2018高三数学(理)一轮总复习课件：第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 9-7
2018年高考数学一轮复习课件：第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第56讲
布 第56讲 排列与组合
第一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
考纲要求 考情分析
命题趋势
1.理解排列、 2016，全国 组合的概念 卷Ⅲ，12T
．
2016，四川
2．能利用
卷，4T
计数原理推 2014，辽宁
导排列数公 卷，6T
两个计数原理与排 列、组合的综合问 题是高考的热点， 以考查基本概念、 基本方法(如“含 ”“不含”问题、
第二十四页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 4．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数， 试问：
• (1)能组成多少个没有重复数字的七位数？ • (2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？ • (解3析)(：1()1中)分三的步完七成位：第数一步中，在，4 个偶偶数数中排取 3在个，一有起C34种，情况奇；第数二也步， 在 5排个奇在数中一取起4 个的，有有C45种几情个况；？第三步，3 个偶数，4 个奇数进行排列，有 A77种
(2)把 6 本不同的书分成 4 组，每组至少 1 本的分法有 2 种． ①有 1 组 3 本，其余 3 组每组 1 本，不同的分法共有C36CA13C33 21C11＝20(种)； ②有 2 组每组 2 本，其余 2 组每组 1 本，不同的分法共有CA26C22 24·CA12C22 11＝45(种)．所 以不同的分组方法共有 20＋45＝65(种)．然后把分好的 4 组书分给 4 个人，所以不同 的分法共有 65×A44＝1 560(种)．
第七页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字C 的四位 偶数的个数为( )
• A．8 B．24 • C解．析：4C812×A34＝D2．×4×132×02＝48.
2018高考数学(理)一轮复习课件 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3讲 课件
60
2 a 5 5．在二项式x －x 的展开式中，x
的系数是－10，则实数 a
的值为________．
1
[解析]
ar r 2 5－r 10－3r Tr＋1＝C5(x ) · － ＝(－a)rCr · x . 5
x
3 当 10－3r＝1 时，r＝3，于是 x 的系数为(－a)3C3 5＝－10a ，
A
)
2 8 [解析] 由题意得 a8＝C8 102 (－1) ＝180.
4． (2016· 高考北京卷 ) 在 (1－ 2x)6 的展开式中， x2 的系数为 ________．(用数字作答)
r r [解析] (1－2x)6 的展开式的通项 Tr＋1＝Cr 当 r＝2 时， 6(－2) x ， 2 2 2 2 T3＝C2 ( － 2) x ＝ 60 x ，所以 x 的系数为 60. 6
[典例引领] (1)(x
2
1 5 3 ＋2)x2－1 的展开式的常数项是________．
2
1 5 (2)(2016· 高考山东卷)若(ax ＋ ) 的展开式中 x5 的系数是－ x 80，则实数 a＝________．
－2
【解析】 (x
2
(1)(x
2
1 5 ＋2)x2－1 ＝
n
(2)通项
k n k k C b na 第 k＋1 项为：Tk＋1＝______________ ．
－
(3)二项式系数
k C ) n(k＝0，1，2，…，n 二项展开式中各项的二项式系数为：___________________ ．
2．二项式系数的性质
1．辨明三个易误点
n－ k k (1)通项 Tk＋1＝Ck a b 是展开式的第 k＋1 项，不是第 k 项． n
高考一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件的概率
第四讲 随机事件的概率知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 随机事件和确定事件(1)在条件S 下，__必然要发生__的事件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件． (2)在条件S 下，__不可能发生__的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件． (3)必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件，简称确定事件．(4)在条件S 下，__可能发生也可能不发生__的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件． 知识点二 概率与频率(1)概率与频率的概念：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的__频数__，称事件A 出现的比例f n (A)＝n An为事件A 出现的__频率__．(2)概率与频率的关系：对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用__频率f n (A)__来估计概率P(A)．知识点三 互斥事件与对立事件 事件的关系与运算 定义符号表示 包含 关系 若事件A__发生__，则事件B__一定发生__，这时称事件B 包含事件A(或称事件A 包含于事件B) __B ⊇A__ __(或A ⊆B)__ 相等 关系 若B ⊇A ，且__A ⊇B__，则称事件A 与事件B 相等 __A ＝B__ 并事件 (和事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生或事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的并事件(或和事件) __A ∪B__ __(或A ＋B)__ 交事件 (积事件) 若某事件发生__当且仅当事件A 发生且事件B 发生__，则称此事件为事件A 与事件B 的交事件(或积事件) __A∩B __ __(或AB)__ 互斥 事件 若A∩B 为__不可能__事件，则称事件A 与事件B 互斥 __A∩B＝∅__ 对立 事件 若A∩B 为__不可能__事件，A ∪B 为__必然事件__，则称事件A 与事件B 互为对立事件__A∩B＝∅，__ __且A ∪B ＝Ω__重要结论概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：__0≤P(A)≤1__． (2)必然事件的概率：P(A)＝__1__． (3)不可能事件的概率：P(A)＝__0__．(4)概率的加法公式：若事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝__P(A)＋P(B)__．(5)对立事件的概率：若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P(A ∪B)＝__1__，P(A)＝__1－P(B)__．双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)事件发生的频率与概率是相同的．( × ) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ ) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )(4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( × )(5)对立事件肯定是互斥事件、互斥事件不一定是对立事件．( √ ) 题组二 走进教材2．(P 121T4)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( D ) A ．至多有一次中靶 B ．两次都中靶 C ．只有一次中靶D ．两次都不中靶[解析] “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．故选D ． 3．(P 133T4)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为__56__．[解析] 掷两个骰子一次，向上的点数共6×6＝36(种)可能的结果，其中点数相同的结果共有6种，所以点数不相同的概率P ＝1－636＝56．题组三 走向高考4．(2018·课标全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( B )A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.7[解析] 设事件A 为“不用现金支付”，事件B 为“既用现金支付也用非现金支付”，事件C 为“只用现金支付”，则P(A)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.15－0.45＝0.4故选B ．5．(2020·新课标Ⅰ)设O 为正方形ABCD 的中心，在O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，则取到的3点共线的概率为( A )A ．15B ．25C ．12D ．45[解析] O ，A ，B ，C ，D 中任取3点，共有 C 35＝10种，即OAB ，OAC ，OAD ，OBC ，OBD ，OCD ，ABC ，ABD ，ACD ，BCD 十种， 其中共线为A ，O ，C 和B ，O ，D 两种， 故取到的3点共线的概率为P ＝210＝15，故选A ．考点突破·互动探究考点一 随机事件的关系——自主练透例1 (1)(2020·辽宁六校协作体期中)从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( C )A ．“至少有1个白球”和“都是红球”B ．“至少有2个白球”和“至多有1个红球”C ．“恰有1个白球”和“恰有2个白球”D ．“至多有1个白球”和“都是红球”(2)(2021·中山模拟)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数，其中： ①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数； ②至少有一个是奇数和两个都是奇数； ③至少有一个是奇数和两个都是偶数； ④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数． 上述事件中，是对立事件的是( C ) A ．① B ．②④ C ．③D ．①③(3)设条件甲：“事件A 与事件B 是对立事件”，结论乙：“概率满足P(A)＋P(B)＝1”，则甲是乙的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)对于选项A ，“至少有1个白球”和“都是红球”是对立事件，不符合题意；对于选项B ，“至少有2个白球”表示取出2个球都是白色的，而“至多有1个红球”表示取出的球1个红球1个白球，或者2个都是白球，二者不是互斥事件，不符合题意；对于选项C ，“恰有1个白球”表示取出2个球1个红球1个白球，与“恰有2个白球”是互斥而不对立的两个事件，符合题意；对于选项D ，“至多有1个白球”表示取出的2个球1个红球1个白球，或者2个都是红球，与“都是红球”不是互斥事件，不符合题意．故选C ．(2)从1,2,3,4,5这5个数中任取两个数有3种情况：一奇一偶，2个奇数，2个偶数．其中“至少有一个是奇数”包含一奇一偶或2个奇数这两种情况，它与两个都是偶数是对立事件．又①中的事件可以同时发生，不是对立事件，故选C ．(3)若事件A 与事件B 是对立事件，则A ∪B 为必然事件，再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1；投掷一枚硬币3次，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不一定是对立事件，如：事件A ：“至少出现一次正面”，事件B ：“出现3次正面”，则P(A)＝78，P(B)＝18，满足P(A)＋P(B)＝1，但A ，B 不是对立事件，故甲是乙的充分不必要条件．名师点拨(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，既有且仅有一个发生．(2)判别互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件．〔变式训练1〕(2021·宁夏检测)抽查10件产品，设事件A 为“至少有2件次品”，则事件A 的对立事件为( B ) A ．至多有2件次品 B ．至多有1件次品 C ．至多有2件正品D ．至少有2件正品[解析] ∵“至少有n 个”的反面是“至多有n －1个”，又∵事件A“至少有2件次品”，∴事件A 的对立事件为“至多有1件次品”．考点二 随机事件的概率——多维探究 角度1 频率与概率例2 (2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率0.40.20.150.250.20.1(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化．那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)[解析] (1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000， 第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50． 故所求概率为502 000＝0.025．(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1 ＝56＋10＋45＋50＋160＋51 ＝372．故所求概率估计为1－3722 000＝0.814．(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率． 角度2 统计与概率例3 (2021·云南名校适应性月考)下边茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中有一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是( A )甲 乙 9 8 8 3 3 7 2 1 09● 9A ．45B ．25C ．910D ．710[解析] 记其中被污损的数字为x ，由题知甲的5次综合测评的平均成绩是15×(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的5次综合测评的平均成绩是15×(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x ＋9)＝442＋x 5， 令90＞442＋x 5，解得x ＜8，即x 的取值可以是0～7，因此甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率是810＝45．故选A ．名师点拨概率和频率的关系概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近，只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率．〔变式训练2〕(1)(2021·黑龙江大庆质检)某公司欲派甲、乙、丙3人到A ，B 两个城市出差，每人只去1个城市，且每个城市必须有人去，则A 城市恰好只有甲去的概率为( B )A ．15B ．16C ．13D ．14(2)(2021·吉林模拟)某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买．②估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；③如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？[解析] (1)总的派法有：(甲、乙A)，(丙B)；(甲、乙B)，(丙A)；(甲、丙A)，(乙B)；(甲、丙B)，(乙A)；(乙、丙A)，(甲B)；(乙、丙B)，(甲A)，共6种(或C 23A 22＝6(种))，A 城市恰好只有甲去有一种，故所求概率P ＝16．(2)①从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为2001 000＝0.2．②从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为100＋2001 000＝0.3．③与①同理．可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1．所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大． 考点三 互斥事件、对立事件的概率——师生共研例4 (1)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得．1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A 、B 、C ．求：①P(A)，P(B)，P(C)； ②1张奖券的中奖概率；③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．(2)(2021·河南新乡模拟)从5个同类产品(其中3个正品，2个次品)中，任意抽取2个，下列事件发生概率为910的是( C )A ．2个都是正品B ．恰有1个是正品C ．至少有1个正品D ．至多有1个正品[解析] (1)①P(A)＝11 000，P(B)＝101 000＝1100，P(C)＝501 000＝120．②因为事件A ，B ，C 两两互斥，所以P(A ∪B ∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝11 000＋1100＋120＝611 000．故1张奖券的中奖概率为611 000．③P(A ∪B )＝1－P(A ＋B)＝1－⎝⎛⎭⎪⎫11 000＋1100＝9891 000．故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为9891 000．(2)从5个产品中任取2个的取法有C 25＝10种，其中2个都是正品的取法有C 23＝3种，故2个都是正品的概率P 1＝310；其对立事件是“至多有1个正品”，概率为P 2＝1－P 1＝1－310＝710．恰有1个正品的取法有C 13·C 12＝6种，故恰有1个正品的概率P 3＝610＝35．至少有1个正品的概率P 4＝P 1＋P 3＝310＋610＝910．名师点拨求复杂的互斥事件的概率的两种方法(1)直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率求和公式计算．(2)间接求法，先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P(A)，即运用逆向思维(正难则反)．特别是“至多”“至少”型题目，用间接求法就显得较简便．〔变式训练3〕(1)(2020·西安二模)2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B( A )A．是互斥事件，不是对立事件B．是对立事件，不是互斥事件C．既是互斥事件，也是对立事件D．既不是互斥事件也不是对立事件(2)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3．则该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率为__0.8__；该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率为__0.2__．[解析](1)2021年某省新高考将实行“3 ＋1＋2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．故选A．(2)记A表示事件：该车主购买甲种保险；B表示事件：该车主购买乙种保险但不购买甲种保险；C表示事件：该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种；D表示事件：该车主甲、乙两种保险都不购买．①由题意得P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，又C＝A∪B，所以P(C)＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5＋0.3＝0.8．②因为D与C是对立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2．名师讲坛·素养提升用正难则反的思想求对立事件的概率例5 (1)(2020·浙江湖州期末，改编)现有5个不同编号的小球，其中黑色球2个，白色球2个，红色球1个，若将其随机排成一列，则相同颜色的球都不相邻的概率是__45__．(2)(2021·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数0 1 2 3 4 5人及5人以上概率0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？[解析](1)“相同颜色的球不都相邻”的对立事件为“相同颜色的球都相邻”，记为事件A．因5个不同编号的小球排列有A55＝120种排法，“相同颜色的球都相邻”的排法有A22A22A33＝24种排法，∴所求概率P＝|－P(A)|＝1－24120＝45．(2)记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．①记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56．②解法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44．解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44．名师点拨“正难则反”的思想是一种常见的数学思想，如反证法、补集的思想都是“正难则反”思想的体现．在解决问题时，如果从问题的正面入手比较复杂或不易解决，那么尝试采用“正难则反”思想往往会起到事半功倍的效果，大大降低题目的难度．在求对立事件的概率时，经常应用“正难则反”的思想，即若事件A与事件B互为对立事件，在求P(A)或P(B)时，利用公式P(A)＝1－P(B)先求容易的一个，再求另一个．〔变式训练4〕某超市为了了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人) x 30 25 y 10结算时间(分钟/人)1 1.52 2.5 3(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．(将频率视为概率)[解析](1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝ 20．该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10100＝1.9(分钟)．(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A1，A2分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为3分钟”，将频率视为概率得P(A1)＝20100＝1 5，P(A2)＝10100＝110．P(A)＝1－P(A1)－P(A2)＝1－15－110＝710．故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710．。
高考数学(全国通用)一轮总复习(文理科)配套课件：第九章 计数原理、概率与统计 9.3
典例 2 (2015·柳州月考)已知(1+2x)8 展开式的二项式系数的最大
值为 a,系数的最大值为 b,则������������的值为(
)
A.1528
B.2756
C.5512
D.1278
【解题思路】二项式系数最大的项是中间项,利用第 r+1 项的系数
不小于第 r 项的系数,且第 r+1 项的系数不小于第 r+2 项的系数建立
·������4·
-
1 4������
2
=
15 16
������2,
其系数为 1156.
【参考答案】 15
16
求二项展开式中特定项或特定项系数的方法 展开式的通项公式是解决特定项或特定项系数的重要工具,求解时,先合并通项中同一字 母的指数,再按照常数项、有理项等特定项的特征求解.
第九章
第三节 二项式定理
)
A. 3 B.- 3 C.6 D.-6
【解题思路】本题主要考查了二项式定理.
因为 Tk+1=C5������ (
������)5-k
-
������ ������
������
=
(−������)kC5������
������
5-2������ 2
,
令
5-2������ 2
=
3 , 解得������
2
主主干干知知识识回回顾顾
名师考点精讲
综合能力提升
-9-
4.(2015·马鞍山质检)已知(x+1)5(2x-1)3=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,其中 a0,a1,a2,…,
a8∈R,则 a1+a2+a3+…+a8=
2018高考数学(理)一轮复习课件 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第2讲 课件
计数原理、概率、随机变量及其分布
第 2讲
排列与组合
1．排列与组合的概念 名称 排列 组合 定义 从 n 个不同元素中取 出 m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成 一列 合成一组
2.排列数与组合数的概念 名称 排列数 组合数 定义 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同 _________的个数 ________的个数
B
)
B．12 种 D．9 种
[解析] 第一步，为甲校选 1 名女老师，有 C1 2＝2 种选法；第 二步，为甲校选 2 名男教师，有 C2 4＝6 种选法；第三步，为 乙校选 1 名女教师和 2 名男教师，有 1 种选法，故不同的安 排方案共有 2×6×1＝12 种，选 B．
3．高三(1)班需要安排毕业晚会的 4 个音乐节目、2 个舞蹈节 目和 1 个曲艺节目的演出顺序，要求 2 个舞蹈节目不连排， 则不同排法的种数是( A．1 800 C．4 320
捆绑法
相邻问题捆绑处理， 即可以把相邻元素看作一个整体 与其他元素进行排列， 同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理， 即先考虑不受限制的元素的排 列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空中 对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除 以已定元素的全排列
插空法
除法
间接法 对于分类过多的问题，按n－ m m C n (1)Cn ＝____________ ； m m m－1 C n＋ 1 (2)Cn ＋Cn ＝____________ ．
1．辨明两个易误点 (1)易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否 与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．
m (2)计算 An 时易错算为 n(n－1)(n－2)…(n－m)．
届高考数学一轮复习第9单元计数原理概率随机变量及其分布第57讲二项式定理课件理0713496
x,第
0 0 2 2 4 4 二个因式取C4 x ,C4 x 及C4 x .所以系数之和 1 3 0 2 4 为 aC 4 +aC4 +C4 +C4 +C4 =8a+8=32,所以 a=3.
教学参考
8.[2014· 全国卷Ⅰ] (x-y)(x+y) 的展开
8
式中 x y 的系数为
2 7
.(用数字
[答案] -20
二项式定理
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
第57讲 PART 9
考试说明
会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
教学参考
考情分析
考点
二项式定理 通项公式
考查方向
考例 2016全国卷Ⅰ14 2015全国卷Ⅰ10, 2014全国卷Ⅰ13, 2014全国卷Ⅱ13, 2013全国卷Ⅱ5
,令
教学参考
7.[2015· 全国卷Ⅱ] (a+x)(1+x) 的展开
4
式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32, 则 a= .
[答案]
3
4
[解析] (a+x)(1+x) 的展开式中 x 的奇数次幂 项一部分来自第一个因式取 a,第二个因式取
1 C4 x 3 3 及C4 x ;另一部分来自第一个因式取
教学参考
6.[2016· 全国卷Ⅰ] (2x+ ������ ) 的展开式
5
中,x 的系数是
3
.(用数字填写
[答案]
������ 5- =3,得 2
10
5-r ������
������ 5 -2
答案)
[解析] 展开式的通项为 Tr+1=2 C5 ������
2018高考数学文理一轮复习课件：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第9讲理 精品
知 识 梳 理
知识点一
均值与方差
1．离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n.
x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn (1)均值：称E(X)＝_______________________________ 为随机变量X的均值或
数学期望． (2)方差：称D(X)＝∑ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根 DX
(4)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中 的概率为0.7，那么他罚球2
D．3
[解析] (1)不正确，(2)(3)(4)正确，故选D．
2．(选修2－3P64习题2－3AT1改编)已知离散型随机变量X的分布列为 X P 1 3 5 2 3 10 3 1 10
1．下列结论正确的个数为 导学号 30073192 ( D ) (1)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关． (2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方 差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小． (3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ 是正态分布的标准差．
知识点二 正态分布 1 1．正态曲线：函数 f(x)＝ 2πσ
x－μ2 e－ 2 σ 2
，x∈(－∞，＋∞)，其中实数 μ 和 σ(σ
＞0)为参数．我们称函数 f(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线，期望为
2) X ～ N ( μ ， σ μ、标准差为 σ 的正态分布通常记作_______________． 上方 ，与 x 轴不相交；②曲线是 2．正态曲线的性质：①曲线位于 x 轴__________
4．(2015· 山东)已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0,32)， 从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 导学号 30073195 ( B ) (附：若随机变量ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%， P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%.) A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%
2018年高考数学一轮复习课件：第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第55讲
法必须属于某一类，不能重复．
第十页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 【例1】 (1)高三一班有学生50人，男生30人， 女生20人；高三二班有学生60人，男生30人， 女生30人；高三三班有学生55人，男生16535人， 女生20人．
第二十二页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 2．已知集合A＝{x|x＝a0＋a1×3＋a2×32＋ a3×33}，其中ai∈{D0,1,2}(i＝0,1,2,3)且a3≠0， 则A中所有元素之和等于( )
• A．3 240 B．3 120
• C．2 997 D．2 889
• 解析：由题意可知，a0，a1，a2各有3种取法 (均可取0,1,2)，a3有2种取法(可取1,2)，由分步 乘法计数原理可得共有3×3×3×2种取法．
第二十一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
• 1．如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的 四位数叫做“好数”，那么在由1,2C,3,4四个数 字组成的有重复数字的四位数中，“好数”共 有( )
• A解．析：9当个重复数B字．是31个时，有 C13·C13种；当重复数字不是 1 时，有 C13种．由分类 加• 法C计．数原1理2，个得满足条件的D“．好数6个”有 C13·C13＋C13＝12 个．
96
• (2)(2017·南京模拟)如图，用4种不同 的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色 全部使用)，要求每个区域涂一种颜 色，相邻的区域不能涂相同的颜色， 则不同的涂色方法有__________
第十九页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
解析：(1)区域 A 有 5 种涂色方法；区域 B 有 4 种涂色方法；区域 C 的涂色方法 可分 2 类；若 C 与 A 涂同色，区域 D 有 4 种涂色方法；若 C 与 A 涂不同色，此时区 域 C 有 3 种涂色方法，区域 D 也有 3 种涂色方法．所以共有 5×4×4＋5×4×3×3 ＝260(种)涂色方法．
2018高考数学(理)一轮复习课件 第九章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第5讲 课件
辨明两个易误点 (1)几何概型中，线段的端点、图形的边框是否包含在事件之 内不影响所求结果． (2)易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是基本事件的发 生是等可能的，不同之处是几何概型中基本事件的个数是无 限的，古典概型中基本事件的个数是有限的．
1．在区间[－2，3]上随机选取一个数 X，则 X≤1 的概率为 (
B
) 1 B． 2 3 D． 4
[解析] 由题意得图：
1 由图得等车时间不超过 10 分钟的概率为 . 2
3．一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行，若蜜蜂在 飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1，称 其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为( 4π A． 81 81－4π B． 81
2.如图所示， 在直角坐标系内， 射线 OT 落在 30° 角的终边上，任作一条射线 OA，则射线 OA 落在 1 ∠yOT 内的概率为________ ． 6
[解析] 如题图，因为射线 OA 在坐标系内是等可能分布的， 60 1 则 OA 落在∠yOT 内的概率为 ＝ . 360 6
3．(2017· 昆明三中、玉溪一中统考 )设 a∈[0，10]，则函数 1 a－2 5 g(x)＝ x 在区间(0，＋∞)内为增函数的概率为________ ． a－ 2 [解析] 因为函数 g(x)＝ x 在区间(0，＋∞)内为增函数，
[ 解 析 ] x2 － 2x － 3≤0 ⇒ － 1≤x≤3 ， 故 所 求 概 率 为 P ＝ 3－（－1） 4 ＝ . 5－（－2） 7
5. 教材习题改编 如 图 ， 圆 中 有 一 内 接 等 腰 三 角 形．假设你在图中随机撒一把黄豆，则它落在阴影 1 π 部分的概率为________ ．
2018年高考数学一轮复习课件：第九章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第57讲
第十六页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
有理项．
第十三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
•二 多项展开式中的特定项或系数问题
• (1)对于几个多项式和的展开式中的特定项(系 数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每 一项中分别得到特定的项，再求和即可．
• (2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问 题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合 组合思想求解，但要注意适当地运用分类方 法，以免重复或遗漏．
第二十三页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
3．(2017·广东广州综合测试)已知2x3－1xn 的展开式的常数项是第 7 项，则正整数 n 的值为____8______.
解析：二项式2x3－1xn 的展开式的通项是 Tr＋1＝Crn·(2x3)n－r·－1xr＝Crn·2n－r·(－1)r·x3n －4r，依题意，有 3n－4×6＝0，
第九章 计数原理与概率、随机变量及其分
布 第57讲 二项式定理
第一页，编辑于星期六：二十二点 十八分。
考纲要求 考情分析
命题趋势
1.能用计数原 理证明二项 式定理．
2．会用二项 式定理解决
2016，全国 卷Ⅰ，14T 2016，天津 卷，10T 2016，山东 卷，12T
对二项式 定理的考查， 主要是利用通 项求展开式的 特定项及参数 值．利用二项
• (3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解：记甲、乙、丙能被选中的事件分别为 A，B，C，则 P(A) 2 3 1 ＝ ，P(B)＝ ，P(C)＝ . 5 4 3 (1)3 人同时被选中的概率为 2 3 1 1 P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝ × × ＝ . 5 4 3 10 (2)3 人中有 2 人被选中的概率为 P2＝P(ABC∪ABC∪ABC)
解析：法一：设 A＝{第一次取到不合格品}， C2 5 B＝{第二次取到不合格品}，则 P(AB)＝ 2 ， C100 5×4 P（AB） 100×99 4 所以 P(B|A)＝ ＝ ＝99. 5 P（A） 100 法二：第一次取到不合格品后还剩余 99 件产品，其中有 4 4 件不合格品，故第二次取到不合格品的概率为99. 4 答案：99
相互独立
．
(5)一般地，若事件 A1，A2，…，An 相互独立，那么这些事件 同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
1． (2017· 江苏盐城一模)如图所示的电路有 a， b， c 三个开关， 1 每个开关开或关的概率都是2，且是相互独立的，则灯泡甲亮的 概率为 ．
3．如图所示，EFGH 是以 O 为圆心，半径为 1 的圆的内 接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆 子落在正方形 EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形 OHE(阴 影部分)内”，则 P(B|A)＝ ．
解析： P(B|A) 表示豆子落在正方形内的条件下落入三角形 S△OEH 1 OHE 内，故其概率 P＝ ＝4. S正方形
2 3 解析：选 A.该同学通过测试的概率 P＝C2 × 0.6 × 0.4 ＋ 0.6 3
＝0.432＋0.216＝0.648，故选 A.
3．(2015· 高考广东卷)已知随机变量 X 服从二项分布 B(n， p)．若 E(X)＝30，D(X)＝20，则 p＝ ．
解析：由
np＝30， E(X)＝30，D(X)＝20，可得 np（1－p）＝20，
解析：理解事件之间的关系，设“a 闭合”为事件 A， “b 闭 合”为事件 B， “c 闭合”为事件 C，则灯亮应为事件 ABC，且 A， 1 B，C 之间彼此独立，且 P(A)＝P(B)＝P(C)＝ . 2 1 所以 P(A BC)＝P(A)P(B)P(C)＝8.
1 答案：8
2．(2017· 山东聊城一模)甲、乙、丙 3 位大学生同时应聘某 2 3 1 个用人单位的职位，3 人能被选中的概率分别为5，4，3，且各自 能否被选中互不影响． (1)求 3 人同时被选中的概率； (2)3 人中有几人被选中的情况最容易出现？
0.6 解析：选 A.由条件概率公式可得所求概率为 ＝0.8，故选 0.75 A.
2．(2015· 高考课标全国卷Ⅰ)投篮测试中，每人投 3 次，至 少投中 2 次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 ( ) A．0.648 C．0.36 B．0.432 D．0.312
考点二 相互独立事件的概率 命题点 事件相互独立的判定 相互独立事件同时发生的概率 (1)相互独立事件定义：对于事件 A、B，若 A 的发生与 B 的 发生互不影响，则称 A、B 是
相互独立
事件．
(2)一般地：若 A 与 B 相互独立，则 P(B|A)＝P(B)，P(AB)＝ P(B|A)· P(A)＝P(A)· P(B)． (3)若 A 与 B 相互独立，则 A 与 B，A 与 B，A 与 B 也都相互 独立． (4)若 P(AB)＝P(A)P(B)，则 A、B
解析：选 B.设事件 Ai(i＝1，2)表示“做对第 i 道题”，A1， 0.6 A2 相互独立， 由已知得 P(A1)＝0.8， P(A1A2)＝0.6， P(A2|A1)＝0.8＝ 0.75.故选 B.
2．在 100 件产品中有 95 件合格品，5 件不合格品．现从中 不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后， 第二次再取到不合格品的概率为 ．
(2)条件概率具有的性质 ①
0≤P(B|A)≤1
；
②如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 P[(B∪C)|A] ＝
P(B|A)＋P(C|A)
．
1．(2017· 陕西西安质检)周老师上数学课时，给班里同学出 了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为 0.80，做对两道题 的概率为 0.60，则预估做对第二道题的概率是( A．0.80 C．0.60 B．0.75 D．0.48 )
1 解得 p＝ . 3
1 答案：3
考点一 条件概率 命题点 概率发生的条件
条件概率 (1)定义：对于任何两个事件 A 和 B，在已知事件 A 发生的条 件下，事件 B 发生的概率叫做条件概率 ，用符号P(B|A) 来表示，
P（AB） 其公式为 P(B|A)＝ P（A） ．
在古典概型中，若用 n(A)表示事件 A 中基本事件的个数，则 n（AB） P(B|A)＝ . n（A）
把脉高考 理清考情
考点研析 题组冲关
素能提升 学科培优
课时规范训练
第 7 课时
独立重复试验与二项分布
考纲 点击
1.以选择题、填空题形式计算条件概率. 2.判断并求独立事件的概率. 3.结合独立重复试验求二项分布.
1．(2014· 高考课标全国卷Ⅱ)某地区空ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ质量监测资料表明， 一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良 的概率是( A．0.8 C．0.6 ) B．0.75 D．0.45
1 答案： 4
条件概率的求法 P（AB） (1)利用定义，分别求 P(A)和 P(AB)，得 P(B|A)＝ . P（A） 注意：事件 A 与事件 B 有时是相互独立事件，有时不是相互 独立事件，要弄清 P(AB)的求法．
(2)当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概 率公式，先求事件 A 包含的基本事件数 n(A)，再在事件 A 发生的 条件下求事件 B 包含的基本事件数 ， 即 n(AB) ， 得 P(B|A) ＝ n（AB） . n（A）