寿险精算论文

燕山大学寿险精算课程设计题目：可变利率下寿险纯保费精算模型的改进学院（系）：理学院年级专业：统计学摘要本文根据实际情况将利率作为变量, 建立了可变利率下的寿险纯保费精算模型, 从而对将利率看作常数的当前使用的寿险纯保费精算模型进行了改进将利率看作常数的当前使用的寿险纯保费精算模型进行了改进。

利率是经常变化的。

假设变利率是相关的, 一般可用AR(自回归)模型,或用水平模型, 或基于水平模型的利率结构转换模型来描述利率的波动。

利率的波动可归结为两种情况:第一种情况是利息强度是连续变化的; 第二种情况是利率是离散变化的。

由于第二种情况是实际中最常见的, 因此, 本文主要探讨利率离散变动下的纯保费精算模型。

根据利率函数的概率分布情况, 分三种情况加以探讨。

关键词：利率分布; 寿险; 纯保费精算AbstractIn this paper, the interest rate as the variable according to the actual situation, established a pure life insurance actuarial model under variable interest rates, thus to cut interest rates as constant life insurance premium actuarial models currently used are improved rate as constant current refined life insurance premium using numerical model was improved. Interest rate is often change. If variable rate is related, generally available AR (autoregressive) model, or a model, or based on the interest rate structure transformation level model to describe the volatility of interest rates. Interest rate volatility can be classified into two types: the first is the interest strength vary continuously; second is the interest rate is discrete changes. The second is the most common practice, therefore, this paper mainly discusses the pure premium rate actuarial model under discrete changes. According to the probability distribution of the interest rate function, three cases of.Keywords: Interest rate distribution; life insurance;pure premium actuarial目录摘要 (I)Abstract ....................................................................................................... I I 第1节各年利率取不同的确定值 (1)第2节各年利率的联合分布是有限离散概率分布下的精算模型 (3)第3节各年的利率相互独立且服从同一概率分布的情形 (5)参考文献 (7)1第1节 各年利率取不同的确定值首先，我们考虑各年利率取不同的确定值得情况，这是对当前的精算模型中各年利率相同这一条件的放宽，此时的利率函数不再是固定的，而是一阶梯函数。

假设第t 年的利率t i （t=1，2，3∧），则第k 年末一元的现值为k1k=t 1+(1,2,3)t k -=∧∏（i ）由此可得（x ）每年给付一元的期初付终身生存年金的现值为：1x 111[((1))]kt k x k t i p ∞-==ψ=++∑∏同理可得（x ）保险金额为一元的死亡年末给付终身寿险的精算现值：k !1x k=01A =[(1)p q ]t k x x k t i +∞-+=+∑∏（）与之对应的年缴纯保费为：x x xA P =ψ 同理可得n 年期死亡年末给付的定期寿险的未缴费和年缴纯保费（全期缴费）分别为：1111xnk=01A =[((1))]k n t k x x k t i p q +--+=+∑∏2111110111111[((1))]1[((1))]k n t x x x k k xnt xn kn xn t k x k t i p q A P i p +--+==--==+==ψ++∑∏∑∏ 0t 年的赔付额现值的精算现值为：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=≤≤∑∑-=+--=-0320016/101)()()(t n K K K T t n K dt e x a t f e aE T t t Z E Kt σδδω 0t 年投保人所缴纳1单位保费的现值的精算现值为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=≤≤∑∑∑∑--==+---==-1006/1000203200)(1)()(t n K K m m m T t n K K m dt e x t f e E T t t Z E mt σδδω则当n T t <<0时，责任准备金为： ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑∑∑--==+--=+-1006/16/0320320)()(t n K K m m m t n K K K x t e x p e x a V σδσδωω 上述模型考虑了各年利率取不同值的情形, 因此比当前的的精算模型有了较好的改进。

但是, 它仍存在一定的局限性: 它仍属于确定利率型的模型。

事实上, 我们对未来利率并没有十分的把握, 从理论研究来说, 对将来利率变化对费率厘定影响的认识越细, 在实际中就越容易计算出符合实际的费率。

因此, 有必要探究利率随机变化下的精算模型。

3第2节 各年利率的联合分布是有限离散概率分布下的精算模型各年利率的分布是有限离散的概率分布，亦即未来利率有有限种可能的趋势。

假定第t 年的利率用t i 表示则123i i i ∧（，，）构成一个利率向量，各年利率的联合分布是有限离散概率分布，也就是说123i i i ∧（，，）这个利率响亮的可能取值只有有限个，假设为m 歌，记作123i i i ∧（，，），j=123m ∧，，，，。

假设取各个值得概率分别为p （j ），j=123m ∧，，，，，则mj=1p j =1∑（）。

对应于利率向量的各个取值，以j x ψ表示（x ）每年一元期初甫终身生存年金现值，以j x A 表示（x ）保险金额为一元的死亡年末给付终身寿险的精算现值，则：1j x x j 11=1[((1))]kt k x k t i p ∞-==ψψ=++∑∏k !1j x j k=01A =[(1)p q ]t k x x k t i +∞-+=+∑∏（）在此利率分布下，（x ）的保险金额为一元的死亡年末给付终身寿险的未缴纯保费均值和方差分别是：x j=1E A =[()]mj x p j A ∑（）21(){()[()]}mx j x x j Var A p j A E A ==-∑年纯缴保费的均值和方差分别为：m x j=1E p =[p(j)]jx j x A ψ∑（） m 2x j=1Var p ={p(j)[-E(p )]}j x x j x A ψ∑（）同理可得年期定期寿险的未缴纯保费均值和方差分别为：4()[]∑==MJ XN XN A j P A E 1)('.赔付额现值1Z 的精算现值为：))(1()1()()(][1][0)1(1][0110x e e ae e x a t f e aE Z E x x K K T x K dt K t ---=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=------=+---=-∑∑+ωωμωμμωμωδ 投保人所缴纳1单位保费的现值2Z 的精算现值为： ∑∑∑∑--==---==--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=1][001][002)(1)()(0x K K m m T x K K m dt e x t f e aE Z E mt ωμωδω)()1()1]([][2)1]([x e e e x x x --++---=-+---ωωωμμωμ 则均衡净保费为：μωμμωμμωω)1(][21)1]([][)1)(1()()(+-------++-----==x x ee x x e e ae Z E Z E p （1）由第一节可知时刻的赔付额现值的精算现值为：)1)(()1()()()(101000μμμδω-----=----=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=≤≤∑e x e ae t f e aE T t t Z E t n T t n K dt Kt 投保人所缴纳1单位保费的现值的精算现值为： ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰=≤≤∑∑--==-)()(1000200t f e E T t t Z E T t n K K m dt mt δ52)1(00)1)(()1()(0μμμω-+-----++---=e x e e t n t n t n 则当n T t <<0时，责任准备金为：20)()1)(()1)((]1][)1([00μμμμω--------+-----=e x e t n p e p e a e V t n x t （2）全期缴费的n 年期定期寿险的年缴穿保费均值和方差分别为：()[]∑==m j J J XN A j P P E 1)'({⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑=XN J XN J mj xn A j P P Var '')()'(1其他各险种，如n 年期两全保险以及限期缴费情况下的趸缴纯保费、年缴纯保费的均值和方差的计算可依此类推。

根据其均值和方差，我们能够估计出相应险种的纯保费 并预测其利率风险。

第3节 各年的利率相互独立且服从同一概率分布的情形假定每一年的利率为一组待定的数值中的一个或者出于一待定数值范围之内，并且由一给定的概率分布所决定。