高考一轮复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
图象向左平移 ������ 个长度单位,所得图象对应的函数为偶函数,则ω的 最小值是 .
解析
由题意可得 f(x)= ������cos ωx-sin ωx=2cos(ωx+ ).将函
������������
������ ������
数 f(x)的图象向左平移 ������ 个长度单位后得到 g(x)=2cos[ω (x+ ������ )+������]=2cos[ωx+ 答案 1
一、函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的有关概念 y=Asin(ωx+ 振幅 周期 频率 相位 φ)(A>0, ������ ������ f= = ω>0),x∈[0,+ A ωx+φ ������ ������������ ∞)
初相 φ
二、函数 y=sin x 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的 步骤如下:
������ y=2sin(2x+ )的图象. ������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
(1)(2016 全国Ⅲ卷)函数 y=sin x- ������cos x 的图象可由函 数 y=sin x+ ������cos x 的图象至少向右平移 个单位长度得 到.
).
C.T=6π,φ=
D.T=6π,φ=
解析
由题意知 f(0)=2sin φ=1,∴sin φ= .又|φ|< ,∴φ= .
������ ������
������ ������
������ ������
又 T=6,故选 A. 答案 A
2.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=(
������ ������ B.y=sin( x+ ) ������ ������ ������ ������������ D.y=sin(������x+������������) ������������ A.y=sin(2x+ ) ������ ������������ C.y=sin(2x+ ������ ) ������ ������
������������ ∴ω= ������ =2.
由函数图象得 2× +φ=π+kπ(k∈Z),
������ ∴φ=kπ+������(k∈Z). ������ ������ 取φ= ,∴f(x)= ������sin(2x+ ), ������ ������
∴f(0)= ������sin = . 答案
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及图象变换 例1 已知函数
������ y=2sin(2x+������).
(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; (3)说明 y=2sin(2x+ )的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样的 变换而得到.
������ ������������ f(������)=5,f( ������ )=-5. ������ ������
������
1.对于函数 y=f(x),求其在 x∈[0, ]时的值域.
提示:可知
������ ������������ ������ ������
������ ������ f(x)=5sin(2x-������),x∈[0,������],则 ������ ������ ������ ������
������ ������ ������ ������ ������ ������ ������
������ ������
y=2sin(2x+������)的图象可由 y=cos x 的图象经过怎 样的变换而得到呢?
������
解析
������
异名三角函数的图象变换先统一名称,y=cos
������ ������ ������
求ω:确定函数的周期 T,则可得ω= ������ ;(3)求φ:由函数 y=Asin(ωx+ φ)+b 最开始与 x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为-������(即令ωx+φ =0,x=- )确定φ.
������ ������ ������
2.函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象与性质的综合问题 函数 y=Asin(ωx+φ)的单调区间和对称性的确定,基本思想是 把ωx+φ看作一个整体,在单调性应用方面,比较大小是一类常见的 题目,依据是同一区间内函数的单调性.对称性是三角函数图象的一 个重要性质,因此要抓住其轴对称、中心对称的本质,同时还要会综 合利用这些性质解决问题,解题时可利用数形结合思想.
解析
������
(1)因为 y=sin x+ ������cos x=2sin(x+������),y=sin x - ������cos
������ ������������ ������������ 的图象至少向右平移 个单位长度得到. ������
������
x=2sin(x-������)=2sin[(x+������)- ������ ],所以函数 y=sin x- ������cos x 的图象可 由函数 y=sin x+ ������cos x
x=sin(x+������), ①把 y=sin(x+������)的图象向右平移������个单位得到 y=sin(x+������); ②再把 y=sin(x+ )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 (纵 坐标不变),得到 y=sin(2x+������)的图象; ③最后把 y=sin(2x+������)上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 坐标不变),即可得到
数学
第 5 节 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 见《自学听讲》P72
热度 深度 题型 5 年平均分值 ▲▲▲ 掌握 选择、填空题 6 了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 最新考 y=Asin(ωx+φ)的图象;了解参数 A,ω,φ对函数图象 纲 变化的影响;了解三角函数是描述周期变化现象的重 要函数模型;会用三角函数解决一些简单的实际问题
������ ������ ������ ������ ������ ������������ ������
(2)令 X=2x+ ,则 y=2sin(2x+ )=2sin X.
列表如下: x X y=sin X y=2sin(2x+������)
������ ������ -������
0 0 0
������ 2x∈[0,π],∴2x-������ ������ ������
∈[- , ],∴sin(2x- )∈[- ,1],故 y=f(x)的值域为[- ,5].
2.函数 y=sin x 的图象经过怎样的平移可以得到 y=f(x)的图象?
提示:①把 y=sin x 的图象上所有的点向右平移 个单位长度, 得到 y=sin(x-������)的图象; ②再把 y=sin(x-������)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的������(纵 坐标不变),得到 y=sin(2x-������)的图象; ③最后把 y=sin(2x-������)上所有点的纵坐标伸长到原来的 5 倍(横 坐标不变),即可得到 f(x)=5sin(2x- )的图象.
C.
答案
C
4.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ为常数,A>0,ω>0)的部分图象 如图所示,则 f(0)的值是 .
解析
由题图可知 A= ������,������=������������-������=������,∴T=π.
������ ������
������ ������������ ������ ������
������ ������������ ������ ������ 1 2
������ ������ π 0 0
������������ ������������ ������������ ������ -1 -2
������������ ������ 2π 0 0
描点画出图象,如图所示.
(3)①把 y=sin x 的图象上所有的点向左平移 个单位长度,得到 y=sin(x+������)的图象; ②再把 y=sin(x+������)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的������(纵 坐标不变),得到 y=sin(2x+������)的图象; ③最后把 y=sin(2x+������)上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横 坐标不变),即可得到 y=2sin(2x+ )的图象.
1.已知简谐运动
������
������ ������ f(x)=2sin( x+φ)(|φ|< )的图象经过点(0,1),则 ������ ������
该简谐运动的最小正周期 T 和初相φ分别为( A.T=6,φ=������ B.T=6,φ=������
������ ������ ������ ������ ������
������ ������
������ ������
������ ������
������������ 5.定义运算: ������ ������
������������
������������ ������ ������������������������������ (ω>0)的 =a 1a4-a2a3.将函数 f(x)= ������������ ������ ������������������������������
2025版高考数学一轮复习课时规范练20函数y=Asinωx+φ的图像及应用理北师大版
课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用基础巩固组1.(2024湖南长郡中学仿真,3)为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像,可以将函数y=cos 3x的图像()A.向右平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向左平移个单位2.已知函数f(x)=cos(ω>0)的最小正周期为π,则该函数的图像()A.关于点对称B.关于直线x=对称C.关于点对称D.关于直线x=对称3.(2024河北衡水中学金卷十模,10)将函数y=sin x-的图像向右平移个单位,再将所得的图像全部点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),则所得图像对应的函数的一个递增区间为() A. B.C. D.4.如图,某港口一天6时到18时的水深改变曲线近似满意函数y=3sin+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为()A.5B.6C.8D.105.(2024河北衡水中学月考,10)将函数f(x)=2sin4x-的图像向左平移个单位,再把全部点的横坐标伸长到原来的2倍,得到函数y=g(x)的图像,则下列关于函数y=g(x)的说法错误的是 ()A.最小正周期为πB.图像关于直线x=对称C.图像关于点对称D.初相为6.(2024河南洛阳一模)将函数f(x)=2sin(ω>0)的图像向右平移个单位长度后得到g(x)的图像,若函数g(x)在区间-上是增加的,则ω的最大值为()A.3B.2C. D.7.(2024河北衡水中学金卷一模,11)已知函数f(x)=sin ωx-2cos2+1(ω>0),将f(x)的图像向右平移φ个单位,所得函数g(x)的部分图像如图所示,则φ的值为()A. B. C. D.8.函数y=A sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()A.y=2sinB.y=2sinC.y=2sinD.y=2sin9.(2024北京,理11)设函数f(x)=cos(ω>0),若f(x)≤f对随意的实数x都成立,则ω的最小值为.10.已知函数y=3sin.(1)用五点法作出函数的图像;(2)说明此图像是由y=sin x的图像经过怎么样的改变得到的.综合提升组11.(2024河南商丘二模,11)将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图像向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图像,若y=g(x)在上是增加的,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.812.(2024山西吕梁一模,11)将函数f(x)=2sin的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到g(x)的图像,若g(x1)g(x2)=9,且x1,x2∈[-2π,2π],则2x1-x2的最大值为()A. B. C. D.13.已知函数f(x)=cos(2x+φ)的图像关于点对称,若将函数f(x)的图像向右平移m(m>0)个单位长度后得到一个偶函数的图像,则实数m的最小值为.14.(2024湖南长郡中学二模,17)已知函数f(x)=2sin cos sin 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期;(2)求函数f(x)在区间上的最值及相应的x值.创新应用组15.(2024湖南衡阳一模,11)已知A、B、C、D是函数y=sin(ωx+φ)ω>0,0<φ<在一个周期内的图像上的四个点,如图所示,A,B为y轴上的点,C为图像上的最低点,E为该图像的一个对称中心,B与D关于点E对称,在x轴上的投影为,则()A.ω=2,φ=B.ω=2,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=16.(2024河北衡水中学17模,11)设函数f(x)=sin.若x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0,则|x2-x1|的取值范围为()A. B.C. D.参考答案课时规范练20 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及应用1.A y=sin 3x+cos 3x=sin=sin 3,函数y=cos 3x=sin=sin 3,故将函数y=cos 3x的图像向右平移个单位,得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像.2.D由题意知ω=2,函数f(x)的对称轴满意2x+=kπ(k∈Z),解得x=- (k∈Z),当k=1时,x=,故选D.3.A将y=sin的图像向右平移个单位,得到y=sin-=sin的图像,再将所得的图像全部点的横坐标缩短为原来的倍(纵坐标不变),所得的图像对应的解析式为y=sin,令2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z,解得2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z,当k=0时,所得图像对应的函数的一个递增区间为,,故选C.4.C因为sin∈[-1,1],所以函数y=3sin+k的最小值为k-3,最大值为k+3.由题图可知函数最小值为k-3=2,解得k=5.所以y的最大值为k+3=5+3=8,故选C.5.C由题意,图像平移后的解析式为y=2sin,图像横坐标伸长后的解析式为y=2sin,∴g(x)=2sin.易推断选项A,D都正确,对于选项B,C,∵g=2sin=2≠0,∴选项B对C错,故选C.6.C由题意知,g(x)=2sin=2sin ωx,由对称性,得-≤×,即ω≤,则ω的最大值为.7.A由题意得f(x)=sin ωx-2cos2+1=sin ωx-cos ωx=2sin,则g(x)=2sinω(x-φ)-=2sinωx-ωφ-,由题图知T=2-=π,∴ω=2,g(x)=2sin2x-2φ-,则g=2sin--2φ=2sin=2,由0<φ<,得-2φ=,解得φ的值为,故选A.8.A由题图知,A=2,周期T=2-=π,所以ω==2,y=2sin(2x+φ).方法一:因为函数图像过点,所以2=2sin.所以+φ=2kπ+(k∈Z).令k=0,得φ=-,所以y=2sin,故选A.方法二:因为函数图像过点,所以-2=2sin,所以2×+φ=2kπ-,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z.令k=0,得φ=-,所以y=2sin.故选A.9. ∵对随意x∈R都有f(x)≤f,∴f=1,即cos=1.∴-=2kπ,k∈Z.∵ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值,即=,ω=.故ω的最小值为.10.解 (1)列表:xx-0 ππ2π3sin0 3 0 -3 0描点、连线,如图所示.(2)(方法一)“先平移,后伸缩”.先把y=sin x的图像上全部点向右平移个单位长度,得到y=sin的图像,再把y=sin的图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin的图像,最终将y=sin的图像上全部点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.(方法二)“先伸缩,后平移”先把y=sin x的图像上全部点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin x的图像,再把y=sin x图像上全部的点向右平移个单位长度,得到y=sin=sin的图像,最终将y=sin的图像上全部点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变),就得到y=3sin的图像.11.C f(x)=cos2sin-2cos+=sin ωx-2+=sin ωx-cosωx=2sinωx-,f(x)的图像向左平移个单位,得y=2sinωx+-的图像, ∴函数y=g(x)=2sin ωx.又y=g(x)在上是增加的,∴≥,即≥,解得ω≤6,所以ω的最大值为6.12.A由题意得g(x)=2sin2x++-1,故g(x)max=1,g(x)min=-3,由g(x1)g(x2)=9,得由g(x)=2sin-1=-3得2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z,由x1,x2∈[-2π,2π],得x1,x2=-,-,,.故当x1=,x2=-时,2x1-x2最大,即2x1-x2=,故选A.13.∵函数的图像关于点对称,∴2×+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z,∴f(x)=cos,k∈Z.∵f(x)的图像平移后得函数y=cos(k∈Z)为偶函数,∴-2m+kπ-=k1π(k∈Z,k1∈Z),m=-.∵m>0,∴m的最小正值为,此时k-k1=1(k∈Z,k1∈Z).14.解 (1)f(x)=sin+sin 2x=cos 2x+sin 2x=2sin,所以f(x)的最小正周期是π.(2)因为0≤x≤,所以0≤2x≤π,所以≤2x+≤,当x=时,f(x)max=2;当x=时,f(x)min=-1.15.A由题意可知=+=,∴T=π,ω==2.又sin=0,0<φ<,∴φ=,故选A.16.B(特别值法)画出f(x)=sin的图像如图所示.结合图像可得,当x2=0时,f(x2)=sin=;当x1=-时,f(x1)=sin=-,满意f(x1)+f(x2)=0.由此可得当x1x2<0,且f(x1)+f(x2)=0时,|x2-x1|>=.故选B.。
2020版高考数学一轮复习 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用讲义理(含解析)
第4讲函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1.“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的步骤1．概念辨析(1)将函数y ＝3sin2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.( ) (2)利用图象变换作图时，“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(3)将函数y ＝2sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得函数y＝2sin x2的图象．( )(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身(1)函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8答案 A解析 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的振幅是2，周期T ＝2π2＝π，频率f ＝1T ＝1π，初相是π4，故选A.(2)用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是________、________、__________、________、________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0解析 列表：五个点依次是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，1、⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0、⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，－1、⎝ ⎛⎭⎪⎫13π6，0.(3)将函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数y ＝g (x )的图象，则g ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝________.答案32解析 函数f (x )＝－12cos2x 的图象向右平移π6个单位长度后得函数y ＝－12cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，再将图象上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数g (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π3＝sin π3＝32.(4)(2018·长春模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解析 由图象可知A ＝2，T 4＝7π12－π3＝π4，所以2πω＝π，ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x＋φ)，又f ⎝⎛⎭⎪⎫7π12＝－2，所以2×7π12＋φ＝2k π＋3π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π，所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.题型 一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( )A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2答案 D解析 由C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋π2＝cos ( 2x ＋π6 )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12. 根据三角函数图象变换的规律，可得D 正确．2．(2018·蚌埠一模)已知ω>0，顺次连接函数y ＝sin ωx 与y ＝cos ωx 的任意三个相邻的交点都构成一个等边三角形，则ω＝( )A ．π B.6π2 C.4π3D.3π 答案 B解析 当正弦值等于余弦值时，函数值为±22，故等边三角形的高为2，由此得到边长为2×33×2＝263，边长即为函数的周期，故2πω＝263，ω＝6π2.3．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上单调递增，求ω的最大值．解 函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω上单调递增，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2ω，π2ω，所以⎩⎪⎨⎪⎧－π2ω≤－π3，π2ω≥π4.解得0<ω≤32，所以ω的最大值为32.4．已知函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在区间[0，π]内的图象；(3)说明y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象可由y ＝cos x 的图象经过怎样的变换而得到．解 (1)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的振幅为1，周期T ＝2π2＝π，初相是－π3. (2)列表：描点，连线．(3)解法一：把y ＝cos x 的图象上所有的点向右平移π3个单位长度，得到y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象；再把y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．解法二：将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝cos2x 的图象；再将y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象常用的两种方法(1)五点法作图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象的变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.1.要想得到函数y ＝sin2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B.向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度答案 B解析 先将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin2x ＋1的图象，故选B.2.(2018·青岛模拟)将函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，在g (x )图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴方程为( )A.x ＝－π24B ．x ＝π4C.x ＝5π24D ．x ＝π12答案 A解析 当函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变时，此时函数解析式可表示为f 1(x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，再将所得图象向左平移π12个单位得到函数g (x )的图象，则g (x )可以表示为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋2π3.则函数g (x )的图象的对称轴可表示为4x ＋2π3＝π2＋k π，k ∈Z ，即x ＝－π24＋k π4，k∈Z .则g (x )的图象离原点最近的对称轴，即g (x )的图象离y 轴最近的对称轴为x ＝－π24.题型 二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2 B. 2 C ．－22 D ．－24答案 D解析 依题意得f ′(x )＝Aωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象，则T ＝2πω＝4⎝⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又Aω＝1，因此A ＝12.因为0<φ<π，3π4<3π4＋φ<7π4，且f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1，所以3π4＋φ＝π，即φ＝π4，所以f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24. 2.设f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)，其图象上最高点M 的坐标是(2，2)，曲线上的点P 由点M 运动到相邻的最低点N 时，在点Q (6,0)处越过x 轴．(1)求A ，ω，φ的值；(2)函数f (x )的图象能否通过平移变换得到一个奇函数的图象？若能，写出变换方法；若不能，说明理由．解 (1)由题意知A ＝2，T ＝(6－2)×4＝16，所以ω＝2πT ＝π8.又因为Q (6,0)是零值点，且|φ|<π，所以π8×6＋φ＝π，所以φ＝π4，经验证，符合题意．所以A ＝2，ω＝π8，φ＝π4.(2)f (x )的图象经过平移变换能得到一个奇函数的图象．由(1)知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π4，当f (x )的图象向右平移2个单位长度后，所得图象的函数解析式为g (x )＝2sin π8x ，是奇函数.确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)中参数的方法(1)求A ，b ：确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，b ＝M ＋m2；(2)求ω：确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT；(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图象与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：1．(2018·四川绵阳诊断)如图是函数f (x )＝cos(πx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2的部分图象，则f (3x 0)＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32答案 D解析 ∵f (x )＝cos(πx ＋φ)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， ∴32＝cos φ，结合0<φ<π2，可得φ＝π6.∴由图象可得cos ⎝⎛⎭⎪⎫πx 0＋π6＝32，πx 0＋π6＝2π－π6，解得x 0＝53. ∴f (3x 0)＝f (5)＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫5π＋π6＝－32.2.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24等于________．答案3解析 观察图象可知T 2＝3π8－π8，所以π2ω＝π4，ω＝2，所以f (x )＝A tan(2x ＋φ)．又因为函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫3π8，0，所以0＝A tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×3π8＋φ，所以3π4＋φ＝k π(k ∈Z )，所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.又图象过点(0,1)，所以A ＝1.综上知，f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.题型 三 三角函数图象性质的应用角度1 三角函数模型的应用1．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A.5 B ．6 C ．8 D ．10答案 C解析 由图象可知，y min ＝2，因为y min ＝－3＋k ，所以－3＋k ＝2，解得k ＝5，所以这段时间水深的最大值是y max ＝3＋k ＝3＋5＝8.角度2 函数零点(方程根)问题2.已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a的取值范围是________．答案 [2,3)解析 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12，令t ＝x ＋π6，由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3得，t ＝x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，画出函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12，当12≤a －12<1，即2≤a <3时，函数y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象和直线y ＝a －12有两个公共点，原方程有两个根.角度3 三角函数图象性质的综合3.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图，则( )A ．函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k π＋π4(k ∈Z )B.函数f (x )的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k π＋π4，8k π＋5π4(k ∈Z )C.函数f (x )的递增区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )D.f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )答案 D解析 由题图知，A ＝2，函数f (x )的最小正周期T ＝4×(3－1)＝8，故ω＝2π8＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ，因为点(1,2)在图象上，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，因为|φ|<π2，所以φ＝π4，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4，由π4x ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )得x ＝4k ＋1，即函数f (x )的对称轴方程为x ＝4k ＋1(k ∈Z )，所以A 项错误；由2k π＋π2≤π4x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )得8k ＋1≤x ≤8k ＋5，即函数f (x )的单调减区间为[8k ＋1,8k ＋5](k ∈Z )，所以B ，C两项错误；由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4≥12，所以2k π＋π6≤π4x ＋π4≤2k π＋5π6(k ∈Z )，解得8k －13≤x ≤8k ＋73(k ∈Z )，即不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤8k －13，8k ＋73(k ∈Z )，故选D.(1)三角函数模型在实际应用中体现的两个方面①已知三角函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；②把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．(2)三角函数的零点、不等式问题的求解思路①把函数表达式转化为正弦型函数形式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)； ②画出一个周期上的函数图象；③利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想解题.1.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 A解析 函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图象可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A.2.一个大风车的半径为8 m,12 min 旋转一周，它的最低点P 0离地面2 m ，风车翼片的一个端点P 从P 0开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离h (m)与时间t (min)之间的函数关系式是( )A ．h (t )＝－8sin π6t ＋10B.h (t )＝－cos π6t ＋10C.h (t )＝－8sin π6t ＋8D.h (t )＝－8cos π6t ＋10答案 D解析 设h (t )＝A cos ωt ＋B ，因为12 min 旋转一周， 所以2πω＝12，所以ω＝π6，由于最大值与最小值分别为18,2.所以⎩⎪⎨⎪⎧－A ＋B ＝18，A ＋B ＝2，解得A ＝－8，B ＝10.所以h (t )＝－8cos π6t ＋10.3.若函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为( )A.π2 B ．π C.3π2D ．2π 答案 B解析 依题意，函数f (x )图象的一条对称轴为x ＝0＋π32＝π6，又因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个零点，所以π6－0≤T 4≤π2－π6，所以2π3≤T ≤4π3.根据选项可得，f (x )的最小正周期为π.。
函数y=Asin(ωx+φ)的性质与图象及其简单应用课件-2025届高三数学一轮复习
3.（2024 · 舒城模拟）将函数的图象向左平移 个单位长度，得到函数的图象，若在,上为增函数，则 的最大值为( ) .
A
A.2 B.3 C.4 D.
解析 依题意，，由， ，得，即的一个单调递增区间是,，因为在 ,上为增函数，所以,,，故，即 的最大值为2.故选A.
三角函数的实际应用
典例4 （双空题）如图,这是矩形与半圆 的组合图形，其中，为半圆弧上一点，，垂足为 ，点在线段上，且，设 ，则的面积与 的关系式为 _______________________________, 的最大值为_ _____.
1.（多选题）（2024 · 沧州模拟）已知函数为常数， 的图象关于直线对称，函数 ，则下列说法正确的是( ) .
ABC
A.将的图象向左平移个单位长度可以得到 的图象B.的图象关于点, 对称C.在, 上单调递减D. 的最大值为1
解析 由题意， ，， ， 将的图象向左平移 个单位长度，所得图象的解析式为 ，A正确； ，B正确； 当,时，,,，此时 是减函数，C正确；的最大值为，D错误.故选 .
D
A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
解析 因为，所以把函数 图象上的所有点向右平移个单位长度可得到函数 的图象.故选D.
2.（2024 · 梅州模拟）为了得到函数 的图象，只需将函数 的图象( ) .
A
A.向左平移个单位长度 B.向左平移 个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移 个单位长度
题组3 走向高考
5.（2023 · 新高考Ⅰ卷）已知函数在 上有且仅有3个零点，则 的取值范围是______.
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第五章 第六节 函数y=Asin(ω+φ)的图象及三角函数的应用
Z,所以函数 g(x)的图象关于点
π
,0
3
,g(x)的图象的对称轴为直线 2x-
A 项错误;令
中心对称,故
π
2π π
5π
<-2 +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤12 +kπ,k∈Z,在区间
3
12
间为
π
0,12
,故 C 项正确;f
项错误.故选 BC.
π
x+ 6
+1=2cos
π
2x+
3
2π
2x- =kπ,得
有的点(
π
x+ 5
的图象,只要把函数 y=3sin
)
4
A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
3
B.横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变
4
C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
3
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
π
x+5
的图象上所
答案 C
解析 依题意,应把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
4
倍,横坐标不变.
π 3π
0, ,π, ,2π.
2
2
微思考 如图所示为函数y=sin(ωx+φ)的部分图象.利用零点代入求φ时,
ωx1+φ,ωx2+φ取哪些值?
提示 若利用x1这样的零点(图象经过(x1,0)时函数单调递减)代入求φ的值,
应令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2,0)时函数
2
移 φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为(
高考数学 一轮 第三章 三角函数 3.6 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单应用
ω
列出一个周期内的五个特殊点,当要画出某指定区间上的图象时,应列出
该区间内的特殊点. (2)图象变换法 ①平移变换 沿x轴平移,遵循“左加右减”法则; 沿y轴平移,遵循“上加下减”法则. ②伸缩变换
沿x轴伸缩时,横坐标x伸长(0<ω<1)或缩短(ω>1)为原来的1 (纵坐标不变);
12
t
3
,故有10-2sin
12
tt
3
<-
1 2
.
又0≤t<24,因此 7 < t+ <11 ,即10<t<18.
6 12 3 6
故10时至18时实验室需要降温.
ωx+φ
0
π
π
2
3π
2π
2
x
π
π
12
3
Asin(ωx+φ)
0
5
7π
5π
13π
12
6
12
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin
2x
6
.
(2)由(1)知
f(x)=5sin
2x
6
,
得g(x)=5sin
2x
2θ
6
.
令2x+2θ- =kπ,解得x=k + -θ,k∈Z.
6
2 12
由于函数y=g(x)的图象关于点
5 12
,
0
中心对称,
则可令 k + -θ=5 ,解得θ= k - ,k∈Z.
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第五节y=Asinωx+φ的图象及应用课件新人教版
其中所有正确结论的编号是( D )
A．①④
B．②③ C．①②③ D．①③④
[解析] 已知 f(x)＝sinωx＋π5(ω＞0)在[0,2π]有且仅有 5 个零点，如图， 其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时 f(x)在(0,2π)有且仅有 3 个极
大值点，但 f(x)在(0,2π)可能有 2 或 3 个极小值点，所以①正确，②不正 确；当 x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈5π，2πω＋π5，由 f(x)在[0,2π]有且仅有 5 个 零点可得 5π≤2πω＋π5＜6π，得 ω 的取值范围是152，2190，所以④正确； 当 x∈0，1π0时，π5＜ωx＋π5＜π1ω0 ＋π5＜41090π＜π2，所以 f(x)在0，1π0单调递 增，所以③正确．
三角函数的零点、不等式问题的求解思路 (1)把函数表达式转化为正弦型函数情势y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0， ω>0)． (2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象． (3)利用图象解决有关三角函数的零点、不等式问题．
[题组突破]
1．(2021·佛山四校联考)已知x0＝
π 3
是函数f(x)＝sin(2x＋φ)的一个极大值
点，则f(x)的一个单调递减区间是( B )
A.6π，23π C.2π，π
B．3π，56π D．23π，π
角，∴2A＝π3，A＝π6，故tan
A＝
3 3.
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 (1)求A，b.确定函数的最大值M和最小值m， 则A＝M－2 m，b＝M＋2 m. (2)求ω.确定函数的最小正周期T，则ω＝2Tπ.
(3)求φ常用的方法： ①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入 图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在 降落区间上)． ②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体 如下：
高考一轮复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
又 T=6,故选 A.
答案 A
高考总复习·数学（理科）
2.若函数 y=sin(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示,则ω=(
A.5 B.4
C.3 D.2
).
高考总复习·数学（理科）
解析
答案
由函数图象可知=(x0+)-x0=,所以 T=,所以ω=4.
B
高考总复习·数学（理科）
正确“列表、描点、连线”;(3)按照图象变换规律进行即可.
解析
(1)y=2sin(2x+)的振幅 A=2,周期 T= =π,初相φ=.
(2)令 X=2x+ ,则 y=2sin(2x+ )=2sin X.
高考总复习·数学（理科）
列表如下:
x
-
X
0
y=sin X
0
高考总复习·数学（理科）
(1)已知函数 f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,- ≤φ≤ )的图象
上的相邻的最高点和最低点的距离为 2
析式 f(x)=
.
,且过点(2,-),则函数解
高考总复习·数学（理科）
(2)函数
f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0, <
φ<)的部分图象如图所示,则ω和φ的值分
坐标不变),即可得到
y=2sin(2x+ )的图象.
高考总复习·数学（理科）
(1)(2016 全国Ⅲ卷)函数 y=sin x- cos x 的图象可由函
高考数学一轮总复习课件：函数y=Asin(ωx+φ)
sin
π
x＋
4
图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝
sin12x＋π4 的图象；再将图象上各点的纵坐标都伸长到原来的2倍(横坐标
不变)，得到y＝2sin12x＋π4 的图象，即y＝2cos－12x＋π4 的图象．
【答案】 见解析
(2)如何由y＝13sin2x＋π3 的图象得y＝sinx的图象．
例1
用五点法作出y＝2sin
2x＋π3
在[－
π 3
，
2π 3
]内的图
象．
【解析】 2·－π3 ＋π3 ＝－π3 ，2·2π 3 ＋π3 ＝5π 3 ，
令2x＋π3 ＝0，解得x＝－π6 .
ππ
π
2x＋ 3 ＝ 2 ，解得x＝12.
π
π
2x＋ 3 ＝π，解得x＝ 3 .
2x＋π3 ＝3π 2 ，解得x＝71π2 .
(2)变换作图．
相位
周期
振幅
①y＝sinx―变―换→y＝sin(x＋φ)―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→y＝
Asin(ωx＋φ)
周期
相位
振幅
②y＝sinx―变―换→y＝sinωx―变―换→y＝sin(ωx＋φ)―变―换→
y＝Asin(ωx＋φ)
【说明】 前一种方法第一步相位变换是_向_左__(φ_>_0_)_或_向__右_(_φ_<_0_)
π
π
则ω＝ 3 －2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝ 3 ，
所以f(x)＝sinπ3 x＋π6 ＝cosπ2 －π3 x－π6
＝cosπ3 （x－1），
所以只需将函数g(x)＝cos
π 3
2024届高考数学一轮总复习第三章三角函数解三角形第六讲函数y=Asinωx+φ的图象及应用课件
【题后反思】函数 y＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象的 作法
(1)五点法：用“五点法”作 y＝A sin (ωx＋φ)的简图，主要是 通过变量代换，令 z＝ωx＋φ，由 z 取 0，π2，π，32π，2π 来求出相 的 x，通过列表得出五点坐标，描点，连线后得出图象.
(2)图象变换法：由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝ A sin (ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后 平移”.
第六讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用
课标要求
考情分析
结合具体实例，了解y ＝A sin (ωx＋φ)的实际 意义；能借助图象理解 参数ω，φ，A的意义， 了解参数的变化对函数 图象的影响
1.从近几年的高考试题来看，函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图 象确定A，ω，φ的值等问题是高考的热点， 复习时，应抓住“五点法”作图和图象的变 换以及性质的应用，通过适量的训练，掌握 解决问题的通法. 2.题型一般是选择题或填空题
故 f(x)的单调递增区间为－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z).
答案：－51π2＋kπ，1π2＋kπ(k∈Z)
2.已知函数 f(x)＝sin (ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图 3-6-4 所示，则 y＝fx＋π6取得最小值时 x 的集合为__________.
图 3-6-4
解析：根据题干所给图象，周期 T＝4×172π－π3＝π， 故 π＝2ωπ，∴ω＝2，因此 f(x)＝sin (2x＋φ)，另外图象经过点
图 3-6-6
由图象得，当 22≤a<1 时，方程 cos 2x－π4＝a 恰好有三个不 同的实数根.
专题25 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用-2025年高考数学一轮复习讲义(新高考专用)解析
专题25函数y＝Asin(w＋)的图象及应用（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (6)【考点1】函数y＝Asin(w＋)的图象及变换 (6)【考点2】由图象确定函数y＝Asin（w＋）的解析式 (10)【考点3】三角函数图象、性质的综合应用 (17)【分层检测】 (23)【基础篇】 (23)【能力篇】 (31)【培优篇】 (35)考试要求：1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.2.了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.1.用“五点法”画y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)一个周期内的简图时，要找五个关键点x －φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx ＋φ0π2π3π22πy ＝A sin (ωx ＋φ)A－A2.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象的两种途径3.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)，x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT ＝2πωf ＝1T ＝ω2πωx ＋φφ1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.2.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·天津·高考真题）已知1()sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在ππ[,44-上单调递增；③当ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为⎡⎢⎣⎦；④()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向左平移π8个单位长度得到．以上四个说法中，正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2022·浙江·高考真题）为了得到函数2sin 3y x =的图象，只要把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π5个单位长度B ．向右平移π5个单位长度C ．向左平移π15个单位长度D ．向右平移π15个单位长度4．（2022·全国·高考真题）将函数π()sin (0)3f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是（）A ．16B ．14C ．13D ．125．（2021·全国·高考真题）把函数()y f x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，得到函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，则()f x =（）A ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．7sin 212x π⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．sin 212x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭参考答案：1．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.2．A【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，①不正确；令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上递增，所以()f x 在ππ[,]44-上单调递增，②正确；因为π2π233t x ⎡⎤=∈-⎢⎣⎦，sin ,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()1,42f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，③不正确；由于1π1πg()sin(2)sin22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，④不正确．故选：A ．3．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为ππ2sin 32sin 3155y x x ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以把函数π2sin 35y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上的所有点向右平移π15个单位长度即可得到函数2sin 3y x =的图象．故选：D.4．C【分析】先由平移求出曲线C 的解析式，再结合对称性得,232k k ωππππ+=+∈Z ，即可求出ω的最小值.【详解】由题意知：曲线C 为sin sin()2323y x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又C 关于y 轴对称，则,232k k ωππππ+=+∈Z ，解得12,3k k ω=+∈Z ，又0ω>，故当0k =时，ω的最小值为13.故选：C.5．B【分析】解法一：从函数()y f x =的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即得2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再利用换元思想求得()y f x =的解析表达式；解法二：从函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到()y f x =的解析表达式.【详解】解法一：函数()y f x =图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到(2)y f x =的图象，再把所得曲线向右平移3π个单位长度，应当得到23y f x π⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象，根据已知得到了函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，所以2sin 34f x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令23t x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则,234212t t x x πππ=+-=+,所以()sin 212t f t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；解法二：由已知的函数sin 4y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭逆向变换，第一步：向左平移3π个单位长度，得到sin sin 3412y x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到sin 212x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，即为()y f x =的图象，所以()sin 212x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.故选：B.【考点1】函数y ＝Asin(ωx ＋)的图象及变换一、单选题1．（23-24高一上·天津宁河·期末）为了得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点的（）A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变2．（2024·四川·模拟预测）已知函数()()sin (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为π，且()y f x =的图象关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，给出下列三个结论：①()02f =；②函数()f x 在π0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；③将cos2y x =的图象向左平移π12个单位可得到()f x 的图象．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、多选题3．（2024·湖南长沙·模拟预测）已知()22ππsin cos (0)33f x x x ωωω⎛⎫⎛⎫=+-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，下列判断正确的是（）A ．若()()120f x f x ==，且12minπ2x x -=，则2ω=B ．1ω=时，直线π6x =为()f x 图象的一条对称轴C ．1ω=时，将()f x 的图象向左平移π3个单位长度后得到的图象关于原点对称D ．若()f x 在[]0,2π上恰有9个零点，则ω的取值范围为5359,2424⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2024·云南·一模）为得到函数π6sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需要将函数6sin2y x =的图象（）A ．向左平行移动π6个单位B ．向左平行移动π3个单位C ．向右平行移动5π6个单位D ．向右平行移动11π6个单位三、填空题5．（2007·安徽·高考真题）函数f (x )＝3sin (2)3x π-的图象为C ，则以下结论中正确的是．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝12π对称；②图象C 关于点2(,0)3π对称；③函数f (x )在区间5(,)1212ππ-内是增函数；④由y ＝3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ．6．（2024·浙江·二模）将函数()cos 2g x x =的图象上的每个点横坐标不变，纵坐标扩大为原来的2倍，再将所得图象向右平移π4得到函数()y h x =的图象，若函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，其中π02α-<<，则sin α的值为.参考答案：1．B【分析】利用三角函数的伸缩变换可以得到答案.【详解】因为把函数πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，就能得到函数πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象.故选：B 2．D【分析】由题意先求出()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再由三角函数的性质对选项一一判断即可得出答案.【详解】因为函数()f x 的周期为π，所以2ω=，又图象对称中心为π,06⎛⎫⎪⎝⎭，即πsin 206ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，则ππ,3k k ϕ+=∈Z ，有ππ,3k k ϕ=-∈Z ，由0πϕ<<，所以2π1,3k ϕ==，故()2πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，此时()2π0sin 32f ==，结论①正确；当π03x <<时，2π2π4π2333x <+<，函数()f x 单调递减，结论②正确；将cos2y x =的图象向左平移π12个单位可得图象对应的函数为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2ππππsin 2sin 2cos 23626x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以结论③正确．故选：D.3．BD【分析】利用二倍角公式化简()f x ，利用余弦函数的图象和性质依次判断选项即可.【详解】()22ππ2πcos sin cos 2,0333f x x x x ωωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，对于A ，根据条件，可得π2π,π,1222T T ωω=∴==∴=，故A 错误；对于B ，当1ω=时，()2πππ2πcos 2,cos cosπ13633f x x f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+∴=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以直线π6x =为()f x 的一条对称轴，故B 正确；对于C ，当1ω=时，()2πcos 23f x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，将()f x 向左平移π3个单位长度后可得π2ππcos 2cos 2333y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为非奇非偶函数，故C 错误；对于D ，由题意[]0,2πx ∈，则2π2π2π24π333x ωω≤+≤+，因为()f x 在[]0,2π上恰有9个零，所以19π2π21π4π232ω≤+<，解得53592424ω≤<，故D 正确.故选：BD.4．ACD【分析】根据已知条件，逐项分析各个选项，利用诱导公式化简函数解析式即可判断.【详解】A 选项，向左平行移动π6个单位，有ππ6sin 26sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，A 正确；B 选项，向左平行移动π3个单位，有π2π6sin 26sin 233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；C 选项，向右平行移动5π6个单位，有5π5π6sin 26sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5πππ6sin 26sin 22π6sin 2333y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 正确；D 选项，向右平行移动11π6个单位，有11π11π6sin 26sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，11πππ6sin 26sin24π6sin 2333y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，D 正确；故选：ACD 5．②③【分析】对于①：直接求出即可验证；对于②：用代入法进行判断；对于③：直接求出增区间即可；对于④：利用相位变换即可判断.【详解】因为f (x )＝3sin (2)3x π-对于①：由()232x k k Z πππ-=+∈得：()5122k x k Z ππ=+∈，所以f (x )＝3sin (2)3x π-的对称轴方程为：()5122k x k Z ππ=+∈，令512212k x πππ=+=，解得：23k Z =-∉，故①错误；对于②：因为3sin 2022333f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯=⎝-⎪⎪⎭⎝⎭，所以图象C 关于点2(,0)3π对称；故②正确；对于③：令()222232k x k k Z πππππ-+≤-≤∈，解得：()51212k x k k Z ππππ-+≤≤∈，所以f (x )的递增区间为()5,,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当k =0时，5(,)1212ππ-是f (x )的一个递增区间，故③正确；对于④：y ＝3sin2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到23sin23sin 23sin 2333y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-≠- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭＝，故④错误.故答案为：②③6．/【分析】先利用伸缩变换和平移变换得到()h x ，再根据题意，由()()1h g αα+=求解.【详解】解：由题意得：()2sin 2h x x =，因为函数()y g x =与函数()1y h x =+图象交于点()(),g αα，所以2sin 21cos 2αα+=，即22224sin cos sin cos cos sin αααααα++=-，整理得()2sin 2cos sin 0ααα+=，因为π02α-<<，所以2cos sin 0αα+=，又因为22sin cos 1αα+=，所以sin 5α=-，故答案为：5-反思提升：作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.【考点2】由图象确定函数y ＝Asin （ωx ＋）的解析式一、单选题1．（2024·陕西商洛·模拟预测）将函数()f x 的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），然后再向左平移π12个单位长度，得到函数()()πsin 0,0,2g x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（）A ．()π3sin 42f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()π3sin 46f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()π3sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()π3sin 2f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图所示的曲线为函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=->>< ⎪⎝⎭的部分图象，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，再将所得曲线向左平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图像，则()g x 的解析式为（）A ．()92cos 28x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()2cos 28g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()2sin2g x x=D ．()2cos2g x x=二、多选题3．（2024·浙江金华·三模）已知函数()πsin 2cos cos 2sin 0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则（）A ．π6ϕ=B ．2ω=C ．π6f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为偶函数D ．()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为12-4．（2024·广东汕头·二模）如图，函数()()π22f x x ϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的部分图象与坐标轴分别交于点D 、E 、F ，且DEF 的面积为π4，则（）A ．点D 的纵坐标为1B ．()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心D ．()f x 的图象可由y x =的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再将图象向左平移π6个单位得到三、填空题5．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()()sin 0,0πf x x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，将()f x 图象上所有点的横坐标缩小为原来的()20m m>，纵坐标不变，得到()g x 的图象，若()g x 在区间()0,π上恰有两个极大值点，则实数m 的取值范围是．6．（2023·广西·模拟预测）已知函数()()2cos f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示．将函数()f x 图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数()g x 的图象，则π3g ⎛⎫⎪⎝⎭的值为．参考答案：1．B【分析】由图象可得最小正周期，可求ω，A ，点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入函数()y g x =的解析式，可求解析式，进而利用图象变换可求函数()f x 的解析式.【详解】由图像可得3A =，函数()y g x =的最小正周期为5πππ66T ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以2π2T ω==，将点π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭的坐标代入函数()y g x =的解析式，且函数()y g x =在π6x =-附近递增，所以πsin 206ϕ⎡⎤⎛⎫⨯-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则()π2π3k k ϕ-=∈Z ，得()π2π3k k ϕ=+∈Z .因为ππ22ϕ-<<，所以当0k =时，π3ϕ=，因此()π3sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数()g x 的图象向右平移π12个单位长度，然后横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()f x 的解析式为()πππ3sin 223sin 41236f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.2．D【分析】结合图象，以及周期公式，求出()f x ，再结合平移伸缩的法则即可求解.【详解】由图象可知π2π5π632,212A +==，则()f x 的一个最低点为5π,212⎛⎫- ⎪⎝⎭，()f x 的最小正周期为2π3T =，则2π3Tω==，5π5π2cos 321212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()5ππ2πZ 4k k ϕ-=+∈，所以()π2πZ 4k k ϕ=-∈，又因为π2ϕ＜，所以π4ϕ=，所以()π2cos 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =图象上所有点的横坐标伸长到原来的32倍，得π2cos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再将所得曲线向左平移8π个单位长度，得ππ2cos 22cos 284y x x ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()2cos2g x x =，故选：D.3．ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得()()sin 2f x ωϕ=+，由图象可得()110sin 22f ϕ=⇒=，又π02ϕ<<，所以π6ϕ=，由五点法可得4ππ3π1362ωω⨯+=⇒=，所以()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A ：由以上解析可得π6ϕ=，故A 正确；B ：由以上解析可得1ω=，故B 错误；C ：πππsin 2cos 2666f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 正确；D ：当πππ7π0,2,2666x x ⎡⎤⎡⎤∈⇒+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，π1sin 2,162x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以最小值为12-，故D 正确；故选：ACD.4．ABC【分析】首先根据周期，以及条件求函数的解析式，再根据函数的性质判断BC ，以及根据函数图象变换规律判断D.【详解】对于A ，由周期可知，π2EF =，所以1ππ244DEF S EF OD OD =⨯⨯=⨯= ，则1OD =，即点D 的纵坐标为1，故A 正确；即()01f ϕ==，且π2ϕ<，所以π6ϕ=，即()π26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，当ππ,66x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，πππππ2,,66222x ⎛⎫⎛⎫+∈-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，故B 正确；对于C ，5ππ012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心，故C 正确；对于D ，将y x =的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得y x =，再将图象向左平移6个单位得()π23y x f x ⎛⎫=+≠ ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：ABC 5．2549,1212⎛⎤⎥⎝⎦【分析】结合图象求得()f x 的最小正周期，即可求得2ω=，然后结合图象上的点的坐标及0πϕ<<可求得5π12ϕ=，得到()f x 的解析式，进而利用三角函数图象的变换法则得到()g x 的解析式，最后利用正弦函数的图象求得m 的取值范围．【详解】设()f x 的最小正周期为T ，则由图象知113π7πππ424244T T -=⇒==，所以2π2Tω==，则()()sin 2f x x ϕ=+，由()f x 在13π24x =处取得最小值，可得13π3π22π242k ϕ⨯+=+，Z k ∈，得5π2π12k ϕ=+，Z k ∈．因为0πϕ<<，所以5π12ϕ=，所以()5πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（或由题意可得7ππ2π2413π3π2π242k k ωϕωϕ⎧⨯+=+⎪⎪⎨⎪⨯+=+⎪⎩，k ∈Z ，亦可得()5πsin 212f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭）()5πsin 12g x mx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()0,πx ∈，得5π5π5π,π121212mx m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，所以由题意得5π5π9ππ2122m <+≤，解得25491212m <≤，即实数m 的取值范围是2549,1212⎛⎤⎥⎝⎦．故答案为：2549,1212⎛⎤⎥⎝⎦.6．1【分析】根据图象可知半个周期，求得ω，代入点的坐标结合已知可求得π3ϕ=-，再利用图象平移即可得出()g x 的解析式，进而求出π3g ⎛⎫⎪⎝⎭.【详解】由图象可知()f x 的最小正周期为2πππ2312ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解得4ω=，代入π,212⎛⎫ ⎪⎝⎭可得πcos 13ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得()π2πZ 3k k ϕ=-+∈，又π2ϕ<，所以π3ϕ=-，故()π2cos 43f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，左移π6个单位长度得()πππ2cos 42cos 4633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故π4ππ2cos 1333g ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：1反思提升：由f （x ）＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的一段图象求其解析式时，A 比较容易由图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：（1）如果图象明确指出了周期T 的大小和“零点”坐标，那么由ω＝2πT即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的零点的横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0（ωx 0＋φ＝π）即可求出φ.（2）代入点的坐标.利用一些已知点（最高点、最低点或零点）坐标代入解析式.再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或φ的范围有所需求，可用诱导公式变换使其符合要求.【考点3】三角函数图象、性质的综合应用一、单选题1．（2024·山东泰安·二模）已知函数()πsin 4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数()g x 的图象，则下列结论正确的是（）A ．()π2sin 24x g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()g x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增C ．()g x 的图象关于点π,08⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()g x 在π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为⎡⎣2．（2024·浙江丽水·二模）将函数()cos2f x x =的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()g x 的图象，若对满足()()122f x g x -=的12,x x ，有12minπ3x x -=，则ϕ=（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．5π12二、多选题3．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象．若曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，则（）A ．2ω=B ．()g x 的图象关于直线π3x =-对称C ．()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．若()2f π=-，则()g x 在区间[]0,π4．（2023·广东佛山·模拟预测）已知函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，则（）A ．()f x 的最大值为2B ．π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数C ．()f x 在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增D ．把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称三、填空题5．（2022·四川广安·二模）函数()sin 2y x ϕ=+（π2ϕ<）的图象向右平移π6后所得函数图象关于y 轴对称，则ϕ=．6．（2021·陕西西安·模拟预测）将函数()sin 221f x x x =+的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，设()()h x g x =，下列结论正确的是.①函数()h x 值域为[]0,3；②函数()h x 对称轴为()24k x k Z ππ=+∈；③函数()h x 与12y =在[]0,2π内交点的横坐标之和是10π；④函数()h x 在311,412ππ⎡⎤⎢⎣⎦是增加的.参考答案：1．C【分析】根据三角函数图象的伸缩变换可得π()2sin(2)4g x x =-，结合正弦函数的图象与性质，依次判断选项即可.【详解】A ：将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的一半，纵坐标变为原来的2倍，得到函数π()2sin(2)4g x x =-，故A 错误；B ：由选项A 可知π()2sin(2)4g x x =-，由π02x <<，得π3π2444πx -<-<，所以函数()g x 在ππ(,)42-上单调递增，在π3π(,)24上单调递减，故B 错误；C ：由选项A 可知π()2sin(2)4g x x =-，则πππ(2sin(22sin 00884g =⨯-==，所以函数()g x 图象关于点π(,0)8中心对称，故C 正确；D ：由选项A 可知π()2sin(2)4g x x =-，由π3π44x ≤≤，得ππ5π2444x ≤-≤，所以πsin(214x -≤，则()2g x ≤≤，即()g x的值域为[2]，故D 错误.故选：C 2．A【分析】根据函数图象的平移可得()cos(22)g x x ϕ=-，利用三角函数的最值，求出自变量1x ，2x 的值，然后判断选项即可，【详解】因函数()cos 2f x x =的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移π02ϕϕ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后得到函数()cos(22)g x x ϕ=-的图象，若对满足12|()()|2f x g x -=的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有12minπ3x x -=，不妨10x =，则2π3x =±，即()g x 在2π3x =±取得最小值，当2π3x =时，πcos(22)13ϕ⨯-=-，此时2π2π2π3k ϕ-=+，6ππk ϕ=--，Z k ∈，不合题意02πϕ<<，当2π3x =-时，2πcos(2)13ϕ--=-，此时2π2π2π3k ϕ--=+，ππ6k ϕ=-，Z k ∈，当0k =，π6ϕ=满足题意，故选：A ，3．BC【分析】首先利用三角函数的性质求出()f x 和()g x 的关系，进一步利用三角函数的性质求出结果.【详解】由于函数()()()sin 0f x A x ωϕω=+>是偶函数，所以ππ+2k ϕ=()k ∈Z ，由于将()y f x =的图象向左平移π6个单位长度，再将图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到()y g x =的图象，则()1πsin 26g x A x ωωϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ，因为曲线()y g x =的两个相邻对称中心之间的距离为2π，故2π4π12T ω==，解得1ω=，故A 不正确；所以函数()πsin π2f x A x k ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则()cos f x A x =或()cos f x A x =-，()1ππsin π262g x A x k ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，则()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，对于B ，令1ππ26x k +=()k ∈Z ，解得π2π3x k =-，所以当0k =时，()g x 的图象关于直线π3x =-对称，故B 正确；对于C,令1πππ+262x k +=()k ∈Z ，解得2π2π+3x k =，所以当0k =时，所以()g x 的图象关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，当()π2f =-时，2A =-或2A =，所以()1πcos 26g x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭或()1πcos 26g x A x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递增，故函数的最大值为(π)1g =；当()1π2cos 26g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭时，当[]0,πx ∈时，1ππ2π,2663x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,π上单调递减，故函数的最大值为(0)g =，故D 错误；故选：BC.4．AB【分析】依题意可求出a =π()2sin(6f x x =-+，结合函数的图象性质逐一判断即可.【详解】因为函数()sin cos ()f x a x x x =-∈R 的图象关于π3x =对称，所以πππ1()sin cos 33322f a a =--=a =所以π()cos 2sin()6f x x x x =-=-+，其最大值为2，故A 正确；令ππππ()()2sin()2sin()2cos 3362f xg x x x x +==-++=-+=-，()g x 定义域为R ，()2cos()2cos ()g x x x g x -=--=-=，所以()g x 即π3f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，故B 正确；2,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π,622x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π2sin()6y x =+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦单调递增，π()2sin(6f x x =-+在2,33ππ⎡⎤-⎢⎣⎦单调递减，故C 错误；把()f x 的图象向左平移π6个单位长度，得到函数πππ()2sin[()]2sin()663h x x x =-++=-+的图象，因为3π3ππππ()2sin()2sin(π)2sin 04431212h =-+=-+=≠，所以()h x 的图象不关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故D 错误.故选：AB 5．π6-【分析】根据函数的平移变换及函数的奇偶性即可求解.【详解】由()sin 2y x ϕ=+的图象向右平移π6后，可得ππ()sin 2sin 263f x x x ϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，因为π()sin 23f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以πππ,Z 32k k ϕ-+=+∈,解得5ππ,Z6k k ϕ=+∈因为π2ϕ<，解得ππ22ϕ-<<，当1k =-时，π6ϕ=-.故答案为：π6-.6．①②③【分析】由已知得()f x 2sin 213x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据平移规律可得()2sin 21g x x =+，由[]sin 21,1x ∈-得()2sin 21h x x =+的值域可判断①；由()g x 的对称轴为()24k x k Z ππ=+∈可判断②；画出函数()h x 与12y =在[]0,2π的图象可判断③；由图象可判断④.【详解】由()1sin 2cos 212sin 2cos 2122f x x x x x ⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭12sin 2cos 212sin 21223x x x π⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到函数()g x 的图象，所以()2sin 212sin 2163x x g x ππ⎡⎤⎛⎫=-++=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当x R ∈时，[]sin 21,1x ∈-，所以[]2sin 211,3x +∈-，所以()[]()2sin 210,3h x g x x ==+∈，故①正确；()g x 的对称轴为()22x k k Z ππ=+∈即为()24k x k Z ππ=+∈，函数()h x 对称轴为()24k x k Z ππ=+∈，故②正确；令12sin 212x +=[]()0,2x π∈得7111923,,,12121212x x x x ππππ====，如图函数()h x 与12y =在[]0,2π内交点共有8个，前4个是关于34x π=对称的，后4个是关于74x π=对称的，所以交点的横坐标之和是37441044πππ⨯+⨯=，所以③正确；如图由于34x π=是()h x 的一条对称轴，所以()h x 在311,412ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦是下降的，所以④错误.故答案为：①②③.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，解题的关键点是对函数解析式进行化简和画出函数的图象，考查了学生分析问题解决问题的能力.反思提升：（1）研究y ＝A sin （ωx ＋φ）的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.（2）方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.（3）三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.【基础篇】一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）为了得到函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数()πcos 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象（）A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度2．（2024·山东潍坊·二模）将函数()cos f x x =的图象向右平移π2个单位长度，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到()g x 的图象，则()g x =（）A ．sin 2xB ．sin2xC ．sin2x -D ．cos 2x3．（2024·山西晋城·二模）将函数π()2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移ϕ（0ϕ>）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在区间(0,)ϕ上恰有两个零点，则ϕ的取值范围是（）A ．5π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．3π13π,412⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5π3π,124⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．3π13π,412⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2024·四川南充·二模）将函数)π2cos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，则曲线()y g x =与直线y =）A ．π6B ．π3C ．π2D ．π二、多选题5．（2024·浙江·模拟预测）为了得到函数2cos2y x =的图象，只要把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度6．（2024·安徽合肥·三模）已知12,x x 是函数π()2sin (0)6f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的两个零点，且12x x -的最小值是π2，则（）A ．()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增B ．()f x 的图象关于直线π6x =-对称C ．()f x 的图象可由()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到D ．()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点7．（22-23高三上·湖南常德·阶段练习）函数()()sin f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到()y g x =的图像，则下列说法正确的是（）A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．函数()g x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 的最小正周期为π三、填空题8．（2021·全国·模拟预测）已知函数()()sin f x x ωϕ=+(0ω>，02πϕ<<)，其图象相邻的对称轴与对称中心之间的距离为4π，且3x π=-是一个极小值点.若把函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于直线4x π=对称，则实数t 的最小值为.9．（2023·湖北·一模）函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象向左平移π3个单位得到函数()g x 的图象，若函数()g x 是偶函数，则tan ϕ=．10．（2022·陕西咸阳·二模）将函数)sin()y x x ϕϕ=+-+的图象向右平移3π个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则ϕ的一个可能取值为.四、解答题11．（22-23高一下·辽宁铁岭·阶段练习）已知函数()sin(),0,0,||2πf x A x x R A ωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的最小正周期及解析式；(2)将函数()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.12．（2021·浙江·三模）函数()223sin cos sin cos 2222x x x x f x ⎫=-⎪⎝⎭.（1）求函数()y f x =的对称中心；（2）将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到函数()g x 的图象，其中0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且3tan 4ϕ=，求函数()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围.参考答案：1．A 【分析】结合诱导公式，利用三角函数图象的平移和变换求解即可.【详解】因为()sin 2sin 2πc 6ππππos 2cos 236212f x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以只需将函数()c πcos 2πs 263o g x x x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎛⎫-= ⎭⎝⎣⎭⎝⎦⎪的图象向左平移π12个单位长度.故选：A 2．B【分析】根据平移变换和周期变换的原则求解即可.【详解】将函数()cos f x x =的图象向右平移π2个单位长度，得πcos sin 2y x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得()1sin 2g x x =.故选：B.3．C【分析】根据三角函数图象的平移变换可得π()2sin(33)4g x x ϕ=+-，由()g x 在(0,)ϕ上有2个零点得π2π3π4ϕ-≤-<-，解之即可求解.【详解】将函数π()2sin(3)4f x x =+的图象向右平移ϕ个单位长度，得π()2sin(33)4g x x ϕ=+-的图象，由0x ϕ<<，得πππ333444x ϕϕ-<+-<，又()g x 在(0,)ϕ上有2个零点，所以π2π3π4ϕ-≤-<-，解得5π3π124ϕ<≤，即实数ϕ的取值范围为5π3π(,]124.故选：C 4．A【分析】根据三角函数的图象变换得π()2cos(2)6g x x =-，再解方程求解可得答案．【详解】函数()π2cos 22f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度，得到函数()g x 的图象，πππ()2cos(22cos(2)326g x x x =+-=-，令π2cos(2)6x -=πcos(2)6x -=，则1ππ22π+66x k -=，1k Z ∈，或2ππ22π66x k -=-，2k Z ∈，即1ππ+6x k =，1k Z ∈，或2πx k =，2k Z ∈，可得π6x =，7π6，13π6，⋯，0x =，π，2π，⋯，相邻交点距离的最小值为π6．故选：A ．5．AD【分析】根据函数图象平移结论逐项检验可得结论.【详解】把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移π3个单位长度，可得函数2πππ2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，A 正确；把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移π3个单位长度，可得函数2πππππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，B 错误；把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向左平移2π3个单位长度，可得函数4πππ3ππ2sin 22sin 22cos 236323y x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的图象，C 错误；把函数π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象上所有的点向右平移2π3个单位长度，可得函数4ππ3π2sin 22sin 22cos 2362y x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，D 正确；故选：AD.6．ABD【分析】依题意可得()f x 的最小正周期πT =，即可求出ω，从而得到()f x 解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可.【详解】由题意可知，函数()f x 的最小正周期π2π22T ω=⨯=，2ω∴=，()2sin 26πf x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭．对于A ，当x ∈π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，πππ2662x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y x =在ππ,62⎡⎤-⎢⎣⎦上单调递增，所以()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故A 正确；对于B ，因为πππ2sin 22sin 2π6662f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--=-⎛⎫-= ⎪=-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭，所以()f x 的图象关于直线π6x =-对称，故B 正确；对于C ，将()2sin 2g x x =的图象向右平移π6个单位长度得到：ππ2sin 22sin 2()63y x x f x ⎛⎫⎛⎫=-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，当π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π5π11π2,666x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，仅当2x -ππ6=，即7π12x =时，()0f x =，即()f x 在π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上仅有1个零点，故D 正确．故选：ABD ．7．ACD【分析】根据题意由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由图象顶点坐标求出ϕ的值，再利用正弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由图可知3A =，353()41234T πππ=--=，T π∴=，2ω=，将点5(,3)12π代入()3sin 2y x ϕ=+，得2()3k k Z πϕπ=-+∈，故()3sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，向右平移12π个单位长度得：()3sin 23sin 23cos21232y g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的最大值为3，故A 正确；3cos 0126g ππ⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭，故B 错误；0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()20,x π∈，函数()g x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故C 正确；函数()g x 的最小正周期为22T ππ==，故D 正确.故选：ACD ．8．5π12【分析】利用三角函数的图象的性质求得周期，进而得到原函数π4x =右侧的第一个最值点，也就是对称轴，也就是对称轴，然后得到t 的最小值.【详解】相邻的对称轴与对称中心之间的距离为π4，∴π44T =,∴πT =，∴最小值点π3x =-右侧最近的一个最大值点为πππ+=326x =-，第二个最值点为最小值点，即π2π+π=33x =-是第一个超过π4x =的最值点，即π4x =右侧第一条对称轴为2π3x =，∴把函数()f x 的图象向左平移()0t t >个单位长度后，所得函数的图象关于直线π4x =对称，则实数t 的最小值为2ππ5π3412-=,故答案为：5π12.【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的平移变换，属基础题.注意相邻的中心与轴间的距离为四分之一周期，相邻极值点间的距离为半个周期.注意平移的方向，找到函数()()sin f x x ωϕ=+在直线4x π=右侧的第一条对称轴是关键.9．【分析】根据函数图象的平移可得()sin(2π2π33)g f x x x ϕ⎛⎫=+=+⎝+⎪⎭，进而根据偶函数即可求解ππ,Z 6k k ϕ=-+∈,进而可求解.【详解】()sin(2π2π33)g f x x x ϕ⎛⎫=+=+⎝+⎪⎭，由于()g x 是偶函数，所以2πππ,Z 32k k ϕ+=+∈,故ππ,Z 6k k ϕ=-+∈，所以ππtan tan πtan 663k ϕ⎛⎫⎛⎫=-+=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为：3-10．6π（答案不唯一）【分析】根据辅角公式可知原函数为2cos 6y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再将其按照题意平移后函数2cos 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，根据函数2cos 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为偶函数，可知,Z 6k k πϕπ-=∈，由此即可求出结果.【详解】因为()()sin 2cos 6y x x x πϕϕϕ⎛⎫+-+=++ ⎪⎝⎭，所以将函数)sin()y x x ϕϕ=+-+的图象向右平移3π个单位长度后2cos 2cos 366y x x πππϕϕ⎛⎫⎛⎫=-++=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题意可知，函数2cos 6y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭是偶函数，所以,Z 6k k πϕπ-=∈，即,Z 6k k πϕπ=+∈.故答案为：6π（答案不唯一）.11．(1)πT =，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)11,2-.【分析】（1）由图象可知1A =，相邻的对称中心和对称轴距离相差4T，再代入关键点可得解析式；（2）根据图象的变换得到()y g x =解析式，再根据正弦函数的图象与性质可得其在区间上π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦最值.【详解】（1）由图象可知()y f x =的最大值为1，最小值-1，故1A =；又2π5ππ2π431244T ω=-==∴2ω=，将点2π,13⎛⎫- ⎪⎝⎭代入()y f x =，2π4π()133f sin ϕ⎛⎫=+=-⎪⎝⎭∴4π3ππ2π,=2π326k k ϕϕ+=++，∵π2ϕ<∴π6ϕ=故答案为：πT =，()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）由()y f x =的图象向右平移π6个单位长度得到函数πππ()sin 2sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∵π0,2⎡⎤∈⎢⎣⎦x ∴ππ5π2666x ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦∴当ππ266x -=-时，即0x =，min π1sin 262x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；当ππ262x -=时，即π3x =，max πsin 216x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.12．（1）(),06k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭；（2）1210⎡-⎢⎣.【分析】（1）化简函数()6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令,6x k k Z ππ+=∈，即可求得函数()f x 的对称中心；（2）由三角函数的图象变换，得到()6g x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据题设条件，求得2,663x πππϕϕϕ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()223sin cos sin cos 22222x x x x f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭3sin 226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，令,6x k k Z ππ+=∈，解得,6x k k Z ππ=-∈，所以函数()f x 的对称中心为(),06k k Z ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭.（2）由题意，将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位得到()6g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且3tan 4ϕ=，可得3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，且,64ππϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以2,663x πππϕϕϕ⎡⎤++∈++⎢⎥⎣⎦，当62x ππϕ++=时，函数()g x 取得最大值，最大值为()max g x =。