人教版八年级数学下册18.2专题训练特殊平行四边形的性质和判定(含答案)
18．2 专题训练特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．2．在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB 的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．4．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF ＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．5．如图所示，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD 的中点．(1)当四边形ABCD是矩形时，四边形EFGH是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH为正方形？并说明理由．6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.7．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN是菱形．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.(1)判断△BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．9．如图，在?ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形．10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD 上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．(1)求证：四边形PBQD为平行四边形；(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，点P从点A出发，以 1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．11．如图1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.图1 图2(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．14．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，分别延长OA，OC 到点E，F，使AE ＝CF，依次连接B，F，D，E各点．(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC ＝50°，则当∠EBA＝20° 时，四边形BFDE是正方形．15．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．17．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点E是AC的中点，AC＝2AB，∠BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．18．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. 求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．19．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．20．已知：如图，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．参考答案18．2 专题训练特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE 是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°．又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．2．在△ABC中，M是AC边上的一点，连接BM.将△ABC沿AC翻折，使点B落在点D处，当DM∥AB时，求证：四边形ABMD是菱形．证明：∵AB∥DM，∴∠BAM＝∠AMD.由折叠性质得：∠CAB＝∠CAD，AB＝AD，BM＝DM.∴∠DAM＝∠AMD.∴DA＝DM＝AB＝BM.∴四边形ABMD是菱形．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB 的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.(1)求证：四边形AEBD是矩形；(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形？并说明理由．解：(1)证明：∵点O为AB的中点，∴OA＝OB.又∵OE＝OD，∴四边形AEBD是平行四边形．∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°．∴四边形AEBD是矩形．(2)当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．理由：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD.又∵∠BAC＝90°，∴AD＝BD.∴矩形AEBD是正方形．4．如图，在?ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF ＝AE，连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.又∵CF＝AE，∴BE＝DF.又∵BE∥DF，∴四边形BFDE为平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°．∴四边形BFDE是矩形．(2)∵四边形BFDE是矩形，∴∠BFC＝90°．∴∠BFD＝90°．在Rt△BFC中，由勾股定理，得BC＝CF2＋BF2＝62＋82＝10.∴AD＝BC＝10.又∵DF＝10，∴AD＝DF.∴∠DAF＝∠DFA.∵AB ∥CD ，∴∠DFA ＝∠FAB.∴∠DAF ＝∠FAB.∴AF 是∠DAB 的平分线．5．如图所示，E ，F ，G ，H 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，AD 的中点．(1)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EFGH 是菱形，请说明理由；(2)当四边形ABCD 满足什么条件时，四边形EFGH 为正方形？并说明理由．解：(1)理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD.由题意，得EF ＝12AC ，EH ＝12BD ，GH ＝12AC ，GF ＝12BD ，∴EF ＝EH ＝GH ＝GF.∴四边形EFGH 是菱形．(2)当四边形ABCD 满足AC ＝BD 且AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为正方形．理由：∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AB ，BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC.同理：EH ∥BD ，EH ＝12BD ，GF ＝12BD ，GH ＝12AC.又∵AC ＝BD ，∴EF ＝EH ＝GH ＝GF.∴四边形EFGH 是菱形．∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴四边形EFGH是正方形．6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，点E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.(1)求证：四边形EBFC是菱形；(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝HC.又∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形．又∵AH⊥BC，∴四边形EBFC是菱形．(2)∵四边形EBFC是菱形，∴∠ECH＝∠FCH＝12∠ECF.∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠CAH＝12∠BAC.∵∠BAC＝∠ECF，∴∠CAH＝∠FCH.∵AH⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝90°．∴∠FCH＋∠ACH＝∠ACF＝90°．∴AC⊥CF.7．如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM＝DN，MG∥AD，NF∥AB，点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.求证：四边形AMEN是菱形．证明：∵MG∥AD，NF∥AB，∴四边形AMEN是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD.∵BM＝DN，∴AB－BM＝AD－DN，即AM＝AN.∴四边形AMEN是菱形．8．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E，P分别在AD，BC上，且DE＝BP＝1.(1)判断△BEC的形状，并说明理由；(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断．解：(1)△BEC是直角三角形．理由：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠BAD＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2.由勾股定理，得CE＝CD2＋DE2＝22＋12＝5，BE＝AB2＋AE2＝22＋（5－1）2＝2 5.∴CE2＋BE2＝5＋20＝25.∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2.∴∠BEC＝90°．∴△BEC是直角三角形．(2)四边形EFPH为矩形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形．∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.∴四边形AECP是平行四边形．∴AP∥CE.又∵BE∥DP，∴四边形EFPH是平行四边形．又∵∠BEC＝90°，∴四边形EFPH是矩形．9．如图，在?ABCD中，AB＝DB，∠ABD的平分线BE交AD于点E，∠CDB的平分线DF交BC于点F.求证：四边形DFBE是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD∥AB.∴∠CDB＝∠ABD.∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠FDB＝12∠CDB，∠EBD＝12∠ABD.∴∠FDB＝∠EBD.∴DF∥EB.又∵AD∥BC，∴四边形DFBE是平行四边形．∵AB＝DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD.∴∠DEB＝90°．∴四边形DFBE是矩形．10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，点P是线段AD 上一动点(不与点D重合)，PO的延长线交BC于Q点．(1)求证：四边形PBQD为平行四边形；(2)若AB＝3 cm，AD＝4 cm，点P从点A出发，以 1 cm/s的速度向点D匀速运动．设点P运动时间为t s，问四边形PBQD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，OD＝OB.∴∠PDO＝∠QBO.在△POD和△QOB中，∠PDO＝∠QBO，OD＝OB，∠POD＝∠QOB，∴△POD≌△QOB(ASA)．∴OP＝OQ.又∵OB＝OD，∴四边形PBQD为平行四边形．(2)点P从点A出发运动t s时，AP＝t cm，PD＝(4－t)cm.当四边形PBQD是菱形时，PB＝PD＝(4－t)cm.∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAP＝90°．在Rt△ABP中，AB＝3 cm，AP2＋AB2＝PB2，即t2＋32＝(4－t)2，解得t＝7 8 .∴点P运动时间为78s时，四边形PBQD为菱形．11．如图1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.图1 图2(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，∴∠FAE＝12∠BAE，∠FCE＝12∠FCD.∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.∴∠FAE＝∠CED.∴AF∥EC.又∵AE∥CF，∴四边形AFCE为平行四边形．(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，∴∠AOE＝∠BEC＝90°．∴∠AOE＝∠AOB＝90°．在△ABO和△AEO中，∠BAO＝∠EAO，AO＝AO，∠AOB＝∠AOE，∴△ABO≌△AEO(ASA)．∴BO＝EO.同理可得△ABO≌△FBO，∴AO＝FO.∴四边形ABFE是平行四边形．又∵AF⊥BE，∴平行四边形ABFE是菱形．12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；(2)当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD.∴∠OBE＝∠ODF.在△BOE和△DOF中，∠OBE＝∠ODF，OB＝OD，∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF(ASA)．∴EO＝FO.又∵OB＝OD.∴四边形BEDF是平行四边形．(2)∵四边形BEDF是菱形，∴BD⊥EF.设BE＝x，则DE＝x，AE＝6－x.在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2，∴x2＝42＋(6－x)2.解得x＝13 3.∵BD＝AD2＋AB2＝213，∴OB＝12BD＝13.∵BD⊥EF，∴EO＝BE2－OB2＝213 3.∴EF＝2EO＝413 3.13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°．又∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.又由(1)得CE＝AD，∴BD＝CE.又∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．又∵DE⊥BC，∴四边形BECD是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴AC＝BC.∴∠ABC＝∠A＝45°．又∵D为AB中点，∴CD⊥AB，即∠CDB＝90°．又∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形．∴当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．14．如图，菱形ABCD 的对角线AC，BD 相交于点O，分别延长OA，OC 到点E，F，使AE ＝CF，依次连接B，F，D，E各点．(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC ＝50°，则当∠EBA＝20° 时，四边形BFDE是正方形．证明：∵在菱形ABCD中，BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA.∴∠BAE＝∠BCF.在△BAE和△BCF中，BA＝BC，∠BAE＝∠BCF，AE＝CF，∴△BAE≌△BCF(SAS)．15．已知：如图，在菱形ABCD 中，点E，O，F 分别是边AB，AC，AD 的中点，连接CE，CF，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么条件时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．解：(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠B＝∠D.又∵E，F分别是AB，AD的中点，∴BE＝DF.在△BCE和△DCF中，BC＝DC，∠B＝∠D，BE＝DF，∴△BCE≌△DCF(SAS)．(2)当AB与BC满足AB⊥BC时，四边形AEOF为正方形．理由如下：∵E，O分别是AB，AC的中点，∴EO∥BC.又∵BC∥AD，∴OE∥AD，即OE∥AF.同理可证OF∥AE，∴四边形AEOF为平行四边形．∵在菱形ABCD 中，点E，F 分别是边AB, AD的中点，∴AE＝AF.∴四边形AEOF为菱形．∵AB⊥BC，∴∠BAD＝∠B＝90°.∴四边形AEOF为正方形．16．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；(2)若E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF与线段GH互相垂直平分．证明：(1)延长DC 至K ，使CK ＝AB.连接BK.∵AB CK ，∴四边形ABKC 是平行四边形．∴AC BK.∴∠ACD ＝∠K.∵BD ＝AC ，AC ＝BK ，∴BD ＝BK.∴∠BDC ＝∠K.∴∠ACD ＝∠BDC.在△ACD 和△BDC 中，AC ＝BD ，∠ACD ＝∠BDC ，CD ＝DC ，∴△ACD ≌△BDC(SAS )．∴AD ＝BC.(2)分别连接EH ，HF ，FG 和GE.∵E ，H 分别是AB ，BD 的中点，∴EH 为△ABD 的中位线．∴EH ＝12AD.同理：GF ＝12AD ，EG ＝12BC ，HF ＝12BC.又由(1)知AD ＝BC ，∴EH ＝HF ＝FG ＝GE.∴四边形EHFG 是菱形．∴线段EF 与线段GH 互相垂直平分．17．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，点E 是AC 的中点，AC ＝2AB ，∠∥∥BAC的平分线AD交BC于点D，作AF∥BC，连接DE并延长交AF于点F，连接FC.求证：四边形ADCF是菱形．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.在△AFE和△CDE中，∠AFE＝∠CDE，∠AEF＝∠CED，AE＝CE，∴△AFE≌△CDE(AAS)．∴AF＝CD.∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵点E是AC的中点，AC＝2AB，∴AE＝AB.∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠BAD.又∵AD＝AD，∴△AED≌△ABD(SAS)．∴∠AED＝∠B＝90°，即DF⊥AC.∴四边形ADCF是菱形．18．如图，△ABC≌△ABD，点E在边AB上，CE∥BD，连接DE. 求证：(1)∠CEB＝∠CBE；(2)四边形BCED是菱形．证明：(1)∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD.∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠ABD.∴∠CEB＝∠CBE.(2)∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD.由(1)得∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB.∴CE＝BD.又∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．又∵BC＝BD，∴四边形BCED是菱形．19．如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°．∴四边形AFBD是矩形．20．已知：如图，在?ABCD中，AF，BH，CH，DF分别是∠BAD，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线．求证：四边形EFGH为矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠DAB＋∠ADC＝180°．∵AF，DF分别平分∠DAB，∠ADC，∴∠FAD＝∠BAF＝12∠DAB，∠ADF＝∠CDF＝12∠ADC.∴∠FAD＋∠ADF＝90°．∴∠AFD＝90°．同理可得：∠BHC＝∠HEF＝90°．∴四边形EFGH是矩形．。
八年级数学人教版下册18.2《特殊的平行四边形》测试卷、练习卷(带答案解析)
18.2《特殊的平行四边形》测试卷、练习卷(带答案解析）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如果一个四边形的对角线相等，那么顺次连接这个四边形各边中点所得四边形是()A. 平行四边形B. 正方形C. 矩形D. 菱形2.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是()A. 对角相等B. 对边相等C. 对角线相等D. 对角线互相平分3.平行四边形两邻边之比为3:4，两条对角线长都是10，则这个平行四边形的周长是()．A. 14B. 20C. 28D. 无法确定4.如图，P为矩形ABCD外一点，S△PCD=5，S△PBC=8，则△PAC的面积是()．A. 3B. 4C. 1.5D. 2.55.顺次连结矩形各边的中点，所得四边形是()．A. 筝形B. 矩形C. 菱形D. 正方形6.我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为()A. (√3,1)B. (2,1)C. (1,√3)D. (2,√3)7.如图，正方形ABCD的边长为4，点A的坐标为(−1,1)，AB平行于x轴，则点C的坐标为()A. (3,1)B. (−1,1)C. (3,5)D. (−1,5)8.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连接BE、AF相交于点G，则下列结论不正确的是()A. BE=AFB. ∠DAF=∠BECC. ∠AFB+∠BEC=90∘D. AG⊥BE9.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠B=45∘，AE为BC边上的高，将△ABE沿AE所在直线翻折得△AB′E，AB′与CD交于点F，则B′F的长度为()A. 1B. √2C. 2−√2D. 2√2−210.如图，在正方形ABCD中，E、F是对角线AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且AB=4，EF=2，设AE=x.当△PEF是等腰三角形时，下列关于P点个数的说法中，一定正确的是()①当x=0(即E、A两点重合)时，P点有6个②当0<x<4√2−2时，P点最多有9个③当P点有8个时，x=2√2−2④当△PEF是等边三角形时，P点有4个A. ①③B. ①④C. ②④D. ②③二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）11.如图，在菱形ABCD中，∠B=50∘，点E在CD上，若AE=AC，则∠BAE=°.12.如下图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD=50∘，则∠BEF的度数为．13.如下图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O，以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，⋯⋯，依次类推，则平行四边形AO2019C2020B的面积为．14.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC的度数为°.三、解答题（本大题共7小题，共58.0分）15.已知：四边形ABCD中，AB=CD，∠A+∠D=180°，AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形。
人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷 含答案解析
人教版八年级下册：18.2特殊的平行四边形同步练习卷一．选择题（共10小题）1．下列性质中，矩形不一定具有的是（）A．对角线相等B．对角线互相平分C．4个内角相等D．一条对角线平分一组对角2．如图，菱形ABCD中，∠D＝130°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°3．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的中线，则下列结论不一定正确的是（）A．B．BD＝CD C．D．4．如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．∠BAD＝∠ADC 5．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OC，OB＝OD．若要使四边形ABCD为菱形，则可以添加的条件是（）A．AC＝BD B．AB⊥BC C．∠AOB＝60°D．AC⊥BD6．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD ＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40B．24C．20D．157．如图，已知四边形ABCD是正方形，E是AB延长线上一点，且BE＝BD，则∠BDE的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．67.5°8．如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（）A．3B．C．D．49．已知四边形ABCD是平行四边形，再从四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（）①AB＝BC，②∠ABC＝90˚，③AC＝BD，④AC⊥BDA．选①②B．选①③C．选②③D．选②④10．如图，在正方形ABCD内，以BC为边作等边三角形BCM，连接AM并延长交CD于N，则下列结论不正确的是（）A．∠DAN＝15°B．∠CMN＝45°C．AM＝MN D．MN＝NC二．填空题（共8小题）11．工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是．12．如图，两张等宽的长方形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是．13．矩形ABCD中，要使矩形ABCD成为正方形还需满足的条件是（横线只需填一个你认为合适的条件即可）14．如图，已知菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，则AC的长为cm．15．如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若BD＝8，则MN的长为．16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝28°，D是AB的中点，则∠DCB＝度．17．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是（1，5），（4，1），点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为．18．如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN，若AB＝9，BE＝6，则MN 的长为．三．解答题（共8小题）19．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD．求证：四边形ABCD是矩形．20．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE ∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是正方形．21．如图．在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点，连结DE、DB、BF．（1）求证：DE＝BF；（2）若∠ADB＝90°，证明：四边形BFDE是菱形．22．已知：如图，平行四边形ABCD中，O是CD的中点，连接AO并延长，交BC的延长线于点E．（1）求证：△AOD≌△EOC；（2）连接AC、DE，当∠B＝∠AEB＝45°时，求证四边形ACED是正方形．23．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面积．24．如图，平行四边形ABCD中，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．（1）求证：四边形CEDF为平行四边形；（2）若AB＝6cm，BC＝10cm，∠B＝60°，①当AE＝cm时，四边形CEDF是矩形；②当AE＝cm时，四边形CEDF是菱形．25．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF ∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．26．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．参考答案一．选择题（共10小题）1．【解答】解：∵矩形的对角线互相平分且相等，故选项A、B不合题意；∵矩形的四个角都是直角，故选项C不合题意；∵矩形的一条对角线不一定平分一组对角；故D符合题意；故选：D．2．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴DC∥AB，∠DAC＝∠1，∵∠D＝130°，∴∠DAB＝180°﹣130°＝50°，∴∠1＝∠DAB＝25°．故选：B．3．【解答】解：如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，则BD＝CD＝BC，故选项A、B、D不符合题意．若∠BAC＝90°时，AD＝BC才成立，否则不成立．故选项C符合题意．故选：C．4．【解答】解：A．根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；B．根据对角线相等的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意；C．不能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项符合题意；D．平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC＝180°，又∵∠BAD＝∠ADC，∴∠BAD＝∠ADC＝90°，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形能判定平行四边形ABCD为矩形，故此选项不符合题意．故选：C．5．【解答】解：∵OA＝OC，OB＝OD，∴四边形ABCD为平行四边形，A、∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形，故选项A不符合题意；B、∵AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵∠AOB＝60°，不能得出四边形ABCD是菱形；选项C不符合题意；D、∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．6．【解答】解：∵AB＝AD，点O是BD的中点，∴AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD，∴∠DAC＝∠ACD，∴AD＝CD，∴AB＝CD，∴四边形ABCD是菱形，∵AB＝5，BO＝BD＝4，∴AO＝3，∴AC＝2AO＝6，∴四边形ABCD的面积＝×6×8＝24，故选：B．7．【解答】解：∵BE＝DB，∴∠BDE＝∠E，∵∠DBA＝∠BDE+∠BED＝45°∴∠BDE＝×45°＝22.5°．故选：A．8．【解答】解：∵四边形COED是矩形，∴CE＝OD，∵点D的坐标是（1，3），∴OD＝＝，∴CE＝，故选：C．9．【解答】解：A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；B、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；C、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意．D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；故选：C．10．【解答】解：作MG⊥BC于G．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝∠DAB＝°∠DCB＝90°∵△MBC是等边三角形，∴MB＝MC＝BC，∠MBC＝∠BMC＝60°，∵MG⊥BC，∴BG＝GC，∵AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∴∠ABM＝30°，∵BA＝BM，∴∠MAB＝∠BMA＝75°，∴∠DAN＝90°﹣75°＝15°，∠CMN＝180°﹣75°﹣60°＝45°，故A，B，C正确，故选：D．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形．故答案为：三个角是直角的四边形为矩形12．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，如图，∵两条纸条宽度相同，∴AE＝AF．∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵S▱ABCD＝BC•AE＝CD•AF．又∵AE＝AF．∴BC＝CD，∴四边形ABCD是菱形；故答案为：菱形．13．【解答】解：添加的条件可以是AB＝BC．理由如下：∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形．故答案为：AB＝BC（答案不唯一）．14．【解答】解：∵菱形ABCD的面积为6cm2，BD的长为4cm，∴×4×AC＝6，解得：AC＝3，故答案为：3．15．【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AC，BD交于点O，BD＝8∴BD＝2BO，即2BO＝8．∴BO＝4．又∵M、N分别为BC、OC的中点，∴MN是△CBO的中位线，∴MN＝BO＝2．故答案是：2．16．【解答】解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴∠ACD＝∠A＝28°，∴∠DCB＝90°﹣28°＝62°，故答案为：62．17．【解答】解：如图，当AB为对角线时，观察图象可知D（5，3）．当AB为矩形的边时，观察图象可知D2（﹣3，2），∴直线AD2的解析式为y＝x+，∴C1（0，），∵AC1＝BD1，∴D1（3，），综上所述，满足条件的点D的坐标为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．故答案为（5，3）或（﹣3，2）或（3，）．18．【解答】解：连接CF，∵正方形ABCD和正方形BEFG中，AB＝9，BE＝6，∴GF＝GB＝6，BC＝9，∴GC＝GB+BC＝6+9＝15，∴CF＝＝＝3．∵M、N分别是DC、DF的中点，∴MN＝＝．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．【解答】证明；∵四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．20．【解答】证明：∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形，∵正方形ABCD的对角线AC与BD交于点O，∴OD＝OC，∠DOC＝90°，∴四边形CODE是正方形．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，DC＝AB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝BE，∴四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF；（2）证明：由（1）得，四边形DEBF是平行四边形，∴DC＝AB，CD∥AB，∴DF∥EB，∵E，F分别为边AB、CD的中点，∴DF＝CF＝DC，AE＝BE＝AB，∴DF＝EB，∴四边形DEBF是平行四边形，∵∠ADB＝90°，∴DE＝AB，∴DE＝EB，∴四边形DEBF是菱形．22．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠D＝∠OCE，∠DAO＝∠E．∵O是CD的中点，∴OC＝OD，在△AOD和△EOC中，，∴△AOD≌△EOC（AAS）；（2）∵△AOD≌△EOC，∴OA＝OE．又∵OC＝OD，∴四边形ACED是平行四边形．∵∠B＝∠AEB＝45°，∴AB＝AE，∠BAE＝90°∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD．∴∠COE＝∠BAE＝90°．∴▱ACED是菱形．∵AB＝AE，AB＝CD，∴AE＝CD．∴菱形ACED是正方形．23．【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，在△AEF和△DEB中，∵，∴△AEF≌△DEB（AAS），∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC，∴四边形ADCF是菱形；（2）解：设AF到CD的距离为h，∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h＝S△ABC＝AB•AC＝×12×16＝96．24．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CF∥ED，∴∠FCD＝∠GCD，∵G是CD的中点，∴CG＝DG，在△FCG和△EDG中，∴△CFG≌△EDG（ASA），∴FG＝EG，∴四边形CEDF是平行四边形；（2）①解：当AE＝7时，平行四边形CEDF是矩形，理由是：过A作AM⊥BC于M，∵∠B＝60°，AB＝6，∴BM＝3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠CDA＝∠B＝60°，DC＝AB＝6，BC＝AD＝10，∵AE＝7，∴DE＝3＝BM，在△MBA和△EDC中，，∴△MBA≌△EDC（SAS），∴∠CED＝∠AMB＝90°，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是矩形，故答案为：7；②当AE＝4时，四边形CEDF是菱形，理由是：∵AD＝10，AE＝4，∴DE＝6，∵CD＝6，∠CDE＝60°，∴△CDE是等边三角形，∴CE＝DE，∵四边形CEDF是平行四边形，∴四边形CEDF是菱形，故答案为：4．25．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．26．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BO，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．。
八年级数学下册 18.2.3 特殊的平行四边形练习 新人教版(2021年整理)
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2.3 特殊的平行四边形一、夯实基础1、一菱形的两条对角线的和为14，面积为24，则此菱形的周长为( ）A．12 B．16 C．20 D．282、已知菱形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且△AEF恰为等边三角形，其边长与菱形边长相等，则∠AEB的大小是（）A．60°B．95°C．80°D．75°3、在菱形ABCD中,不一定成立的是( ）A．四边形ABCD是平行四边形B．AC⊥BDC．△ABD是等边三角形D．∠CAD=∠CAB4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是( ）A．对角相等B．对边相等C．邻边相等D．对边平行5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为( ）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：16．菱形的一条对角线与它的边相等,则它的锐角等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°二、能力提升7．菱形ABCD的周长为36，其相邻两内角的度数比为1:2，则此菱形较短的对角线的长为．8、已知菱形的周长为40cm，一条对角线长为16cm,则这个菱形的面积为 cm2．9．在菱形ABCD中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD的周长是．三、课外拓展10．如图，菱形ABCD中，CE⊥AB于E,CF⊥AD于F，E为AB中点．证明：F为AD中点．四、中考链接11。
人教版八年级数学下册 特殊平行四边形 解答题训练(word版含解析)
人教版八年级数学下册《18-2特殊平行四边形》解答题优生辅导训练（附答案）1．如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线BD的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24,菱形BNDM的面积为120,求菱形BNDM的周长．2．如图,在四边形ABCD中,∠BAC＝90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）过点E作EF⊥CD于点F,若AB＝3,BC＝5,求EF的长．3．如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点A作AE⊥BC于点E,延长BC到点F,使CF＝BE,连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AD＝10,EC＝4,求AC的长度．4．如图,在菱形ABCD中,AB＝4,∠DAB＝60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上的一个动点（不与点A重合）,延长ME交CD的延长线于点N,连接MD,AN．（1）求证：△NED≌△MEA．（2）当AM的值为何值时,四边形AMDN是矩形？并说明理由．5．如图,在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,点G为EF 中点,连接BD、DG．（1）试判断△ECF的形状,并说明理由；（2）求∠BDG的度数．6．如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB＝AD,对角线AC、BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AB＝6,BD＝8,求CE的长．7．如图,在正方形ABCD中,E,F分别在边AB,BC上,△DEF是等边三角形,连接BD交EF于点G．（1）求证：BE＝BF；（2）若DE＝2,求BD的长．8．如图,在△ABC中,点D、E分别是边BC、AC的中点,过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点,连接AD、CF,过点D作DG⊥CF于点G．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是菱形？为什么？（3）在（2）的条件下,若AB＝6,BC＝10,求DG的长．9．如图,在正方形ABCD中,AB＝,E为正方形ABCD内一点,DE＝AB,∠EDC＝α（0°＜α＜90°）,连结CE,AE,过点D作DF⊥AE,垂足为点F,交CE的延长线于点G,连结AG．（1）当α＝20°时,则∠AEC＝；（2）判断△AEG的形状,并说明理由；（3）当GF＝1时,求CE的长．10．已知正方形ABCD,点F是射线DC上一动点（不与C、D重合）,连接AF并延长交直线BC于点E,交BD于点H,连接CH,过点C作CG⊥HC交AE于点G．（1）若点F在边CD上,如图1．①证明：∠DAH＝∠DCH；②猜想线段CG与EF的关系并说明理由；（2）取DF中点M,连结MG,若MG＝4,正方形边长为6,求BE的长．11．在△ABC中,过A作BC的平行线,交∠ACB的平分线于点D,点E是BC上一点,连接DE,交AB于点F,∠CAD+∠BED＝180°．（1）如图1,求证：四边形ACED是菱形；（2）如图2,若∠ACB＝90°,BC＝2AC,点G、H分别是AD、AC边中点,连接CG、EG、EH,不添加字母和辅助线,直接写出图中与△CEH所有的全等的三角形．12．如图,四边形ABCD为正方形,E为AD上一点,连接BE,∠AEB＝60°,M为BE的中点,过点M的直线交AB、CD于P、Q．（1）如图1,当PQ⊥BE时,求证：BP＝2AP；（2）如图2,若∠APQ为锐角,且PQ＝BE,延长BE、CD交于点N,请你猜想QM与QN的数量关系,并说明理由．13．如图,点G在正方形ABCD的边CD上,且四边形CEFG也是正方形,连接BG,DE,AF,取AF的中点M,连接CM．求证：（1）BG＝DE；（2）CM＝AF．14．如图,在正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上的一点,且BE＝DF,连接AE、AF、EF．（1）求证：AE＝AF；（2）已知∠AEB＝75°,若点P是EF的中点,连接CP,DP,求∠CPD的度数．15．如图,点O为矩形ABCD对角线的交点,过点D作DE⊥AC于点E,过点B作BF∥AC,交DE的延长线于F,在BF的延长线上取FG＝OD,连接AG,OF．（1）求证：四边形AOFG为菱形；（2）若AD＝5,DF＝8,求BG的长．16．已知：在Rt△ABC中,∠BAC＝90°,D是BC的中点,E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）当△ABC满足什么条件时,四边形ADCF是正方形？请说明理由．17．如图,▱ABCD,BE⊥AD于E,交AC于M,DF⊥BC于F,交AC于N,连接DM、BN．（1）求证：△ABM≌△CDN；（2）当▱ABCD是菱形时,判断四边形MBND的形状,并说明理由．18．如图,矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD的垂直平分线分别交边AD、BC于点E、F,连接BE、DF．（1）求证：四边形BEDF是菱形；（2）若∠BOC＝120°,AB＝6,求FC的长．19．如图,在△ABC中,∠ABC＝90°,点O是斜边AC的中点,过点O作OE⊥AC,交AB于点E,过点A作AD∥BC,与BO的延长线交于点D,连接CD、DE．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若BC＝3,∠BAC＝30°,求DE的长．20．如图,四边形ABCD为正方形,E为线段AC上一点,连接DE,过点E作EF⊥DE,交射线BC 于点F,以DE,EF为邻边作矩形DEFG,连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝2,CE＝,求CG的长度．参考答案1．（1）证明：∵AD∥BC,∴∠DMO＝∠BNO,∵MN是对角线BD的垂直平分线,∴OB＝OD,MN⊥BD,在△MOD和△NOB中,,∴△MOD≌△NOB（AAS）,∴OM＝ON,∵OB＝OD,∴四边形BNDM是平行四边形,∵MN⊥BD,∴四边形BNDM是菱形；（2）解：∵菱形BNDM的面积为120＝×BD×MN,∴MN＝10,∵四边形BNDM是菱形,BD＝24,MN＝10,∴BM＝BN＝DM＝DN,OB＝BD＝12,OM＝MN＝5,在Rt△BOM中,由勾股定理得：BM＝＝＝13,∴菱形BNDM的周长＝4BM＝4×13＝52．2．证明：（1）∵∠BAC＝90°,E是BC的中点,∴AE＝BC＝CE,又∵AD∥BC,AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形．∴四边形AECD是菱形．（2）过点A作AG⊥BC于点G,∵AB＝3,BC＝5,∴AC＝,∵,∴,∴AG＝,又∵S菱形AECD＝CD•EF＝CE•AG,∵CD＝CE,∴EF＝AG＝．3．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC且AD＝BC,∵BE＝CF,∴BC＝EF,∴AD＝EF,∵AD∥EF,∴四边形AEFD是平行四边形,∵AE⊥BC,∴∠AEF＝90°,∴四边形AEFD是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形,AD＝10,∴AD＝AB＝BC＝10,∵EC＝4,∴BE＝10﹣4＝6,在Rt△ABE中,AE＝,在Rt△AEC中,AC＝．4．（1）证明：∵四边形ABCD为菱形,∴CD∥AB,∴∠DNE＝∠AME,∵E为AD的中点,∴DE＝AE,在△NED和△MEA中,∴△NDE≌△MAE（AAS）；（2）当AM＝2时,四边形AMDN是矩形．理由如下：由（1）知△NED≌△MEA,∴NE＝ME,又∵DE＝AE,∴四边形AMDN是平行四边形,∵菱形ABCD,AB＝4,E为AD中点,∴AE＝2＝AM,又∵∠DAB＝60°,∴△MEA为等边三角形,∴AE＝ME,∴AD＝MN,∴平行四边形AMDN为矩形．5．（1）解：△ECF是等腰直角三角形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90°,∴∠DAE＝∠BEA,∵AE平分∠BAD,∴∠DAE＝∠BAE＝45°,∴∠BEA＝∠BAE＝45°,∴∠CEF＝45°,AB＝BE,∴∠F＝90°﹣45°＝45°,∴EC＝FC,又∵∠ECF＝90°,∴△ECF是等腰直角三角形；（2）∵四边形ABCD是矩形,∴AB＝CD,∵AB＝BE,∴BE＝CD,∵EC＝FC,∠ECF＝90°,∴CG＝EF＝EG,∠ECG＝∠ECF＝45°,∴∠DCG＝90°+45°＝135°,∵∠BEG＝180°﹣45°＝135°,∴∠DCG＝∠BEG,在△DCG和△BEG中,,∴△DCG≌△BEG（SAS）,∴DG＝BG,∠DGC＝∠BGE,∴∠BGD＝∠EGC＝90°,又∵DG＝BG,∴∠BDG＝45°．6．（1）证明：∵AB∥CD,∴∠OAB＝∠DCA,∵AC为∠DAB的平分线,∴∠OAB＝∠DAC,∴∠DCA＝∠DAC,∴CD＝AD,∵AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形,∵AD＝AB,∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形,BD＝8,∴OA＝OC,BD⊥AC,OB＝OD＝BD＝4,∴∠AOB＝90°,∴OA＝＝＝2,∴AC＝2OA＝4,∴菱形ABCD的面积＝AC×BD＝×4×8＝16,∵CE⊥AB,∴菱形ABCD的面积＝AB×CE＝6CE＝16,∴CE＝．7．（1）证明：∵四边形ABCD为正方形,∴AD＝CD＝AB＝BC,∠A＝∠C＝90°,∵△DEF为等边三角形,∴DE＝DF,在Rt△ADE和Rt△CDF中,,∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）,∴AE＝CF．又∵AB＝BC,∴AB﹣AE＝BC﹣CF,∴BE＝BF；（2）解：由（1）可知BE＝BF,∴△BEF为等腰直角三角形,∵四边形ABCD为正方形,∴BD平分∠ABC,∴点G为EF的中点,BD⊥EF,∵△DEF为等边三角形,DE＝2,∴EF＝DE＝2,BG＝EG＝1,在Rt△EDG中,由勾股定理得,DG＝＝＝,∴BD＝BG+DG＝1+．8．证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点,∴DE∥AB,∵AF∥BC,∴四边形ABDF是平行四边形,∴AF＝BD,则AF＝DC,∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形；（2）当△ABC是直角三角形时,四边形ADCF是菱形,理由：∵点D是边BC的中点,△ABC是直角三角形,∴AD＝DC,∴平行四边形ADCF是菱形；（3）∵△ABC是直角三角形,AB＝6,BC＝10,BD＝DC,∴AD＝DC＝5,AC＝,∵四边形ADCF是菱形,∴AC⊥DF,∴DE＝,∴,即,解得：DG＝．9．解：（1）∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC＝90°,AB＝AD＝DC,∵∠CDE＝20°,∴∠ADE＝70°,∵DE＝AB,∴DC＝DE,DA＝DE,∴∠DEC＝∠DCE＝×（180°﹣20°）＝80°,∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°,∴∠AEC＝∠AED+∠DEC＝80°+55°＝135°,故答案为：135°；（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE,DF⊥AE,∴DG是AE的垂直平分线,∴AG＝GE,∴∠GAE＝∠GEA,∵DE＝DC＝AD,∴∠DAE＝∠DEA,∠DEC＝∠DCE,∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°,∴∠DEA+∠DEC＝135°,∴∠GEA＝45°,∴∠GAE＝∠GEA＝45°,∴∠AGE＝90°,∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图,连接AC,∵四边形ABCD是正方形,∴AC＝AB＝,∵△AEG为等腰直角三角形,GF⊥AE,∴GF＝AF＝EF＝1,∴AG＝GE＝,∵AC2＝AG2+GC2,∴10＝2+（EC+）2,∴EC＝（负根已经舍弃）．10．证明：（1）①∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADB＝∠CDB＝45°,AD＝DC,在△ADH和△CDH中,,∴△ADH≌△CDH（SAS）,∴∠DAH＝∠DCH；②结论：EF＝2CG,理由如下：∵△DAH≌△DCH,∴∠DAF＝∠DCH,∵CG⊥HC,∴∠FCG+∠DCH＝90°,∴∠FCG+∠DAF＝90°,∵∠DF A+∠DAF＝90°,∠DF A＝∠CFG,∴∠CFG＝∠FCG,∴GF＝GC,∵∠GCE+∠GCF＝90°,∠CFG+∠E＝90°,∴∠GCE＝∠GCF,∴CG＝GE,∴EF＝2CG；（2）①如图,当点F在线段CD上时,连接DE．∵∠GFC＝∠GCF,∠GEC+∠GFC＝90°,∠GCF+∠GCE＝90°,∴∠GCE＝∠GEC,∴EG＝GC＝FG,∵FG＝GE,FM＝MD,∴DE＝2MG＝8,在Rt△DCE中,CE＝＝＝2,∴BE＝BC+CE＝6+2；②如图,当点F在线段DC的延长线上时,连接DE．同法可知GM是△DEC的中位线,∴DE＝2GM＝6,在Rt△DCE中,CE＝2,∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2综上所述,BE的长为6+2或6﹣2．11．（1）证明：∵AD∥BC,∴∠ADC＝∠BCD,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD＝∠BCD,∴∠ADC＝∠ACD,∴AD＝AC,∵AD∥BC,∴∠ADE＝∠DEB,∵∠DEB+∠DEC＝180°,∠DEB+∠CAD＝180°,∴∠DEC＝∠DAC,∴∠ADE+∠DAC＝180°,∴DE∥AC,∴四边形ACED是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°,∴菱形ACED是正方形,∴∠D＝∠CAG＝∠DEC＝90°,AC＝AD＝CE,∵G是AD的中点,H是AC边中点,∴AG＝DG＝CE,∴△EDG≌△CAG≌△ECH（SAS）,∵BC＝2AC,∴BE＝CE＝AD,∵AD∥BE,∴∠B＝∠DAF,∵∠AFE＝∠BFE,∴△BFE≌△AFD（AAS）,∵AD＝CE＝BE,∴△BEF≌△ECH,∴图中与△CEH全等的三角形有△ADF,△EDG,△CAG,△EBF．12．（1）证明：连接PE,如图1,∵点M是BE的中点,PQ⊥BE,∴PQ垂直平分BE,∴PB＝PE,∴∠PEB＝∠PBE＝90°﹣∠AEB＝90°﹣60°＝30°,∴∠APE＝∠PBE+∠PEB＝60°,∴∠AEP＝90°﹣∠APE＝90°﹣60°＝30°,∵∠A＝90°,∴BP＝EP＝2AP；（2）解：NQ＝2MQ或NQ＝MQ．理由如下：分两种情况：如图3所示,过点Q作QF⊥AB于点F,交BN于点G,则FQ＝CB,∵正方形ABCD中,AB＝BC,∴FQ＝AB．在Rt△ABE和Rt△FQP中,,∴Rt△ABE≌Rt△FQP（HL）,∴∠FQP＝∠ABE＝30°,又∵∠MGQ＝∠BGF＝∠AEB＝60°,∴∠GMQ＝90°,∵CD∥AB．∴∠N＝∠ABE＝30°,∴NQ＝2MQ；如图2所示,过点Q作QF⊥AB于点F,则QF＝CB,同理可证：△ABE≌△FQP,此时∠FPQ＝∠AEB＝60°,又∵∠FPQ＝∠ABE+∠PMB＝60°,∠N＝∠ABE＝30°,∴∠EMQ＝∠PMB＝30°,∴∠N＝∠EMQ,∴NQ＝MQ．13．（1）证明∵四边形ABCD,四边形CEFG都是正方形,∴BC＝CD,CG＝CE,在Rt△BGC和Rt△DEC中,∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL）,∴BG＝DE,（2）连接AC,FC,∴∠ACD＝∠FCD＝45°,∠ACF＝90°,∴△ACF为直角三角形,又∵M是AF的中点,∴CM＝AF．14．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形,∴AB＝AD,∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°,在△ABE和△ADF中,∴△ABE≌△ADF（SAS）；∴AE＝AF,（2）连接AP,∵△ABE≌△ADF,∴∠BAE＝∠DAF,∠F AE＝90°,在Rt△EAF和Rt△ECF中,P是EF中点,∴P A＝PC＝PE＝PF＝EF,又∵AE＝AF,∠AEB＝75°,∴∠AEP＝45°,∠CEP＝∠ECP＝60°,∴∠DCP＝30°,在△APD和△CPD中,∴△APD≌△CPD（SSS）,∴∠CDP＝45°,∴∠CPD＝180°﹣30°﹣45°＝105°．15．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形,∴OA＝OB＝OC＝OD,∵DE⊥AC,BF∥AC,∴OF＝OD＝OA,∵FG＝OD,∴FG＝OA,∵FG∥OA,∴四边形AOFG为菱形；（2）∵AD＝5,DF＝8,∴DE＝EF＝4,AE＝3,在Rt△DEO中,设OE＝x,由勾股定理得：（x+3）2﹣42＝x2,解得：x＝,∴OD＝,OE＝,∴BF＝2OE＝,FG＝OD＝,∴BG＝GF+BF＝．16．（1）证明：∵AF∥BC,∴∠AFE＝∠DBE,∵E是AD的中点,∴AE＝DE,在△AEF和△DEB中,,∴△AEF≌△DEB（AAS）；（2）解：当AB＝AC时,四边形ADCF是正方形,理由：由（1）知,△AEF≌△DEB,∴AF＝DB,∵D是BC的中点,∴DB＝DC,∴AF＝DC,∵AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形,∵∠BAC＝90°,D是BC的中点,∴AD＝DC＝BC,∴四边形ADCF是菱形,∵AB＝AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC,∴四边形ADCF是正方形．17．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB＝CD,∠DAB＝∠DCB,∴∠BAC＝∠DCA,∵BE⊥AD,DF⊥BC,∴∠DAB+∠ABM＝90°,∠DCB+∠CDN＝90°,又∵∠DAB＝∠DCB,∴∠ABM＝∠CDN,在△ABM和△CDN中,,∴△ABM≌△CDN（ASA）；（2）解：四边形MBND是菱形,理由如下：∵BE⊥AD,DF⊥BC,AD∥BC,∴BE∥DF,由（1）知△ABM≌△CDN,∴BM＝DN,∴四边形MBND是平行四边形,连接BD,如图所示：∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,即MN⊥BD,∴平行四边形MBND是菱形．18．（1）证明：∵EF垂直平分BD,∴EB＝ED,FB＝FD,BO＝DO,∵四边形ABCD是矩形,∴∠OBF＝∠ODE,∵∠DOE＝∠BOF,∴△EOD≌△FOB（AAS）,∴DE＝BF,∴EB＝ED＝FB＝FD,∴四边形BEDF是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形,∴OB＝OC,CD＝AB＝6,∴∠OBC＝∠OCB,∵∠BOC＝120°,∴∠OBC＝∠OCB＝30°,∵四边形EBFD为菱形,∴FB＝FD,∴∠FBD＝∠FDB＝30°,∴∠DFC＝60°,∴∠FDC＝30°,设CF＝x,则FD＝2x,根据勾股定理得：（2x）2﹣x2＝62,解得：x＝2,∴FC的长为2．19．（1）证明：∵点O是AC的中点,∴OA＝OC,∵AD∥BC,∴∠DAO＝∠BCO,∠ADO＝∠CBO,在△OAD与△OCB中,,∴△OAD≌△OCB（AAS）,∴AD＝BC,∴四边形ABCD是平行四边形,∵∠ABC＝90°,∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形,∴AD＝BC＝3,∵∠ABC＝90°,∠BAC＝30°,∴AC＝2BC＝6,∴OA＝3,∵OE⊥AC,∴∠AOE＝90°,∵∠BAC＝30°,∴OE＝OA＝,∴AE＝2OE＝2,∴DE＝＝＝．20．（1）证明：如图1,作EP⊥CD于P,EQ⊥BC于Q,∵∠DCA＝∠BCA,∴EQ＝EP,∵∠QEF+∠FEC＝45°,∠PED+∠FEC＝45°,∴∠QEF＝∠PED,在△EQF和△EPD中,,∴△EQF≌△EPD（ASA）,∴EF＝ED,∴矩形DEFG是正方形；（2）如图2中,在Rt△ABC中,AC＝AB＝2,∵CE＝,∴AE＝CE,∴点F与C重合,此时△DCG是等腰直角三角形,∴四边形DECG是正方形,∴CG＝CE＝．。
人教版八年级下《第18章平行四边形》专项训练(2)含答案
第18章平行四边形专项训练专训1.矩形性质与判定的灵活运用名师点金：矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，同时还具有一些独特的性质．它的性质可归结为三个方面：(1)从边看：矩形的对边平行且相等；(2)从角看：矩形的四个角都是直角；(3)从对角线看：矩形的对角线互相平分且相等．判定一个四边形是矩形可从两个角度考虑：一是判定它有三个角为直角；二是先判定它为平行四边形，再判定它有一个角为直角或两条对角线相等．利用矩形的性质与判定求线段的长(转化思想)1．如图，将矩形纸片ABCD的四个角向内折起，点A，点B落在点M处，点C，点D落在点N处，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3 cm，EF＝4 cm，求AD的长．(第1题)利用矩形的性质与判定判断线段的数量关系A∠90°中，＝△，2．如图，在ABCBD，PDBCDC是＝是AC上的一点，，ACPF⊥⊥，上的任意一点，PEBD，，AB之PFPE，EF为垂足．试判断线段间的数量关系，并说明理由．(第2题)利用矩形的性质与判定证明角相等DDE⊥作ABCD3．如图，在▱中，过点FABDF＝CD上，在边于点E，点BE，连接BF.，AF是矩形；BFDE 求证：四边形(1) DAB.∠平分AF ，求证：5＝DF ，4＝BF ，3＝CF 若(2)(第3题)利用矩形的性质与判定求面积的延DC 并延长交AE 边的中点，连接BC 中ABCD ▱是E ．如图，已知点4 F.长线于点 为矩形；ABFC ，求证：四边形ABC ∠2＝AEC ∠，若BF ，AC 连接(1) 的ABFC ，求四边形4是等边三角形，且边长为AFD △的条件下，若(1)在(2)面积．(第4题)专训2.菱形性质与判定的灵活运用名师点金：菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．利用菱形的性质与判定求菱形的高1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，且AE ∥CD ，CE ∥AB.(1)求证：四边形ADCE 是菱形；(2)若∠B ＝60°，BC ＝6，求菱形ADCE 的高．(计算结果保留根号)(第1题)利用菱形的性质与判定求菱形对角线长中，BDAFCG2垂直平分对角线．如图，在矩形ACAF于D，交于CG，交于ACBO.，交连接，BC.AD(1)求证：四边形是菱形；ABCDAB为若(2)的中点，E⊥BDCDE∠的度数；，求ABAB＝的条件下，若在1(2)(3)BD的长．，求菱形，ACABCD的对角线(第2题)利用菱形的性质与判定解决周长问题中，∠ACBABC△3．如图，在t R＝，AB90°AC边的中点，分别为，ED，ADE绕点△E连接DE，将，连接AF.旋转CFE△180°，得到(1)求证：四边形ADCF是菱形；＝8BC，若(2)，求四边形的周长．ACABCF＝6(第3题)利用菱形的性质与判定解决面积问题的中点，AD 是E 的中点，BC 是D ，90°＝BAC ∠中，ABC △Rt ．如图，在4 F.的延长线于点BE 交BC ∥AF 作A 过点 ；DEB ≌△AEF △求证：(1) 是菱形；ADCF 证明四边形(2) 的面积．ADCF ，求菱形5＝AB ，4＝AC 若(3)(第4题)专训3.正方形性质与判定的灵活运用名师点金：正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性质解决线段和差倍分问题1．已知：在正方形ABCD 中，∠MAN ＝45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB ，DC(或它们的延长线)于点M ，N.(1)如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM ＝DN 时，易证：BM ＋DN ＝MN.当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．(2)当∠MAN 绕点A 旋转到如图③的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．(第1题)利用正方形的性质证明线段位置关系分别在F ，E ，O 相交于点BD ，AC 线中，对角CD AB ．如图，在正方形2M.于点DF 的延长线交AE ，AE ，DF ，连接CF ＝DE 上，且OC ，OD DF.⊥AM 求证：(第2题)正方形性质与判定的综合运用同时D ，C ，B ，A 别从正方形的四个顶点四个小球分S ，R ，Q ，P ．如图，3，B 的方向滚动，其终点分别是DA ，CD ，BC ，AB 出发，以同样的速度分别沿 A.，D ，C 总是正方形．PQRS 管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形不(1) 在什么时候面积最大？PQRS 四边形(2) 在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．PQRS 四边形(3)(第3题)专训4.特殊平行四边形性质与判定的灵活运用名师点金：特殊平行四边形的性质区别主要从边、角及对角线三个方面进行区分；而判定主要从建立在其他特殊四边形的基础上再附加什么条件方面进行判定．矩形的综合性问题 a ．矩形性质的应用1．如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD 交于点E.(1)试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明；(2)若AB ＝8，DE ＝3，P 为线段AC 上的任意一点，PG ⊥AE 于点G ，PH ⊥EC 于点H ，试求PG ＋PH 的值．(第1题)．b矩形判定的应用对角线的交点，DE是菱形2∥．如图，点OABCD，连接ACBD∥，OE.CE求证：(1)四边形是矩形；OCED＝(2)OEBC.(第2题)c．矩形性质和判定的应用ABCABAC△＝，在3．如图①，点中，B，P重不与C(BC是上任意一点，ABPF⊥⊥PE合)，ACF，，D.，垂足分别为EBDA⊥C.求证：(1)BD＋＝PF.PEBC的延长线上时，其他条件不变．如图在当点②(2)P，PFBD，之间PE，的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．(第3题)菱形的综合性问题a．菱形性质的应用中，ABCD．已知：如图，在菱形4F是交对角线AF上任意一点，连接BCEC.，连接E 于点BD EC.＝AE 求证：(1) 上的什么位置？并说明BC 在线段F 时，点60°＝CEF ∠，60°＝ABC ∠当(2)理由．(第4题)菱形判定的应用．b 出C 从点D 点30°.＝C ∠，35＝C B ，90°＝B ∠中，ABC △Rt ．如图，在5出发沿A 从点E 匀速运动，同时点A 个单位长的速度向点2方向以每秒CA 发沿匀速运动，当其中一个点到达终点时，B 个单位长的速度向点1方向以每秒AB BC⊥DF 作D ．过点(t>0)s t 运动的时间是E ，D 另一个点也随之停止运动．设点EF.，DE ，连接F 于点 DF.＝AE 求证：(1) 值；如果不能，请t 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的AEFD 四边形(2)说明理由．为直角三角形？请说明理由．DEF △为何值时，t 当(3)(第5题)菱形性质和判定的应用．c ，垂BC ⊥AE 作A 过点15.＝ABCD ▱S ，5＝AD 中，BCD A ▱，纸片①如图(1)．6，则AEE′D 的位置，拼成四边形DCE′△，将它平移至ABE △剪下AE ，沿E 足为) (的形状为AEE′D 四边形 ．菱形B ．平行四边形A ．正方形D ．矩形C ，4＝EF ，使F 上取一点EE′中，在AEE′D 的四边形纸片中(1)，在②如图(2)AFF′D.的位置，拼成四边形DE′F′△，将它平移至AEF △剪下 是菱形；AFF′D 求证：四边形① 的两条对角线的长．AFF′D 求四边形②(第6题)正方形的综合性问题 正方形性质的应用．a 于AG ⊥DE ，AG 上任意一点，连接BC 是G 中，ABCD ．如图，在正方形7三者之间的数量关系，并说明EF ，BF ，AF ，探究线段F 于点AG 交DE ∥BF ，E 理由．(第7题)正方形判定的应用．b ，cm 2 ＝CE ，)①如图(上l 形摆放在直线的矩cm 1 ，宽为cm 2 ．两个长为8逆时针旋转相E 绕着点EFGH 角，将矩形α顺时针旋转C 绕着点ABCD 将矩形同的角度．≌△AED △，求证：CG ，AE ，连接)②如图(重合时H ，D 当旋转到顶点(1)；GCD 为正方形．MHND ，求证：四边形)③如图(时45°＝α当(2)(第8题)答案1专训 ∠＝HEF ∴∠，FEM ∠＝BEF ∠，AEH ∠＝HEM ∠由折叠的性质知解：．1四边∴，90°＝EFG ∠＝HGF ∠＝EHG ∠同理可得90°.＝180°×12＝FEM ∠＋HEM FME ∠＝HNG ∵∠又EFM.∠＝GHN ∴∠EF.＝HG ，EF ∥HG ∴为矩形．EFGH 形＋AH ＝AD ∴MF.＝HD ∴，HD ＝HN ∵又MF.＝HN ∴FME.≌△HNG ∴△，90°＝.cm 5 ＝AD ∴，)cm 5(＝32＋42＝EH2＋EF2＝HF ∵F.H ＝MF ＋HM ＝HD 为矩形，然后利用EFGH 边形等，可证明四此题利用折叠提供的角相点拨：转化为直角三角形AD ，从而将MF ＝HD ，进而证明MF ＝HN 三角形全等来证明．转化思想，进而得解，体现了HF 的斜边EFH(第2题)，如图所示．O 于BD ，交G 于AB ⊥PG 作P 理由：过点AB.＝PF ＋PE 解：．2 四边形∴90°.＝PFA ∠＝AGP ∠＝A ∴∠，°90＝A ∠，AC ⊥PF ，AB ⊥PG ∵∠＝C ∴∠，DC ＝BD ∵又GPB.∠＝C ∴∠AC.∥G P ，PF ＝AG ∴是矩形．AGPF ，BD ⊥PE ，AB ⊥PG ∵OP.＝OB ∴DBP.∠＝GPB ∴∠DBP. 90°.＝PEO ∠＝BGO ∴∠中，PEO △和BGO △在 ⎩⎨⎧∠BGO ＝∠PEO ，∠GOB＝∠EOP ，OB＝OP ， PE.＝BG ∴PEO.≌△BGO ∴△ PF.＋PE ＝AG ＋BG ＝AB ∵ CD.∥AB ∴是平行四边形，ABCD 四边形∵(1)证明：．3 ，DF ＝BE ∵又DF.∥BE ∴ 是平行四边形．BFDE 四边形∴ ，AB ⊥DE ∵ 90°.＝DEB ∴∠ 是矩形．BFDE 四边形∴ 是平行四边形，ABCD 四边形∵(2) BC.＝AD ，DC ∥AB ∴ FAB.∠＝DFA ∴∠ 为直角三角形，BCF △易得(1)由 中，由勾股定理，得BCF △Rt 在5.＝DF ＝BC ＝AD ∴ DFA.∠＝DAF ∴∠ ，FAB ∠＝DAF ∴∠ DAB.∠平分AF 即 ECF.∠＝ABE ∴∠DC.∥AB ∴为平行四边形，ABCD 四边形∵证明：(1)．4 CE.＝BE ∴的中点，BC 为E 点∵又 中，FCE △和ABE △在 ⎩⎨⎧∠ABE ＝∠FCE ，BE ＝CE ，∠AEB ＝∠FEC ，∵CF.＝AB ∴FCE.≌△ABE ∴△ ABE △为AEC ∵∠EF.＝AE ∴边形．为平行四FC AB 四边形∴，CF ∥AB 又EAB.∠＝ABC ∴∠，ABC ∠2＝AEC ∵∠又EAB.∠＋ABC ∠＝AEC ∴∠的外角，为矩形．ABFC 四边形∴BC.＝AF ，即EC ＋BE ＝EF ＋AE ∴BE.＝AE ∴.34＝2×32＝ABFC 四边形S ∴.32＝2专训 ∵∠是平行四边形，又ADCE 四边形∴，AB ∥CE ，CD ∥AE ∵证明：(1)．1是菱形．ADCE 平行四边形∴，AD ＝BD ＝CD ∴的中点，AB 是D ，90°＝ACB 的高，ADCE 即为菱形DF ，则F 足为点，垂CE ⊥F D 作D 如图，过点解：(2)∴，AB ∥CE ∵60°.＝BCD ∴∠是等边三角形，BCD ∴△，BD ＝CD ，60°＝B ∵∠，120°＝B ∠－180°＝BCE ∠ ，6＝BC ＝CD ∵，又60°＝DCE ∴∠ .33的高为ADCE ，即菱形33＝DF 中，易求得CDF △Rt 在∴(第1题)BC.＝AB ，CD ＝AD ，OC ＝OA ∴，AC 垂直平分BD ∵证明：(1)．2 AF.∥CG ∴是矩形，AFCG 四边形∵ BAO.∠＝DCO ∠，ABO ∠＝CDO ∴∠ ．)AAS AOB(≌△COD ∴△ DA.＝CD ＝BC ＝AB ∴AB.＝CD ∴ 是菱形．ABCD 四边形∴ ，AB ⊥DE 的中点，AB 为E ∵解：(2) DB.＝AD ∴AB.垂直平分DE ∴ ，AB ＝AD ∵又 为等边三角形，ADB ∴△ 60°.＝DBA ∴∠ 60°.＝DBA ∠＝BDC ∴∠，AB ∥CD ∵ ∴，1＝AB 中，OAB △Rt 在30°.＝BAD ∠12＝OAB ∠由菱形性质知，解：(3).32＝OA ∴，12＝OB .3＝AC ，1＝BD ∴FE.＝DE ，CE ＝AE ∴，CFE △得到0°18旋转E 点绕ADE △将∵证明：(1)．3△是DE ∴边的中点，AC ，AB 分别为E ，D ∵是平行四边形．ADCF 四边形∴四边形∴AC.⊥DF ∴90°.＝AED ∴∠，90°＝ACB ∵∠BC.∥DE ∴的中位线．ABC 是菱形．ADCF 边的中点，AB 是D 点∵10.＝AB ∴，6＝AC ，8＝BC 中，ABC △Rt 在解：(2)的周长为ABCF 四边形∴5.＝AD ＝FC ＝AF ∴是菱形，ADCF 四边形∵5.＝AD ∴28.＝5＋5＋10＋8 DE.＝AE ∴中点，AD 是E ∵证明：(1)．4 ，BDE ∠＝FAE ∴∠，BC ∥AF ∵ ．)ASA DEB(≌△AEF ∴△，DEB ∠＝AEF ∵∠又 DB∴的中点，BC 是D ∵，DB ＝AF ，则EB D ≌△AEF △知，(1)由证明：(2)3专训 ⊥AE 作A ，过点(1)如图 证明如下：成立．MN ＝DN ＋BM 仍有(1)解：．1∵又AN. ＝AE ，BE ＝DN ∴，ADN ≌△ABE △易证E, 的延长线于点CB ，交AN ME∴NAM.≌△EAM ∴△，AM ＝AM ，45°＝NAM ∠＝EAM ∴∠，45°＝MAN ∠MN .＝DN ＋BM ∴，BM ＋DN ＝BM ＋BE ＝ME ∵MN.＝ AE.，连接BM ＝DE 上截取DN ，在(2)如图 明如下：证MN.＝BM －(2)DN 是正方形，ABCD 四边形∵ AD.＝AB ，90°＝D ∠＝ABM ∴∠ ADE.≌△ABM ∴△，DE ＝BM ∵又 90°.＝MAE ∴∠，90°＝DAB ∵∠DAE.∠＝BAM ∠，AE ＝AM ∴ ，45°＝MAN ∵∠，AN ＝AN ，AE ＝AM ∵又MAN.∠＝45°＝EAN ∴∠ EN.＝MN ∴AEN.≌△AMN ∴△ MN.＋BM ＝EN ＋DE ＝DN ∴ MN.＝BM －DN ∴ (1)(2) (第1题)OD＝OA ，D B ⊥AC ∴的两条对角线，ABCD 是正方形BD ，AC ∵证明：．2OF.＝OE ∴，CF ＝DE ∵OB.＝OC ＝ 中，DOF △Rt 与AOE △Rt 在 ⎩⎨⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°，OE＝OF ， ∠＋DFO ∴∠，90°＝DOF ∵∠ODF.∠＝OAE ∠∴DOF.△Rt ≌AOE △Rt ∴DF.⊥AM ，即90°＝AMF ∴∠90°.＝FAE ∠＋DFO ∴∠90°.＝FDO AB，90°＝D ∠＝C ∠＝B ∠＝A ∴∠方形，是正ABCD 四边形∵证明：(1)．3＝QC ＝PB ＝SA ∴，DS ＝CR ＝BQ ＝AP 不管滚动多长时间，∵又DA.＝CD ＝BC ＝DRS.≌△CQR ≌△BPQ ≌△ASP ∴△RD. PQRS 不管滚动多长时间，四边形∴BPQ.∠＝ASP ∠，SR ＝RQ ＝QP ＝PS ∴∠(－180°＝QPS ∴∠90°.＝BPQ ∠＋APS ∴∠，90°＝ASP ∠＋APS ∵∠是菱形．又总是正方PQRS 不管滚动多长时间，四边形∴90°.＝90°－180°＝BPQ)∠＋APS 形．在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等S ，R ，Q ，P 当解：(2)的面积．ABCD 于原正方形 的面积PQRS 四点运动到正方形四边中点时，四边形S ，R ，Q ，P 当解：(3)面积的一半．ABCD 是原正方形 a.的边长为ABCD 理由：设原正方形 AP.－a ＝SD －a ＝AS 中，APS △Rt 时，在2a 12＝2PS 当，2a 12＝2AP ＋2AP)－(a ，即2PS ＝2AP ＋2AS 由勾股定理，得 a.12＝SD ＝CR ＝BQ 同理可得a.12＝AP 解得 的面PQRS 各边中点时，四边形ABCD 四点运动到正方形S ，R ，Q ，P 当∴积为原正方形面积的一半．4专训 CEB′.≌△AED △(1)解：．1 D.∠＝B ∠，DA ＝BC ∴是矩形，ABCD 四边形∵证明： 由折叠的性质，，B′∠＝B ∠，B′C ＝BC 知 D.∠＝B′∠，DA ＝B′C ∴ 中，CEB′△和AED △在 ⎩⎨⎧∠DEA＝∠B′EC ，∠D＝∠B′，DA＝B′C ， CEB′.≌△AED ∴△(第1题)AB.⊥PM ，则M 于点AB 交HP 如图，延长(2) PG.＝PM ∴，AB′⊥PG ，2∠＝1∵∠ ，3∠＝1∴∠，3∠＝2∴∠，AB ∥CD ∵ 5.＝3－8＝CE ＝AE ∴ ，5＝AE ，3＝DE 中，DE A △Rt 在 4.＝52－32＝AD ∴ 4.＝AD ＝PH ＋PG ∴，AD ＝PM ＋PH ∵ ，BD ∥CE ，AC ∥DE ∵(1)证明：．2 是平行四边形．OCED 四边形∴BD.⊥AC ∴是菱形，ABCD 四边形∵ 是矩形．OCED 四边形∴90°.＝DOC ∴∠ 是菱形，ABCD 四边形∵(2) CD.＝BC ∴ ，CD ＝OE ∴是矩形，OCED 四边形∵ BC.＝OE ∴(第3题)PF，AC ⊥BD ∵H.的延长线于点FP 交FP ⊥BH 作B 如图，过点证明：(1)．3＝ABC ∴∠，AC ＝AB ∵HF.＝BD ∴是矩形．BDFH 四边形∴，PF ⊥BH ，AC ⊥HPB ∵∠又FPC.∠＝EPB ∴∠90°.＝PFC ∠＝PEB ∴∠，AC ⊥PF ，AB ⊥PE ∵C.∠90°.＝PHB ∠＝PEB ∴∠，BH ⊥PH ，AB ⊥PE ∵HPB.∠＝EPB ∴∠，FPC ∠＝ PHB.≌△PEB ∴△，PB ＝PB ∵又 PF.＋PE ＝BD 即PE.＋PF ＝PH ＋PF ＝HF ＝BD ∴，PH ＝PE ∴ PF.＋BD ＝PE 不成立，此时解：(2) BD，PH ＝PE 同理可得(1)与H.的延长线于点PF 交PF ⊥BH 作B 理由：过点PF.＋BD ＝FP ＋FH ＝PE ∴HF.＝(第4题)的对角线，ABCD 是菱形BD ∵，如图．AC 连接证明：(1)．4 的垂直平分线，AC 是线段BD ∴ EC.＝AE ∴ 的中点．BC 是线段F 点解：(2) 是菱形，ABCD 四边形∵理由： CB.＝AB ∴ ，60°＝ABC ∵∠又 是等边三角形，ABC ∴△ 60°.＝BAC ∴∠，EC ＝AE ∵ ACE.∠＝EAC ∴∠ ，60°＝CEF ∵∠ ，30°＝EAC ∴∠ EAB.∠＝EAC ∴∠ 的角平分线．ABC △是AF ∴ CF.＝BF ∴ 的中点．BC 是线段F 点∴ ，2t ＝DC ，30°＝C ∠，0°9＝DFC ∠中，DFC △在证明：(1)．5 DF.＝AE ∴，t ＝AE ∵，又t ＝DF ∴ DF.∥AE ∴，BC ⊥DF ，BC ⊥AB ∵能．理由如下：解：(2) 为平行四边形．AEFD 四边形∴，DF ＝AE ∵又 ，2x ＝AC ，得30°＝C ∠，则由x ＝AB 中，设ABC △Rt 在5.＝AB ∴ 10.＝2AB ＝AC ∴ 2t.－10＝DC －AC ＝AD ∴ 运动到A 从点E ，点)s 5(＝10÷2的时间为A 运动到点C 从点D 由已知得点，AD ∥EF 知(2)由 90°.＝DEF ∠＝ADE ∴∠ ，60°＝C ∠－90°＝A ∵∠ 30°.＝D AE ∴∠ 符合题意．4.＝t ，解得2t)－2(10＝t ，即2AD ＝AE ∴C(1)．6 ，DF′綊AF ∵证明：①(2) 是平行四边形．AFF′D 四边形∴ ，5＝AD ，15＝AD·AE ＝ABCD ▱S ∵ 3.＝AE ∴ ，90°＝E ∠，4＝EF ，3＝AE ∵ 5.＝32＋42＝AE2＋EF2＝AF ∴ ，AF ＝AD ∴，5＝AD ∵ 形．是菱AFF′D 四边形∴ ，DF ，AF′如图，连接解：② ，9＝5＋4＝FF′＋EF ＝EF′，3＝AE 中，AEF′△Rt 在 .103＝AF′由勾股定理可得∴ ，1＝4－5＝EF －EE′＝FE′中，DFE′△Rt 在 ，3＝AE ＝DE′ ，10＝DF 由勾股定理得∴ .10和103的两条对角线的长分别是AFF′D 四边形∴(第6题)，理由如下：EF ＋BF ＝AF 三者之间的数量关系是EF ，BF ，AF 线段解：．7 是正方形，ABCD 四边形∵ 90°.＝ABC ∠＝DAB ∠，AD ＝AB ∴ 90°.＝BAF ∠＋DAE ∴∠ ，F 于AG 交DE ∥BF ，E 于AG ⊥DE ∵ ，90°＝AED ∠＝DEF ∠＝AFB ∴∠ ，90°＝DAE ∠＋ADE ∴∠ BAF.∠＝ADE ∴∠ 中，DAE △和ABF △在 ⎩⎨⎧∠BAF＝∠ADE ，∠AFB＝∠DEA ，AB＝DA ， DAE.≌△ABF ∴△ AE.＝BF ∴EF.＋BF ＝AF ∴，EF ＋AE ＝AF ∵ ，cm 2 ＝DE ＝CE ＝CD ∵(1)证明：．8 60°.＝CDE ∴∠ 是矩形，EHGF 和四边形BCD A 四边形∵又 ，90°＝GDE ∠＝ADC ∴∠ ⎩⎨⎧AD ＝GD ，∠ADE ＝∠GDC ，DE ＝DC ，中，GCD △和AED △在150°.＝GDC ∠＝ADE ∴∠ GCD.≌△AED ∴△ ，45°＝α∵(2) ，45°＝NEC ∠＝NCE ∴∠ ，NE ＝CN ，90°＝CNE ∴∠ 90°.＝HND ∴∠ ，90°＝HND ∠＝D ∠＝H ∴∠ 是矩形．MHND 四边形∴ ND.＝HN ∴，NE ＝CN ，HE ＝CD ∵又 是正方形．MHND 四边形∴。
人教版数学八年级下册：第十八章 平行四边形 专题练习(附答案)
第十八章平行四边形专题练习专题1平行四边形的证明思路类型1若已知(已证)四边形中边的关系(1)已知一组对边平行，可以证这一组对边相等或另一组对边平行；(2)已知一组对边相等，可以证这一组对边平行或另一组对边相等1．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AB上，过点D作BC的平行线，与AC相交于点E，点F在BC上，EF＝EC.求证：四边形DBFE是平行四边形．2．如图，在▱ABCD中，点O是对角线AC，BD的交点，点E是边CD的中点，点F在BC的延长线上，且CF＝12BC，求证：四边形OCFE是平行四边形．3．如图，点B，E，C，F在一条直线上，已知AB∥DE，AC∥DF，BE＝CF，连接AD.求证：四边形ABED是平行四边形．4．如图，在▱ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．5．如图，已知点D，E，F分别在△ABC的边BC，AB，AC上，且DE∥AF，DE＝AF，将FD延长到点G，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．6．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，AF与BE交于点G，CE与DF交于点H，求证：四边形EGFH是平行四边形．类型2若已知条件(已证结论)与对角线有关，则可以通过证明对角线互相平分得到平行四边形7．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O，分别与AB，CD的延长线交于点E，F.求证：四边形AECF是平行四边形．8．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O，与AD，BC 分别相交于点E，F，GH 过点O，与AB，CD 分别相交于点G，H，连接EG，FG，FH，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．专题2与正方形有关的四个常考模型模型1正方形中相交垂线段问题——教材P68复习题T8的变式与应用1．如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE＝CF.要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？【探究】若去掉“DE＝CF”这一条件，将两个结论中的一个作为条件能推出另一个结论成立吗？(1)若已知BE＝AF，则BE⊥AF成立吗？正方形内，分别连接两组对边上任意两点，得到的两条线段(如：图1中的线段AF与BE，图2中的线段AF与EG，图3中的线段HF与EG)满足：若垂直，则相等．模型2正方形中过对角线交点的直角问题2．如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，O又是正方形A1B1C1O的一个顶点，OA1交AB于点E，OC1交BC于点F.(1)求证：△AOE≌△BOF；(2)如果两个正方形的边长都为a，那么这两个正方形重叠部分的面积等于多少？为什么？【变式1】如图，正方形ABCD的边长为4，点O在对角线DB上运动(不与点B，D重合)，连接OA，作OP⊥OA，交直线BC于点P.判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由．【变式2】如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是( )A．n B．n－1 C．4(n－1) D．4n正方形ABCD中，O为两条对角线的交点，点E，F分别在AB，BC上．若∠EOF为直角，OE，OF分别与DA，AB的延长线交于点G，H，则△AOE≌△BOF，△AOG≌△BOH，△OGH是等腰直角三角形，且S四边形OEBF＝14S正方形ABCD.模型3正方形中三垂直全等模型——教材P69复习题T14的变式与应用3．正方形ABCD的边长为6，点P在对角线BD上，点E是线段AD上或AD的延长线上的一点，且PE⊥PC.(1)如图1，点E在线段AD上，求证：PE＝PC；(2)如图2，点E在线段AD的延长线上，请补全图形，并判断(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．模型4正方形中的半角模型4．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.(1)求证：CE＝CF；(2)若点G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE＋GD成立吗？为什么？(1)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，则：①EF＝BE＋DF；②△CEF的周长为正方形ABCD边长的2倍；③FA平分∠DFE，EA平分∠BEF.(2)如图，正方形ABCD中，若∠EAF＝45°，FA平分∠DFE，则EF＝DF－BE.专题3特殊平行四边形的性质与判定1．如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；(2)DE＝BF＋EF.2．如图，四边形ABCD，BEFG均为正方形，连接AG，CE.求证：(1)AG＝CE；(2)AG⊥CE.3．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB 边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．4.已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E，F，G，H，顺次连接EF，FG，GH，HE，得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形)．(1)四边形EFGH的形状是，证明你的结论；(2)当四边形ABCD的对角线满足条件时，四边形EFGH是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？．5．如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.(1)求证：四边形CEFG是菱形；(2)若AB＝6，AD＝10，求四边形CEFG的面积．6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？专题4四边形中的动点问题——教材P68复习题T13的变式与应用【例】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝12 cm，BC ＝18 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以2 cm/s 的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设点P，Q运动的时间为t s.(1)CD边的长度为cm，t的取值范围为；(2)从运动开始，当t取何值时，PQ∥CD?(3)从运动开始，当t取何值时，PQ＝CD?【拓展变式1】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQCD是菱形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式2】从运动开始，当t取何值时，四边形PQBA是矩形？【拓展变式3】在整个运动过程中是否存在t值，使得四边形PQBA是正方形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．【拓展变式4】是否存在t，使得△DQC是等腰三角形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．专题5特殊平行四边形中的折叠问题——教材P64“数学活动”的变式与应用【例】如图1，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN.请你观察图1，猜想∠MBN的度数是多少，并证明你的结论．图1【拓展延伸】再沿MN所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕MG，同时得到线段B′G，展开如图2.探究四边形MBGB′的形状，并证明你的结论．图2在折叠问题中，原图形与折叠后图形中所隐含的相等线段与相等角常常是解决问题的关键，注意翻折变换的性质的灵活运用，折叠前后，重叠部分是全等形，另外注意勾股定理等知识在求折叠图形的线段中的适当运用．1．如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O.若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )A . 5B .32 5 C ．2 5 D ．452．如图，将边长为6 cm 的正方形纸片ABCD 折叠，使点D 落在AB 边中点E 处，点C 落在点Q 处，折痕为FH ，则线段AF 的长是 cm .3．如图，将一张菱形纸片ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH.若EF ＝4，EH ＝3，则AB ＝ ．4．如图，在矩形ABCD 中，AB>AD ，把矩形沿对角线AC 所在直线折叠，使点B 落在点E 处，AE 交CD 于点F ，连接DE.求证： (1)△ADE ≌△CED ； (2)△DEF 是等腰三角形．专题6特殊平行四边形中的最值问题【例】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB的中点，P 为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值．【思路点拨】(1)先确定点P的位置：作点E关于AC的对称点E′，连接FE′，交AC于点P，则点P即为所求；(2)求E′F的长度：将E′F放到一个直角三角形中，利用勾股定理求出E′F的长，即求出了PF＋PE的最小值．求线段和最小时，若已知的两点在动点所在直线的同侧，将动点所在直线当作对称轴，作出其中一点的对称点，再将另一点与这个对称点连接，则其与直线的交点即为所求动点所在位置，再求出所连接的线段长即为所求．1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，点E为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，则PB＋PE的最小值为．2．如图，在矩形ABCD 的边AD 上找一点P ，使得点P 到B ，C 两点的距离之和最短，则点P 的位置应该在 ．3．如图，四边形ABCD 是菱形，AB ＝8，且∠ABC ＝60°，M 为对角线BD(不含B 点)上任意一点，则AM ＋12BM 的最小值为 ．4．如图，以边长为2的正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A ，B 两点，求线段AB 的最小值．参考答案：专题1 平行四边形的证明思路1．证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵EF ＝EC ，∴∠EFC ＝∠C. ∴∠B ＝∠EFC. ∴AB ∥EF. 又∵DE ∥BC ，∴四边形DBFE 是平行四边形．2．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上， ∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形． 3．证明：∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF. ∵AC ∥DF ，∴∠ACB ＝∠F.∵BE ＝CF ，∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF. 在△ABC 和△DEF 中，⎩⎨⎧∠B ＝∠DEF ，BC ＝EF ，∠ACB ＝∠F ，∴△ABC ≌△DEF(ASA )．∴AB ＝DE. ∵AB ∥DE ，∴四边形ABED 是平行四边形．4．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°. ∴BF ＝DE ，CF ＝AE.∵∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ， ∴∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形． 5．解：ED 与AG 互相平分． 理由：连接EG ，AD. ∵DE ∥AF ，DE ＝AF ， ∴四边形AEDF 是平行四边形． ∴AE ∥DF ，AE ＝DF. 又∵FG ＝2DF ， ∴DG ＝DF. ∴AE ＝DG. 又∵AE ∥DG ，∴四边形AEGD 是平行四边形． ∴ED 与AG 互相平分．6．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵E ，F 分别是AD ，BC 的中点， ∴AE ＝12AD ，FC ＝12BC.∴AE ∥FC ，AE ＝FC.∴四边形AECF 是平行四边形． ∴GF ∥EH.同理可证：ED ∥BF 且ED ＝BF. ∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴GE ∥FH.∴四边形EGFH 是平行四边形．7．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC. ∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证：OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．专题2 与正方形有关的四个常考模型1．解：BE ＝AF 且BE ⊥AF ，理由： ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵DE ＝CF ，∴AE ＝DF. ∴△ABE ≌△DAF(SAS )． ∴BE ＝AF ，∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF.【探究】解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝∠D ＝90°，AB ＝AD. 在Rt △ABE 和Rt △DAF 中，⎩⎨⎧AB ＝DA ，BE ＝AF ，∴Rt △ABE ≌Rt △DAF(HL )． ∴∠ABE ＝∠DAF.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∴∠AGB ＝90°，即BE ⊥AF. (2)若已知BE ⊥AF ，则BE ＝AF 成立吗？ 解：成立．理由：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠D ＝90°. 又∵BE ⊥AF ，∴∠AGB ＝90°. ∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°.∵∠DAF ＋∠BAF ＝90°，∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA )． ∴BE ＝AF.2．解：(1)证明：在正方形ABCD 中，AO ＝BO ，∠AOB ＝∠A 1OC 1＝90°，∠OAB ＝∠OBC ＝45°. ∴∠AOE ＋∠EOB ＝90°，∠BOF ＋∠EOB ＝90°. ∴∠AOE ＝∠BOF. 在△AOE 和△BOF 中，⎩⎨⎧∠OAE ＝∠OBF ，OA ＝OB ，∠AOE ＝∠BOF ，∴△AOE ≌△BOF(ASA )．(2)两个正方形重叠部分的面积等于14a 2.理由如下：∵△AOE ≌△BOF ，∴S 四边形OEBF ＝S △EOB ＋S △BOF ＝S △EOB ＋S △AOE ＝S △AOB ＝14S 正方形ABCD ＝14a 2.【变式1】 解：OA ＝OP ，理由：过点O 作OG ⊥AB 于点G ，过点O 作OH ⊥BC 于点H ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ABO ＝∠CBO ，AB ＝BC. ∴OG ＝OH.∵∠OGB ＝∠GBH ＝∠BHO ＝90°， ∴四边形OGBH 是正方形． ∴∠GOH ＝90°.∵∠AOP ＝∠GOH ＝90°，∴∠AOG ＝∠POH. ∴△AGO ≌△PHO(ASA )． ∴OA ＝OP. 【变式2】 B3．解：(1)证明：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 易得∠PFD ＝∠CGP ＝90°. ∵BD 为正方形ABCD 的对角线， ∴∠BDF ＝∠FPD ＝45°. ∴PF ＝FD.又∵FG ∥DC ，FD ∥GC ，∠ADC ＝90°， ∴四边形FGCD 为矩形． ∴DF ＝CG. ∴PF ＝CG. ∵PE ⊥PC ，∴∠FPE ＋∠GPC ＝90°. ∵∠FEP ＋∠FPE ＝90°， ∴∠FEP ＝∠GPC. ∴在△PFE 和△CGP 中，⎩⎨⎧∠PFE ＝∠CGP ，∠FEP ＝∠GPC ，PF ＝CG ，∴△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝CP.(2)成立．理由：过点P 作FG ∥DC 分别交AD ，BC 于点F ，G. 同理可证△PFE ≌△CGP(AAS )． ∴PE ＝PC.4．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴BC ＝CD ，∠B ＝∠CDF.又∵BE ＝DF ，∴△CBE ≌△CDF(SAS )．∴CE ＝CF.(2)GE ＝BE ＋GD 成立．理由：由(1)得，△CBE ≌△CDF ，∴∠BCE ＝∠DCF.∴∠BCE ＋∠ECD ＝∠DCF ＋∠ECD ，即∠BCD ＝∠ECF ＝90°.又∵∠GCE ＝45°，∴∠GCF ＝∠GCE ＝45°.∵CE ＝CF ，∠GCE ＝∠GCF ，GC ＝GC ，∴△ECG ≌△FCG(SAS )．∴GE ＝GF.∴GE ＝DF ＋GD ＝BE ＋GD.专题3 特殊平行四边形的性质与判定1．证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝AD ，AD ∥BC.∴∠BPF ＝∠DAE.∵∠ABC ＝∠AED ，∴∠BAF ＝∠ADE.∵∠ABF ＝∠BPF ，∴∠ABF ＝∠DAE.∵AB ＝DA ，∴△ABF ≌△DAE(ASA )．(2)∵△ABF ≌△DAE ，∴AE ＝BF ，DE ＝AF.∵AF ＝AE ＋EF ＝BF ＋EF ，∴DE ＝BF ＋EF.2．证明：(1)∵四边形ABCD ，BEFG 均为正方形，∴AB ＝CB ，∠ABC ＝∠GBE ＝90°，BG ＝BE.∴∠ABG ＝∠CBE.在△ABG 和△CBE 中，⎩⎨⎧AB ＝CB ，∠ABG ＝∠CBE ，BG ＝BE ，∴△ABG ≌△CBE(SAS )．∴AG ＝CE.(2)设AG 交BC 于点M ，交CE 于点N.∵△ABG ≌△CBE ，∴∠BAG ＝∠BCE.∵∠ABC ＝90°，∴∠BAG ＋∠AMB ＝90°.∵∠AMB ＝∠CMN ，∴∠BCE ＋∠CMN ＝90°.∴∠CNM ＝90°.∴AG ⊥CE.3．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴ND ∥AM.∴∠NDE ＝∠MAE ，∠DNE ＝∠AME.又∵点E 是AD 边的中点，∴DE ＝AE.∴△NDE ≌△MAE(AAS )．∴ND ＝MA.∴四边形AMDN 是平行四边形．(2)当AM 的长为1时，四边形AMDN 是矩形．理由如下：∵AM ＝1＝12AD ＝AE ，∠DAB ＝60°， ∴△AEM 是等边三角形．∴∠AME ＝∠AEM ＝60°，EM ＝AE ＝ED.∴∠EMD ＝∠EDM ＝30°.∴∠AMD ＝∠AME ＋∠EMD ＝90°.∴四边形AMDN 是矩形．4.(1)四边形EFGH 的形状是平行四边形，证明你的结论；(2)当四边形ABCD 的对角线满足互相垂直条件时，四边形EFGH 是矩形；(3)你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？菱形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 中点，∴EH ∥BD ，EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ，FG ＝12BD ， ∴EH ∥FG ，EH ＝FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．5．解：(1)证明：由题意得△BCE ≌△BFE ，∴∠BEC ＝∠BEF ，FE ＝CE.∵FG ∥CE ，∴∠FGE ＝∠BEC.∴∠FGE ＝∠BEF.∴FG ＝FE.∴FG ＝EC.∴四边形CEFG 是平行四边形．又∵CE ＝FE ，∴四边形CEFG 是菱形．(2)∵矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝10，BC ＝BF ，∴∠BAF ＝90°，AD ＝BC ＝BF ＝10.∴AF ＝BF 2－AB 2＝8.∴DF ＝2.设EF ＝x ，则CE ＝x ，DE ＝6－x.∵∠FDE ＝90°，∴22＋(6－x)2＝x 2.解得x ＝103.∴CE ＝103. ∴S 四边形CEFG ＝CE·DF ＝103×2＝203. 6．解：(1)能说明四边形EHFG 是平行四边形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB 綊CD.而AE ＝12AB ，CF ＝12CD ， ∴AE 綊CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴GF ∥EH.同理可得GE ∥HF.∴四边形EHFG 是平行四边形．(2)当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．由(1)知，四边形EHFG 是平行四边形．连接EF.当四边形ABCD 是矩形时，四边形EBCF 也是矩形，∴EH ＝FH ，∴四边形EHFG 是菱形．(3)当四边形ABCD 是矩形且AB ＝2AD 时，四边形EHFG 是正方形．由(2)知，当四边形ABCD 是矩形时，四边形EHFG 是菱形．又由AB ＝2AD 可知，四边形EBCF 是正方形．根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90°，∴四边形EHFG是正方形．专题4四边形中的动点问题【例】(1)CD边的长度为10cm，t的取值范围为0≤t≤9；解：(2)设经过t s时，PQ∥CD，此时四边形PQCD为平行四边形，则PD＝CQ.∵PD＝(12－t)cm，CQ＝2t cm，∴12－t＝2t.∴t＝4.∴当t＝4时，PQ∥CD.(3)设经过t s时，PQ＝CD，分别过点P，D作BC边的垂线PE，DF，垂足分别为E，F.当CF＝EQ时，四边形PQCD为梯形(腰相等)或者平行四边形．∵∠B＝∠A＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD是矩形．∴AD＝BF.∵AD＝12 cm，BC＝18 cm，∴CF＝BC－BF＝6 cm.①当四边形PQCD为梯形(腰相等)时，PD＋2(BC－AD)＝CQ，∴(12－t)＋12＝2t.∴t＝8.∴当t＝8时，PQ＝CD；②当四边形PQCD为平行四边形时，由(2)知当t＝4 s时，PQ＝CD.综上，当t＝4或t＝8时，PQ＝CD.【拓展变式1】解：不存在．理由：要使四边形PQCD是菱形，则四边形PQCD一定是平行四边形．由例知当t＝4 s时，四边形PQCD是平行四边形．此时DP＝12－t＝8≠10，即DP≠DC，所以按已知速度运动，四边形PQCD只能是平行四边形，不可能是菱形．【拓展变式2】解：如图，由题意，得AP ＝t ，DP ＝12－t ，CQ ＝2t ，BQ ＝18－2t.要使四边形PQBA 是矩形，已有∠B ＝90°，AD ∥BC ，即AP ∥BQ ，只需满足AP ＝BQ ，即t ＝18－2t ，解得t ＝6.所以当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．【拓展变式3】 解：不存在．理由：要使四边形PQBA 是正方形，则四边形PQBA 一定是矩形．由变式2知，当t ＝6时，四边形PQBA 是矩形．此时AP ＝t ＝6≠8，即AP ≠AB ，所以按已知速度运动，四边形PQBA 只能是矩形，不可能是正方形．【拓展变式4】 解：△DQC 是等腰三角形时，分三种情况讨论：图1 图2 图3①如图1，当QC ＝DC 时，即2t ＝10，∴t ＝5.②如图2，当DQ ＝DC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，则QH ＝CH ＝12CQ ＝t. 在矩形ABHD 中，BH ＝AD ＝12，∴CH ＝BC －BH ＝6，∴t ＝6.③如图3，当QD ＝QC 时，过点D 作DH ⊥CQ ，DH ＝8，CH ＝6，DC ＝10，CQ ＝QD ＝2t ，QH ＝|2t －6|.在Rt △DQH 中，DH 2＋QH 2＝DQ 2.∴82＋|2t －6|2＝(2t)2.解得t ＝256. 综上，当t ＝5或6或256时，△DQC 是等腰三角形专题5 特殊平行四边形中的折叠问题【例】 解：∠MBN ＝30°.证明：连接AN .∵直线EF 是AB 的垂直平分线，点N 在EF 上，∴AN ＝BN .由折叠可知，BN ＝AB ，∴△ABN 是等边三角形．∴∠ABN ＝60°.∴∠MBN ＝∠ABM ＝12∠ABN ＝30°. 【拓展延伸】 解：四边形MBGB′是菱形．证明：∵∠ABM ＝30°，∠A ＝∠ABC ＝90°，∴∠MBG ＝∠AMB ＝60°.根据折叠的性质，得BM ＝MB′，BG ＝B′G ，∠BMN ＝∠AMB.∴∠BMN ＝∠MBG ＝60°.∴△MBG 是等边三角形．∴BM ＝BG.∴BM ＝MB′＝BG ＝B′G.∴四边形MBGB′是菱形．1．C2． 94cm . 3．5．4．证明：(1)由折叠相关性质可知，AE ＝AB ，CE ＝CB.∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ＝AB ＝DC ，CE ＝CB ＝AD.在△ADE 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CE ，AE ＝CD ，DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)由(1)知，△ADE ≌△CED ，∴∠AED ＝∠CDE.∴△DEF 是等腰三角形．小专题(十) 特殊平行四边形中的最值问题【例】 解：作点E 关于直线AC 的对称点E′(易知点E′在CD 上)，连接E′F ，交AC 于点P.则PE ＝PE′，CE ′＝CE.∴PE ＋PF ＝PE′＋PF ＝E′F.∴P 即为所求的使PF ＋PE 最短的点．∵正方形ABCD 的边长为4，BE ＝1，F 为AB 的中点， ∴BF ＝2，CE ＝CB －BE ＝3.∴CE ′＝CE ＝3.过点F 作FG ⊥CD 于点G ，则∠FGE′＝∠FGC ＝90°. ∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠FGC ＝90°.∴四边形FBCG 是矩形．∴CG ＝BF ＝2，FG ＝BC ＝4.∴E ′G ＝E′C －CG ＝1.∴在Rt △E ′FG 中，E ′F ＝FG 2＋E′G 2＝42＋12＝17. ∴PF ＋PE 的最小值为17.12．AD 的中点．34．解：∵四边形CDEF 是正方形，∴∠OCA ＝∠ODB ＝45°，∠COD ＝90°，OC ＝OD. ∵AO ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°.∴∠COA ＋∠AOD ＝90°，∠AOD ＋∠DOB ＝90°. ∴∠COA ＝∠DOB.在△COA 和△DOB 中，⎩⎨⎧∠OCA ＝∠ODB ，OC ＝OD ，∠COA ＝∠DOB ，∴△COA ≌△DOB(ASA )．∴OA ＝OB.∵∠AOB ＝90°，∴△AOB 是等腰直角三角形． 由勾股定理，得AB ＝OA 2＋OB 2＝2OA ，要使AB 最小，只要OA 取最小值即可，根据垂线段最短，得OA ⊥CD 时，OA 最小，∵四边形CDEF 是正方形，∴OD ＝OC.又∵OA ⊥CD ，∴CA ＝DA.∴OA ＝12CF ＝1.∴AB ＝ 2.∴AB的最小值为 2.。
2020-2021学年人教版八年级数学下册18.2特殊的平行四边形练习(有答案)
第1页 共10页特殊的平行四边形练习一、选择题1. 已知四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AD //BC ，下列判断中错误．．的是( ) A. 如果AB =CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形B. 如果AB //CD ，AC ＝BD ，那么四边形ABCD 是矩形C. 如果AD =BC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形D. 如果OA =OC ，AC ⊥BD ，那么四边形ABCD 是菱形2. 下列命题中是真命题的是( )A. 同位角相等B. 对角线相等的四边形是平行四边形C. 四条边相等的四边形是菱形D. 矩形的对角线一定互相垂直3. 如图，广场中心的菱形花坛ABCD 的周长是40米，∠A =60°，则A ，C 两点之间的距离为( )A. 5米B. 5√3米C. 10米D. 10√3米4. 如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC =8，BD =6，则菱形ABCD 的周长是( )A. 32B. 24C. 40D. 205. 如果点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边AB ，BC ，CD ，DA 上的中点，那么四边形EFGH 是( ).A. 菱形B. 矩形C. 正方形D. 以上都不是 6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的特殊性质是( )A. 对边相等B. 对角线互相平分C. 对角线相等D. 对角相等7. 如图，正方形AEFG的边AE放置在正方形ABCD的对角线AC上，EF与CD交于点M，得四边形AEMD，且两正方形的边长均为2，则两正方形重合部分(阴影部分)的面积为( )A. ﹣4+4√2B. 4√2+4C. 8﹣4√2D. √2+18.如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BC,垂足为E,AB=√3,AC=2,BD=4,则AE 的长为()A. √32B. 32C. √217D. 2√2179. 已知四边形ABCD和对角线AC,BD，顺次连接各边中点得四边形MNPQ，给出以下4个命题：①若所得四边形MNPQ为矩形，则AC⊥BD；②若所得四边形MNPQ为菱形，则AC= BD；③若所得四边形MNPQ为矩形，则∠BAD=90∘；④若所得四边形MNPQ为菱形，则AB =AD.以上命题中，正确的是( )A. ①②B. ③④C. ①③D. ①②③④10.如图,在平面直角坐标系中,▱OABC的顶点A的坐标为(-4,0),顶点B在第二象限,∠BAO=60°,BC交y轴于点D,BD∶DC=3∶1,若函数y=kx(k>0,x>0)的图象经过点C,则k的值为()A. √33B. √32C. 2√33D. √3二、填空题11. 把20 cm长的铁丝剪成两段后，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值是________.12. 如图，在△ABC中，AB =AC，将△ABC绕点C旋转180°，得到△FEC，连接AE,BF，当∠ACB=__________时，四边形ABFE是矩形.13. 如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，△AEF是等边三角形，如果AB=1，那么CE的长是________.三、解答题14.如图,四边形ABCD中,AC,BD相交于点O ,O是AC的中点,AD∥BC,AC=8,BD=6.(1)求证:四边形ABCD是平行四边形;(2)若AC⊥BD,求▱ABCD的面积.15. 如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E，F分别在边CD，AB上.(1)若DE=BF，求证：四边形AFCE是平行四边形；(2)若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长.第3页共10页16. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE=1AC，连接2CE，OE，连接AE交OD于点F.(1)求证：OE=CD；(2)若菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AE的长.17.如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E为AD的中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC的长.18. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120∘，AB=4 cm，求矩形对角线AC的长.19. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，且DE=DA，AF⊥DE于F，求证：AF=CD.20. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交AB于E，交AC于F.求证：四边形AEDF是菱形.21. 如图，在四边形ABCD中，BE= DF，AC和EF互相平分于点O，∠B=90∘.求证：四边形ABCD是矩形.第5页共10页参考答案1. 【答案】A【解析】A:由AD//BC，AB=CD不能判定四边形是平行四边形，组成的四边形可能是等腰梯形，故A错；B:由AD//BC，AB//CD得四边形ABCD是平行四边形，由AC＝BD得对角线相等的平行四边形是矩形，B正确；C:由AD//BC，AB//CD得四边形ABCD是平行四边形，由AC⊥BD得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；D:由AD//BC得∠ADO=∠CBO，又AC⊥BD，得∠AOD=∠COB，OA=OC，∴△AOD≌△COB，∴AD=BC，四边形ABCD是平行四边形，又AC⊥BD，得对角线互相垂直的平行四边形是菱形.故选A.2. 【答案】C【解析】如图1，∠1与∠2是同位角，但不相等，故A错误；如图2，AC=BD，但四边形ABCD不是平行四边形，故B错误；四条边相等的四边形是菱形，正确，故C正确；如图4，矩形的对角线不一定垂直，故D错误.故选C.3. 【答案】D【解析】设AC与BD交于点O.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，OA=OC，OB=OD，AB=BC=CD=AD=40÷4=10米，∵∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形，∴BD=AB=10米，OD=OB=5米，在Rt△AOB中，根据勾股定理得：OA=5√3米，∴AC=2OA=10√3米.故选D.4. 【答案】D【解析】已知菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，可得BO=OD=3，AO=OC=4，在△AOB中，根据勾股定理可得AB=5，菱形的四条边都相等，周长为20，故选D.第7页 共10页5. 【答案】B 【解析】如图，连接AC ,BD ,∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD .而点E ，F ，G ，H 分别是菱形ABCD 四边的中点， ∴EF ∥AC ，EF =12AC ,GH ∥AC ，GH =12AC ，∴EF ∥GH ，EF =GH ，∴四边形EFGH 为平行四边形,∵EF ∥AC ，FG ∥BD ，AC ⊥BD ，∴∠EFG =90°，∴四边形EFGH 为矩形， 故选B.6. 【答案】C 【解析】直接利用矩形的性质判断即可.7. 【答案】A 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠D =90°，∠ACD =45°，AD =CD =2，则S △ACD =12AD ⋅CD =12×2×2=2，AC =√2AD =2√2，则EC =2√2−2， ∵△MEC 是等腰直角三角形，∴S △MEC =12ME ⋅EC =12(2√2−2)2=6﹣4√2， ∴阴影部分的面积=S △ACD ﹣S △MEC =2﹣(6﹣4√2)=4√2−4.故选A.8. 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD 为平行四边形,∴OA =12AC =1,OB =12BD =2.在△AOB中,OA 2+AB 2=1+3=4=OB 2,∴∠OAB =90°,∴BC =√AB 2+AC 2=√(√3)2+22=√7. ∵AE ⊥BC ,∠OAB =90°,∴AB ·AC =BC ·AE ,∴AE =AB·ACBC=√3√7=2√217,故选D .9. 【答案】A 【解析】如图1，在矩形MNPQ 中，M ,N ,P ,Q 分别是各边的中点，∴∠QPN =90∘，PQ //AC //MN ，PN //BD //QM ，∴AC ⊥ BD ，但∠BAD ≠90∘，①正确，③不正确；如图2，∵四边形MNPQ 为菱形，M ,N ,P ,Q 分别是各边的中点，∴MQ =PQ =PN =MN ，∴AC =BD ，但AB ≠AD ，②正确，④不正确，故选A.10. 【答案】D【解析】因为BD︰DC=3︰1,OA=4,所以点C的横坐标为1,因为∠DCO=∠BAO=60°,∠ODC=90°,DC=1,所以点C的纵坐标为√3所以C(1,√3因为函数y=kx的图象经过点C,所以k=xy=√3,故选D.11. 【答案】252cm2【解析】铁丝剪成两段后，分别围成正方形，∴两个正方形边长之和为5.设其中一个正方形的边长为x cm，0<x<5,则另一个正方形的边长为(5-x)cm，则两个正方形的面积和为x2+(5−x)2=2(x−52)2+252，当x=52时，面积有最小值252cm2.12. 【答案】60∘【解析】∵AC=CF，BC=CE，∴四边形ABFE是平行四边形，要使▱ABFE是矩形，只需AF=BE，即AC=BC，∴AC=BC=AB，因此△ABC是正三角形，∴∠ACB=60∘，故应填60°.13. 【答案】√3−1【解析】在正方形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°,△AEF是等边三角形，∴AE=AF,∴Rt△ABE≌Rt△ADF,∴BE=DF,∴CE=CF，设CE=CF=x，则BE=1-x,EF=AE=√2x,在Rt△ABE中，由AB²+BE²=AE²得1²+(1-x) ²=(√2x)²，解得x₁=√3−1,x₂=−√3−1(舍去)，∴CE长是√3−1.14.(1) 【答案】∵O是AC的中点,∴OA=OC,∵AD∥BC,∴∠ADO=∠CBO,在△AOD和△COB中,{∠ADO=∠CBO∠AOD=∠COBOA=OC,∴△AOD≌△COB(AAS),∴OD=OB,∴四边形ABCD是平行四边形.(2) 【答案】∵四边形ABCD是平行四边形,AC⊥BD, ∴四边形ABCD是菱形.∴S菱形ABCD =12AC·BD=12×8×6=24.15.(1) 【答案】∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，又∵AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形.(2) 【答案】∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=√62+x2，CE=8-x，则√62+x2=8−x，解得：x=74，则菱形AFCE的边长为8−74=25 4，∴菱形AFCE周长为4×254=25.16.(1) 【答案】在菱形ABCD中，OC=12AC，AC⊥BD，∴DE=OC. ∵DE∥AC，∴四边形OCED是矩形，∴OE=CD.(2) 【答案】在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，AC=AB=2.∴在矩形OCED中，CE= OD=√AD2−AO2=√4−1=√3.在Rt△ACE中，AE=2+CE2=√3+4=√7.17.(1) 【答案】∵AD=2BC,E为AD的中点,∴DE=BC.∵AD∥BC,∴四边形BCDE为平行四边形.∵∠ABD=90°,AE=DE,∴BE=DE,∴四边形BCDE为菱形.(2) 【答案】∵AD∥BC,AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC=∠BCA,∴AB=BC=1.∵AD=2BC=2,∴∠ADB=30°.∴∠DAC=30°,∠ADC=60°,∴∠ACD=90°.在Rt△ACD中,AD=2,CD=1,∴AC=√AD2-CD2=√22-12=√3.18. 【答案】在四边形ABCD中，OA=OB，∵∠AOD=120∘，∴∠AOB=60∘，∴△AOB为等边三角第9页共10页形.∵AB =4 cm，∴AC=2OA =2AB=8 cm.19. 【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ADE=∠DEC.∵AF⊥DE于F，∴∠AFD=∠C=90°.∵DE=DA，∴△ADF≌△DEC.∴AF=CD.20. 【答案】证明：∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,又∵EF⊥AD，∴∠AOE=∠AOF=90°在△AEO和△AFO中{∠EAO=∠FAO AO=AO∠AOE=∠AOF，∴△AEO≌△AFO(ASA)，∴EO=FO.即EF,AD相互平分，∴四边形AEDF是平行四边形.又EF⊥AD，∴平行四边形AEDF为菱形.21. 【答案】连接AF，CE.∵AC和EF互相平分，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE =CF，AE // CF. 又∵BE=DF，∴AE+BE=CF+DF，即AB =CD，∴四边形ABCD是平行四边形. 又∵∠B=90∘，∴四边形ABCD是矩形.。
人教版第二学期八年级数学18.2：特殊的平行四边形 同步训练(含答案)
人教版2019-2020学年第二学期八年级数学第18章平行四边形18.2特殊的平行四边形同步训练☆选择题（请在下面的四个选项中将正确的答案选在括号里）1．如图，菱形ABCD 中，130D ∠=︒，则1∠=（ ）A ．30B ．25︒C ．20︒D ．15︒2．如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，连接,45,1,AE BE DAE CBE AD ∠=∠=︒=、则ABE △的周长等于( )A ．6．B ．C ．2D ．23．下列性质中，矩形不一定具有的是( )A ．对角线相等B ．对角线互相平分C ．4个内角相等D ．一条对角线平分一组对角4．如图，EF 过矩形ABCD 对角线的交点O ，且分别交AB 、CD 于E 、F ，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 的面积的( )A ．15B ．14C ．13D ．3105．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为ABCD 的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则ABCD 的最小内角的度数为（ ）A ．20B ．30C ．45D ．606．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，AB =5，AC =6，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．327．如图，四边形ABCD 是菱形，8AC =，6DB =，DH AB ⊥于点H ．则DH =（ ）A ．6B ．245C ．485D ．58．如图，正方形硬纸片ABCD 的边长是4，点E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（ ）A．2B．4C．8D．109．如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为（）A．8 B．C．D．10、、、分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点.则下列说法：①若10．如图，点E F G H=，则四边形EFGH为矩形；②若AC BD⊥，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是AC BD平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等.其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4☆填空题11．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．12．己知菱形的两条对角线长分别是4和8，则菱形的面积为________．AC BD相交于点O．使得四边形ABCD成为菱形，需添加一个条件是13．在ABCD中，对角线,__________________．14．正方形ABCD的周长为20 cm，E为对角线BD上的一个动点，则矩形EFCG的周长为___________cm．15．如图，将长方形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处.若32AGE∠=，则GHC∠的等于_____．16．如图，在菱形ABCD中，tan∠A＝43，M，N分别在AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，DFNC的值为_____．17．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=23+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．18．如图，已知在Rt△ABC中，AB＝AC＝3√2，在△ABC内作第1个内接正方形DEFG；然后取GF的中点P，连接PD、PE，在△PDE内作第2个内接正方形HIKJ；再取线段KJ的中点Q，在△QHI内作第3个内接正方形…，依次进行下去，则第2019个内接正方形的边长为_____．☆解答题19．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形．（2）若AB=5，BD=8，求矩形AODE的周长．20．过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状，并说明理由；（2）若CE=4，求AC的长．21．如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，AE=AB，连结AC、DE、CE．（1）求证：四边形ACDE为平行四边形．（2）若AB=AC，AD=4，CE=6，求四边形ACDE的面积．22．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．23．如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分线，点O为AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE=OD，连接AE，BE，（1）求证：四边形AEBD是矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形，并说明理由．24．如图，在四边形ABCD 中，AB DC ，AB AD =，对角线AC ，BD 交于点O ，AC 平分BAD ∠，过点C 作CE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AB =2BD =，求OE 的长．25．已知正方形ABCD 与正方形CEFG ，M 是AF 的中点，连接DM ，EM ．（1）如图1，点E 在CD 上，点G 在BC 的延长线上，请判断DM ，EM 的数量关系与位置关系，并直接写出结论；（2）如图2，点E 在DC 的延长线上，点G 在BC 上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论； （3）将图1中的正方形CEFG 绕点C 旋转，使D ，E ，F 三点在一条直线上，若AB=13，CE=5，请画出图形，并直接写出MF 的长．26．如图1，已知正方形ABCD 的边CD 在正方形DEFG 的边D E 上，连接AE 、GC ．（1）试猜想AE 与GC 有怎样的关系，并证明你的结论．（2）将正方形DEFG 绕点D 按顺时针方向旋转，使点E 落在BC 边上，如图2，连接AE 和CG ．你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．27．矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，P 为DE 上的一点（PE ＜PD ），PM ⊥PD ，PM 交AD 边于点M ．（1）若点F 是边CD 上一点，满足PF ⊥PN ，且点N 位于AD 边上，如图1所示．求证：①PN=PF ；②DF +DP ；（2）如图2所示，当点F 在CD 边的延长线上时，仍然满足PF ⊥PN ，此时点N 位于DA 边的延长线上，如图2所示；试问DF ，DN ，DP 有怎样的数量关系，并加以证明．28．某校初二数学兴趣小组活动时，碰到这样一道题：“已知正方形ABCD ，点,,,E F G H 分别在边,,,AB BC CD DA 上，若EG FH ⊥，则EG FH =”． 经过思考，大家给出了以下两个方案：（甲）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，过点B 作//BN EG 交CD 于点N ；（乙）过点A 作//AM HF 交BC 于点M ，作//AN EG 交CD 的延长线于点N ；同学们顺利地解决了该题后，大家琢磨着想改变问题的条件，作更多的探索．（1）对小杰遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个，加以证明（如图1）；（2）如果把条件中的“EG FH ”改为“EG 与FH 的夹角为45”，并假设正方形ABCD 的边长为l ，FH （如图2），试求EG 的长度．参考答案1．B2．C3．D4．B5．B6．C7．B8．B9．D10．A11．612．1613．AC BD ⊥（答案不唯一）14．1015．10616．67． 17．①②④ 18．3×(12)201819．（1）略；（2）1420．（1）四边形ACED 是平行四边形；（2）21．(1)证明略；(2)12.22．（1）∠ABD=60°；（2）BE=1．23．解：（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ， ∴四边形AEBD 是平行四边形．∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ．∴∠ADB=90°．∴平行四边形AEBD 是矩形．（2）当∠BAC=90°时，矩形AEBD 是正方形．理由如下：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ．∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．24．（1）证明略；（2）2.25．（1）DM ⊥EM ，DM=EM ； （2）DM ⊥EM ，DM=EM ；（3）满足条件的MF． 26．（1） AE ⊥GC ，AE =GC ；（2）成立27．（1）略；（2）DN DF -=，证明略．28．（1）略；（2）EG ．。
【人教版】八年级数学下第十八章《平行四边形》课时作业(含答案)
第十八章平行四边形18．1平行四边形18．1.1平行四边形的性质第1课时平行四边形的边、角特征01基础题知识点1平行四边形的概念1．如图，在▱ABCD中，EF∥BC，则图中平行四边形有3个．第1题图第2题图2．如图，AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，图中有3个平行四边形，它们分别是▱ABCE，▱ABGC，▱AFBC．知识点2平行四边形的边、角特征3．(教材P43T1的变式)在▱ABCD中，AD＝3 cm，AB＝2 cm，则▱ABCD的周长等于(A) A．10 cm B．6 cmC．5 cm D．4 cm4．(·衢州)如图，在▱ABCD中，M是BC延长线上的一点，若∠A＝135°，则∠MCD的度数是(A)A．45°B．55°C．65°D．75°5．在▱ABCD中，两邻边的差为4 cm，周长为32 cm，则两邻边长分别为10__cm，6__cm．6．(1)在▱ABCD 中，若∠A∶∠B＝5∶4，则∠C＝100°；(2)已知▱ABCD 的周长为28 cm，若AB∶BC＝3∶4，则AB＝6__cm，BC＝8__cm．7．如图，在▱ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠B＝∠D.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.∵CM⊥AD，CN⊥AB，∴∠BNC＝∠DMC＝90°.∴∠BCN＝∠DCM＝45°.∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝45°.8．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一直线上，且BE＝DF.求证：AE＝CF.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴∠ABD ＝∠CDB. ∴∠ABE ＝∠CDF.在△ABE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△CDF(SAS )． ∴AE ＝CF.知识点3 平行线间的距离9．如图，a ∥b ，AB ∥CD ，CE ⊥b ，FG ⊥b ，点E ，G 为垂足，则下列说法不正确的是(D )A ．AB ＝CD B ．EC ＝GFC ．A ，B 两点的距离就是线段AB 的长度D ．a 与b 的距离就是线段CD 的长度第9题图 第10题图10．(·柳州)如图，若▱ABCD 的面积为20，BC ＝5，则边AD 与BC 间的距离为4．02 中档题11．在▱ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可能是(A)A ．2∶5∶2∶5B ．3∶4∶4∶5C ．4∶4∶3∶2D ．2∶3∶5∶612．如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，AC 的垂直平分线交AD 于点E ，则△CDE 的周长是(B )A ．7B ．10C ．11D ．12第12题图 第13题图13．如图所示，直线a ∥b ，A 是直线a 上的一个定点，线段BC 在直线b 上移动，那么在移动过程中△ABC 的面积(C )A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定14．(·鹤岗)在▱ABCD 中，∠A 的平分线把BC 边分成长度是3和4的两部分，则▱ABCD 的周长是(C)A ．22B ．20C ．22或20D ．1815．(·武汉)如图，在▱ABCD 中，∠D ＝100°，∠DAB 的平分线AE 交DC 于点E ，连接BE .若AE ＝AB ，则∠EBC 的度数为30°．第15题图 第16题图16．如图，▱ABCD 与▱DCFE 的周长相等，且∠BAD ＝60°，∠F ＝110°，则∠DAE 的度数为25°．17．如图，在▱ABCD 中，点P 是对角线BD 上的一个动点(点P 与点B 、点D 不重合)，过点P 作EF ∥BC ，GH ∥AB ，则图中面积始终相等的平行四边形有3 对．18．(·温州)如图，E 是▱ABCD 的边CD 的中点，延长AE 交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ADE ≌△FCE ；(2)若∠BAF ＝90°，BC ＝5，EF ＝3，求CD 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF. ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠DAE ＝∠F ，∠D ＝∠ECF ，DE ＝CE ，∴△ADE ≌△FCE(AAS )． (2)∵△ADE ≌△FCE ， ∴AE ＝EF ＝3. ∵AB ∥CD ，∴∠AED ＝∠BAF ＝90°. 在▱ABCD 中，AD ＝BC ＝5， ∴DE ＝AD 2－AE 2＝52－32＝4. ∴CD ＝2DE ＝8.03 综合题19．如图，四边形ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA.(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD ＝5 cm ，AP ＝8 cm ，求△APB 的周长． 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，AD ＝BC ，AB ＝DC. ∴∠DAB ＋∠CBA ＝180°.又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ， ∴∠PAB ＋∠PBA ＝12(∠DAB ＋∠CBA)＝90°.∴∠APB ＝180°－(∠PAB ＋∠PBA)＝90°. (2)∵AP 平分∠DAB ，AB ∥CD ， ∴∠DAP ＝∠PAB ＝∠DPA. ∴AD ＝DP ＝5 cm .同理：PC ＝BC ＝AD ＝5 cm . ∴AB ＝DC ＝DP ＋PC ＝10 cm .在Rt △APB 中，AB ＝10 cm ，AP ＝8 cm ， ∴BP ＝102－82＝6(cm )．∴△APB 的周长为6＋8＋10＝24(cm )．第2课时 平行四边形的对角线性质01 基础题知识点1 平行四边形的对角线互相平分1．如图，在▱ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，下列结论错误的是(C )A ．AB ∥CD B ．AB ＝CDC ．AC ＝BD D ．OA ＝OC第1题图 第2题图2．(教材P 44T 1的变式)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，已知AD ＝8，BD ＝12，AC ＝6，则△OBC 的周长为(B)A ．13B ．17C ．20D ．263．如图，在▱ABCD 中，已知∠ODA ＝90°，AC ＝10 cm ，BD ＝6 cm ，则AD 的长为(A )A ．4 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．8 cm第3题图 第4题图4．如图，▱ABCD 的周长为16 cm ，AC ，BD 相交于点O ，EO ⊥BD 交AD 于点E ，则△ABE 的周长为(C)A ．4 cmB ．6 cmC ．8 cmD ．10 cm5．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC ，BD 相交于点O.若AC ＝6，则线段AO 的长度等于3.6．在▱ABCD 中，AB ＝3，BC ＝5，对角线AC ，BD 相交于点O ，则OA 的取值范围是1＜OA ＜4． 7．如图所示，在▱ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，求证：BM ∥DN.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵AM ＝CN ，∴OM ＝ON.在△BOM 和△DON 中，⎩⎨⎧OB ＝OD ，∠BOM ＝∠DON ，OM ＝ON ，∴△BOM ≌△DON(SAS )． ∴∠OBM ＝∠ODN. ∴BM ∥DN.知识点2平行四边形的面积8．如图，在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则▱ABCD的面积是(C) A．10 B．15C．20 D．25第8题图第9题图9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则▱ABCD的面积为12cm2.02中档题10．如图，▱ABCD的对角线交于点O，且AB＝5，△OCD的周长为23，则▱ABCD的两条对角线的和是(C) A．18 B．28C．36 D．46第10题图第11题图11．如图，▱ABCD的对角线AC的长为10 cm，∠CAB＝30°，AB的长为6 cm，则▱ABCD的面积为(B) A．60 cm2B．30 cm2C．20 cm2D．16 cm212．(2017·眉山)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F，若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为(C)A．14 B．13 C．12 D．10第12题图第13题图13．如图，若▱ABCD的周长为22 cm，AC，BD相交于点O，△AOD的周长比△AOB的周长小3 cm，则AD＝4__cm，AB＝7__cm.14．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点E，∠AEB＝45°，BD＝2，将△ABC沿AC所在直线翻折，若点B的落点记为B′，则DB′的长为2．15．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝25，且AO∶BO＝2∶3.(1)求AC 的长；(2)求▱ABCD 的面积．解：(1)∵AO ∶BO ＝2∶3， ∴设AO ＝2x ，BO ＝3x (x ＞0)．∵AC ⊥AB ，AB ＝25， ∴(2x)2＋(25)2＝(3x)2. 解得x ＝2. ∴AO ＝4.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AC ＝2AO ＝8. (2)∵S △ABC ＝12AB·AC＝12×25×8 ＝85，∴S ▱ABCD ＝2S △ABC ＝2×85＝16 5.16．(2016·本溪)如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 且与AB ，CD 分别相交于点E ，F ，连接EC.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若EF ⊥AC ，△BEC 的周长是10，求▱ABCD 的周长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，DC ∥AB. ∴∠FDO ＝∠EBO.在△DFO 和△BEO 中，⎩⎨⎧∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∠FOD ＝∠EOB ，∴△DFO ≌△BEO(ASA )． ∴OE ＝OF.(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，OA ＝OC. ∵EF ⊥AC ，∴AE ＝CE. ∵△BEC 的周长是10，∴BC ＋BE ＋CE ＝BC ＋BE ＋AE ＝BC ＋AB ＝10. ∴C ▱ABCD ＝2(BC ＋AB)＝20.03综合题17．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以P A，PC为边作▱P AQC，则对角线PQ长度的最小值为(D)A．6B．8C．22D．4218.1.2平行四边形的判定第1课时平行四边形的判定01基础题知识点1两组对边分别相等的四边形是平行四边形1．如图，AB＝CD＝EF，且△ACE≌△BDF，则图中平行四边形的个数为(C)A．1B．2C．3D．42．若四边形ABCD的边AB＝CD，BC＝DA，则这个四边形是平行四边形，理由是两组对边分别相等的四边形是平行四边形．知识点2两组对角分别相等的四边形是平行四边形3．下面给出四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(B) A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶34．一个四边形的三个相邻内角的度数依次如下，那么其中是平行四边形的是(D)A．88°，108°，88°B．88°，104°，108°C．88°，92°，92°D．108°，72°，108°知识点3对角线互相平分的四边形是平行四边形5．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO＝CO，请添加一个条件BO＝DO(答案不唯一)(只添一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．6．已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，且AO＝CO.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BAO＝∠DCO.又∵AO＝CO，∴△ABO≌△CDO(AAS)．∴BO＝DO.∴四边形ABCD是平行四边形．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是OB，OD的中点，求证：四边形AECF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.∵点E ，F 分别是OB ，OD 的中点， ∴OE ＝12OB ，OF ＝12OD.∴OE ＝OF.又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．知识点4 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形8．如图所示，四边形ABCD 和AEFD 都是平行四边形，则四边形BCFE 是平行四边形，理由：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．9．(2016·新疆)如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥AD 交BD 于点E ，CF ⊥BC 交BD 于点F ，且AE ＝CF.求证：四边形ABCD 是平行四边形．证明：∵AE ⊥AD ，CF ⊥BC ， ∴∠EAD ＝∠FCB ＝90°. ∵AD ∥BC ，∴∠ADE ＝∠CBF.在△AED 和△CFB 中，⎩⎨⎧∠ADE ＝∠CBF ，∠EAD ＝∠FCB ，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFB(AAS )． ∴AD ＝BC. 又∵AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形．02 中档题10．小玲的爸爸在制作平行四边形框架时，采用了一种方法：如图所示，将两根木条AC ，BD 的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD 就是平行四边形，这种方法的依据是(A )A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形11．(2016·衢州)已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝4或－2．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：连接BD交AC于O，∵AB＝CD，BC＝AD，∴四边形ABCD是平行四边形．∴AO＝CO，BO＝DO.∵AF＝CE，∴AF－AO＝CE－CO，即OF＝OE.又∵OB＝OD，∴四边形BEDF是平行四边形．13．(2017·南京)如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且AE＝CF，EF，BD相交于点O，求证：OE＝OF.证明：连接BE，DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC.∵AE＝CF，∴DE＝BF.又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∴OE＝OF.14．(2016·张家界)已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F.试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．解：四边形ABFC 是平行四边形． 证明：∵AB ∥CD ，∴∠BAE ＝∠CFE.∵E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. 在△ABE 和△FCE 中，⎩⎨⎧∠BAE ＝∠CFE ，∠AEB ＝∠FEC ，BE ＝CE ，∴△ABE ≌△FCE(AAS)．∴AB ＝CF .又∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形．03 综合题15．如图所示，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝24 cm ，BC ＝30 cm ，点P 从点A 向点D 以1 cm /s 的速度运动，到点D 即停止．点Q 从点C 向点B 以2 cm /s 的速度运动，到点B 即停止．直线PQ 将四边形ABCD 截成两个四边形，分别为四边形ABQP 和四边形PQCD ，则当P ，Q 两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？解：设当P ，Q 两点同时出发t s 后，四边形ABQP 或四边形PQCD 是平行四边形． 根据题意，得AP ＝t cm ，PD ＝(24－t)cm ，CQ ＝2t cm ，BQ ＝(30－2t)cm (0≤t ≤15)． ①若四边形ABQP 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足AP ＝BQ. ∴t ＝30－2t.解得t ＝10.∴10 s 后四边形ABQP 是平行四边形； ②若四边形PQCD 是平行四边形， ∵AD ∥BC ，∴还需满足PD ＝CQ.∴24－t ＝2t.解得t ＝8.∴8 s 后四边形PQCD 是平行四边形．综上所述：当P ，Q 两点同时出发8秒或10秒后，所截得两个四边形中其中一个四边形为平行四边形．第2课时三角形的中位线01基础题知识点三角形的中位线1．如果等边三角形的边长为4，那么等边三角形的中位线长为(A)A．2 B．4C．6 D．82．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点．若△DBE的周长是6，则△ABC的周长是(C) A．8 B．10C．12 D．14第2题图第3题图3．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠A＝50°，∠ADE＝60°，则∠C的度数为(C) A．50°B．60°C．70°D．80°4．(2016·梧州)如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC中点，连接DF，FE，则四边形DBEF的周长是(B)A．5 B．7C．9 D．11第4题图第5题图5．如图，为测量位于一水塘旁的两点A，B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD ＝20 m，则A，B之间的距离是40m.6．(2017·怀化)如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长为10cm.第6题图第7题图7．如图，CD是△ABC的中线，点E，F分别是AC，DC的中点，EF＝1，则BD＝2．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8 cm，E，F分别为边AC，AB的中点．(1)求∠A的度数；(2)求EF的长．解：(1)∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.(2)在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝8 cm ， ∴BC ＝12AB ＝4 cm .∵E ，F 分别是AC ，AB 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线． ∴EF ＝12BC ＝2 cm .9．如图，在△ABC 中，D ，E ，F 分别为边AB ，BC ，CA 的中点．求证：四边形DECF 是平行四边形．证明：∵D ，E ，F 分别为AB ，BC ，CA 的中点， ∴DF ，DE 为△ABC 的中位线． ∴DF ∥BC ，DE ∥AC.∴四边形DECF 是平行四边形．02 中档题10．如图，点D ，E ，F 分别为△ABC 各边中点，下列说法正确的是(C )A ．DE ＝DFB ．EF ＝12ABC ．S △ABD ＝S △ACD D ．AD 平分∠BAC11．如图，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5米，他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需用篱笆的长是(C )A ．15米B ．20米C ．25米D ．30米第11题图 第12题图12．(2016·陕西)如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝8，BC ＝6.若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为(B)A ．7B ．8C ．9D ．1013．如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，点E 是AD 的中点，△BCD 的周长为18，则△DEO 的周长是9．第13题图 第14题图14．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝BC ，∠PEF ＝18°，则∠PFE 的度数是18°．15．如图，四边形ABCD 中，点E ，F ，G ，H 分别是边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，顺次连接E ，F ，G ，H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形．求证：四边形EFGH 是平行四边形．证明：连接BD.∵E ，H 分别是AB ，AD 的中点， ∴EH 是△ABD 的中位线． ∴EH ＝12BD ，EH ∥BD.同理FG ＝12BD ，FG ∥BD.∴EH ＝FG ，EH ∥FG.∴四边形EFGH 是平行四边形．16．如图，在▱ABCD 中，点O 是对角线AC ，BD 的交点，点E 是边CD 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CF ＝12BC ，求证：四边形OCFE 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点O 是BD 的中点． 又∵点E 是边CD 的中点， ∴OE 是△BCD 的中位线． ∴OE ∥BC ，且OE ＝12BC.又∵CF ＝12BC ，∴OE ＝CF.又∵点F 在BC 的延长线上，∴OE ∥CF.∴四边形OCFE 是平行四边形．03 综合题17．如图，在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，AD ，AE 分别为△ABC 的中线和角平分线，过点C 作CH ⊥AE 于点H ，并延长交AB 于点F ，连接DH ，求线段DH 的长．解：∵AE 为△ABC 的角平分线， ∴∠FAH ＝∠CAH. ∵CH ⊥AE ，∴∠AHF ＝∠AHC ＝90°. 在△AHF 和△AHC 中，⎩⎨⎧∠FAH ＝∠CAH ，AH ＝AH ，∠AHF ＝∠AHC ，∴△AHF ≌△AHC(ASA )． ∴AF ＝AC ，HF ＝HC. ∵AC ＝3，AB ＝5，∴AF ＝AC ＝3，BF ＝AB －AF ＝5－3＝2. ∵AD 为△ABC 的中线， ∴DH 是△BCF 的中位线． ∴DH ＝12BF ＝1.小专题(三) 平行四边形的证明思路类型1 若已知条件出现在四边形的边上，则考虑：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形； ②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形1．如图，在▱ABCD 中，点E 在AB 的延长线上，且EC ∥BD.求证：四边形BECD 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，即BE ∥DC. 又∵EC ∥BD ，∴四边形BECD 是平行四边形．2．如图，已知：AB ∥CD ，BE ⊥AD ，垂足为点E ，CF ⊥AD ，垂足为点F ，并且AE ＝DF.求证：(1)BE ＝CF ；(2)四边形BECF 是平行四边形． 证明：(1)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴∠AEB ＝∠DFC ＝90°. ∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠D . 在△AEB 和△DFC 中，⎩⎨⎧∠AEB ＝∠DFC ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ，∴△AEB ≌△DFC (ASA)． ∴BE ＝CF .(2)∵BE ⊥AD ，CF ⊥AD ， ∴BE ∥CF . 又∵BE ＝CF ，∴四边形BECF 是平行四边形．3．如图，在▱ABCD 中，分别以AD ，BC 为边向内作等边△ADE 和等边△BCF ，连接BE ，DF.求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴CD ＝AB ，AD ＝CB ，∠DAB ＝∠BCD. 又∵△ADE 和△BCF 都是等边三角形，∴DE ＝AD ＝AE ，CF ＝BF ＝BC ，∠DAE ＝∠BCF ＝60°.∴BF ＝DE ，CF ＝AE ，∠DCF ＝∠BCD －∠BCF ，∠BAE ＝∠DAB －∠DAE ，即∠DCF ＝∠BAE. 在△DCF 和△BAE 中，⎩⎨⎧CD ＝AB ，∠DCF ＝∠BAE ，CF ＝AE ，∴△DCF ≌△BAE(SAS )． ∴DF ＝BE. 又∵BF ＝DE ，∴四边形BEDF 是平行四边形．4．(2016·钦州)如图，DE 是△ABC 的中位线，延长DE 到F ，使EF ＝DE ，连接BF.求证：(1)BF ＝DC ；(2)四边形ABFD 是平行四边形．证明：(1)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴CE ＝BE.在△DEC 和△FEB 中，⎩⎨⎧CE ＝BE ，∠CED ＝∠BEF ，DE ＝FE ，∴△DEC ≌△FEB(SAS )． ∴BF ＝DC.(2)∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ∥AB ，且DE ＝12AB.又∵EF ＝DE ， ∴DE ＝12DF.∴DF ＝AB. 又∵DF ∥AB ，∴四边形ABFD 是平行四边形．5．如图，已知D ，E ，F 分别在△ABC 的边BC ，AB ，AC 上，且DE ∥AF ，DE ＝AF ，将FD 延长到点G ，使FG＝2DF，连接AG，则ED与AG互相平分吗？请说明理由．解：ED与AG互相平分．理由：连接EG，AD.∵DE∥AF，DE＝AF，∴四边形AEDF是平行四边形．∴AE∥DF，AE＝DF.又∵FG＝2DF，∴DG＝DF.∴AE＝DG.又∵AE∥DG，∴四边形AEGD是平行四边形．∴ED与AG互相平分.类型2若已知条件出现在四边形的角上，则考虑利用“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠C.求证：四边形ABCD是平行四边形．证明：∵AD∥BC，∴∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.∵∠A＝∠C，∴∠B＝∠D.∴四边形ABCD是平行四边形．类型3若已知条件出现在对角线上，则考虑利用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”7．如图，▱ABCD 的对角线相交于点O ，直线EF 经过点O ，分别与AB ，CD 的延长线交于点E ，F.求证：四边形AECF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OD ＝OB ，OA ＝OC ，AB ∥CD. ∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO. 在△FDO 和△EBO 中，⎩⎨⎧∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ，OD ＝OB ，∴△FDO ≌△EBO(AAS)． ∴OF ＝OE . 又∵OA ＝OC ，∴四边形AECF 是平行四边形．8．如图，▱ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，EF 过点O ，与AD ，BC 分别相交于点E ，F ，GH 过点O ，与AB ，CD 分别相交于点G ，H ，连接EG ，FG ，FH ，EH.求证：四边形EGFH 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC.∴∠EAO ＝∠FCO. ∵O 为AC 的中点， ∴OA ＝OC.在△OAE 和△OCF 中，⎩⎨⎧∠EAO ＝∠FCO ，OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，∴△OAE ≌△OCF(ASA )． ∴OE ＝OF.同理可证得OG ＝OH.∴四边形EGFH 是平行四边形．周周练(18.1)(时间：45分钟 满分：100分)一、选择题(每小题 4分，共32分)1．下面的性质中，平行四边形不一定具有的是(A )A ．对角互补B ．邻角互补C ．对角相等D ．对边相等2．平行四边形的周长为24 cm ，相邻两边的差为2 cm ，则平行四边形的各边长为(B )A ．4 cm ，8 cm ，4 cm ，8 cmB ．5 cm ，7 cm ，5 cm ，7 cmC ．5.5 cm ，6.5 cm ，5.5 cm ，6.5 cmD ．3 cm ，9 cm ，3 cm ，9 cm3．下列说法错误的是(D)A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．两组对边分别相等的四边形是平行四边形C ．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形D ．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形4．(2017·丽水)如图，在▱ABCD 中，连接AC ，∠B ＝∠CAD ＝45°，AB ＝2，则BC 的长是(C)A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4第4题图 第5题图5．(2016·株洲)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC ，BD 交于点O ，E 是BC 的中点，以下说法错误的是(D)A ．OE ＝12DCB ．OA ＝OCC ．∠BOE ＝∠OBAD ．∠OBE ＝∠OCE6．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点E ，∠CBD ＝90°，BC ＝4，BE ＝ED ＝3，AC ＝10，则四边形ABCD 的面积为(D )A ．6B ．12C ．20D ．247．在▱ABCD 中，AD ＝8，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，DF 平分∠ADC 交BC 于点F ，且EF ＝2，则AB 的长为(D)A ．3B ．5C ．2或3D ．3或58．如图，点A ，B 为定点，定直线l ∥AB ，P 是l 上一动点，点M ，N 分别为PA ，PB 的中点，对下列各值：①线段MN 的长；②△PAB 的周长；③△PMN 的面积；④直线MN ，AB 之间的距离；⑤∠APB 的大小．其中会随点P 的移动而变化的是(B )A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤二、填空题(每小题4分，共24分)9．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有4个平行四边形．第9题图第10题图10．(2016·江西)如图所示，在▱ABCD中，∠C＝40°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为50°．11．(2016·河南)如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数是110°．12．在▱ABCD中，AB，BC，CD的长度分别为2x＋1，3x，x＋4，则▱ABCD的周长是32．13．如图所示，四边形ABCD的对角线相交于点O，若AB∥CD，请添加一个条件答案不唯一，如：AB＝CD(写一个即可)，使四边形ABCD是平行四边形．第13题图第14题图14．(2017·河池)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG，若AD＝5，DE＝6，则AG的长是8．三、解答题(共44分)15．(10分)(2017·山西)已知：如图，在▱ABCD中，延长AB至点E，延长CD至点F，使得BE＝DF.连接EF，与对角线AC交于点O.求证：OE＝OF.证明：证法一：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE＝DF，∴AB＋BE＝CD＋DF，即AE＝CF.∵AB∥CD，∴AE∥CF.∴∠E＝∠F.又∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF(AAS)．∴OE＝OF.证法二：连接AF，CE.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD.∵BE ＝DF ，∴AB ＋BE ＝CD ＋DF ，即AE ＝CF. ∵AB ∥CD ，∴AE ∥CF.∴四边形AECF 是平行四边形．∴OE ＝OF.16．(10分)(2016·黄冈)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，对角线AC 分别交BE ，DF 于点G ，H.求证：AG ＝CH.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC.∴∠HCF ＝∠GAE.又∵E ，F 分别是边AD ，BC 的中点， ∴AE ＝FC ，DE ＝BF.又∵DE ∥BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形． ∴∠BED ＝∠BFD.∴∠AEG ＝∠CFH. 在△AGE 和△CHF 中，⎩⎨⎧∠GAE ＝∠HCF ，AE ＝CF ，∠AEG ＝∠CFH ，∴△AGE ≌△CHF(ASA )．∴AG ＝CH.17．(12分)已知：如图，在四边形ABCD 中，AB ＝CD ，E ，F ，G 分别是AD ，BC ，BD 的中点，GH 平分∠EGF 交EF 于点H.(1)猜想：GH 与EF 间的关系是GH 垂直平分EF ； (2)证明你的猜想．证明：∵E ，G 分别是AD ，BD 的中点， ∴EG ＝12AB.∵F ，G 分别是BC ，BD 的中点， ∴GF ＝12CD.∵AB ＝CD ， ∴EG ＝GF.又∵GH 平分∠EGF ， ∴GH 垂直平分EF.18．(12分)如图1，在▱ABCD 中，∠ABC ，∠ADC 的平分线分别交AD ，BC 于点E ，F.(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)小明在完成(1)的证明后继续进行了探索．连接AF ，CE ，分别交BE ，FD 于点G ，H ，得到四边形EGFH.此时，他猜想四边形EGFH 是平行四边形，请在框图(图2)中补全他的证明思路．图1小明的证明思路由(1)可知BE ∥DF ，要证明四边形EGFH 是平行四边形，只需证GF ∥EH ．由(1)可证ED ＝BF ，则AE ＝FC ，又由AE ∥CF ， 故四边形AFCE 是平行四边形，从而可证得四边 形EGFH 是平行四边形．图2证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，∠ABC ＝∠ADC ，AD ＝BC. ∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ＝12∠ABC.∵DF 平分∠ADC ，∴∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠EBC ＝∠ADF.∵AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠EBC. ∴∠AEB ＝∠ADF. ∴EB ∥DF. 又∵ED ∥BF ，∴四边形EBFD 是平行四边形．18.2特殊的平行四边形18．2.1矩形第1课时矩形的性质01基础题知识点1矩形的性质1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(C)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以下说法错误的是(D)A．∠ABC＝90°B．AC＝BDC．OA＝OB D．OA＝AD第2题图第3题图3．如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(C) A．8 B．6 C．4 D．24．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的大小为(B) A．30°B．60°C．90°D．120°第4题图第5题图5．(2017·怀化)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是(A) A．3 cm B．6 cmC．10 cm D．12 cm6．如果矩形的一边长为6，一条对角线的长为10，那么这个矩形的另一边长是8．7．如图，已知矩形的对角线AC与BD相交于点O，若AO＝1，则BD＝2．第7题图第8题图8．(2016·昆明)如图，E，F，G，H分别是矩形ABCD各边的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形EFGH的面积是24．9．(2016·岳阳)已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE＝CF，EF⊥DF.求证：BF ＝CD.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BFE＋∠BEF＝90°.∵EF⊥DF，∴∠DFE＝90°.∴∠BFE＋∠CFD＝90°.∴∠BEF＝∠CFD.在△BEF 和△CFD 中，⎩⎨⎧∠BEF ＝∠CFD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ，∴△BEF ≌△CFD (ASA)．∴BF ＝CD .知识点2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半10．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10 cm ，D 为AB 的中点，则CD ＝5cm .第10题图 第11题图11．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，若CD ＝5 cm ，则EF ＝5cm . 12．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，AH 是高，如果ED ＝5 cm ，求HF 的长.解：由题意得：DE 是△ABC 的中位线， ∴DE ＝12AC .∵HF 是Rt △AHC 的斜边AC 的中线， ∴HF ＝12AC .∴HF ＝DE ＝5 cm.02 中档题13．(2016·荆门)如图，在矩形ABCD 中(AD>AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F.在下列结论中，不一定正确的是(B)A ．△AFD ≌△DCEB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．BE ＝AD －DF第13题图 第14题图14．(2016·绵阳)如图，▱ABCD 的周长是26 cm ，对角线AC 与BD 交于点O ，AC ⊥AB ，E 是BC 中点，△AOD 的周长比△AOB 的周长多3 cm ，则AE 的长度为(B)A ．3 cmB ．4 cmC ．5 cmD ．8 cm15．如图，已知在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE ⊥BD 于点E ，若∠DAE ∶∠BAE ＝3∶1，则∠EAC 的度数是(C )A ．18°B ．36°C ．45°D ．72°第15题图 第16题图16．(2016·宜宾)如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是(A )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.217．(2017·广西四市同城)如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，BE ＝DF.(1)求证：AE ＝CF ；(2)若AB ＝6，∠COD ＝60°，求矩形ABCD 的面积．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∠ABC ＝90°. ∵BE ＝DF ，∴OE ＝OF . 在△AOE 和△COF 中，⎩⎨⎧OA ＝OC ，∠AOE ＝∠COF ，OE ＝OF ，∴△AOE ≌△COF (SAS)． ∴AE ＝CF .(2)∵OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ＝BD ，∴OA ＝OB . ∵∠AOB ＝∠COD ＝60°， ∴△AOB 是等边三角形．∴OA ＝AB ＝6.∴AC ＝2OA ＝12.在Rt △ABC 中，BC ＝AC 2－AB 2＝63，∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC ＝6×63＝36 3.18．如图，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，延长CB 到点E ，使BE ＝BC ，连接AE.求证：(1)四边形ADBE 是平行四边形；(2)若AB ＝4，OB ＝52，求四边形ADBE 的周长．证明：(1)∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AD＝BC.又∵BE＝BC，且点C，B，E在一条直线上，∴AD∥BE，AD＝BE.∴四边形ADBE是平行四边形．(2)∵四边形ABCD为矩形，∴∠BAD＝90°，OB＝OD.∴BD＝2OB＝5.在Rt△BAD中，AD＝52－42＝3.又∵四边形ADBE为平行四边形，∴BE＝AD＝3，AE＝BD＝5.03综合题19．如图，将长8 cm，宽4 cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，则折痕EF的长为25cm.习题解析第2课时矩形的判定01基础题知识点1有一个角是直角的平行四边形是矩形1．下列说法正确的是(D)A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形C．对角线互相平分的四边形是矩形D．对角互补的平行四边形是矩形2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形，求证：四边形ADBE是矩形．解：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADB＝90°.又∵四边形ADBE是平行四边形，∴四边形ADBE是矩形．3．(2016·内江)如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．解：(1)证明：∵AF∥BC，∴∠AFC＝∠FCB.又∵∠AEF＝∠DEC，AE＝DE，∴△AEF≌△DEC(AAS)．∴AF＝DC.又∵AF＝BD，∴BD＝DC，即D是BC的中点．(2)四边形AFBD是矩形．证明：∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°.∴四边形AFBD是矩形．知识点2对角线相等的平行四边形是矩形4．能判断四边形是矩形的条件是(C)A．两条对角线互相平分B．两条对角线相等C．两条对角线互相平分且相等D．两条对角线互相垂直5．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件答案不唯一，如：AB ∥CD ，使四边形ABCD 为矩形．6．如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点，请问四边形EFGH 是矩形吗？请说明理由．解：四边形EFGH 是矩形． 理由：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AO ＝CO ，BO ＝DO.∴AO ＝CO ＝BO ＝DO.∵点E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点， ∴EO ＝FO ＝GO ＝HO.∴OE ＝OG ，OF ＝OH. ∴四边形EFGH 是平行四边形．又∵EO ＋GO ＝FO ＋HO ，即EG ＝FH ，∴四边形EFGH 是矩形．知识点3 有三个角是直角的四边形是矩形7．已知O 为四边形ABCD 对角线的交点，下列条件能使四边形ABCD 成为矩形的是(D )A ．OA ＝OC ，OB ＝OD B ．AC ＝BD C ．AC ⊥BDD ．∠ABC ＝∠BCD ＝∠CDA ＝90°8．已知：如图，在▱ABCD 中，AF ，BH ，CH ，DF 分别是∠BAD ，∠ABC ，∠BCD ，∠ADC 的平分线．求证：四边形EFGH 为矩形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠DAB ＋∠ADC ＝180°.∵AF ，DF 分别平分∠DAB ，∠ADC ， ∴∠FAD ＝∠BAF ＝12∠DAB ，∠ADF ＝∠CDF ＝12∠ADC.∴∠FAD ＋∠ADF ＝90°.∴∠AFD ＝90°. 同理可得：∠BHC ＝∠HEF ＝90°. ∴四边形EFGH 是矩形． 02 中档题9．以下条件不能判定四边形ABCD 是矩形的是(D )A．AB＝CD，AD＝BC，∠A＝90°B．OA＝OB＝OC＝ODC．AB＝CD，AB∥CD，AC＝BDD．AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD10．(2016·菏泽)在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论：①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD，正确的有(B)A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④11．如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是(A)A．2 3 B．33C．4 D．43第11题图第12题图12．如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．13．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，F为DC上一点，且FC＝AB，E为AD上一点，EC交AF于点G.(1)求证：四边形ABCF是矩形；(2)若ED＝EC，求证：EA＝EG.证明：(1)∵AB∥DC，FC＝AB，∴四边形ABCF是平行四边形．又∵∠B＝90°，∴四边形ABCF是矩形．(2)∵四边形ABCF是矩形，∴∠AFC＝∠AFD＝90°.∴∠DAF＝90°－∠D，∠CGF＝90°－∠ECD.∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECD.∴∠DAF＝∠CGF.又∵∠EGA＝∠CGF，∴∠DAF＝∠EGA.∴EA＝EG.14．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使AB＝BE，连接BD，DE，EC，DE交BC于点O.(1)求证：△ABD≌△BEC；(2)若∠BOD＝2∠A，求证：四边形BECD是矩形．证明：(1)∵在▱ABCD 中，AD ＝BC ，AB ＝CD ，AD ∥CB ， ∴∠A ＝∠EBC.在△ABD 和△BEC 中，⎩⎨⎧AB ＝BE ，∠A ＝∠EBC ，AD ＝BC ，∴△ABD ≌△BEC(SAS )．(2)∵在▱ABCD 中，AB ∥ CD ，且AB ＝BE ， BE ∥CD.∴四边形BECD 为平行四边形． ∴OB ＝12BC ，OE ＝12ED.∵∠BOD ＝2∠A ＝2∠EBC ，且∠BOD ＝∠EBC ＋∠BEO ，∴∠EBC ＝∠BEO.∴OB ＝OE.∴BC ＝ED. ∴四边形BECD 是矩形．03 综合题15．如图，在△ABC 中，点O 是边AC 上一个动点，过O 作直线MN ∥BC.设MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证：OE ＝OF ；(2)若CE ＝12，CF ＝5，求OC 的长；(3)当点O 在边AC 上运动到什么位置时，四边形AECF 是矩形？并说明理由．视频讲解解：(1)证明：∵CF 平分∠ACD ，且MN ∥BD ， ∴∠ACF ＝∠FCD ＝∠CFO. ∴OF ＝OC.同理可证：OC ＝OE. ∴OE ＝OF.(2)由(1)，知∠OCF ＝∠OFC ，∠OCE ＝∠OEC ， ∴∠OCF ＋∠OCE ＝∠OFC ＋∠OEC.∵(∠OCF ＋∠OCE)＋(∠OFC ＋∠OEC)＝180°， ∴∠ECF ＝∠OCF ＋∠OCE ＝90°. ∴EF ＝CE 2＋CF 2＝122＋52＝13. 又∵OE ＝OF ， ∴OC ＝12EF ＝132.(3)当点O 移动到AC 中点时，四边形AECF 为矩形．理由：连接AE ，AF.当点O 移动到AC 中点时，OA ＝OC ，。
2020-2021学年人教版 八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形(含答案)
人教版八年级数学下册18.2 特殊的平行四边形一、选择题1. （2020台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（）A．由②推出③，由③推出①B．由①推出②，由②推出③C．由③推出①，由①推出②D．由①推出③，由③推出②2. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O.若增加一个条件，使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确．．．的是()A. AB＝ADB. AC⊥BDC. AC＝BDD. ∠BAC＝∠DAC3. （2020·贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A．5 B．20 C．24 D．324. （2020·四川甘孜州）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E 为AB的中点．若菱形ABCD的周长为32，则OE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．65. 如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（）A．280cm10cm B．240cm D．220cm C．26. 如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为()A. 2 B. 2 2C . 2＋1D . 22＋17. 如图，在矩形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD ．请添加一个条件，使得结论“AE=CF ”成立，并加以证明．8. 如图，把正方形纸片ABCD 沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN ，再过点B 折叠纸片，使点A 落在MN 上的点F 处，折痕为BE.若AB 的长为2，则FM 的长为( )A . 2B . 3C . 2D . 1二、填空题9. 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21C B A10. 如图，矩形ABCD 的面积是15，边AB 的长比AD 的长大2，则AD 的长是________．11. 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．12. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．13. 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O ，AE BD ⊥于E ，31DAE BAE ∠∠=∶∶，则EAC ∠=_______．EODC B A14. 在菱形ABCD 中，∠A ＝30°，在同一平面内，以对角线BD 为底边作顶角为120°的等腰三角形BDE ，则∠EBC 的度数为________．15. 某台球桌为如图所示长方形ABCD ，小球从A 沿45︒角出击，恰好经过5次碰撞到B 处，则:AB BC =AD CB A16. 如图，四边形ABCD 为正方形，以AB 为边向正方形外作正方形ABE ，CE 与BD相交于点F ，则AFD ∠=FED C BA三、解答题17. 如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，且DE ∥AC ，AE ∥BD. 求证：四边形AODE 是矩形．18. 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODE F C AB19. 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NM Q PDC B A20. 在四边形ABCD 中，AB CD =，P ，Q 分别是AD 、BC 的中点，M ，N 分别是对角线AC ，BD 中点，证明：PQ 与MN 互相垂直．Q P M NCB DA21. 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．A B C E F D A B C FM D22.如图，设EF ∥正方形ABCD 的对角线AC ，在DA 延长线上取一点G ，使AG AD =，EG 与DF 交于H ，求证：AH =正方形的边长． HEG CDF B A人教版 八年级数学下册 18.2 特殊的平行四边形-答案一、选择题1. 【答案】解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，故①→②，①→③错误，故选项B ，C ，D 错误，故选：A ．【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．2. 【答案】C 【解析】邻边相等的平行四边形是菱形，所以A 正确；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以B 正确；对角线相等的平行四边形是矩形，所以C 错误；由∠BAC ＝∠DAC 可得对角线是角平分线，所以D 正确．3. 【答案】 B ．4. 【答案】B【解析】本题考查了菱形的性质和直角三角形斜边上的中线性质．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ．∵菱形ABCD 的周长为32，∴AB ＝8．∵AC ⊥BD ，E 为AB 的中点，∴OE ＝AB ＝4．故选B ．5. 【答案】A6. 【答案】B 【解析】∵正方形ABCD 的面积为1，∴BC ＝CD ＝1，∵E 、F 是边的中点，∴CE＝CF＝12，∴EF＝（12）2＋（12）2＝22，则正方形EFGH的周长为4×22＝2 2.7. 【答案】添加的条件是BE=DF(答案不唯一)．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB=CD，∴∠ABD=∠BDC，又∵BE=DF(添加)，∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF．8. 【答案】B【解析】∵AB＝2，∴BF＝2，又∵BM＝12BC＝1，由勾股定理得FM＝FB2－BM2＝ 3.二、填空题9. 【答案】120︒【解析】由题意可知：构成三角形为等边三角形10. 【答案】3【解析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用问题. 设AD＝x，由题知，AB＝x＋2，又∵矩形ABCD的面积为15，则x(x＋2)＝15，得到x2＋2x－15＝0，解得，x1＝－5(舍) , x2＝3，∴AD＝3.11. 【答案】60︒12. 【答案】120【解析】菱形的边长为()52413cm÷=，由勾股数和菱形对角线的性质得另一对角线长为()24cm，故面积为()2120cm13. 【答案】45︒【解析】∵90DAB DAE BAE∠=∠+∠=︒∴67.5DAE∠=︒，22.5BAE∠=︒∵AO BO=，∴67.522.545EAC∠=︒-︒=︒．14. 【答案】105°或45°【解析】如解图，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝30°，∴∠ABC＝150°，∠ABD＝∠DBC＝75°，且顶角为120°的等腰三角形的底角是30°.分为以下两种情况：(1)当点E在△ABD内时，∠E1BC＝∠E1BD＋∠DBC ＝30°＋75°＝105°；(2)当点E在△DBC内时，∠E2BC＝∠DBC－∠E2BD＝75°－30°＝45°.综上所述，∠EBC的度数为105°或45°.解图15. 【答案】2:5【解析】由图形可知：可推出:2:5AB BC =16. 【答案】60︒ 【解析】1809060152AFB CFB FAB FCB ︒-︒-︒∆∆∠=∠==︒≌，，故451560AFD ∠=︒+︒=︒三、解答题17. 【答案】 证明：∵DE ∥AC ，AE ∥BD ，∴四边形AODE 是平行四边形，(2分)∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∴∠AOD ＝90°，(4分)∵四边形AODE 是平行四边形，∠AOD ＝90°，∴四边形AODE 是矩形．(5分)18. 【答案】∵EF 垂直平分AC ，∴,EF AC AO CO ⊥=.∴90AOE COF ∠=∠=.又∵ABCD 平行四边形，∴EAO FCO ∠=∠.∴AOE ∆≌COF ∆.∴OE OF =.∴四边形AECF 是平行四边形.又由AC EF ⊥可知，四边形AECF 是菱形.19. 【答案】∵四边形ABCD 为平行四边形∴AB CD ∥，AD BC ∥∵AQ 、BN 分别是DAB ∠、ABC ∠的平分线∴180BAD ABC ∠+∠=︒∴90QPN ∠=︒同理90PQM QMN MNP ∠=∠=∠=︒∴四边形PQMN 是矩形．20. 【答案】连接PN ,NQ ,MQ ,PM ．证明PNQM 为菱形．21. 【答案】延长BF 交AD 于M ，连结DB ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD BC AD BC AC BD ==∥，，∴M EBF ∠=∠，∵F 是AE 中点，∴AF EF =，在AFM △和EFB △中，∵M EBF MFA BFE AF EF ∠=∠∠=∠=，，∴AFM EFG ∆∆≌．∴AM BE =，MF BF =，∴AD AM BC BE CE DM +=+== ∵CE AC AC BD ==，，∴DM DB =∵MF BF =，∴BF DF ⊥22. 【答案】当且仅当GHD ∆为直角三角形时，GD 的中线AH AD =．由已知证明GHD ∆为直角三角形并不困难．因为ABCD 为正方形，所以AB BC =．由于EF AC ∥，所以AE FC =． 又AG AD DC ==，90GAE DCF ∠=∠=︒所以AGE DCF ∆≌．从而G CDF ∠=∠．因为CD GA ⊥，所以FD GE ⊥（即GH ），90DHG ∠=︒．故DHG ∆为直角三角形，且AH 为斜边DG 的中线，从而12AH GD AD ===正方形的边长．。