杆件的变形形式
构件四种基本变形-受力特点
纵向纤维：构件由下部至上部，纵向纤维从伸长或压缩逐渐过渡到压缩或伸长，且上、下边缘的变化最大；截面中部有一既不伸长也不压缩的中性层。
横截面：各横截面发生了不同程度的位移和绕截面中性轴的微小转动。
剪力、弯矩
FS、M
纵向纤维：伸长或缩短均相等。
横截面：发生了沿外力作用方向的相对位移。
轴力
FN
剪切变形
受剪构件
铆钉、螺杆
杆件受一对大小相等、方向相反、作用线平行及相距很近的横向力作用
1、宏观变形：在两个力作用中间被剪断。
2、微观变形：介于两横向之间的各横截面沿外力作用方向发生相对错动。
剪力
FS
扭转变形
受扭构件
轴、雨篷梁
杆件两端垂直杆轴线平面内受到一对大小相等、方向相反的力偶作用
1、宏观变形：构件表面的纵向水平线倾斜了一个角度。
2、微观变形：各横截面绕杆轴线发生了沿力偶作用方向的相对转动。
扭矩
T
弯曲变形
（平面弯曲）
受弯构件
梁、板
杆件受到通过杆轴线平面内的力偶作用、或受到垂直于杆轴线的横向力（集中力、均布荷载）作用
1、宏观变形：构件出现了上凹下凸或下凹上凸，轴线由直线变成曲线。
四种构件基本变形汇总
基本变形类型
构件名称
典型构件
受力特点
（受力后构件保持平衡）
变形特点
（符合平面假设）
产生内力
轴向拉伸、压缩变形
轴向拉伸、压缩构件
轴压柱
杆件两端沿轴线方向作用一对大小相等、方向相反的轴向力作用
1、宏观变形：
受拉时，杆件伸长、截面变小；
受压时，杆件缩短、截面变大。
2、微观变形：（符合平面假设）
杆件变形的形式及基本
第一节 变性固体及其基本假定 第二节 杆件的外力与变形特点
第一节 变性固体及其基本假定
理想变形固体是指，对实际变形固体材料作出一些假设，将其理想化。 理想变化固体的基本假设有： （1）连续均匀假设。连续是材料内部没有空隙，均匀是指材料的性质各 处相同。连续均匀假设，即认为物体的材料无空隙的连续分布，且各 处性质相同。 （2）各向同性假设。即认为材料沿不同方向的力学性质均相同。具有这 种性质的材料称为各向同性材料，而各方向力学性质不同的材料称为 各向异性材料。 按照上述假设理想化了的变形固体，称为理想变性固体。刚体和理想变 性固体都是工程力学研究中，必不可少的理想化的力学模型。
图5-4
表5-1 4种基本变形的受力特点和变形特点
第二节 杆件的外力与变形特点
一、轴向拉伸与压缩 受力特点：杆件受到与杆轴线重合的外力 作用。 变形特点：杆轴沿外力方向伸长或缩短 产生轴向拉伸与压缩变形的杆件称为拉杆。 图5-1所示屋架中的弦杆、牵拉桥的拉 索、闸门启闭机的螺杆等均为拉杆。
图5-1
第二节 杆件的外力与变形特点
二、剪切 受力特点：杆件受到垂直杆轴方向的一组等值、反向、作用线相距极 近的平行力作用。 变形特点：二力之间的横截面产生相对错动变形。 产生剪切变形的杆件通常为拉杆的连接件。如图5-2所示螺栓、销轴连接 中的螺栓销钉，均产生剪切变形。
第一节 变性固体及其基本假定
变形固体受力作用产生变形。撤去荷载可完全消失的变形，称为弹性变 形。撤去荷载不能恢复的变形，称为塑性变形或残余变形。 在多数工程问题中，要求只发生弹性变形。 工程中多数构件在荷载作用下产生的变形量与其原始尺寸相比很微小时， 称为小变形，否则称为大变形。 小变形构件的计算，可采取变形前的原始尺寸并略去某些高阶微量，以 达到简化计算的目的。
浅析材料力学四种基本变形的异同点
浅析材料力学四种基本变形的异同点公主岭市职业教育中心宋静辉机械基础高等教育中材料力学的研究范围主要限于杆件，即长度远大于宽度和厚度的构件。
作用远杆件上的外力有各种形式，但杆件的基本变形形式只有四种：拉伸或压缩（简称拉压）、剪切、扭转和弯曲。
这四种基本变形是材料力学的重点内容，构成了材料力学理论体系中的一个个独立部分，学生学习时后很容易混淆。
现分析和总结四种基本变形的异同点，便于学生学习和理解。
一、四种变形的不同点1.受力特点不同。
受拉伸或压缩的构件大多是等截面直杆，其受力特点是：作用在杆端的两外力（或外力的全力）大小相等，方向相反，力的作用线与杆件的轴线重合。
工程中的连接件（如铆钉、螺栓等）会发生剪切变形，其受力特点是：作用的构件两侧面上外力的全力大小相等，作用线平行且相距很近；另外，承受剪切作用的连接件在传力的接触面上同时还受挤压力作用。
机械中的轴类零件往往产生扭转变形，其受力特点是：在垂直于轴线的平面内，作用着一对大小相等、方向相反的力偶。
梁是机器设备和工程结构中最重要的构件，主要发生弯曲变形，其受力特点是:作用在梁上的外边与其轴线垂直.若这些外力只是一对等值反向的力偶时,则称为纯弯曲。
2.变形特点不同。
构件在外力作用下发生的几何形状和尺寸变化称为变形。
拉压变形的特点是杆件沿轴线方向伸长或缩短；剪切变形的变形特点是介于两作用之间的各截面有沿作用力方向发生相对错动的趋势；扭转变形的变形特点是轴的各截面绕轴线将由直线变成曲线。
3.内力不同。
物体内某一部分与另一部分间相互作用的力称为内力。
构件在受到外力作用的同时，其内部将产生相应的内力。
对于发生拉压变形的杠件，内力遍及整个杆体内部，因为外力的作用线与杆件的轴线重合，故分布内力的合力作用线也必与杆件轴线重合，这种内力称为轴力。
轴力或为拉力或为压力。
构件受剪切时的内力称为剪刀，剪力分布在剪切面上（受剪件中发生相对错动的截面），其分布比较复杂，在工程实力是一个截面平面内的力偶，其力偶矩称为截面上的扭矩。
直杆的基本变形
直杆的基本变形
1、 轴向拉伸与压缩
拉伸： 在轴向力大作用下，杠杆产生伸长变形 压缩： 在轴向力大作用下，杠杆产生缩短变形
受力特点：沿杆件轴向作用一对等值、反向的拉力或
压力
变形特点：杆件沿轴向伸长或者缩短。
公式：
Fn 表示横截面轴力 A 表示横截面积
2、 剪切 剪切：杆件受到一定垂直于杆轴方向的大小相等、方
向相反、作用线相距很近大外力作用做引起大变形。
受力特点：截面两侧受一对等值、反向、作用线相近
的横向力
变形特点：截面沿着力的作用方向很对错动。
3、 扭转
扭转：直杆在两端受到作用于杆断面的大小相等方向
想法大力矩（扭矩）作用，则发生扭转。
受力特点：在很截面内作用一对等值、方向的力偶 N F A σ=
变形特点：轴表面的纵线变成螺旋线。
4、弯曲
弯曲：杆件在垂直于其轴线的载荷作用下，使原为直线大轴线变成曲线的变形
受力特点：受垂直于梁轴线的外力或在轴线平面内作用的力偶
变形特点：使梁的轴线由直变弯。
3.1杆件四种基本变形及组合变形
《杆件的四种基本变形及组合变形、直杆轴向拉、压横截面上的内力》教学设计剪切变形的受力特点是作用在构件上的横向外力大小相等、方向相反、作用线平行且距离很近。
剪切变形的变形特点是介于两横向力之间的各2．剪切【工程实例】如图a所示为一个铆钉连接的简图。
钢板在拉力F的作用下使铆钉的左上侧和右下侧受力（图b），这时，铆钉的上、下两部分将发生水平方向的相互错动（图c）。
当拉力很大时，铆钉将沿水平截面被剪断，这种破坏形式称为剪切破坏。
3. 扭转用改锥拧螺钉时，在改锥柄上手指的作用力构成了一个力偶，螺钉的阻力在改锥的刀口上构成了一个方向相反的力偶，这两个力偶都作用在垂直于杆轴的平面内，就使改锥产生了扭转变形，如图a所示。
例如汽车的转向轴（图b）。
当驾驶员转动方向盘时，相当于在转向轴A端施加了一个力偶，与此同时，转向轴的B端受到了来自转向器的阻抗力偶。
于是在轴AB的两端受到了一对大小相等、转向相反的力偶作用，使转向轴发生了扭转变形。
弯曲【试一试】两手支撑一把长尺子，中间放一重物，尺子会发生怎样的变形呢？纵向对称面：梁的横截面多为矩形、工字形、等（图），它们都有一根竖向对称轴，这根对称轴与梁轴线所构成的平面称为纵向对称面。
平面弯曲：梁的弯曲平面与外力作用面相重合的3.2直杆轴向拉、压横截面上的内力 内力的概念 轴力的计算 1）轴力为了显示并计算杆件的内力，通常采用截面法。
假设用一个截面m-m （图a ）将杆件“切”成左右两部分，取左边部分为研究对象（图b ），要保持这部分与原来杆件一样处于平衡状态，就必须在被切开处加上，这个内力F N 就是右部分对左部分的作用力。
在轴向拉（压）杆中横截面中的内力称为由于直杆整体是平衡的，左部分也是平衡的，对这部分建立平衡方程：=0 0=-N F F若取右部分为研究对象，则可得0='-N F F 可以看出，取任一部分为研究对象，都可以得到相同的结果，其实F N 与F ′N 是一对作用力与反作用力，其数值必然相等。
第7章 杆件的变形与刚度
32Tmax ⋅180 4 32 × 2000 ×180 d ≥4 = ×103 = 83.5mm G[θ ]⋅ π 2 80 ×109 × 0.3π 2
该圆轴直径应选择：d =83.5mm.
[例2]图示圆轴，已知mA =1.4kN.m， mB =0.6kN.m， mC =0.8kN.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m； [τ]=60MPa，[θ]=1°/m，G=80GPa；试校核该轴的强度和刚 度，并计算两端面的相对扭转角。 mC
D
解：本题应分4段考虑。 π D4 I P1 = I P 2 = 32
d
A
a
1
2
B 3 b b
4
a
C
32 π D3 Wt1 = Wt 2 = 16 d4 π D3 (1 − 4 ) Wt 3 = Wt 4 = 16 D
I P3 = I P 4 =
π
(D4 − d 4 )
0.5kN.m 0.3kN.m 0.8kN.m 4 1 2 3
16mC
⊕
○ 1kN.m
π [τ ]
16 × 2000 3 = ×10 6 π 60 ×10
3
= 55.4mm
mA A
mB
mC
⑵按刚度条件
l1
B l C 2
2kN.m
⊕
○ 1kN.m
θ max = T ⋅ 180 ≤ [θ ] (°/m) GI p π π 4 Tmax 180 IP = d ≥ ⋅ 32 G[θ ] π
d2
mA
d1
mB
解： ⑴按强度校核
C
l2
A l1 B
0.6kN.m
T1 16mB τ1 = = Wt1 π d13 16 × 600 = = 47.7 MPa < [τ ] 3 π ×4
简述杆件基本变形的类型及内力和应力的特点。
简述杆件基本变形的类型及内力和应力的特点。
杆件是指在它的横截面上允许受力，而沿杆轴方向的变形很大的构件。
杆件受外力作用时会产生应力和变形，在静力学中，可以分为以下基本变形类型：拉伸变形、压缩变形、弯曲变形、剪切变形、扭转变形。
拉伸变形是指杆件沿轴向受拉力作用，导致杆件整体拉长，这种变形引起的应力称为拉应力。
拉伸变形容易观察和测量，对钢材来说，拉伸应力可以很好地近似表达为复合应力。
压缩变形是指杆件沿轴向受压力作用，导致杆件整体缩短，这种变形引起的应力称为压应力。
压缩变形对杆件的强度会产生不利影响，因为它往往容易造成杆件失稳。
弯曲变形是指杆件在轴向沿一定力臂受力下弯曲，这种变形引起的应力称为弯曲应力。
杆件在弯曲时会产生剖面矩形，控制剖面矩形是理解弯曲变形的关键。
剪切变形是指杆件沿截面剪切受力，这种变形引起的应力称为剪切应力。
杆件在剪切变形时，杆件截面的形状会改变。
剪切变形不会引起杆件的长度变化，而是改变杆件截面的形状。
扭转变形是指杆件在轴向沿一定力臂受扭力作用下发生扭转，这种变形引起的应力称为剪应力。
扭转变形主要对薄壁的圆柱形杆件有影响，对杆件横截面上的应
力会形成主剪应力，对杆件轴向则会形成附剪应力。
总之，不同的基本变形类型在不同的情况下都会对杆件产生应力和变形。
了解不同基本变形类型的特点对于设计杆件或者判断其受力状况都至关重要。
杆件的变形和刚度条件
1.3 圆轴扭转时的变形与刚度条件
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1.3.1 圆轴扭转时的变形
假想用剖切平面将形体的某处剖开，仅画出断面的图形称为断面图。
如图（a）所示为断面图的形成过程，如图（b）所示即为画出断面图后的 实际效果。
对于长度为l，扭矩T为常数的等截面圆轴，其两端横截面间的扭转角为
杆件的变形和刚度条件
1.3 圆轴扭转时的变形与刚度条件
梁的挠曲线方程 y＝f（x）
ห้องสมุดไป่ตู้
转角
杆件的变形和刚度条件
1.2 梁的变形与刚度条件
1.2.2 梁的刚度条件
梁的刚度条件是最大挠度和转角（或指定截面的挠度和转角）分别不 得超过各自的许用值，即
式中，［y］和［θ］分别为梁的许用挠度和许用转角，其值由梁的具体工作要求来 规定，可从有关设计手册中查得。
杆件的变形和刚度条件
轴向线 应变
轴向变形 横向变形
横向线 应变
轴向 变形
杆件的变形和刚度条件
1.2 梁的变形与刚度条件
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1.2.1 梁的变形
梁变形的主要特征是轴线由直线变为曲线，梁的变形曲线称为挠曲线。 梁轴线上任一点的竖向线位移称为挠度，用y表示，并规定挠度向上为正， 反之为负。横截面绕中性轴转过的角度称为转角，用θ表示，并规定转角 以逆时针转向为正，反之为负。如下图所示悬臂梁，发生平面弯曲时，挠 曲线与外力作用面相重合，是一条光滑平坦的平面曲线。
工程力学
工程力学
杆件的变形和刚度条件
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1.1
拉压杆件的变形和应变
1.2
梁的变形与刚度条件
1.3
圆轴扭转时的变形与刚度条件
杆件的变形和刚度条件
1.1 拉压杆件的变形和应变
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3.2.2 杆件的变形形式
（1）杆件变形的基本形式 ① 轴向拉伸与压缩 当作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线 重合，杆将产生轴向拉伸或压缩变形，如图3.1所示。 ② 剪切 当杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相 距很近并垂直杆轴的外力作用时，将产生剪切变形， 如图3.2所示。
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3.3 材料力学中的几个 重要概念
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3.3.1. 内 力
材料力学中的内力，是指物体内部各 部分之间因外力而引起的附加相互作用力， 即“附加内力”。
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3.3.2. 截面法
截面法是材料力学分析内力的
基本方法。
如图3.6所示，用截面假想地
把杆件分成两部分，
以显示并确定内力的方法称为
单元3 材料力学基础知识
教学目标：
1. 了解材料力学的研究对象及任务，了解杆件变形的分类情况； 2. 理解强度、刚度、稳定性、内力、应力、应变、静矩、惯性矩等 的概念； 3. 掌握组合图形的形心位置确定，理解惯性矩的平行移轴定理。
本单元内容
3.1
材料力学的研究对象及任务
3.2
杆件及其变形形式
3.3
Sz A dSz A ydA
(3-5)
Sy A dSy A zdA
材料力学中的几个重要概念
3.4
平面图形的几何性质
3.1 材料力学的研究对象 及任务
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3.1.1 材料力学的研究对象
材料力学的研究对象是变形固体。 由各种固体材料制成的构件，在荷载作用下将产生变形，统 称为变形固体。 变形固体的基本假设： （1）连续性假设 即认为组成构件的物质毫无空隙地充满到整个构件的几何容 积内。 （2）均匀性假设 即认为材料的各个部分的力学性能完全相同。 （3）各向同性假设 即材料在各个方向的力学性能完全相同。 （4）小变形假设 在材料力学中，认为构件受力后的变形量与构件原始尺寸相 比是极其微小的。 综上所述，材料力学研究的是均匀连续的、各向同性的理想 弹性体，且限于小变形范围。
图3.3
图3.4
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3.2.2 杆件的变形形式
（2） 组合变形的常见形式 组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会 包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同 一量级时，不能忽略，这类构件的变形称为组合变 形。 工程中常见的组合变形模式有斜弯曲、偏心压 缩（拉伸）、弯扭、拉（压）弯等。
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3一任意形状的平面图形如图3.11所示，面积 为A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平 面坐标系zoy，在坐标(z,y)处取微面积dA，则微 面积dA与坐标y(或坐标z)的乘积称为微面积dA 对z轴(或对y轴)的静矩，记作dSz(或dSy)。
平面图形对z轴的静矩用Sz表示，平面图形 对y轴的静矩用Sy表示。我们定义
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3.3.4. 应 变
（1）变形 杆件在荷载作用下，其形状和尺寸发生变化的现象称之为变形。 （2）应变 应变是用以表明由外力所引起的变形体的内部的单位尺寸变化、 形状变化或体积变化的重要名词。
应变是衡量变形的尺度，通常把应变分为线应变和角应变两类， 线应变和角应变是度量一点处变形程度的两个基本量。
单位长度的变形称为线应变，用符号ε表示，如图3.10（a）所示； 单元体相邻棱边所夹直角的改变量，称为角应变或切应变，用γ表示， 如图3.10（b）所示。
图3.10
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3.4 平面图形的几何性质
平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆 件的应力和应变不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的 横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量、极惯性矩等平面图形的 几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题， 但它是计算杆件强度、刚度、稳定性等问题中必不可少的几何 参数。
图3.1
图3.2
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3.2.2 杆件的变形形式
③ 扭转 当在杆件的两端截面内施加大小相等、方向相反的力 偶时，杆件将产生扭转变形，如图3.3所示。 ④ 平面弯曲 当外力施加于杆的某个纵向平面内并垂直于杆的轴线， 或者在某个纵向平面内施加力偶时，杆件轴线将由直线变 成曲线，如图3.4所示，这种变形称为平面弯曲。
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3.1.2 材料力学的研究任务
材料力学的研究任务是：在保证构件满足强度、 刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的代价为构件 选择最适合的材料、确定合理的截面形状及尺寸，提 供必要的理论基础、计算方法和实验技术。
构件在外力作用下抵抗破坏的能力称为构件的强 度。
构件在外力作用下抵抗变形的能力称为构件的刚 度。
截面法。
截面法计算杆件内力过程中的
四个要点：
切开：沿所求截面假想地将杆 件切开；
图3.6
取出：取出其中任意一部分作为研究对象；
替代：以内力代替弃去部分对选取部分的作用；
平衡：列平衡方程求出内力。
注意：在使用截面法求内力是时，杆件在被截开前，静力学中的
力系等效代换及力的可传性原理是不适用的。
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构件维持原有平衡状态的能力称为构件的稳定性。
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3.2 杆件及其变形形式
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3.2.1 杆 件
实际的工程结构中，许多受力构件如桥梁、汽车传 动轴、房屋的梁、柱等，其长度方向的尺寸远远大于横 截面尺寸，这一类的构件在材料力学的研究中，通称为 杆件。
杆的所有横截面形心的连线，称为杆的轴线，若轴 线为直线，则称为直杆；轴线为曲线，则称为曲杆。所 有横截面的形状和尺寸都相同的杆称为等截面杆；否则 称为变截面杆。材料力学主要研究对象为等截面直杆。
3.3.3. 应 力
（1）应力的概念 内力在截面上一点处的分布集度称为应力。 （2）应力的分类 应力p又称为全应力，它是一个矢量，其方向与内力的方向 相同。在材料力学中，通常将全应力p分解为沿截面法线方向的 分量σ和与截面相切的分量τ，其中σ称为正应力，τ称为剪应力。 （3）应力的单位 应力的量纲是[力]／[长度] 2，应力的基本单位是“帕斯卡”， 简称帕 (Pa)，1Pa＝1N/m 2。常用单位是兆帕(MPa)，1MPa=10 6 Pa，另外应力的单位还有吉帕(GPa)，1GPa=10 9Pa 。