高三数学第三讲 立体几何专题一空间角(学生版)

立体几何专题：空间角异面直线所成的角一、基础知识 1.定义： 直线a 、b 是异面直线，经过空间一交o ，分别a ΄//a ，b ΄//b ，相交直线a ΄b ΄所成的锐角（或直角）叫做 。

2.范围： ⎥⎦⎤⎝⎛∈2,0πθ 3.方法： 平移法、问量法、三线角公式（1）平移法：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a 、b 的平行线，构造一个三角形，并解三角形求角。

（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式ba b a b a ⋅=><=,cos cos θ求出来方法1：利用向量计算。

选取一组基向量，分别算出 b a ⋅，a ，b 代入上式 方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量),,(111z y x a = ),,(222z y x b =222222212121212121c o s z y x z y x z z y y x x ++++++=∴θ（3）三线角公式 用于求线面角和线线角斜线和平面内的直线与斜线的射影所成角的余弦之积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦即：θθθcos cos cos 21=二、例题讲练例1、如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中， 12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为变式训练1、在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知AB=a ，BC=)(b a b >,AA 1=c ，求异面直线D 1B 和AC 所成的角的余弦值。

A B 1B 1A 1D 1C CD O B B1A1A C1D CD1ϕ2ϕ1cbaθPαO AB变式训练2、如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中，O 是底面ABCD 的中心，E 、F 分别是1CC 、AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于（）A 、510 B 、515 C 、54 D 、32例2、在空间四边形ABCD 中，已知AD=1，BC=3，且AD ⊥BC ，对角线BD=23213=，AC ， 求AC 和BD 所成的角.例3、 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ，⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ，且12PA AD DC ===，1AB =，M 是PB 的中点（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；BAC D EF O 1A1B 1C 1D 图 1ABCD EF M O 1A1B 1C 1D 图2变式训练 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA ⊥底面ABCD ，3AB =，1BC =，2PA =， E 为PD 的中点 求直线AC 与PB 所成角的余弦值；1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是 。

2.正方体1AC 中，O 是底面ABCD 的中心，则OA 1和BD 1所成角的大小为 。

3.已知l 为异面直线a 与b 的公垂线，点a p ∈，若a 、b 间距离为2，点P 到l 的距离为2，P 到b 的距离为5 ，则异面直线a 与b 所成的角为 。

4.如图正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中AB=2AA 1，M 、N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，则AM 与CN 所成角为 。

5.如图PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为矩形， AB=2AD=2DP ，E 为CD 中点。

（1）AP 与BE 所成的角为（2）若∈F 直线PD ，且AF 与BE 所成角为θ1. θ=30˚行吗？2. θ=75˚时；DPDF= 。

6.空间四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 与各边长均为1，O 为BCD ∆的重心，M 是AC 的中点，E 是 AO 的中点，求异面直线OM 与BE 所成的角 。

7.空间四边形ABCD 中AB=BC=CD ，∠BCD=∠ABC=120˚，AB ⊥CD ，M 、N 分别是中点（1）AC 和BD 所成的角为 。

（2）MN 与BC 所成的角为 。

8.已知正方体AC 1中，（1）E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则AE 与CF 所成的角为 （2）M 、N 分别是AA 1，BB 1的中点，则CM 和D 1N 所成的角是 。

训练题A'C1ABCMNB DA CP ECAB DP9、三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD ⊥平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；直线和平面所成的角一、基础知识1.定义： （①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③αα//l l 或⊂）2.直线与平面所成角范围是 。

3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。

（最小值定理）4. 求法： 几何法 公式法 问量法（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所找）的角就是要滶的角，解三角形求出此角。

（2）公式法：θθθθθθcos cos cos cos cos cos 2121=⇔=21,,,θθθα=∠=∠=∠⊥BOC AOC AOB B AB 于点（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）（3）向量法：设θ为直线l 与平面α所成的角，ϕ为直线l 的方向向量v 与平面α的法向量n 之间的夹角，则有θπϕ-=2或θπϕ+=2（图2）图2特别地 0=ϕ时，2πθ=，α⊥l ；2πϕ=时，0=θ，α⊆l 或α//l 。

则><n v ,的余角或其补角的余角即为a 与α所成的角θ，nv n v n v ⋅=><=,cos sin θθωαlvnωθαvlnOABC例1、如图（4），在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ， AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点， OP ⊥底面ABC ．(Ⅰ)求证：OD ∥平面P AB ；(Ⅱ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小.例2、在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱AA 1=2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是ABD ∆的重心G 。

求A 1B 与平面ABD 所成角的大小。

例3、在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=PC,E 是PC 中点。

（1）证明PA ∥平面EDB ；（2）求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值。

变式训练：1、在长方体AC 1中，AB=2，BC=CC 1=1，求（1）CD 与面ABC 1D 1所成的角 （2）A 1C 与平面ABC 1D 1所成的角C1D1（3）A 1C 与平面BC 1D 所成的角2、四面体ABCD 中，所有棱长都相等，M 为AD 的中点，求CM 与平面BCD 所成角的余弦值。

3、）四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面SBC ⊥底面ABCD ．已知45ABC =∠，2AB =，22BC =，3SA SB ==． （Ⅰ）证明SA BC ⊥；（Ⅱ）求直线SD 与平面SAB 所成角的大小．4、如图,2,1l l 是互相垂直的异面直线，M 、N 分别在2,1l l 上，且MN ⊥1l ，MN ⊥2l ，点AB 在1l 上，C 在2l 上，AM=MB=MN 。

（1）证明：AC ⊥NB （2）若∠ABC=60˚，求NB 与平面ABC 所成角的余弦值。

1、已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为三角形ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成的角的正弦值等于2、如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1BC 的中点。

求直线DE 与平面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.训练题 L2L1A BM C NB 1 D 1C 1 A 1D BCAS3、过点P 作平面α的两条斜线段PA 和PB ，则PA=PB 是斜线PA 和PB 与平面α成等角的 条件。

4、如图所示，∠BOC 在平面α内，OA 是α的斜线，∠AOB=∠AOC=60˚，OA=OB=OC=a ，BC=2a ，求OA 和平面α所成的角的大小。

5、如图，已知正方形ABCD ，SA ⊥现面ABCD ，且SA=AB ，M 、N 分别为SB 、SD 的中点，求SC 和平面AMN所成的角6.给出下列命题，其中正确命题序号是 。

（1）若PA 、PB 、PC 与平面α成等角，则迠P 在平面α上的射影O 是∆ABC 的外心 （2）已知直线上l 与平面α所成角是4π，直线a 是α内与l 异面的任一直线，则l 与平面α 所成角范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ (3)在三棱锥P-ABC 中，若二面角P-AB-C ，P-BC-A ，P-CA-B ，大小相等，则点P 在平面ABC 上射影O 是∆ABC内心。

（4）坡度为α的斜坡，有一条与坡脚水平线成30˚的小道，若沿小道每前进100m ，高度就上升25m,那么此坡坡度为30˚。

7、如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，VDC θ∠=π02θ⎛⎫<< ⎪⎝⎭．（I ）求证：平面VAB ⊥VCD ；（II ）试确定θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角为6π。

（Ⅲ）当解θ变化时，求直线BC 与平面VAB 所成的角的取值范围．D A BC S N M B A C O第5题图BVADC平面与平面所成的角一、基础知识1.定义：二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角平面角：过棱上同一点分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范围是 .注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。

在书写时不要写成”∠AOB 为所求二面角”，而应写成”∠AOB 为二面角βα--l 的平面角”。

2.求法：几何法 向量法 公式法（1）几何法：作出二面角的平面角，再求解，常见的有作 法图 形定义法在棱CD 上找一点O ，在两个面内分别作棱的垂线AO,BO ∠AOB 为二面角βα--CD 的平面角垂面法 过棱上一点O 作棱的垂直平面γ与两个半平面的交线分别为AOBO ∠AOB 为βα--CD 的平面角三垂线法过B 内一点A ，作AB ⊥α交α于B ，作BO ⊥CD 于O ，连结AO,∠AOB 的βα--CD 平面角或其补角（2）向量法：①分别求出α和β的法向量n m ,，则二面角βα--l 的大小为><n m ,或π—><n m , 用此法须知：〈1〉需建空间直角坐标系，定准相应点的坐标A O BM N αβα βAOP A BOP αβ 4（1）4（3） 4（2）〈2〉通常容易找到一个面的法向量，只需通过二次垂直，求另一个平面的法向量 〈3〉当βα--l 为锐角时=θ><n m , （><n m ,为锐角）或π—><n m ,（><n m ,为钝角）②在平面α内⎪⎩⎪⎨⎧∈⊥EFA EFAC 在平面β内，BD ⊥EF ，且B ∈EF 分别求出BD AC ,，则><BD AC ,即为二面角βα--EF 的大小（3）公式法：①设二面角βα--l 的大小为,θ,,,,l CD l AB CD AB ⊥⊥⊂⊂βα令,,,d BD n CD m AB ===则注意：BA 与DC 所成的角一定与二面角的平面角大小相等，但不一定是异面直线BA 和CD 所成角的大小。