =-的零点个数，即方程()()3f f x =的实数根个数，

设()t f x =，则()3f t =，作出()f x 的图象，

如图所示，结合图象可知，方程()3f t =有三个实根11t =-，21

4

t =，34t =， 则()1f x =- 有一个解，()1

4

f x =有一个解，()4f x =有三个解， 故方程()()3f

f x =有5个解.

【点睛】

本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中合理利用换元法，结合图象，求得方程()3f t =的根，进而求得方程的零点个数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.

9．A

解析：A

【分析】

根据二次根式的性质求出函数的定义域即可． 【详解】 由题意得：20

10x x -≥??

+>?

解得：﹣1＜x≤2，

故函数的定义域是（﹣1，2]， 故选A ． 【点睛】

本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.

10．C

解析：C 【解析】 【分析】

认真观察函数图像，根据运动特点，采用排除法解决. 【详解】

由函数关系式可知当点P 运动到图形周长一半时O,P 两点连线的距离最大，可以排除选项A,D,对选项B 正方形的图像关于对角线对称，所以距离y 与点P 走过的路程x 的函数图像应该关于2

l

对称，由图可知不满足题意故排除选项B ， 故选C ． 【点睛】

本题考查函数图象的识别和判断，考查对于运动问题的深刻理解，解题关键是认真分析函数图象的特点．考查学生分析问题的能力．

11．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】

由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]

2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得

在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,()

0f x <的解集为(-2,2). 故选:D.

本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.

12．B

解析：B 【解析】

由题意，f （﹣x ）+f （x ）=0可知f （x ）是奇函数， ∵()()f x g x x =+，g （﹣1）=1， 即f （﹣1）=1+1=2 那么f （1）=﹣2． 故得f （1）=g （1）+1=﹣2， ∴g （1）=﹣3， 故选：B

二、填空题

13．【解析】【分析】令可化为进而求有两个正根即可【详解】令则方程化为:方程有两个根即有两个正根解得:故答案为:【点睛】本题考查复合函数所对应的方程根的问题关键换元法的使用难度一般

解析：1

(,0)4

-

【解析】 【分析】

令20x t =>,42x x a -=,可化为20t t a --=,进而求20t t a --=有两个正根即可. 【详解】

令20x t =>,则方程化为:20t t a --=

Q 方程42x x a -=有两个根,即20t t a --=有两个正根,

1212

140

100

a x x x x a ?=+>??

∴+=>???=->?,解得:104a -<<.

故答案为: 1(,0)4

-. 【点睛】

本题考查复合函数所对应的方程根的问题,关键换元法的使用,难度一般.

14．【解析】【分析】先求出函数的定义域找出内外函数根据同增异减即可求出【详解】由解得或所以函数的定义域为令则函数在上单调递减在上单调递增又为增函数则根据同增异减得函数单调递减区间为【点睛】复合函数法：复 解析：(,1)-∞-

【解析】

先求出函数的定义域，找出内外函数，根据同增异减即可求出. 【详解】

由2560x x -->，解得6x >或1x <-，所以函数2

2log (56)y x x =--的定义域为

(,1)(6,)-∞-+∞U .令256u x x =--，则函数256u x x =--在(),1-∞-上单调递减，

在()6,+∞上单调递增，又2log y u =为增函数，则根据同增异减得，函数

22log (56)y x x =--单调递减区间为(,1)-∞-.

【点睛】

复合函数法：复合函数[]

()y f g x =的单调性规律是“同则增，异则减”，即()y f u =与

()u g x =若具有相同的单调性，则[]()y f g x =为增函数，若具有不同的单调性，则

[]()y f g x =必为减函数．

15．(－22)【解析】【详解】∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在(－∞0)上是增函数又f(2)＝0∴f(x)在(0＋∞)上是增函数且f(－2)＝f(2)＝0∴当－２＜x ＜2时f(x)＜0即f(x)＜

解析：(－2,2) 【解析】 【详解】

∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(2)＝0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(－2)＝f(2)＝0，∴当－２＜x ＜2时，f(x)＜0，即f(x)＜0的解为(－2,2)，即不等式的解集为(－2,2),故填(－2,2).

16．24【解析】由题意得：所以时考点：函数及其应用

解析：24 【解析】

由题意得：2211221924811

{,,1924248

b k k k b

e e e e +=∴====，所以33x =时，331131

()192248

k b k b y e e e +==?=?=.

考点：函数及其应用.

17．1【解析】【分析】直接利用对数计算公式计算得到答案【详解】故答案为：【点睛】本题考查了对数式的计算意在考查学生的计算能力

解析：1 【解析】 【分析】

直接利用对数计算公式计算得到答案. 【详解】

()()22522lg62lg3lg5lg2lg5lg2lg36lg9lg5lg2lg41lg -+=+-+-=-+=lg ﹣

故答案为：1 【点睛】

本题考查了对数式的计算，意在考查学生的计算能力.

18．(-∞1∪4+∞)【解析】由题意得a+1≤2或a≥4解得实数a 的取值范围为(-∞1∪4+∞)点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间ab 上单调则该函数在此区间的任意 解析：

【解析】由题意得

或

，解得实数的取值范围为

点睛：已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间

上

单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值；（3）复合函数的单调性，不仅要注意内外函数单调性对应关系，而且要注意内外函数对应自变量的取值范围.

19．【解析】【分析】由已知可构造有两不同实数根利用二次方程解出的范围即可【详解】为增函数且时函数的值域也为相当于方程有两不同实数根有两不同实根即有两解整理得：令有两个不同的正数根只需即可解得故答案为：【

解析：10,4?? ???

【解析】 【分析】

由已知可构造(

)2log x

a a t x +=有两不同实数根，利用二次方程解出t 的范围即可.

【详解】

()

2()log x a f x a t =+Q 为增函数，

且[],x m n ∈时，函数()(

)2log x

a f x a

t =+的值域也为[],m n ，

(),()f m m f n n ∴==，

∴相当于方程()f x x =有两不同实数根,

()2log x a a t x ∴+=有两不同实根，

即2x x a a t =+有两解， 整理得：20x x a a t -+=， 令,0x

m a m => ，

20m m t ∴-+=有两个不同的正数根，

∴只需1400t t ?=->??>?

即可，

解得104t <<

， 故答案为：10,4?? ???

【点睛】

本题主要考查了对数函数的单调性，对数方程，一元二次方程有两正根，属于中档题.

20．5【解析】【分析】由求出的范围根据正弦函数为零确定的值再由三角函数值确定角即可【详解】时当时的解有的解有的解有故共有5个零点故答案为：5【点睛】本题主要考查了正弦函数余弦函数的三角函数值属于中档题

解析：5 【解析】 【分析】

由[]0,2x π∈，求出cos x π的范围，根据正弦函数为零，确定cos x 的值，再由三角函数值确定角即可. 【详解】

cos x πππ-≤≤Q ,

()()sin cos 0f x x π∴==时, cos 0x =,1,1-，

当[]0,2x π∈时，cos 0x =的解有

3,22

ππ

， cos 1x =-的解有π，

cos 1x =的解有0,2π,

故共有30,

,,

,22

2

π

π

ππ5个零点， 故答案为：5 【点睛】

本题主要考查了正弦函数、余弦函数的三角函数值，属于中档题.

三、解答题

21．（1）1m =，2n =；（2）1,38??-????

【解析】 【分析】

（1）利用二次函数的零点，代入方程，化简求解即可； （2）求出()g x 得表示，由函数()()2

2x

x

F x g r =-?在[]1,1x ∈-上有零点，可得

21112(

)322

x x

r =+?-?，设1

2x t =，代入可得r 的取值范围. 【详解】

解：（1）由函数2()3f x x mx n =-+（0m >）的两个零点分别为1和2，

可得130460m n m n -+=??-+=?

，可得1m =，2n =；

（2）由题意得：()2

()3f x g x x x x

==+-，函数()()22x x F x g r =-?在[]1,1x ∈-上有零点，即()022

x

x

g r -?=在[]1,1x ∈-有解，即211

12(

)322

x x r =+?-?在[]1,1x ∈-有解， 设12x t =

，有[]1,1x ∈-，可得1,22t ??∈????

，2231r t t =?-?+， 即2231r t t =?-?+在1,22

t ??∈???

?

有解，

可得：2

2

3112312(),(2)4

82r t t t t =?-?+=--≤≤，可得1

38

r -≤≤， 故r 的取值范围为1,38??-????

. 【点睛】

本题考查了二次函数的性质，考查了函数的单调性、最值问题，考查换元思想，属于中档题.

22．（1）见解析（2）51,3?? ???

【解析】 【分析】

（1）先判定函数的单调性，结合单调性来进行求解()f x 是否存在最小值；

（2）先判断函数的奇偶性及单调性，结合奇偶性和单调性把()()2430f x f x -+-≥进行转化求解. 【详解】 （1）由

101x

x ->+可得1010x x ->??+>?或1010x x -

，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为

()1,1-，

设1211x x -<<<，则

()()()

2112

12122111111x x x x x x x x ----=++++，∵1211x x -<<<，∴210x x ->，()()12110x x ++>，∴12

12

1111x x x x -->++， ①当1a >时()()12f x f x >，则()f x 在()1,1-上是减函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 有最小值，且最小值为()1log 1a

t

f t t

-=+；

②当01a <<时，()()12f x f x <，则()f x 在()1,1-上是增函数，又()1,1t ∈-， ∴(],x t t ∈-时，()f x 无最小值.

（2）由于()f x 的定义域为()1,1-，定义域关于原点对称，且

()()1

11log log 11a a x x f x f x x x -+-??

-===- ?-+??

，所以函数()f x 为奇函数.由（1）可知，

当1a >时，函数()f x 为减函数，由此，不等式()()2430f x f x -+-≥等价于

()()234f x f x -≥-，即有234

1211431

x x x x -≤-??-<-

，解得5

13x <<，所以x 的取值范围是

51,3?? ???

. 【点睛】

本题主要考查函数性质的综合应用，奇偶性和单调性常结合求解抽象不等式问题，注意不要忽视了函数定义域，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养. 23．（1）(1,3)- （2）12x x m +> 【解析】 【分析】

（1）根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.

（2）化简()f x 表达式为对数函数与二次函数结合的形式，结合二次函数的性质，求得

12x x +以及m 的取值范围，从而比较出12x x +与m 的大小关系.

【详解】 （1）依题意可知30

1310x x x ->??-<

+>?

，故该函数的定义域为(1,3)-；

（2）22

22()log (23)log ((1)4)f x x x x =-++=--+，

故函数关于直线1x =成轴对称且最大值为2log 42=， ∴122x x +=，2m <，∴12x x m +>． 【点睛】

本小题主要考查函数定义域的求法，考查对数型复合函数对称性和最值，属于基础题. 24．（1）40Q t =-+，030t <≤，t ∈N （2）在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【解析】 【分析】

（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得一次函数解析式. （2）求得日交易额的分段函数解析式，结合二次函数的性质，求得最大值. 【详解】

（1）设Q ct d =+，把所给两组数据()()4,36,10,30代入可求得1c =-，40d =. ∴40Q t =-+，030t <≤，t N ∈

（3）首先日交易额y （万元）=日交易量Q （万股）?每股交易价格P （元）

()()1240,020,51840,2030,10

t t t t N y t t t t N ???

+-+≤≤∈ ?????=????-+-+<≤∈ ?????，

∴()()22

115125,020,5

16040,2030,10

t t t N y t t t N ?--+≤≤∈??=?

?--<≤∈?? 当020t ≤≤时，当15t =时，max 125y =万元 当20t 30<≤时，y 随x 的增大而减小

故在30天中的第15天，日交易额最大为125万元. 【点睛】

本小题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分段函数的最值，考查二次函数的性质，属于中档题.

25．(1) ()45100x ，

∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析. 【解析】 【分析】

（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；

（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义． 【详解】

（1）由题意知，当30100x <<时，

()1800

29040f x x x

=+

->， 即2659000x x -+>， 解得20x <或45x >，

∴()45100x ∈，

时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间； （2）当030x <≤时，

()()30%401%4010

x

g x x x =?+-=-

； 当30100x <<时，

()()218013290%401%585010x g x x x x x x ??

=+-?+-=-+ ???

；

∴()24010

13585010

x g x x x ?

-??=??-+??；

当032.5x <<时，()g x 单调递减； 当32.5100x <<时，()g x 单调递增；

说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的； 有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的； 当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少． 【点睛】

本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力． 26．（1）()3,1.-（2

）1-±3

）2

【解析】 【分析】

（1）根据对数的真数大于零，列出不等式组并求出解集，函数的定义域用集合或区间表示出来；（2）利用对数的运算性质对解析式进行化简，再由()=0f x ，即

223=1x x --+，求此方程的根并验证是否在函数的定义域内；（3）把函数解析式化简

后，利用配方求真数在定义域内的范围，再根据对数函数在定义域内递减，求出函数的最小值log 4a ，得log 44a =-利用对数的定义求出a 的值． 【详解】 （1）由已知得10,

30,

x x ->??

+>?, 解得31x -<<所以函数()f x 的定义域为()3,1.-

（2）()()()()()()

2

log 1log 3log 13log 23a a a a f x x x x x x x =-++=-+=--+,令

()=0f x ,得223=1x x --+,即222=0x x +-,

解得1x =-±

∵1(-3,1)-,∴函

数()f x

的零点是1-（3）由2知,()()

()22

log 23log 14a a f x x x x ??=--+=-++??

,

∵31x -<<,∴()2

0144x <-++≤.

∵01a <<,∴()2

log 14log 4a

a x ??-++≥??

, ∴()min log 44a f x ==-,

∴1

4

4

a -==

. 【点睛】

本题是关于对数函数的综合题，考查了对数的真数大于零、函数零点的定义和对数型的复合函数求最值，注意应在函数的定义域内求解，灵活转化函数的形式是关键．