基于模糊偏好关系及OWA算子的多准则群决策方法
基于梯形模糊数的OWA方法与matlab应用
基于梯形模糊数的OWA 方法与matlab 应用一、梯形模糊数定义1、定义记(,,,),=-∞<<<<<∞A c a b d c a b d ，称为A 为梯形模糊数，当0>a 时，为正梯形模糊数。
其隶属函数R [0,1]：μ∈A 可以表示为，,1,=,0,其他μ-⎧≤<⎪-⎪≤≤⎪⎨-⎪<≤⎪-⎪⎩A x c c x a a c a x b x d b x d b d图1 梯形模糊数当=a b ，梯形模糊数退化为三角模糊数。
记梯形模糊数(,,,)=A c a b d 表示决策者意见，在区间[,]c a 为线性增函数，表示决策者悲观的估计，在[,]a b 表示隶属度为1，表示决策者最可能的估计，在[,]b d 为线性减函数，表示决策者乐观的估计；在其他区域隶属度为0. 2、计算（1）梯形模糊数的期望评价+11(+)(+)()()()=2222-⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎢⎥⎣⎦c a bd E A E A E A （2）模糊极大集合与模糊极小集合模糊极大集合是一个模糊子集，(){}maxmax ,()|=∈S S x fxx R其隶属度函数为11221max--0,，其他⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩x x x x x x x S其中，=(,,,)ij ij ij ij ij x c a b d ，1,,;1,,==i m j n ，1=min()ij jx c ，2=max()ij jx d 。
模糊极小集合是一个模糊子集，(){}minmin ,()|=∈S S x fx x R其隶属度函数为11212min--0,，其他⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩x x x x x x x S 其中，=(,,,)ij ij ij ij ij x c a b d ，1,,;1,,==i m j n ，1=min()ij jx c ，2=max()ij jx d 。
（3）梯形模糊数属性指标归一化 设模糊矩阵A 表示为，=⨯⎡⎤⎣⎦ij m nA x元素ij x 是梯形模糊集，且满足存在点0∈x R ，具有隶属度等于1，且隶属函数在0x 左右连续。
基于前景理论和三角模糊MULTIMOORA的多阶段决策方法
基于前景理论和三角模糊MULTIMOORA的多阶段决策方法代文锋;仲秋雁;齐春泽【摘要】For the triangular fuzzy multi-attribute decision making problem,in which period weights and attribute weights are completely unknown,a new decisiong making method based on the prospect theory and MULTIMOO-RA was presented.Firstly,the triangular fuzzy prospect decision matrices in different periods are built and the period weight optimization model was established on the basis of the time degree and differences of prospect values of alternatives in different periods.According to the maximise deviation, attribute weights were deter-mined.Then, a novel extension form of MULTIMOORA was proposed based on the triangular fuzzy number. Alternatives are ranked and selected by the triangular fuzzy MULTIMOORA and the dominance theory.Finally, the feasibility and validity of the proposed method are verified with an example.%针对时间权重与属性权重完全未知的三角模糊多属性决策问题,基于前景理论和MULTIMOORA提出一种新的决策方法.首先,建立备选方案在不同时段的三角模糊前景决策矩阵,根据时间度及不同时段内备选方案前景值的差异构建时间权重优化模型,并运用最大偏差法的基本思想获得属性权重.其次,基于三角模糊数提出一种新的MULTIMOORA扩展形式,并结合占优理论对备选方案进行比选.最后,通过实例证明了所提方法是可行的,也是有效的.【期刊名称】《运筹与管理》【年(卷),期】2018(027)003【总页数】8页(P74-81)【关键词】前景理论;三角模糊数;MLTIMOORA;占优理论【作者】代文锋;仲秋雁;齐春泽【作者单位】大连理工大学管理与经济学部,辽宁大连116024;兰州财经大学信息工程学院,甘肃兰州730020;大连理工大学管理与经济学部,辽宁大连116024;兰州财经大学信息工程学院,甘肃兰州730020【正文语种】中文【中图分类】C9340 引言多属性决策是指决策者在现有决策信息的基础上，采用特定的方法对具有多个属性的备选方案进行比较与选择的过程。
广义正交模糊IOWA算子及其在多属性决策中的应用
㊀第52卷第4期郑州大学学报(理学版)Vol.52No.4㊀2020年12月J.Zhengzhou Univ.(Nat.Sci.Ed.)Dec.2020收稿日期:2020-07-02基金项目:国家自然科学基金项目(61806182);郑州大学青年教师专项科研启动基金项目(32220326);郑州大学经济学管理学新兴学科孵化研究基地项目(101/32610168);河南省高等学校青年骨干教师培养计划项目㊂作者简介:杜文胜(1987 ),男,河南濮阳人,副教授,主要从事决策理论与决策分析研究,E-mail:wsdu@;通信作者:闫雅楠(1996 ),女,河南许昌人,硕士研究生,主要从事多属性决策研究,E-mail:yan0251@㊂广义正交模糊IOWA 算子及其在多属性决策中的应用杜文胜,㊀闫雅楠(郑州大学商学院㊀河南郑州450001)摘要:广义正交模糊集是直觉模糊集和毕达哥拉斯模糊集的推广,诱导有序加权平均算子(IOWA)是一种常用的聚合算子㊂将广义正交模糊集和诱导有序加权平均算子相结合,引入了广义正交模糊诱导有序加权平均算子,研究了它的一些重要性质,同时提出了一种基于广义正交模糊诱导有序加权平均算子的多属性决策方法㊂通过一个评奖实例说明了该方法的有效性,并分析了参数q 对决策结果的影响,决策结果表明了广义正交模糊诱导有序加权平均算子的稳定性㊂关键词:广义正交模糊集;IOWA 算子;多属性决策中图分类号:O159;C934㊀㊀㊀㊀㊀文献标志码:A㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:1671-6841(2020)04-0053-07DOI :10.13705/j.issn.1671-6841.20202060㊀引言多属性决策是现代决策科学的一个重要组成部分㊂由于决策环境的复杂性,导致人们对于信息认知和表达的不确定性,决策评价者很难精确地表示决策事物的属性值㊂文献[1]提出了模糊集理论,可以描述不确定现象㊂随后,文献[2]对模糊集理论进行了推广,提出了直觉模糊集理论㊂文献[3-4]定义了直觉模糊集上的加法运算㊁数乘运算㊁乘法运算和指数运算㊂随着模糊理论的发展,模糊信息的适用范围在不断拓宽㊂美国学者Yager 提出了毕达哥拉斯模糊集理论[5]和广义正交模糊集理论[6]㊂毕达哥拉斯模糊集的约束条件是隶属度与非隶属的平方和不大于1㊂广义正交模糊集的约束条件是隶属度与非隶属度的q 次方之和小于或者等于1㊂文献[7]提出了一系列广义正交模糊加权算术平均和加权几何平均算子㊂文献[8]提出了一簇广义正交模糊Bonferroni 平均算子㊂文献[9]提出了一系列广义正交模糊Heronian 平均算子㊂文献[10]提出了一簇广义正交模糊Maclaurin 对称平均算子㊂随后许多专家学者在该领域做出了研究与探索[11-14]㊂美国学者Yager 首先提出了有序加权平均(ordered weighted average,OWA)算子的概念[15],并得到广泛应用㊂随后,Yager 又提出了诱导有序加权平均(induced ordered weighted average,IOWA)算子[16],该算子的特点是权重只与集结过程中的位置有关㊂自提出以来,IOWA 算子在很多研究领域被扩展和应用[17-21]㊂但是在广义正交模糊环境下的IOWA 算子及其应用仍待研究㊂本文利用IOWA 算子集结广义正交模糊信息,提出广义正交模糊IOWA (q -rung orthopair fuzzy inducedordered weighted average,q -ROFIOWA)算子,并考察算子的性质,将该算子应用在多属性决策问题中,通过实例分析了方法的有效性与稳定性㊂1㊀预备知识1.1㊀广义正交模糊集定义1[6]㊀设X 为一个非空一般集合,则定义在X 上的广义正交模糊集A 的表达式为A ={ x ,u A (x ),v A (x )⓪x ɪX },(1)郑州大学学报(理学版)第52卷图1㊀各模糊集的隶属度空间范围Figure 1㊀Membership spaces of differenttypes of fuzzy sets其中:u A (x )和v A (x )分别表述元素x 属于集合X 的隶属度和非隶属度,并且满足0ɤu A (x )ɤ1,0ɤv A (x )ɤ1以及0ɤu A (x )q +v A (x )q ɤ1(q ȡ1)㊂为了方便,记α=(u ,v )为一个广义正交模糊数㊂显然,广义正交模糊数的隶属度空间比毕达哥拉斯和直觉模糊的隶属度空间都大,如图1所示㊂定义2[7]㊀设α1=(u 1,v 1)和α2=(u 2,v 2)为两个广义正交模糊数,并且λ为任意正数,则广义正交模糊数的运算法则为:1)α1 α2=((u q 1+u q 2-u q 1u q 2)1/q,v 1v 2);2)α1 α2=(u 1u 2,(v 1q +v q 2-v q 1v q 2)1/q );3)λα1=((1-(1-u q 1)λ)1/q ,v λ1);4)αλ1=(u λ1,(1-(1-v q 1)λ)1/q)㊂定义3[7]㊀设α=(u ,v )为一个广义正交模糊数,则α的得分函数定义为S (α)=u q -v q ,α的精确函数定义为H (α)=u q +v q ㊂对于任意两个广义正交模糊数α1=(u 1,v 1)和α2=(u 2,v 2),则有:1)若S (α1)>S (α2),则α1>α2;2)若S (α1)=S (α2),则:若H (α1)>H (α2),则α1>α2;若H (α1)=H (α2),则α1=α2;若α1>α2或α1=α2,记作α1ȡα2㊂1.2㊀诱导有序加权平均算子定义4[16]㊀设有二元数对 πi ,a i ⓪(i =1,2, ,n ),称满足下述关系的f ω为诱导有序加权平均算子,f ω( π1,a 1⓪, π2,a 2⓪, , πn ,a n ⓪)=ðnj =1ωj b j,(2)其中:ω=(ω1,ω2, ,ωn )是与f ω相关联的加权向量,并满足0ɤωi ɤ1(i =1,2, ,n )及ðni =1ωi =1;二元数对 πi ,a i ⓪(i =1,2, ,n )称为有序加权平均对,第1个分量πi 称为诱导分量,第2个分量a i 称为数值分量;b j 表示(π1,π2, ,πn )中第j 大的元素所在的OWA 对中的第2个分量㊂2㊀广义正交模糊IOWA 算子2.1㊀基本定义定义5㊀设αi =(u i ,v i )(i =1,2, ,n )为一组广义正交模糊数,若q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)= nj =1ωj βj ,(3)则称q-ROFIOWA 为广义正交模糊诱导有序加权平均算子㊂定义5给出了IOWA 算子在广义正交模糊环境下的数学表达式㊂可以看出,IOWA 算子在实数环境与广义正交模糊环境下的数学表达形式是类似的㊂需要注意的是,在广义正交模糊环境下IOWA 算子需要遵循广义正交模糊集的运算法则(定义2)㊂根据定义2和定义5可以得到如下定理㊂定理1㊀设αi =(u i ,v i )(i =1,2, ,n )为一组广义正交模糊数,则利用q-ROFIOWA 算子集结后的结果仍然是广义正交模糊数,且q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂(4)㊀㊀证明㊀首先证明等式成立,再证明集结结果仍为广义正交模糊数㊂根据定义2可以得到ωj βj =((1-(1-u j q)ωj)1q,v j ωj )㊂因此45㊀第4期杜文胜,等:广义正交模糊IOWA 算子及其在多属性决策中的应用nj =1ωj βj =((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂所以q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂由于u q +v q ɤ1,则u q ɤ1-v q ,因此1-ᵑnj =1(1-u q j)ωj+ᵑnj =1v ωj qjɤ1-ᵑnj =1(1-(1-v q j))ωj+ᵑnj =1v ωj qj=1,故算子聚合的结果也是一个广义正交模糊数㊂2.2㊀算子性质性质1㊀置换不变性设( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)是任一数据向量,( πᶄ1,αᶄ1⓪, πᶄ2,αᶄ2⓪, , πᶄn ,αᶄn ⓪)是( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)的任一置换,则q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=q-ROFIOWA ( πᶄ1,αᶄ1⓪, πᶄ2,αᶄ2⓪, , πᶄn ,αᶄn ⓪)㊂㊀㊀证明㊀由于q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)= nj =1ωj βj 中βj 表示(π1,π2, ,πn )中第j 大的元素所对应的αi (i =1,2, ,n ),由于诱导分量是给定的,所以任一置换q-ROFIOWA ( πᶄ1,αᶄ1⓪, πᶄ2,αᶄ2⓪, , πᶄn ,αᶄn ⓪)= nj =1ωj βj 中的βj 是相等的,即q-ROFIOWA 算子具有置换不变性㊂性质2㊀幂等性设( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)是任一数据向量,若对任意的i 有αi =α=(u ,v ),则有q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=α㊂㊀㊀证明㊀由于αi =α=(u ,v )对于所有i 都成立,根据定理1可得q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u q j)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )=((1-ᵑnj =1(1-u q )ωj )1q,ᵑnj =1v ωj )=((1-(1-u q ))1q,v )=(u ,v )=α,即q-ROFIOWA 算子具有幂等性㊂性质3㊀单调性令αi =(u i ,v i )和βi =(s i ,t i )(i =1,2, ,n )为两组广义正交模糊数,若u i ɤs i ㊁v i ȡt i 对于任意i 都成立,则有q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤq-ROFIOWA ( π1,β1⓪, π2,β2⓪, , πn ,βn ⓪)㊂㊀㊀证明㊀记q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=(u ,v )和q-ROFIOWA ( π1,β1⓪, π2,β2⓪, , πn ,βn ⓪)=(s ,t )㊂由于u i ɤs i 对于所有的i 都成立,则有u q iɤs q i,进而可以得到ᵑni =1(1-u q i)ωiȡᵑni =1(1-s q i )ωi,所以(1-ᵑni =1(1-u q i)ωi)1qɤ(1-ᵑni =1(1-s q i)ωi)1q,也就是u ɤs ㊂同理可得v ȡt ,此时两个广义正交模糊数(u ,v )和(s ,t )的得分函数值有以下两种情况:若u <s v >t{,u =s v >t{或u <s v =t{,则u q -v q <s q -t q ;若u =s v =t{,则u q +v q =s q +t q ㊂根据定义3,两个广义正交模糊数(u ,v )和(s ,t )之间的大小关系是(u ,v )ɤ(s ,t ),即q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤq-ROFIOWA ( π1,β1⓪, π2,β2⓪, , πn ,βn ⓪)㊂性质4㊀界值性设αi =(u i ,v i )(i =1,2, ,n )为一组广义正交模糊数,则有55郑州大学学报(理学版)第52卷α-ɤq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤα+,其中:α-=(min ni =1(u i ),max ni =1(v i ));α+=(max ni =1(u i ),min ni =1(v i ))㊂㊀㊀证明㊀根据性质2可得q-ROFIOWA ( π1,α-⓪, π2,α-⓪, , πn ,α-⓪)=α-,q-ROFIOWA ( π1,α+⓪, π2,α+⓪, , πn ,α+⓪)=α+㊂㊀㊀根据性质3可得q-ROFIOWA ( π1,α-⓪, π2,α-⓪, , πn ,α-⓪)ɤq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪),q-ROFIOWA ( π1,α+⓪, π2,α+⓪, , πn ,α+⓪)ȡq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)㊂㊀㊀综上可得α-ɤq-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)ɤα+㊂3㊀实例分析本节用青年创新创业奖金的实例说明q-ROFIOWA 算子在多属性决策中的应用㊂最后将其与其他算子进行比较分析,观察其排序结果是否相同㊂3.1㊀基于广义正交模糊IOWA 算子的多属性决策方法设有一广义正交模糊环境下的多属性决策问题,有m 个备选方案x i (i =1,2, ,m ),n 个属性集G j (j =1,2, ,n ),ω=(ω1,ω2, ,ωn )T ㊂设决策者给出的广义正交模糊决策矩阵为R =αij =(u ij ,v ij )m ˑn ,αij =(u ij ,v ij )表示第i 个备选方案在第j 个属性下由决策者给出的评估值㊂假设诱导变量为评估值的得分函数,基于q-ROFIOWA 算子的多属性决策方法如下㊂步骤1㊀标准化决策矩阵㊂在实际的多属性决策问题中,属性往往分为效益型属性(I 1)与成本型属性(I 2)两种㊂因此需要用以下公式对决策矩阵进行标准化㊂αij =(u ij ,v ij )=(u ij ,v ij ),R j ɪI 1,(v ij ,u ij ),R j ɪI 2㊂{㊀㊀之后根据q -阶正交模糊数的大小比较规则将诱导变量排序㊂步骤2㊀利用q-ROFIOWA 算子集结决策矩阵,得到每个备选方案的综合属性值αi ㊂αi =q-ROFIOWA ( π1,α1⓪, π2,α2⓪, , πn ,αn ⓪)=((1-ᵑnj =1(1-u j q)ωj)1q,ᵑnj =1v j ωj )㊂㊀㊀特别说明的是,在计算时确定权重ω的方法有很多种,这里仅介绍OWA 算子常用的正态分布赋权法[22]㊂徐泽水教授从正态分布出发,提出了离散正态分布,给出了位置权重向量,ωj =(e-(j -μn )22σ2n)/(ðn i =1e-(i -μn )22σ2n),j =1,2, ,n ,(5)其中:μn 代表评价者对第n 个指标评分的数学期望;σn 代表评价者对第n 个指标评分的标准差㊂步骤3㊀根据定义3计算每个备选方案的得分函数值,将备选方案排序并进行分析㊂3.2㊀问题描述假设某公司设立一项青年创新创业奖金,分为3个梯度的金额奖励,每年对本市的3个青年创业团队进行资助,这3个团队记作{x 1,x 2,x 3}㊂通过层层选拔进入最终评议的3支队伍,有5个属性来评价其项目优劣㊂属性1表示经营情况(G 1),属性2表示发展潜力(G 2),属性3表示科创能力(G 3),属性4表示社会责任(G 4),属性5表示环境友好(G 5)㊂假设ω=(0.22,0.18,0.25,0.17,0.18)Τ,该项奖金在5个属性下的决策信息以广义正交模糊集的形式给出,如表1所示㊂3.3㊀决策过程步骤1㊀由于所有属性都是效益型属性,无须对其进行标准化处理㊂根据定义3广义正交模糊数的得分函数规则(q =3),将诱导变量排序,得到对应的综合信息决策矩阵,如表2所示㊂步骤2㊀由广义正交模糊诱导有序加权平均算子集结决策矩阵,得到不同团队的综合属性值㊂即65㊀第4期杜文胜,等:广义正交模糊IOWA 算子及其在多属性决策中的应用表1㊀广义正交模糊决策矩阵Table 1㊀Q -rung orthopair fuzzy decision matrix团队G 1G 2G 3G 4G 5x 1(0.6,0.2)(0.4,0.2)(0.5,0.4)(0.3,0.3)(0.7,0.4)x 2(0.5,0.2)(0.6,0.4)(0.4,0.3)(0.4,0.4)(0.6,0.1)x 3(0.8,0.4)(0.5,0.3)(0.6,0.5)(0.3,0.4)(0.6,0.3)表2㊀综合信息决策矩阵Table 2㊀Comprehensive information decision matrix团队12345x 1(0.7,0.4)(0.6,0.2)(0.5,0.4)(0.4,0.2)(0.3,0.3)x 2(0.6,0.1)(0.6,0.4)(0.5,0.2)(0.4,0.3)(0.4,0.4)x 3(0.8,0.4)(0.6,0.3)(0.5,0.3)(0.6,0.5)(0.3,0.4)α1=(0.5535,0.2980),α2=(0.5225,0.2361),α3=(0.6259,0.3671)㊂㊀㊀步骤3㊀计算综合属性值的得分函数,可以得到s (α1)=0.1431,s (α2)=0.1295,s (α3)=0.1957㊂㊀㊀因此创业团队的排序结果为x 3>x 1>x 2㊂根据排序结果可知,应对团队3进行第1梯度的资助,对团队1进行第2梯度的资助,对团队2进行第3梯度的资助㊂图2㊀q-ROFIOWA 算子随q 变化的决策结果Figure 2㊀Decision results of the q-ROFIOWAoperator changing with q3.4㊀参数对排序结果及最优选项的比较为了考察算子中参数q 对排序结果的影响,我们赋予参数不同取值对其得分函数及排序结果进行观察㊂参数q ȡ2的取值对结果的影响较大,给广义正交模糊IOWA 算子中的参数q 赋予不同的值,则得分函数和排序结果如图2所示㊂从图中可以看出,随着q 的增大,团队的得分值减小,q ȡ3时,不同的q 值得到不同的得分,但是排序结果相同㊂因此可以得出广义正交模糊诱导有序加权平均算子具有较强的稳定性㊂3.5㊀比较分析为了验证该方法的优点,将本文提出的多属性决策方法与现有的方法进行对比,这些方法包括文献[7]提出的基于广义正交模糊加权算数平均算子及基于广义正交模糊加权几何平均算子的多属性决策方法,文献[8]提出的基于广义正交模糊Bonferroni 平均算子多属性决策方法,以及文献[9]提出的基于广义正交模糊Heronian 平均算子的多属性决策方法㊂利用这些方法解决上述问题的得分函数值和排序结果如表3所示㊂表3㊀利用不同的方法得到的得分函数和排序结果Table 3㊀Score functions and ranking results obtained by different methods方法团队的得分函数排序结果基于广义正交模糊加权算数平均算子的多属性决策方法(q =3)[7]s (α1)=0.1399,s (α2)=0.1193,s (α3)=0.1972x 3>x 1>x 2基于广义正交模糊加权几何平均算子的多属性决策方法(q =3)[7]s (α1)=0.0799,s (α2)=0.0835,s (α3)=0.0995x 3>x 2>x 1基于广义正交模糊Bonferroni 平均算子的多属性决策方法(s =t =1,q =3)[8]s (α1)=0.1152,s (α2)=0.1059,s (α3)=0.1481x 3>x 1>x 2基于广义正交模糊加权Heronian 平均算子的多属性决策方法(s =t =1,q =3)[9]s (α1)=0.0348,s (α2)=0.0263,s (α3)=0.0468x 3>x 1>x 2基于广义正交模糊诱导有序加权平均算子的多属性决策方法(q =3)s (α1)=0.1431,s (α2)=0.1295,s (α3)=0.1957x 3>x 1>x 27585郑州大学学报(理学版)第52卷㊀㊀不同的多属性决策方法具有不同的特点,其中文献[7]的方法没有考虑变量间的相关关系;文献[8-9]的方法可以考虑两个变量间的相关关系;但文献[7-9]的方法都没有区分不同位置之间的权重关系㊂本文提出的多属性决策方法的特点在于权重值只与集结过程中的位置有关,更适合解决属性较多情况下的实际问题㊂从表3中可知,虽然不同的决策方法得到的得分函数值不同,但只有基于广义正交加权几何平均算子的多属性决策方法的排序结果为x3>x2>x1,其他方法的排序结果都是x3>x1>x2,与本文的决策结果相同㊂说明基于广义正交模糊诱导有序加权平均算子的多属性决策方法具有有效性㊂4 结束语本文在IOWA算子的基础上提出了广义正交模糊IOWA算子,同时研究了该算子的4个性质,包括置换不变性㊁幂等性㊁单调性和界值性㊂另外基于q-ROFIOWA算子提出了一种新的解决模糊多属性决策问题的方法,并且分析了不同参数q对决策结果的影响,说明了该算法的稳定性㊂通过实例以及比较分析,说明了该算子在多属性决策应用中的有效性㊂参考文献:[1]㊀ZADEH L A.Fuzzy sets[J].Information and control,1965,8(3):338-353.[2]㊀ATANASSOV K T.Intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets and systems,1986,20(1):87-96.[3]㊀ATANASSOV K T.New operations defined over the intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets and systems,1994,61(2):137-142.[4]㊀DE S K,BISWAS R,ROY A R.Some operations on intuitionistic fuzzy sets[J].Fuzzy sets and systems,2000,114(3):477-484.[5]㊀YAGER R R.Pythagorean membership grades in multicriteria decision making[J].IEEE transactions on fuzzy systems,2014,22(4):958-965.[6]㊀YAGER R R.Generalized orthopair fuzzy sets[J].IEEE transactions on fuzzy systems,2017,25(5):1222-1230.[7]㊀LIU P D,WANG P.Some q-rung orthopair fuzzy aggregation operators and their applications to multiple-attribute decision mak-ing[J].International journal of intelligent 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The q-rung orthopair fuzzy IOWA(q-ROFIOWA)operator was introduced,and some of its important properties were investigated.The method based on the proposed operator was developed and applied to multi-attribute decision making problems.An example of the award evaluation was illustrated the effec-tiveness of the method.The influence of parameter within in the operator on the decision results was ana-lyzed,which showed the robustness of the q-ROFIOWA operator.Key words:generalized orthopair fuzzy set;IOWA operator;multi-attribute decision making(责任编辑:方惠敏)。
基于模糊集合理论和OWA算子的群决策偏好集结模型
基于模糊集合理论和 Ｏ ＷＡ算子的群决策偏好集结模型
林 宏 杰
（ 厦门理工学院管理科学系，福建 厦 门 ３ １２ ） ６ ０４ ［ 摘 要 ］将 Ｏ ＷＡ算子和模糊 集合 理论 应用到群 决策偏好 集结领域 ，给 出了相应 的集 结群 决策信息 的
模型和 实施步骤．最后 通过 一个算例 的演算来说 明如何 将模糊 集合方 法和 Ｏ ＷＡ算子应 用到群 决策偏好 集 结领域 ，并给 出算例 分析 ．
维普资讯
第 １ ５卷
第 ２期
厦 门理工 学院学报
Ｊｕｎ ｌｏ ａ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙｏ ｅ ｈ ｏｏ ｙ ｏ ｒ ａ ｆＸｉｍｅ ｎｖ ｒｉ ｆ ｃ ｎ ｌｇ ｔ Ｔ
Ｖ０． ５ Ｎｏ ２ １ Ｉ ．
２０ ０７年 ６月
Ｊｎ ０７ ｕ ．２ ０
子以来 ，该算子已在决策分析、模糊逻辑控制、神经网络、遗传算法 、专家系统 、市场研究等许多领
域具 有广 泛 的应 用 ，而本文 则 主要关 心 Ｏ ＷＡ在群 决 策偏 好 信息集 结这 方 面的应 用．
文献 ［ ］给出的 Ｏ ２ ＷＡ方法所处理 的决 策信息的数据均为确定数值 的情形．但是 ，由于客观现 实的复杂性及人类思维 的模糊性 ，人们在处理一些决策问题时所得到的决策信息往往具有不确定性． 如何将 Ｏ ＷＡ扩展成为能够处理带有模糊信息的群决 策问题已经 引起人们 的重视，文献 ［ ］提出了 ３ 种 ＩＯ Ｆ ＷＡ算子 ，它定义 了模 糊语 言相 对应 的三角 模糊 数 ，并 将模 糊语 言评 估 及其 相对 应 的三角 模
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厦 门理 工 学 院学 报
２０ ０ ７拄
定理 １ 设 ａ＝ ［ 一 ］， ＝ ［ 一 ］， ａ ，ａ ｂ ｂ ，ｂ 则
一种基于模糊偏好矩阵和IOWA算子的模糊群决策方法
Ａｎ Ｉ ｐ ｏ ｅ ｒ ｕ ｃ ｓｏ － ａ ｉ ｇＭ ｅ ｈ ｄ Ｂａ ｅ ｍ ｒ ｖ ｄ Ｇ ｏ ｐ Ｄｅ ｉｉ ｎ ｍ ｋ ｎ ｔ ｏ ｓ ｄ
ｏ Ｆｕｚ ｙ Ｐｒ ｆ ｒ ｎ ｅａ Ｏ Ｗ Ａ ｎ ｚ ｅ ｅ ｅ ｃ ｎｄ Ｉ
ＬＵ ａ ｗｅ ＺＨＡＮＧ Ｉ Ｘｉｏ ｎ， Ｙｕ
Ａｂｓ ｒ ｃ ： ｎ ｉ ｒｖ ｄ ｆｚｙ ｇｏ ｐｄ ｃｓｏ － ｋ ｎ ｔｏ ｏ ｔｉ ｅｅ ｔ ｇａ ｄｗｅｇ ｔ ｅｅｍｉｉｇｉ ｐ ｅｅ ｔｄ ｔ ａ ｔ Ａ ｍｐｏ ｅ ｕ ｚ ｒ ｕ ｅ ｉｉｎ ｍａ ｉｇｍｅｈ ｄｆｒｍｅｒ ｓ ｌｃｉ ｎ ｉｈ ｔｒ ｎｎ ｒｓ ｎｅ ｃ ｎ ｄ ｓ
（ ｏ ｅ ｅｆ Ｉ ｏｍａｉｎ ｃ ｎｅ ｎ ｅｈ ｏｏｙ ＨａＮ ｎＮ ｒ ｌ ｎｖ￣ ｔ ， ａｋ ｕ ５ １ ５ ，ｈｎ ） Ｃ ｌｇ ｆ ｒ ｔ ｉ ｃ ｄＴｃ ｎ ｌ ， ｉ ａ ｏｍａ ｉ ｉ Ｈ ｉ ７ ８ Ｃ ｉａ ｌ ｏ ｎ ｏＳ ｅ ａ ｇ Ｕ ｅ ｙ ｏ １
点 使得 基 于模 糊 偏好 关 系矩 阵 的 决 策方 法 近 年来 越来 越 受到 人们 的重 视 ．
群 偏好 基础 上 选取 最优 方 案． 对 实践对 指 标筛 选 针
ｇ ｅ ｏ ｇ ｏ ｐ ｆ ｚ ｙ ｐｒｆ ｒ ｎｃ ｉ ｇ Ｉ ａｔｄ ｔ ｒ ｕ ｕ ｚ ｅ ｅ ｅ ｅ ｈｙ ｕｓｎ ＯＷ Ａ ｐｅａｔｒｗｉｈ ｃ ｒｅ ｔ ｄ ｅ ｐｅ ｔｗｅｇ ｓ ｉ ｕｃｉ ｎ． ｏ ｒ ｏ ｔ ｏ ｒ ｃ ｅ ｘ ｒ ｉｈｔａ ｎｄ ｔｏ Ｔｈｅ ｉ ｄｉａｏ ｓｓ — ｎ ｃ ｔｒ ｉ ｅ ｌ ｅｅ ｈｅｄｅ ｅ ｍｉ ｅ ｉ ｈ ． ｅ ｔｄ ｂｙ ｔ ｔ ｒ ｎ ｄ ｗｅ ｇ ｔ Ｔｈｉ ｔ ｏｄ ｃ ｎ ｂ ｅ ｏ ｃ ｌｕｌｔ ｈｅｒ ｍａ ｎ ｎ ｎｄ ｃ ｔ ｒ Ｓ ｗｅ ｇ ｔｗｉｈ ｕｔｒ —ｃ ｌ ｓｍｅ ｈ ａ ｅ ｕｓ ｄ ｔ ａｃ ａｅｔ ｅ ｉ ｉ ｇ ｉ ｉ ａ ｏ ’ ｉ ｈ ｔ ｏ ｅ ｏ － ｌ ｃｉ ｇ ｔ ｘ ｅ ｔ Ｓｐｒｆ ｒ ｎｃ ｎｆｒ ｔｏ ｅ ｔｎ ｈｅｅ ｐ ｒ ’ ｅｅ ｅ ｅｉ ｏ ｍａ ｉｎ．
一种多粒度语言的多属性群决策方法
一种多粒度语言的多属性群决策方法张小刚;张亮;王端民;翟楠楠【摘要】针对多粒度语言的多属性群决策问题，文章提出了一种基于二元语义及改进多准则妥协解排序（VIKOR）的群决策方法。
首先将不同粒度语言的偏好信息一致化为由基本语言评价集表示的相同粒度二元语义信息；在专家属性未知且方案属性不完全的情形下，分别运用有序加权平均算子（2-tuple ordered weigh-ted averaging ，T-OWA）与相对熵从客观角度计算权重；为进一步挖掘决策数据的内在规律，引入灰色关联系数改进评判矩阵，结合该矩阵利用 VIKOR 方法刻画最优方案。
算例结果验证了该方法的有效性和可行性。
%In view of multiple attributes group decision-making problem with multi-granularity linguis-tics ,a new approach based on two-tuple linguistics and VlseKriterijumska Optimizacija I Kompromis-no Resenje(VIKOR) is proposed .Firstly ,the multi-granularity linguistic preference information is u-niformed into the form of two-tuple linguistic information in basic linguistic term set .The unknown-attribute weight information of different expert and the incomplete weight information of attribute are determined by two-tuple ordered weighted averaging (T-OWA ) operator and relative entropy .A new decision matrix ,which is improved by gray relational coefficient to further investigate the inherent law of decision-making data ,is used to characterize the optimal solution in VIKOR method .Finally ,the feasibility and effectiveness of the proposed method are illustrated by the example .【期刊名称】《合肥工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(039)006【总页数】5页(P781-785)【关键词】多属性群决策;二元语义;灰色关联矩阵;相对熵;改进多准则妥协解排序【作者】张小刚;张亮;王端民;翟楠楠【作者单位】空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安 710051;空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安 710051;空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安 710051;空军工程大学装备管理与安全工程学院，陕西西安 710051【正文语种】中文【中图分类】N945.25多粒度语言的多属性群决策问题是决策者采用不同粒度语言信息数目(简称粒度)表示的语言评价集测评有限备选方案,按照某种规则集结为决策群体的一致或妥协的群体偏好序[1]。
基于模糊偏好关系的工艺资源评价与选择的多准则群决策方法
ｎ ｅ ｓ ｓ ，ｆ ｏｒ ｍ ａ ｃ ｃ ｒａ ｕ ｃ ｙ ａ ｎｄ ｐｏ ｓ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ，ａ ｒ ｅ ｄ ｉ ｖ ｉ ｄ ｅ ｄ ｉ ｎ ｔ ｏ ｑ ｕ ｎｔ ａ ｉ ｔ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｐ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｎｄ ａ ｑ ｕ ｌｉ ａ ｔ ａ － ｔ ｉ ｖ ｅ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｐ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ．Ｔｈ ｅ ｑ ｕ ｎｔ ａ ｉ ｔ ａ ｔ ｉ ｖ ｅ ｄ ｅ ｐ ｉ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｑ ｕ ａ ｌ ｉ ｔ ａ ｉｖ ｔ ｅ ｆ ｕｚ ｚ ｙ ｐ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｃ ｉｔ ｒ ｅ ｉａ ｒ ｉ ｓ ｇ ｉ ｖ ｅ ｎ，ａ ｎｄ ｔ ｈ ｅ ｆ ｕ ｎ ｃ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏｒ ｆ ｑ ｕ ｎｔ ａ ｉ ｔ ａ ｃ ｉ ｖ ｅ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｐ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｓ ｃ ｉｔ ｒ ｅ ｉａ ｒ ｍｅ ｍｂ ｅ ｒ ｓ ｈ ｉ ｐ ｉ Ｓ ｅ ｓ ｔ ａ ｂｌ ｉ ｓ ｈ ｅ ｄ ．Ｂａ ｓ ｅ ｄ ｏ ｎ ｈｅ ｔ Ｃ— Ｉ Ｏ— Ｗ Ａ ，ｔ ｈ ｅ ａ ｇ ｇ ｒ ｅ ｇ ａ ｔ ｅ ｍｅ ｔ ｈ ｏ ｄ ｏ ｆ ｈｅ ｔ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｐ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｒ ｅ ｌ ａ ｉｏ ｔ ｎ ｍａ ｔ ｒ ｉ ｃ ｅ ｓ ｆ ｏ ｒ ｍｕ ｌ ｔ ｉ — ｃ ｉｔ ｒ ｅ ｉａ ｒ ｎｄ ａ ｍｕ ｌ ｔ ｉ — ｅ ｘ ｐ ｅ ｒ ｔ ｓ ａ ｓ ｓ ｅ ｓ ｓ ｍｅ ｎ ｔ ｒ ｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｉ ｓ ｓ ｔ ｕ ｄｉ ｅ ｄ．ｗｈ ｉｃ ｈ ｉ Ｓ ｕｓ ｅ ｄ ｔ ｏ ｏ ｂ ｔ ｉｎ ａ ｈｅ ｔ ｃ ｏ ｎ ｓ ｉ ｓ ｔ ｅ ｎ ｃ ｙ ｆ ｕ ｚ ｚ ｙ ｐ ｒ ｅ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｃ ｅ ｍａ ｔ ｉｘ ｒ ．Ｔ ｈ ｅ ｎ，
基于偏好关系的决策方法及应用研究
《基于偏好关系的决策方法及应用研究》1. 概述基于偏好关系的决策方法是指在进行决策时，考虑到个体或者群体的偏好关系，在多个可选方案之间进行选择的一种决策方法。
偏好关系，可以理解为个体或群体对不同方案的偏好程度，而基于偏好关系的决策方法则尝试通过量化这种偏好关系，以便为决策提供科学的依据。
2. 偏好关系的量化方法在进行偏好关系的量化时，我们可以采用数学模型或者实证研究的方法。
常见的数学模型包括偏好矩阵、偏好函数等，而实证研究则可以通过实验、调查问卷等方式来获取偏好关系的数据。
这些方法都旨在将主观的偏好关系转化为客观的量化指标，以便进行后续的决策分析。
3. 应用场景及研究案例基于偏好关系的决策方法在现实生活中有着广泛的应用。
比如在市场营销中，企业可以通过调查消费者的偏好关系来调整产品定价和推广策略；在项目管理中，团队可以利用成员的偏好关系来进行任务分配和决策制定。
学术界也有许多研究案例探讨了基于偏好关系的决策方法在各个领域的应用，如医疗决策、投资决策等。
4. 个人观点和理解我个人认为，基于偏好关系的决策方法是一种能够充分考虑到个体或群体主观意愿的方法，它可以很好地弥补传统决策方法在主观性处理上的不足。
而且，随着数据科学和人工智能的发展，我们也能够更加准确地获取和分析偏好关系数据，使得基于偏好关系的决策方法变得更加科学和精准。
总结回顾通过对基于偏好关系的决策方法的探讨，我对这种决策方法有了更深入的理解。
它不仅可以帮助我更好地理解自身的偏好关系，还可以在日常生活和工作中为我提供更科学的决策依据。
未来，我也希望能够进一步深入研究基于偏好关系的决策方法在不同领域的应用，为实际问题的解决提供更多新的思路和方法。
5. 基于偏好关系的决策方法的优势基于偏好关系的决策方法具有许多优势。
它能够更好地反映个体或群体的真实意愿和偏好，避免了决策过程中的盲目性和强制性。
基于偏好关系的决策方法能够提高决策的科学性和准确性，通过量化偏好关系，可以更加客观地进行决策分析和比较。
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基于模糊偏好关系及OWA算子的多准则群决策方法摘要: 文章基于决策者给出的语言变量评估结果并借助于模糊理论研究了多人多准则群决策问题，根据一种基于加权的新型模糊偏好关系及计算模糊关系的解析表达式，集结不同决策者的偏好信息，得出群体偏好信息。
此外，为了使专家载决策时能就所决策的问题达成最大程度的一致，本文提出了一些“软的”度量专家在决策时所达成的一致程度的一些指标及计算方法，为进一步调整专家决策时的评估信息提供了依据。
关键词：模糊偏好关系；OW A算子；模糊多准则群决策. 模糊偏好关系矩阵Multi-Criteria Group Decision-Making Based on Fuzzy Preference Relation andOWA OperatorAbstract: This paper investigates the multiperson-multicertia decision-making based on fuzzy set theory and the linguistic evaluation of the experts. According to a new weighed fuzzy preference relation and its computation method to get the individual preference relations. Then these individual relations are aggregated based the OWA operator to attain the objective preference relation. In addition to obtain the maximum degree of consensus or agreement between the set of experts on the solution set of alternatives some measures are presented.Keywords: fuzzy preference relation; OWA operator; multi-criteria group decision-making Fuzzy preference relation matrix多准则群决策的实质是通过多位专家的参与从一组备选方案中选择最佳方案。
一般首先每位专家首先依据自己的偏好给出个人对每个方案在不同准则下的评估结果，然后再对每位专家的评估结果用一定的方法进行集结形成最终的评估结果。
由于在评估过程中专家对一些准则下方案的评估信息往往带有不确定性和主观成分，所以模糊集理论常被用来表示某些方案的评估结果，所以本研究中的专家评估结果大多采用三角型的模糊数表示。
模糊多准则群觉策问题一般包含两个阶段：个人偏好关系的集结和在所集结的偏好关系基础上选取最优方案。
如何定义模糊偏好关系，并在此基础上形成群体的模糊偏好关系，就成为解决模糊多准则群决策的关键。
基于个人评估结果构造模糊偏好关系的算法文献中已经存在不少，但是它们大多计算复杂，不利于计算机进行计算组成实际的决策系统，在实际中难于操作。
本论文利用Yuan 定义的模糊偏好关系构造一种多准则决策中模糊偏好矩阵的高效算法，在评估结果为三角模糊数的情况下，构造了一个基于模糊偏好关系和模糊大多数的群决策模型。
1预备知识在文献[1]中，通过对Yuan 的模糊偏好关系定义的改进，得出了三角模糊数表示的一种新的加权模糊偏好关系：j i P A A ~,~(μ）=i P A ~(μj A ~，0Z )=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+05.00)(21βββββ （1）,4321βββββ+++=ααβαααd A A U j i A A U j i ⎰>--=0)~~(:1)~~.(,ααβαααd A A Lj i A A Lj i ⎰>--=0)~~(:2)~~.(ααβαααd A A U j i A A U j i ⎰<--=0)~~(:3)~~.(,4:()0.()Li j Li j A A A A d αααβαα-<=-⎰其中L j i A A α)~~(-和U()i j A A α-分别为模糊数j i A A ~~-的左隶属函数和右隶属函数，α表示可能性水平。
由其导出的隶属函数的解析式：j i P A A ~,~(μ）=⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===>≤≤++--≥≥<-++-+≤≤<>≥≥05.00,0,0)]4()(2[(0,0,02)4()[(10,0,000,0,01233323c b a c b a c b a b c c c c b a a c b a a b a c b a c b a （2）2模糊群决策模型在考虑决策问题时，假设有一有限的决策方案集为X={n x x x ,,21},n ≥2,其中i x 为第i 个备选方案。
设决策群体为E={m e e e ,,,21 }, m ≥2,其中k e 为第k 个决策者。
C={q c c c ,,,21 }为评估准则集.记tk g (i x )为专家t e 对方案i x 关于第k 个准则的评估结果，其形式为三角模糊数（a ,b ,c ）型的语言变量，a ,b, c 为实数，且其中a ≤b ≤c. ),(j i t k x x r 为专家t e 在准则k c 下关于被选方案i x 和j x 的模糊偏好关系：),(j i tk x x r =P()(),(j tk i tk x g x g ) （3）专家t e 对方案i x 和j x 关于所有准则的模糊偏好关系 ),(j i tx x r =∑=⨯qk k 1ω ),(j i tkx x r ,∑=qk k1ω=1 （4）其中k ω 为每个评估准则的权重，其形式为语言变量，如下表所示： 这时我们将获得专家t e 的个人模糊偏好矩阵： n x x x 21tP =n x x x 21⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ijP2．1群体模糊偏好矩阵的获得定义6(OWA 算子) 设F:I I n→，若∑==ni i i n b v a a a F 121),,,( ，其中Tn v v v V ),,,(21 =是与F 相关联的加权向量，]01[∈i v ，∑=nk k v 1=1，且i b 是一组数据i a (i =1,2,…..n)中第i 个最大的元素，称F 为n 维OWA 算子[13]。
OWA 算子填补了“max ”和“min ”算子之间的空白，可以通过调整权重向量V 获得介于最大和最小之间的运算关系。
权重向量V 可以通过量化函数Q(x)来获得，如下：)1()(ni Q n i Q v i --= （5） 在群决策中，最优方案一定是被大多数专家所接受的，这里的大多数是一个模糊的概念，本文我们通过“Most ”,“ At least half ”, “As many as possible ”这三种模糊大多数算子来表达这种模糊大多数的概念，通过它们来计算权重向量。
具体形式如下：⎪⎩⎪⎨⎧<≤≤-->=ax b x a a b ax bx x Q 01)( a ,b ∈[0 1], x ∈[0 1] 下图是这三种OWA 算子具体形式：x 0.5“Most ” “At least half ” “As many as possible ”用上面定义的模糊大多数算子对各位专家各自的模糊偏好矩阵进行集结，就形成群体模糊偏好矩阵c P ：),,,(21m ij ij ij Q c ij p p p F p =（i ≠ j ） （6）2．2 最优方案的选择过程在获得的群体模糊偏好矩阵的基础上，用两个量化因子i QGDD 和i QGNDD 来衡量在模糊大多数意义下每个被选方案优于其它所有方案的程度和不劣于其它所有方案的程度。
这两个量化因子的计算都是基于以上的OWA 算子的，具体的定义如下：（1）优于其它所有方案的程度的的量化因子 对于任一i x ，用iQ G D D 来表示ix 在模糊大多数意义上优于其它所有被选方案的主导程度，如下：i Q G D D =),,,1,(i j n j p F c ij Q ≠= （7）（2）不劣于其它所有方案的程度的量化因子 对于任一i x ，用i Q G N D D 表示每个被选方案在模糊大多数意义上不劣于其它所有方案的程度。
i QGNDD =),,,1,1(i j n j p F s ji Q ≠=- （8） 其中 }0,m a x {c ij c ji s ji p p p -=，表示j x 严格优于i x 。
基于以上的两个量化因子最优方案的选择步骤如下：step1：运用以上的两个量化因子于每一个被选方案，获得以下的两个方案集合：j Xx i i i QGDD QGDD QGDD X X X X j ∈=∈=sup ,|{}，j Xx i i i Q GND D QGNDD QGNDD X X X X j ∈=∈=sup ,|{}step2：=QGCP X QGNDD QGDD X X ⋂ ,如果,φ≠QG CP X 结束选择，否则，继续。
step3： 根据每个方案优于其它所有方案的程度的大小或者不劣于其它所有方案的程度的大小继续选择：（1） 基于每个方案优于其它所有方案的程度大小的选择过程QG-DD-NDD 运用i QGDD 对于方案集X,得到QGDD X ，如果#（QGDD X ）=1，这时获得的将是最优方案，否则，使NDD DD QG X --={j X x i Q G D D i i QGDD QGDD X X X QGDDj ∈=∈sup ,|}便可得到最优方案。
（2）基于每个方案不劣于其它所有方案的程度大小的选择过程 QG-NDD-DD运用i QGNDD 对于方案集X,得到QGNDD X ，如果#（QGNDD X ）=1，这时获得将是最优方案，否则，使DD NDD QG X --={j X x i Q G ND D i i QGDD QGDD X X X QGNDDj ∈=∈sup ,|}便可得到最优方案。
2．3最优方案的部分排序除了可以得到备选方案的完全排序之外，有时还需要得出备选方案之间的部分排序，基于上面得出的两两备选方案之间的模糊偏好关系（式（3）），首先通过OWA 算子聚合所有评估专家对于该两对备选方案的模糊偏好关系，即对于任意i x ，X j x ∈，12R(,)((,),(,),,(,))m i j Q i j i j i j x x F r x x r x x r x x = （9）其中Q 为式（5）定义的OWA 算子。