2016年普陀区高考数学二模试卷含答案

2016年普陀区高考数学二模试卷含答案一 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分； 1.、若集合{}R x x y x A ∈-==,1|，{}R x x x B ∈≤=,1|||，则=B A I _______2.、若函数xx f 11)(+=()0>x 的反函数为)(1x f -，则不等式2)(1>-x f 的解集为____3、（理）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫⎝⎛-42cot πα________ （文）若53sin =α且α是第二象限角，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-4tan πα________4.、若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且满足)()2(x f x f -=+，则=)2016(f _______5.、在831⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，其常数项的值为_________6、若函数x x f 2sin )(=，⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6)(πx f x g ，则函数)(x g 的单调递增区间为_______7、（理）设P 是曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θθtan sec 22y x （θ为参数）上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹的普通方程为_______（文）设P 是曲线1222=-y x 上的一动点，O 为坐标原点，M 为线段OP 的中点，则点M 的轨迹方程为_______8、（理）在极坐标系中，O 为极点，若⎪⎭⎫ ⎝⎛6,1πA ，⎪⎭⎫ ⎝⎛32,2πB ，则△AOB 的面积为______（文）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥+≤0203y x y x x 所表示的区域的面积为________9、（理）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，现从该袋中随机地取出3只，被取出的球中最大的号码为ξ，则=ξE _________（文）袋中装有5只大小相同的球，编号分别为5,4,3,2,1，若从该袋中随机地取出3只，则被取出的球的编号之和为奇数的概率是__________（结果用最简分数表示）10、若函数x x f 5log )(=（0>x ），则方程1)3()1(=-++x f x f 的解=x ________ 11、某同学用球形模具自制棒棒糖.现熬制的糖浆恰好装满一圆柱形容器（底面半径为3cm ，高为10cm ），共做了20颗完全相同的棒棒糖，则每个棒棒糖的表面积为_______2cm （损耗忽略不计）12.、如图所示，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边33C B 上有10个不同的点1021,,,P P P Λ，记i i AB M ⋅=2（10,,2,1Λ=i ），则=+++1021M M M Λ________13、设函数⎩⎨⎧>-≤+=-0),1(0,2)(x x f x a x f x ，记x x f x g -=)()(，若函数)(x g 有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________14.、已知*N n ∈，从集合{}n ,,3,2,1Λ中选出k （N k ∈,2≥k ）个数k j j j ,,,21Λ，使之同时满足下面两个条件：①n j j j k ≤<<≤Λ211； ②mj j i i ≥-+1（1,,2,1-=k i Λ），则称数组()k j j j Λ,,21为从n 个元素中选出k 个元素且限距为m 的组合，其组合数记为()m k n C ,. 例如根据集合{}3,2,1可得()31,23=C .给定集合{}7,6,5,4,3,2,1，可得()=2,37C ______二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15、若a 、b 表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（ ） （A ）若α⊥a ，b a ⊥，则α//b （B ）若α//a ，b a ⊥，则α⊥b （C ）若α⊥a ，α⊆b ，则b a ⊥ （D ）若α//a ，α//b ，则b a // 16、过抛物线x y 82=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，且这两点的横坐标之和为9，则满足条件的直线（ ）（A ）有且只有一条 （B ）有两条 （C ）有无穷多条 （D ）必不存在17、若z C ∈，则“1Im ,1Re ≤≤z z ”是“1||≤z ”成立的( )条件 （A ）充分非必要 （B ）必要非充分 （C ）充要 （D ）既非充分又非必要18、对于正实数α，记αM 是满足下列条件的函数)(x f 构成的集合：对于任意的实数R x x ∈21,且21x x <，都有()()121212)()(x x x f x f x x -<-<--αα成立.下列结论中正确的是（ ）（A ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα⋅∈⋅M x g x f （B ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且0)(≠x g ，则21)()(ααM x g x f ∈ （C ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈，则21)()(αα+∈+M x g x f（D ）若21)(,)(ααM x g M x f ∈∈且21αα>，则21)()(αα-∈-M x g x f三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19、（本题满分12分）（文）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，体积为2，E 为AB 的中点；证明：E A 1与B C 1是异面直线，并求出它们所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）（理）在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为1，B C 1与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，如果平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角是锐角，求出此二面角的大小（结果用反三角函数值）20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（理）已知函数x x x f cos 3sin 2)(⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=π（文）已知函数)(x f x x x 2cos 3cos sin += （1）若20π≤≤x ，求函数)(x f 的值域；（2）设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A 为锐角且23)(=A f ，2=b ，3=c ，求)cos(B A -的值； 21、（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，某企业参加A 项目生产的工人为1000人，平均每人每年创造利润10万元.根据现实的需要，从A 项目中调出x 人参与B 项目的售后服务工作，每人每年可以创造利润⎪⎭⎫ ⎝⎛-500310x a 万元（0>a ），A 项目余下的工人每人每年创造利润需要提高%2.0x ；（1）若要保证A 项目余下的工人创造的年总利润不低于原来1000名工人创造的年总利润，则最多调出多少人参加B 项目从事售后服务工作（2）在（1）的条件下，当从A 项目调出的人数不能超过总人数的%40时，才能使得A 项目中留岗工人创造的年总利润始终不低于调出的工人所创造的年总利润，求实数a 的取值范围；22、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.已知椭圆Γ：14522=+y x 的中心为O ，一个方向向量为),1(k =的直线l 与Γ只有一个公共点M ；（1）若1=k 且点M 在第二象限，求点M 的坐标；（2）若经过O 的直线1l 与l 垂直，求证：点M 到直线1l 的距离25-≤d ； （3）若点N 、P 在椭圆上，记直线ON 的斜率为1k ，且为直线OP 的一个法向量，且541=k k ，求22OP ON +的值； 23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知各项不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11=a ，121+⋅=n n n a a S （*N n ∈）； （1）求证：数列{}n a 是等差数列；（2）设数列{}n b 满足：122+-=n n a a n b ，且()3841lim 1211=+++++++∞→n n k k k k n b b b b b b Λ，求正整数k 的值；（3）若m 、k 均为正整数，且2≥m ，m k <，在数列{}k c 中，11=c ，11++-=k k k a mk c c ，求m c c c +++Λ21；2015学年第二学期普陀区高三数学质量调研评分细则二 填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题及纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1.{}1 2. ⎪⎭⎫⎝⎛231， 3.【理科】2 【文科】7- 4. 0 5. 286.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-12,125ππππk k ，z k ∈7.14822=-y x .8.【理科】1.【文科】16 9.【理科】29【文科】5210．4. 11.π9.12. 18013． 2->a 14. 10二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）【文科】【解】根据已知条件,C C 1为正四棱柱1111D C B A ABCD -的高 底面四边形11ABB A 是正方形，且面积为1, 故由sh V =2=，可得21=C C .……2分假设E A 1与B C 1不是异面直线，则它们在同一平面内 由于点1A 、E 、B 在平面11ABB A 内，则点1C 也在平面11ABB A 内，这是不可能的，故E A 1与B C 1是异面直线.…………5分 取11B A 的中点为E ，连接BE ,1EC ,所以E A BE 1//,1EBC ∠或其补角，即为异面直线E A 1与B C 1所成的角.……7分在1BEC ∆，51=BC ,217=BE ,251=EC ,……9分 由余弦定理得，8585821752454175cos 1=⨯-+=∠EBC 0>,即85858arccos 1=∠EBC所以异面直线E A 1与B C 1所成的角的大小为85858arccos.……12分 【理科】【解】根据题意，可得⊥C C 1底面ABCD ，所以BC 是B C 1在平面ABCD 上的射影，故BC C 1∠即为直线B C 1与 底面ABCD 所成的角，即BC C 1∠=2arctan .……2分 在BC C RT 1∆中，2tan 11=∠⋅=BC B BC C C ……3分以D 为坐标原点，以射线1,,DD DC DA 所在的直线分别为z y x ,,轴， 建立空间直角坐标系，如图所示：由于D D 1⊥平面ABCD ，故1DD 是平面的一个法向量，且1DD ()2,0,0=……5分()0,1,1B ,()1,0,01D ,()2,1,01C ,故()2,1,11--=BD ,()2,0,11-=BC ……7分设()z y x ,,=是平面11C BD 的一个法向量,所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011BC BD n ,即⎩⎨⎧=-=-+0202z x z y x ,不妨取1=z ,则⎩⎨⎧==02y x ,即()1,0,2=……9分设平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角为θ,则5552120002cos =⨯⨯+⨯+⨯==θ, 即55arccos=θ……11分 所以平面11C BD 与底面ABCD 所成的二面角大小为55arccos.……12分 20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.20.【解】（1）()x x x x f cos cos 3sin )(+=x x x 2cos 3cos sin +=232cos 232sin 21++=x x 2332sin +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx …………2分 由20π≤≤x 得，34323πππ≤+≤x ，132sin 23≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤-πx …………4分 2312332sin 0+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤πx ，所以函数)(x f 的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+231,0………6分（2）由232332sin )(=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f 得，032sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA 又由20π<<A 得，34323πππ<+<A ，只有ππ=+32A ，故3π=A .…………8分在ABC ∆中，由余弦定理得，A bc c b a cos 2222-+=73cos32294=⨯⨯⨯-+=π,故7=a …………10分 由正弦定理得，BbA a sin sin =，所以721sin sin ==a A b B 由于a b <，所以772cos =B …………12分 ()B A B A B A sin sin cos cos cos +=-14757212377221=⨯+⨯=……14分 21.（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分，【解】（1）根据题意可得，()()≥⨯+-%2.010101000x x 101000⨯……3分 展开并整理得，05002≤-x x ……5分 解得5000≤≤x ，最多调出的人数为500人……6分（2）⎩⎨⎧⨯≤≤≤%4010005000x x ，解得4000≤≤x ……7分()()%2.010101000500310x x x x a ⨯+⋅-≤⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-，对于任意的[]400,0∈x 恒成立……9分即%210201010005031022x x x x ax --+⨯≤- 即10002502++≤x x ax 对于任意的[]400,0∈x 恒成立……10分 当0=x 时，不等式显然成立； 当4000≤<x 时，1250000250111000250+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++≤x x x x a ……11分 令函数x x x f 250000)(+=，可知函数)(x f 在区间[]400,0上是单调递减函数……12分故()1025400)(min ==f x f ，故1.511000250≥++xx ……13分 故1.50≤<a ，所以实数a 的取值范围是1.50≤<a ……14分22.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.【解】（1）设直线l ：m x y +=，根据题意可得：……1分⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x mx y ，消去y 并整理得()04510922=-++m bx x ……①…………2分 ()()045941022=-⨯⨯-=∆b b ，解得92=m ，因为M 在第二象限，故3=m ，……3分代入①得0253092=++x x ，解得35-=x ，进而34=y ，故⎪⎭⎫⎝⎛-34,35M .……4分（2）根据题意可得，直线1l ：0=+ky x ……5分设直线l ：m kx y +=（0≠m ），则⎪⎩⎪⎨⎧=++=14522y x m kx y ……5分消去y 得()()0451054222=-+++m kmx x k ……6分()()()0454*******=-⋅+-=∆m k km ，解得04522=+-m k ，即4522+=k m ……7分 且4552+-=k km x ，4542+=k m y ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛++-454,45522k m k kmM ……8分 点M 到直线1l 的距离222221451454455kk km kk km k km d ++=++++-=()()22541k k k++=① 当0=k 时，0=d ；……9分 ② 当0≠k 时，=d 25945122-≤++kk ，当且仅当454±=k 时等号成立. 综上①②可得，点M 到直线1l 距离25-≤d .……10分（3）根据条件可得直线OP 的斜率kk 12-=，……11分由于541=k k ，则直线ON 的斜率的k k 541=……12分 于是直线ON 的方程为kx y 54=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+kxy y x 5414522，可得224525k x +=……13分设点),(11y x P ，则222122121245162525161k kx k y x OP ++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=……14分 同理2ON ()22222245120k k y x ++=+=……15分22ON OP +=22451625k k +++()2245120k k ++945364522=++=kk ……16分 23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.【解】（1）当1=n 时，121211==a a S ，11=a ，故22=a ；……1分 当2≥n 时，=-=-1n n n S S a -⋅+121n n a a n n a a ⋅-121 变形得()112-+-⋅=n n n n a a a a ，由于0≠n a ，所以211=--+n n a a ……2分 所以1212-=-n a n ，n a n 22=，*N n ∈，于是n a n =，*N n ∈.……3分 由于11=-+n n a a ，所以数列{}n a 是以1首项，1为公差的等差数列.…………4分（2）由（1）得n a n =，所以122+-=n n a a n b n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅==+-21412)1(2……5分 52121++⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅n n n b b ，且128121=b b ，当2≥n 时，4111=-+n n n n b b b b …………7分 故数列{}1+n n b b 是以1281为首项，41为公比的等比数列.……8分 于是()=+++++++∞→1211lim n n k k k k n b b b b b b Λ=-+4111k k b b 3841，即912-+=⋅k k b b ……9分 k kk k b b 251241321--+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅，故92522---=k ，解得2=k .…………10分 （3）则由（1）得k a k =，11++-=k k k a m k c c 1+-=k m k ，12211c c c c c c c k k k k k ⋅⋅⋅=---Λ……12分()()k m k k k C mk k k m k m c 1112)1()2)(1(111⋅-=⋅⋅-⋅+-+-⋅-=--Λ…………14分 m c c c +++Λ21()[]m m m m m m C C C C m132111--+-+-=Λ…………16分 故m c c c +++Λ21m 1=.……18分。