2012年高考第二轮复习专题训练—数列(人教版)

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2012年高考试题文科数学分类汇编：数列

2012年高考试题文科数学分类汇编：数列2012年高考试题分类汇编：数列一、选择题1.【2012高考安徽文5】公比为2的等比数列{na }的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）8【答案】A2.【2012高考全国文6】已知数列{}na 的前n 项和为nS ，11a=，12nn Sa +=，,则nS =（A ）12-n （B ）1)23(-n （C ）1)32(-n （D ）121-n【答案】B3.【2012高考新课标文12】数列{a n }满足a n +1＋(－1)na n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）1830 【答案】D4.【2012高考辽宁文4】在等差数列{a n }中，已知a 4+a 8=16，则a 2+a 10=(A) 12 (B) 16 (C) 20A.1006B.2012C.503D.0【答案】A．8.【2102高考北京文6】已知为等比数列，下面结论种正确的是（A）a1+a3≥2a2（B）2223212aaa≥+（C）若a1=a3，则a1=a2（D）若a3＞a1，则a4＞a2【答案】B9.【2102高考北京文8】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11【答案】C二、填空题10.【2012高考重庆文11】首项为1，公比为2的等比数列的前4项和4S =【答案】1511.【2012高考新课标文14】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______【答案】2-12.【2012高考江西文13】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1。

若a 1=1，且对任意的都有a n＋2＋a n＋1-2a n =0，则S 5=_________________。

高三数学第二轮复习专题数列数列通项的求法(教案及测试;含详解答案)

城东蜊市阳光实验学校数列通项的求法考纲要求：1. 理解数列的概念和几种简单的表示方法〔列表、图像、通项公式〕;2. 可以根据数列的前几项归纳出其通项公式；3. 会应用递推公式求数列中的项或者者.通项；4. 掌握n n s a 求的一般方法和步骤.考点回忆：回忆近几年高考，对数列概念以及通项一般很少单独考察，往往与等差、等比数列或者者者与数列其它知识综合考察.一般作为考察其他知识的铺垫知识，因此，假设这一部分掌握不好，对解决其他问题也是非常不利的. 根底知识过关：数列的概念1.按照一定排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的，数列中的每一项都和他的有关.排在第一位的数称为这个数列的第一项〔通常也叫做〕.往后的各项依次叫做这个数列的第2项，……第n 项……，数列的一般形式可以写成12,n a a a …………，其中是数列的第n 项，我们把上面数列简记为. 数列的分类：1.根据数列的项数，数列可分为数列、数列.2.根据数列的每一项随序号变化的情况，数列可分为数列、数列、数列、数列.数列的通项公式：1.假设数列{}n a 的可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，通项公式可以看成数列的函数. 递推公式; 1.假设数列{}n a 的首项〔或者者者前几项〕，且任意一项1n n a a -与〔或者者其前面的项〕之间的关系可以，那么这个公式就做数列的递推公式.它是数列的一种表示法. 数列与函数的关系：1.从函数的观点看，数列可以看成以为定义域的函数()na f n =，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值，反过来，对于函数y=f(x)，假设f(i)(i=1,2,3,……)有意义，那么我们可以得到一个数列f(1),f(2),f(3)……f(n)…… 答案：数列的概念 1.顺序项序号首项n a {}n a数列的分类 1.有限无限 2.递增递减常摆动数列的通项公式1.第n 项与它的序号n 之间的关系n a =f(n)解析式递推公式1. 可以用一个公式来表示数列与函数的关系1. 正整数集N*〔或者者它的有限子集{}1,2,3,n ……〕高考题型归纳：题型1.观察法求通项观察法是求数列通项公式的最根本的方法，其本质就是通过观察数列的特征，找出各项一一共同的构成规律，横向看各项之间的关系构造，纵向看各项与项数之间的关系，从而确定出数列的通项.例1.数列12，14，58-，1316，2932-，6164，…．写出数列的一个通项公式．分析：通过观察可以发现这个数列的各项由以下三部分组成的特征：符号、分子、分母，所以应逐个考察其规律．解析：先看符号，第一项有点违犯规律，需改写为12--，由此整体考虑得数列的符号规律是{(1)}n-；再看分母，都是偶数，且呈现的数列规律是{2}n；最后看分子，其规律是每个分子的数比分母都小３，即{23}n -．所以数列的通项公式为23(1)2n nn n a -=-．点评：观察法一般适用于给出了数列的前几项，根据这些项来写出数列的通项公式，一般的，所给的数列的前几项规律性特别强，并且规律也特别明显，要么能直接看出，要么只需略作变形即可. 题型2.定义法求通项直接利用等差数列或者者等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于数列类型的题目．例2．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.分析：对于数列{}n a ，是等差数列，所以要求其通项公式，只需要求出首项与公差即可.解析：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒ ∵0≠d，∴d a =1………………………………①∵255aS =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………②由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=点评：利用定义法求数列通项时要注意不要用错定义，设法求出首项与公差〔公比〕后再写出通项.题型3.应用nS 与na 的关系求通项有些数列给出{na }的前n 项和nS 与na 的关系式n S =()n f a ，利用该式写出11()n n S f a ++=，两式做差，再利用11n n na S S ++=-导出1n a +与na 的递推式，从而求出na 。

2012年数列高考题(全)

第七部分数列1.(2012年安徽卷理)4.{}n a 的各项都是正数，且31116a a =，则（）()A 4 ()B 5 ()C 6 ()D 72.(2012年福建卷理等差数列}{n a 中，7,10451==+a a a ，则数列}{n a 的公差为（）A ．1B ．2C ．3D ．43.(2012年福建卷理数列}{n a 的通项公式12cos +=πn n a n ，前n 项和为n S ，则=2012S ___________。

4.（2012年广东卷理）11．已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =________．5.（2012年北京卷理）10．已知}{n a 等差数列n S 为其前n 项和。

若211=a ，32a S =，则2a =_______。

6.（2012年上海卷文）14、已知1()1f x x=+，各项均为正数的数列{}n a 满足11a =，2()n n a f a +=，若20102012a a =，则2011a a +的值是 7.（2012年上海卷文）18、若2s i n s i n ..s i n 777n n S πππ=+++（n N *∈），则在12100,,...,S S S 中，正数的个数是（） A 、16 B 、72 C 、86 D 、1008. (2012年安徽文) （5）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 3a 11a =16，则5a =（A ） 1 （B ）2 （C ） 4 （D ）89.（2012年浙江卷理）7．设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是 A ．若d ＜0，则数列{S n }有最大项B ．若数列{S n }有最大项，则d ＜0C ．若数列{S n }是递增数列，则对任意的n ∈N*，均有S n ＞0D ．若对任意的n ∈N*，均有S n ＞0，则数列{S n }是递增数列10.（2012年浙江卷理）13．设公比为q (q ＞0)的等比数列{a n }的前n 项和为{S n }．若2232S a =+，4432S a =+，则q ＝______________．11.（2012年全国新课标文）（12）数列{a n }满足a n +1＋(－1)n a n ＝2n －1，则{a n }的前60项和为（A ）3690 （B ）3660 （C ）1845 （D ）183012.（2012年全国新课标文）(14)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3+3S 2=0，则公比q =_______13.（2012年北京卷文）（6）已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（A ）1322a a a +≥ （B ）2221322a a a +≥（C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > 14.（2012年北京卷文）（10）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若112a =，23S a =，则2a =____________， n S =_________________。

2012年高考总复习：数列

数列（2012年高考总复习）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a 、b 、c 成等差数列，则函数f (x )＝ax 2+bx +c 的图象与x 轴的交点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定2．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则{a n }的前n 项和S n 中最大的负数为( )A ．S 17B ．S 18C ．S 19D ．S 203．某厂2004年12份产值计划为当年1月份产值的n 倍，则该厂2004年度产值的月平均增长率为( )A ．11nB 1C ． 1D 4．等差数列{a n }中，已知a 1＝13，a 2+a 5＝4，a n ＝33，则n 为( ) A ．50 B ．49 C ．48 D ．475．已知数列{a n }的首项a 1＝1，a n +1＝3S n (n ≥1)，则下列结论正确的是( )A ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等比数列B ．数列{a n }是等比数列C ．数列a 2，a 3，…，a n ，…是等差数列D ．数列{a n }是等差数列6．数列{a n }的前n 项和S n ＝5n －3n 2(n ∈N ＊)，则有( )A ．S n >na 1>na nB ．S n <na n <na 1C ．na n >S n >na 1D ．na n <S n <na 17．等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( )A ．－1221B ．－21．5C ．－20．5D ．－208．已知关于x 的方程(x 2－2x +m )(x 2－2x +n )=0的四个根组成一个首项为14的等差数列，则|m －n|＝( )A ．12B ．38C ．34D ．19．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比为－12，用∏n 表示它的前n 项之积，即∏n = a 1·a 2……a n ，则∏n 中最大的是( )A ．∏11B ．∏10C ．∏9D ．∏810．已知数列{a n }满足a 0=1，a n =a 0+a 1+…+a n －1(n ≥1)，则当n ≥1时，a n ＝( ) A ．2n B ．2n －1 C ．21n (n +1) D ．2n －1 11．设数列{a n }是公比为a (a ≠1)，首项为b 的等比数列，S n 是前n 项和，对任意的n ∈N ＊，点(S n ，S n +1)在直线( )A ．y =ax －b 上B ．y =ax+b 上C ．y =bx+a 上D ．y =bx －a 上12．某班试用电子投票系统选举班干部候选人．全班k 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，…，k ，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令 ⎩⎨⎧=.,0.,1号同学当选号同学不同意第第号同学当选号同学同意第第j i j i a ij其中i =1，2，…，k ，且j =1，2，…，k ，则同时同意第1，2号同学当选的人数为（）A ．k k a a a a a a 2222111211+++++++B ．2221212111k k a a a a a a +++++++C ．2122211211k k a a a a a a +++D ．k k a a a a a a 2122122111+++二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。

2012年高考试题分项解析数学(文科)专题04 数列(教师版).pdf

第25课河中石兽教学目标 1．理解实践出真知道的道理。

2．积累文言词汇，掌握古汉语的意义和用法。

3．训练阅读浅近文言文的能力。

教学重、难点1．重点（1）积累文言词汇，掌握古汉语的意义和用法。

（2）训练阅读浅近文言文的能力。

2．难点：理解实践出真知道的道理。

课时划分二课时教学投计第一课时教学过程一、预习 1．熟读课文，读准下列加点字的读音。

圮（pǐ）募（mù）棹（zhào）（fèi）湮（yān）啮（niè）溯（sù）欤（yù）2．查字典，看课文注释，试翻译课文。

二、导语俗话说：“没有调查，就没有发言权”。

有一则故事记载，某土地庙前石兽因河岸崩塌掉入河中。

十多年后重修山门，寻找石兽，它却不在原落水处，也不在下游。

一位老兵说，应该在上游寻找，依他的话，果然捞出了石兽。

石兽为什么会向上游“跑”呢？今天我们来学习《河中石兽》一文，从中找出答案。

三、正课 1．交流作家作品资料。

作者纪的，字晓岚。

乾隆十九年（1754）进士。

学部渊博，曾任翰林院编修、侍读学士。

因获罪遗戍乌鲁木齐。

释放回京后，任《四库全书》总纂官，编定《四库全书\总目提要》在目录上学上贡献很大。

著有《阅微草堂笔记》等。

本文选自《阅微草堂笔》，是纪昀晚年所作的一部文言笔记小说，题材料妖怪鬼狐为主，但于人事异闻、名物典故等也有记述，内容相当广泛。

2．朗读课文。

3．就课文不理解的词语质疑。

现在小组内质疑小组不有解决的交全班讨论。

四、课堂小结 1．古今异义：古义：一起二石兽并沉焉。

今义：并列阅：古义：经历阅十余今义：阅读是非木柿是：古义：代词这今义：判断词是盖：古义：发语词盖石性坚重今义：有遮蔽作用的器物但：古义：只但矢其一今义：表转折但是，却 2．一词多义去：岂有为暴涨携之去离去西蜀之去南海距离为：岂能为暴涨携之去被必于石下迎水外啮沙为坎穴成为橘生于淮南则为橘是为其来也在 3．词性活用棹名词用为动词划船4．汉字能假同“癫”，疯五、布置作业 1．完成课后理解与探究第三题。

2012年高考数学二轮复习专题四数列综合检测新人教A版

2012年高考数学二轮复习综合检测：专题四数列时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011·某某文，1)在等差数列{a n }中，a 2＝2，a 3＝4，则a 10＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 [答案] D[解析] 由a 2＝2，a 3＝4知d ＝4－23－2＝2.∴a 10＝a 2＋8d ＝2＋8×2＝18.2．(2011·某某某某二模)数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 6、a 9、a 15依次为等比数列{b n }的连续三项，若数列{b n }的首项b 1＝12，则数列{b n }的前5项和S 5等于( )A.312B.3132C ．31D ．32 [答案] A [解析]∵q ＝a 9a 6＝a 15a 9＝a 15－a 9a 9－a 6＝6d3d＝2， ∴S 5＝b 11－q 51－q＝121－251－2＝312，故选A. 3．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)，设其前n 项和为S n ，则使S n <－5成立的自然数n ( )A ．有最小值63B ．有最大值63C ．有最小值32D ．有最大值32 [答案] A [解析]∵a n ＝log 2n ＋1n ＋2(n ∈N *)， ∴a 1＝log 223，a 2＝log 234，….∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝log 223＋log 234＋…＋log 2n n ＋1＋log 2n ＋1n ＋2＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23×34×…×n n ＋1×n ＋1n ＋2＝log 22n ＋2. ∴要使S n <－5成立，即 log 22n ＋2<－5＝log 22－5＝log 2132. 又∵y ＝log 2x 在(0，＋∞)上是增函数， ∴2n ＋2<132⇒n ＋2>64⇒n >62. 故n 的最小值是63.4．(2010·全国Ⅰ理，4)已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( )A ．52B ．7C ．6D ．4 2 [答案] A[解析] 由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(a 2a 8)3＝(5016)3＝5 2.5．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 若a 1<a 2<a 3，则a 1<a 1q <a 1q 2，若a 1>0，则q >1，此时为递增数列，若a 1<0，则0<q <1，同样为递增数列，故充分性成立，必要性显然成立．6．(2011·某某理，8)数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝( )A ．0B ．3C ．8D ．11 [答案] B[解析] 由b 3＝－2，b 10＝12，∴d ＝2，∴b n ＝2n －8，由关系式：b 7＝a 8－a 7，各式相加：b 1＋b 2＋…b 7＝a 8－a 1＝a 8－3b 6＝a 7－a 6，…b 1＝a 2－a 1∴a 8＝(a 8－a 7)＋(a 7－a 6)＋(a 6－a 5)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝7×－6＋62＋3＝3.7．(2011·某某二模)数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n，0≤a n<122a n－1，12≤a n<1，若a 1＝35，则a 2010＝( )A.15B.25C.35D.45 [答案] A[解析] 由题可得a 1＝35，a 2＝15，a 3＝25，a 4＝45，a 5＝35，a 6＝15，…，所以数列{a n }是一个周期为4的周期数列，又因为2010＝502×4＋2，所以a 2010＝a 2＝15，故选A.8．(文)(2011·东北三省四市第三次联考)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1，a 5，a 17依次成等比数列，则这个等比数列的公比是( )A ．4B ．3C ．2 D.12[答案] B[解析] 由a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，得a 1＝2d ，a 5＝a 1＋4d ＝6d ，∴q ＝a 5a 1＝6d2d＝3，故选B. 另解：q ＝a 5a 1＝a 17a 5＝a 17－a 5a 5－a 1＝12d4d＝3，故选B. (理)(2011·海淀期中练习)已知等差数列1，a ，b ，等比数列3，a ＋2，b ＋5，则该等差数列的公差为( )A ．3或－3B ．3或－1C ．3D ．－3 [答案] C[解析] 由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b ＝1，a ＋22＝3b ＋5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－5或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，当a ＝－2时，a ＋2＝0，其不可作为等比数列中的项，即得a ≠－2，∴等差数列的公差为a －1＝4－1＝3，故应选C.本题考查了等差数列与等比数列基本量的求解问题，要注意等比数列的限制条件．9．(2011·某某理，5)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．55 [答案] A[解析] 令m ＝n ＝1，则S 1＋S 1＝S 2，即a 1＋a 1＝a 1＋a 2，所以a 2＝a 1＝1；令n ＝1，m ＝2，所以S 1＋S 2＝S 3.即a 1＋a 1＋a 2＝a 1＋a 2＋a 3，则a 3＝a 1＝a 2＝1，…，故a 10＝1，故选A.10．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a n b n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5 [答案] D[解析]∵a nb n ＝2n －1a n2n －1b n＝2n －1·a 1＋a 2n －122n －1·b 1＋b 2n －12＝A 2n －1B 2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1＝7＋12n ＋1， ∴n ＋1应为12的正约数， ∴n ＝1,2,3,5,11.11．在数列{a n }中，a 1＝2，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2(n ∈N *)，则a 10为( ) A ．34 B ．36 C ．38 D ．40 [答案] C[解析] 由na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，得 a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，则有a n n －a n －1n －1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，a n －1n －1－a n －2n －2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1，……a 22－a 11＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12，累加得 a n n －a 1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n . ∵a 1＝2，∴a n ＝4n －2，∴a 10＝38.12．设S n 为数列{a n }的前n 项之和．若不等式a 2n ＋S 2n n2≥λa 21对任何等差数列{a n }及任何正整数n 恒成立，则λ的最大值为( )A ．0 B.15C.12D ．1 [答案] B[解析]a 1＝0时，不等式恒成立．当a 1≠0时，λ≤a 2n a 21＋S 2nn 2a 21，将a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n n －1d2代入上式，并化简得：λ≤54[n －1d a 1＋56]2＋15， ∴λ≤15，∴λmax ＝15.二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．) 13．(2011·某某五校二次联考)已知等比数列的公比为2，且前四项之和等于1，那么前八项之和等于________．[答案] 17 [解析] 因为a 5＋a 6＋a 7＋a 8a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝q 4＝16，所以S 8＝17.14．(文)(2011·某某文，11)已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________．[答案] 110[解析] 由题意，设公差为d ，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝1620a 1＋20×20－12d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝20d ＝－2∴S 10＝10a 1＋1010－12d ＝110.(理)(2011·某某理，13)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．[答案]6766[解析] 设此等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1322，d ＝766，∴a 5＝a 1＋4d ＝1322＋4×766＝6766.15．(文)(2011·某某三诊)已知数列{a n }的通项a n ＝n 2(7－n )(n ∈N *)，则a n 的最大值是________．[答案] 50[解析] 解法一：可用赋值法求解．解法二：设f (x )＝x 2(7－x )＝－x 3＋7x 2，当x >0时，由f ′(x )＝－3x 2＋14x ＝0得x ＝143，当0<x <143时，f ′(x )>0，f (x )在(0，143)上单调递增，当x >143时，f ′(x )<0，f (x )在(143，＋∞)上单调递减，所以，当x >0时，f (x )max ＝f (143)，由a 4＝48，a 5＝50，得a n 的最大值为50.(理)(2011·苏锡常镇调研)已知数列{a n }满足a 1＝1，11＋a n ＋1＝11＋a n＋1，则a 10＝________.[答案] －1719[解析] 由11＋a n ＋1＝11＋a n ＋1，得11＋a n ＋1－11＋a n ＝1，又11＋a 1＝12，故数列{11＋a n}是首项为12，公差为1的等差数列，故11＋a 10＝12＋(10－1)×1，得a 10＝－1719. 16．(文)(2011·东城综合练习)已知数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若a 1＝1，a 2＝2，a n a n＋1a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＋a n ＋2，且a n ＋1a n ＋2≠1，则a 1＋a 2＋a 3＝________，a 2012＝________.[答案] 6 4023[解析] 由1×2×a 3＝1＋2＋a 3，得a 3＝3，a 1＋a 2＋a 3＝6.继续依据递推关系得到a 4＝1，a 5＝2，a 6＝3，…，故该数列是周期为3的数列，S 2012＝6×20103＋1＋2＝4023. (理)(2011·某某二测)如图是一个有n 层(n ≥2)的六边形点阵．它的中心是一个点，算作第一层，第2层每边有2个点，第3层每边有3个点，……，第n 层每边有n 个点，则这个点阵的点数共有________个．[答案] 3n 2－3n ＋1[解析] 设第n 层共a n 个点，结合图形可知a 1＝1，a 2＝6，…，a n ＋1＝a n ＋6(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝6＋(n －2)×6＝6n －6(n ≥2，n ∈N *)，前n 层所有点数之和为S n ＝1＋n －1[6＋6n －6]2＝3n 2－3n ＋1，故这个点阵的点数共有3n 2－3n ＋1个．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分)(2011·某某文，16)设{a n }是公比为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝a 2＋4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设{b n }是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n ＋b n }的前n 项和S n . [解析] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝2，a 3＝a 2＋4得2q 2＝2q ＋4即q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍)，∴q ＝2 ∴a n ＝a 1·qn －1＝2·2n －1＝2n(2)数列b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1 ∴S n ＝1－2n1－2＋n ×1＋n n －12×2＝2n ＋1－2＋n 2－n ＋n ＝2n ＋1＋n 2－2.18．(本小题满分12分)(2011·某某理，16)已知等比数列{a n }的公比q ＝3，前3项和S 3＝133. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0,0<φ<π)在x ＝π6处取得最大值，且最大值为a 3，求函数f (x )的解析式．[解析] (1)由q ＝3，S 3＝133得a 11－331－3＝133，解得a 1＝13.所以a n ＝13×3n －1＝3n －2.(2)由(1)可知a n ＝3n －2，所以a 3＝3，因为函数f (x )的最大值为3，所以A ＝3；因为当x ＝π6时f (x )取得最大值，所以sin(2×π6＋φ)＝1.又0<φ<π，故φ＝π6.所以函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin(2x ＋π6)．19．(本小题满分12分)(2011·某某文，20)等比数列{a n }中，a 1、a 2、a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1、a 2、a 3中的任何两个数不在下表的同一列.(1) 求数列{a n }(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)nln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n .[分析] 本小题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式等基础知识．考查学生利用拆项分组法、归纳推理等解决问题的能力，以及运算求解的能力．[解析] (1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3. 故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)nln a n ＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n[ln2＋(n －1)ln3] ＝2·3n －1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nn ln3，所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n ＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n ]ln3＝2×1－32n1－3＋n ln3＝32n＋n ln3－1.20．(本小题满分12分)设数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，求S n 和a n .[解析]∵a n ＝S n －S n －1，a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2)，∴S n －S n －1＝2S 2n2S n －1.变形并整理，得S n －S n －1＝－2S n ·S n －1，因此1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又∵1S 1＝1a 1＝1，∴数列{1S n}是以1为首项，2为公差的等差数列． ∴1S n＝2n －1，∴S n ＝12n －1(n ≥1)，a n ＝S n －S n －1＝－22n －12n －3(n ≥2)，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n ＝1，－22n －12n －3 n ≥2.21．(本小题满分12分)(某某一模)已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c ；(3)若(2)中的{b n }的前n 项和为T n ，求证2T n －3b n －1>64b nn ＋9b n ＋1.[解析] (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n n －12·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c ，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2c 2＋c ＝0， ∴c ＝－12(c ＝0舍去)．(3)由(2)得b n ＝2n 2－nn －12＝2n ，2T n －3b n －1＝2(n 2＋n )－3(2n －2)＝2(n －1)2＋4≥4，n ＝1时取等号 64b nn ＋9b n ＋1＝64×2n n ＋9·2n ＋1＝64nn 2＋10n ＋9＝64n ＋9n＋10≤4，n ＝3时取等号． (1)、(2)式中等号不可能同时取到，所以2T n －3b n －1>64b nn ＋9b n ＋1.22．(本小题满分14分)(2011·某某文，20)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式； (2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．[解析] (1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×34n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，由于S 6＝570，故word - 11 - / 11 S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.A n ＝780－210×34n －6n因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×3428＝824764>80， A 9＝780－210×3439＝767996<80，所以须在第9年初对M 更新．。

2012年高考数学理科二轮数列专题测试

数列专题测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．在等差数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20，那么a 3＝( ) A ．4 B ．5 C ．6D ．7解析：解法一：因为{a n }为等差数列，设首项为a 1，公差为d ，由已知有5a 1＋10d ＝20，∴a 1＋2d ＝4，即a 3＝4.解法二：在等差数列中，a 1＋a 5＝a 2＋a 4＝2a 3，所以由a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝20得5a 3＝20，∴a 3＝4. 答案：A2．(2011年福州质检)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是( )A ．65B ．70C ．130D ．260解析：a 1＋a 1＋8d ＋a 1＋10d ＝30 3a 1＋18d ＝30a 1＋6d ＝10，a 7＝10 S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝130，故选C.答案：C3．已知等比数列{a n }的公比q ＝－13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8等于( )A ．－13B ．－3 C.13D ．3解析：∵a 1a 2＝a 3a 4＝a 5a 6＝a 7a 8＝1q，∴a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝1q＝－3.答案：B4．(2012年嘉兴高三教学测试)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9>0，S 10<0，则2a 1，22a 2，…，29a 9中最大的是( )A.2a 1B.25a 5C.26a 6D.29a 9解析：由⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 5>0S 10＝a 5＋a 6∴⎩⎪⎨⎪⎧a 5>0a 6<0∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0d <0.∵当n ≤5时，2n －1a n －1<2na n.∴选B.答案：B5．(2011年东北三校联考)已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a 5＝9，若数列{b n }满足b 1＝3，b n ＋1＝ab n ，则{b n }的通项公式b n 为( )A ．2n－1 B ．2n＋1 C ．2n －1－1 D ．2n －1＋1解析：a 2＝3，a 5＝9,3d ＝6，d ＝2a n ＝3＋(n －2)×2＝2n －1b n ＋1＝2b n －1 b n ＋1－1＝2(b n －1)∵b 1＝3≠1，∴{b n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列b n －1＝2·2n －1＝2n ，b n ＝2n ＋1.答案：B6．(2011年乐山二诊)若22是2a 与2b的等比中项，则ab 的最大值为( ) A ．3 B ．8 C.32D.94解析：∵22是2a与2b的等比中项 ∴2a·2b＝(22)2,2a ＋b＝23因为求ab 的最大值，故a ，b 都为正数a ＋b ＝3≥2ab ，ab ≤94当且仅当a ＝b ＝32时等号成立，故选D.答案：D7．(2011年江南十校联考)设数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，关于数列{a n }有下列三个命题：①若数列{a n }既是等差数列又是等比数列，则a n ＝a n ＋1；②若S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)，则数列{a n }是等差数列； ③若S n ＝1－(－1)n，则数列{a n }是等比数列．这些命题中，真命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：①，②，③正确．故选D. 答案：D8．2010上海世博会期间，假设在6号门早晨6时30分有2人进园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分从6号门入园的人数是( )A ．212－47 B ．212－57 C ．213－68D ．214－80解析：入园人数为(2＋22＋23＋…＋211)－(1＋2＋3＋…＋10)＝212－57.故选B. 答案：B9．(2011年西南师大附中模拟)已知数列{a n }的通项为a n ＝log n ＋1(n ＋2)(n ∈N *)，我们把使乘积a 1a 2a 3…a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(1,2010]内的所有“优数”的和为( )A ．1024B ．2003C ．2026D ．2048解析：a 1a 2a 3…a n ＝log 23·log 34…log n ＋1(n ＋2) ＝log 2(n ＋2)∴n ＋2＝2k (k ∈Z)，∴2k－2≤2010，∴k ≤10∴所有“优数”的和为S ＝(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝2026.故选C. 答案：C10．在数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，则a 1，a 3，a 5( )A ．是等差数列B ．是等比数列C ．三个数的倒数成等差数列D ．三个数的平方成等差数列解析：∵2a 2＝a 1＋a 3①a 32＝a 2·a 4②2a 4＝1a 3＋1a 5③由①/③得a 2a 4＝a 1＋a 31a 3＋1a 5，化简得a 32＝a 1·a 5，故选B.答案：B11．(2011年广雅中学、佛山一中、汕头金中2月联考)下列关于数列的命题 ①若数列{a n }是等差数列，且p ＋q ＝r (p ，q ，r 为正整数)则a p ＋a q ＝a r ②若数列{a n }满足a n ＋1＝2a n ，则{a n }是公比为2的等比数列 ③2和8的等比中项为±4④已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝f (n )，则f (n )是关于n 的一次函数其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：①错，②错，要求a n ≠0，④错，如a n 为常数列，故只有③正确，选A. 答案：A12．(2011年广东省四校联考)如图，在杨辉三角中，斜线l 的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”数列{a n }：1,3,3,4,6,5,10，…，记前n 项和为S n ，则S 19的值为( )A ．129B ．172C ．228D ．283解析：S 19＝1＋3＋3＋4＋6＋5＋10＋6＋15＋7＋21＋8＋28＋9＋36＋10＋45＋11＋55＝283.故选D.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上．) 13．(2011年河东区高三一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，对于所有n ≥1，S n ＝a 1n－2，且a 4＝54，则a 1＝________.解析：a 4＝S 4－S 3＝40a 1－13a 1＝27a 1＝54， ∴a 1＝2. 答案：214．(2011年皖南八校联考)设{a n }是正项等比数列，令S n ＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n ，n ∈N＋，如果存在互异正整数m ，n ，使S n ＝S m ，则S m ＋n ＝________. 解析：∵{a n }是等比数列，且a n >0， ∴{lg a n }是等差数列，令S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数) ∵S m ＝S n ，由二次函数的图象得S m ＋n ＝0. 答案：015．在等比数列{a n }中，a 1＋a 3＝54，a 4＋a 6＝10，则a 4＝________.解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋q 2＝54，a 1q 3＋q 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2，所以a 4＝14×23＝2.答案：216．(2011年广东东莞调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝S 1＋S 2＋…＋S nn，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，…，a 2009的“理想数”为2010.那么数列2，a 1，a 2，…，a 2009的“理想数”为________．解析：S 1＋S 2＋…＋S 2009＝2009×2010 ∴T n ＝2＋＋S 1＋＋S 2＋…＋＋S 20092010＝2×2010＋2009×20102010＝2011. 答案：2011三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝25n －2n 2. (1)求证：{a n }是等差数列． (2)求数列{|a n |}的前n 项和T n . 解：(1)证明：①n ＝1时，a 1＝S 1＝23.②n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(25n －2n 2)－[25(n －1)－2(n －1)2]＝27－4n ，而n ＝1适合该式．于是{a n }为等差数列．(2)因为a n ＝27－4n ，若a n >0，则n <274，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧ a n－a nn n，当1≤n ≤6时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝25n －2n 2，当n ≥7时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a 6－(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝S 6－(S n －S 6)＝2n 2－25n ＋156，综上可知T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 25n －2n 22n 2－25n ＋156n n.18．(2011年广雅中学、佛山一中、汕头金中2月联考)已知数列{a n }中，a 1＝12，点(n,2a n＋1－a n )(n ∈N *)在直线y ＝x 上． (1)计算a 2，a 3，a 4的值；(2)令b n ＝a n ＋1－a n －1，求证：数列{b n }是等比数列； (3)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由题意，2a n ＋1－a n ＝n ，a 1＝12，2a 2－a 1＝1，a 2＝34.同理a 3＝118，a 4＝3516.(2)因为2a n ＋1－a n ＝n ，所以b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1－1＝a n ＋1＋n ＋12－a n ＋1－1＝n －a n ＋1－12，b n ＝a n ＋1－a n －1＝a n ＋1－(2a n ＋1－n )－1＝n －a n ＋1－1＝2b n ＋1，b n ＋1b n ＝12又b 1＝a 2－a 1－1＝－34，所以数列{b n }是以－34为首项，12为公比的等比数列．(3)由(2)知b n ＝－34·(12)n －1∴a n ＋1－a n －1＝－34·(12)n －1∴a n ＋1－a n ＝－34·(12)n －1＋1∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝12－34[(12)0＋(12)1＋(12)2＋…＋(12)n －2]＋n －1 ＝n －2＋32n .19．已知数列{a n }中，a 1＝－1，且(n ＋1)a n ，(n ＋2)a n ＋1，n 成等差数列． (1)设b n ＝(n ＋1)a n －n ＋2，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解：(1)证明：由已知得(n ＋2)a n ＋1＝12(n ＋1)a n ＋n2，∵b 1＝2a 1－1＋2＝－1，∴b n ＋1b n ＝n ＋a n ＋1－n ＋＋2n ＋a n －n ＋2＝12n ＋a n ＋n2－n ＋＋2n ＋a n －n ＋2＝12n ＋a n －n 2＋1n ＋a n －n ＋2＝12.∴数列{b n }是等比数列．(2)由(1)得b n ＝－(12)n －1，即(n ＋1)a n －n ＋2＝－(12)n －1.∴a n ＝－1n ＋1(12)n －1＋n －2n ＋1. 20．某一电视频道在一天内有x 次插播广告的时段，一共播放了y 条广告，第1次播放了1条和余下的y －1条的18，第2次播放了2条以及余下的18，第3次播放了3条以及余下的18，以后每次按此规律插播广告，在第x 次播放了余下的x 条(x >1)． (1)设第k 次播放后余下a k 条，这里a 0＝y ，a x ＝0，求a k 与a k －1的递推关系式； (2)求这家电视台这一天内播放广告的时段x 与广告的条数y . 解：(1)依题意，第k 次播放了k ＋18(a k －1－k )＝18a k －1＋78k ，∴a k ＝a k －1－(18a k －1＋78k )．∴a k －1＝k ＋87a k ，即a k 与a k －1的递推关系式为a k －1＝k ＋87a k .(2)∵a 0＝1＋87a 1＝1＋87(2＋87a 2)＝1＋2×87＋(87)2a 2＝1＋2×87＋3×(87)2＋(87)3a 3＝…＝1＋2×87＋3×(87)2＋…＋x ×(87)x －1＋(87)xa x .∵a x ＝0，∴y ＝1＋2×87＋3×(87)2＋…＋x ×(87)x －1.用错位相减法求和，可得y ＝49＋(x －7)×8x7.∵y ∈N *，∴x －7＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝49.故这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49.21．(2011年青岛质检)已知数列{b n }满足b n ＋1＝12b n ＋14，且b 1＝72，T n 为{b n }的前n 项和．(1)求证：数列{b n －12}是等比数列，并求{b n }的通项公式；(2)如果对任意n ∈N *，不等式12k＋n －2T n≥2n －7恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)对任意n ∈N *，都有b n ＋1＝12b n ＋14，所以b n ＋1－12＝12(b n －12)则{b n －12}成等比数列，首项为b 1－12＝3，公比为12所以b n －12＝3×(12)n －1，b n ＝3×(12)n －1＋12(2)因为b n ＝3×(12)n －1＋12所以T n ＝3(1＋12＋122＋…＋12n －1)＋n2＝－12n1－12＋n 2＝6(1－12n )＋n2 因为不等式12k ＋n －2T n ≥2n －7，化简得k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立设c n ＝2n －72n ，则c n ＋1－c n ＝n ＋－72n ＋1－2n －72n ＝9－2n 2n ＋1当n ≥5，c n ＋1≤c n ，{c n }为单调递减数列，当1≤n <5，c n ＋1>c n ，{c n }为单调递增数列 116＝c 4<c 5＝332，所以，n ＝5时，c n 取得最大值332 所以，要使k ≥2n －72n 对任意n ∈N *恒成立，k ≥332.22．(2011年江南十校联考)数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n(n ∈N ＋)．(1)证明：数列{2na n}是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式a n ；(3)设b n ＝n (n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)由已知可得a n ＋12n ＋1＝a na n ＋2n ，即2n ＋1a n ＋1＝2na n＋1，即2n ＋1a n ＋1－2na n＝1∴数列{2na n}是公差为1的等差数列(2)由(1)知2na n ＝2a 1＋(n －1)×1＝n ＋1，∴a n ＝2nn ＋1(3)由(2)知b n ＝n ·2nS n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1相减得：－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2n1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1∴S n ＝(n －1)·2n ＋1＋2。

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解26--- 数列中的奇、偶项问题(解析版)

高考数学二轮复习考点知识与题型专题讲解26 数列中的奇、偶项问题数列中的奇、偶项问题是对一个数列分成两个新数列进行单独研究，利用新数列的特征(等差、等比数列或其他特征)求解原数列．数列中的奇数项、偶数项数列问题实质上是对一个数列分成两个新的数列进行考查，易搞错的是新数列与原数列的项数、公差、公比的判定；数列问题主要涉及通项与求和、等差与等比、特殊数列与非特殊数列、新数列与旧数列的四大问题的考查。

常用知识点： (1) 等差数列的奇数项、偶数项各自组成一个新的等差数列。

【典型题型1】已知{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,a 1=b 1=1,a 5=5(a 4-a 3),b 5=4(b 4-b 3). (1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)记{a n }的前n 项和为S n ,求证:S n S n+2<S n+12(n ∈N *);(3)对任意的正整数n,设c n ={(3a n -2)b na na n+2,n 为奇数,a n -1b n+1,n 为偶数,求数列{c n }的前2n 项和.【答案】(1)设等差数列{a n }的公差为d,等比数列{b n }的公比为q. 由a 1=1,a 5=5(a 4-a 3),可得d=1,从而{a n }的通项公式为a n =n.由b 1=1,b 5=4(b 4-b 3),q ≠0,可得q 2-4q+4=0,解得q=2,从而{b n }的通项公式为b n =2n-1. (2)由(1)可得S n =n(n+1)2,故S n S n+2=14n(n+1)(n+2)(n+3),S n+12=14(n+1)2(n+2)2,从而S n S n+2−S n+12=−12(n+1)(n+2)<0,所以S n S n+2<S n+12.(3)当n 为奇数时,c n =(3a n -2)b n a n a n+2=(3n -2)2n -1n(n+2)=2n+1n+2−2n -1n;当n 为偶数时,c n =an -1b n+1=n -12n.对任意的正整数n,有∑k=1n c 2k-1=∑k=1n (22k 2k+1−22k -22k -1)=22n2n+1−1,和∑k=1n c 2k =∑k=1n 2k -14k=14+342+543+…+2n -14n. ①由①得14∑k=1n c 2k =142+343+…+2n -34n+2n -14n+1. ② 由①②得34∑k=1n c 2k =14+242+…+24n−2n -14n+1=24(1-14n )1−14−14−2n -14n+1,从而得∑k=1n c 2k =59−6n+59×4n.因此∑k=12n c k =∑k=1n c 2k-1+∑k=1nc 2k =4n2n+1−6n+59×4n −49.所以,数列{c n }的前2n 项和为4n2n+1−6n+59×4n −49.【典型题型2】设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .【答案】.(1)证明由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ≥2，n ∈N *，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3. 两式相减得，a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2. 又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1，故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)解由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3，所以数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3等比数列；数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列，所以a 2n －1＝3n-1，a 2n ＝2×3n-1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n-1)＋2(1＋3＋…＋3n-1) ＝3(1＋3＋…＋3n-1)＝3(3n－1)2.所以S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n－1)2－2×3n-1＝32(5×3n-2－1)．综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧32（5×3n －32－1），当n 是奇数，32（3n 2－1），当n 是偶数.【典型题型3】已知数列{a n }满足a n ＋2＝qa n (q 为实数，且q ≠1)，n ∈N *，a 1＝1，a 2＝2，且a 2＋a 3，a 3＋a 4，a 4＋a 5成等差数列. (1)求q 的值和{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a 2n a 2n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和.【解析】解 (1)由已知，有(a 3＋a 4)－(a 2＋a 3)＝(a 4＋a 5)－(a 3＋a 4)，即a 4－a 2＝a 5－a 3，所以a 2(q －1)＝a 3(q －1)，又因为q ≠1，故a 3＝a 2＝2，由a 3＝a 1q ，得q ＝2. 当n ＝2k －1(k ∈N *)时，a n ＝a 2k －1＝2k －1＝2n －12；当n ＝2k(k ∈N *)时，a n ＝a 2k ＝2k＝2n 2.所以，{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －12，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(2)由(1)得b n ＝log 2a 2n a 2n －1＝n2n －1.设{b n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×120＋2×121＋3×122＋…＋(n －1)×12n －2＋n ×12n －1，12S n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋(n －1)×12n －1＋n ×12n . 上述两式相减得：12S n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－22n －n2n ，整理得，S n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.所以，数列{b n }的前n 项和为4－n ＋22n －1，n ∈N *.【典型题型4】已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝12，[3＋(－1)n ]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，n ∈N *.(1)令b n ＝a 2n －1，判断{b n }是否为等差数列，并求数列{b n }的通项公式； (2)记数列{a n }的前2n 项和为T 2n ，求T 2n .【解析】(1)因为[3＋(－1)n]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n－1]＝0，所以[3＋(－1)2n －1]a 2n ＋1－2a 2n －1＋2[(－1)2n －1－1]＝0，即a 2n ＋1－a 2n －1＝2，又b n ＝a 2n －1，所以b n ＋1－b n ＝a 2n ＋1－a 2n －1＝2，所以{b n }是以b 1＝a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以b n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，n ∈N *.(2)对于[3＋(－1)n]a n ＋2－2a n ＋2[(－1)n －1]＝0，当n 为偶数时，可得(3＋1)a n ＋2－2a n ＋2(1－1)＝0，即a n ＋2a n ＝12，所以a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列；当n 为奇数时，可得(3－1)a n ＋2－2a n ＋2(－1－1)＝0，即a n ＋2－a n ＝2，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，2为公差的等差数列，所以 T 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×1＋12n n －1×2＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝n 2＋1－12n ，n ∈N *.【方法总结】(1)数列中的奇、偶项问题的常见题型①数列中连续两项和或积的问题(a n ＋a n ＋1＝f(n)或a n ·a n ＋1＝f(n))； ②含有(－1)n的类型；③含有{a 2n }，{a 2n －1}的类型； ④已知条件明确的奇偶项问题．(2)对于通项公式分奇、偶不同的数列{a n }求S n 时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以把a 2k －1＋a 2k 看作一项，求出S 2k ，再求S 2k －1＝S 2k －a 2k . 【典型题型5】已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =12n 2+12n. (1)求{a n }的通项公式; (2)设b n ={a n ,n 为奇数,2a n ,n 为偶数,求数列{b n }的前2n 项和T 2n .【答案】(1)因为S n =12n 2+12n, 所以当n=1时,a 1=S 1=1,当n ≥2时,a n =S n −S n -1=12n 2+12n-[12(n-1)2+12(n-1)]=n,又n=1时符合上式, 所以a n =n.(2)因为b n ={n,n 为奇数,2n,n 为偶数,所以对任意的k ∈N +,b 2k+1-b 2k-1=(2k+1)-(2k-1)=2,则{b 2k-1}是以1为首项,2为公差的等差数列;b 2k+2b 2k=22k+222k=4,则{b 2k }是以4为首项,4为公比的等比数列.所以T 2n =(b 1+b 3+b 5+…+b 2n-1)+(b 2+b 4+b 6+…+b 2n ) =(1+3+5+…+2n-1)+(22+24+26+ (22)) =n(1+2n -1)2+4(1−4n )1−4=n 2+4n+13−43.【拓展训练】1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于()A ．200B ．－200C ．400D ．－400 【答案】B【解析】S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.2．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(－1)n·n ，若对任意的正整数n ，使得(a n ＋1－p)·(a n －p)<0恒成立，则实数p 的取值范围是________．【答案】(－1,3)【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)nn －(－1)n －1(n －1)＝(－1)n(2n －1)．因为对任意的正整数n ，(a n ＋1－p)(a n －p)<0恒成立，所以[(－1)n ＋1(2n ＋1)－p][(－1)n(2n －1)－p]<0.①当n 是正奇数时，化为[p －(2n ＋1)][p ＋(2n －1)]<0，解得1－2n<p<2n ＋1，因为对任意的正奇数n 都成立，取n ＝1时，可得－1<p<3.②当n 是正偶数时，化为[p －(2n －1)][p ＋(1＋2n)]<0，解得－1－2n<p<2n －1，因为对任意的正偶数n 都成立，取n ＝2时，可得－5<p<3.联立⎩⎪⎨⎪⎧－1<p<3，－5<p<3，解得－1<p<3.所以实数p 的取值范围是(－1,3)．3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，记S n 为{a n }的前n 项和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并写出其通项公式； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)求S n .【解析】(1)因为a n ·a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＋1·a n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以a n ＋2a n ＝12，即a n ＋2＝12a n .因为b n ＝a 2n ＋a 2n －1，所以b n ＋1b n ＝a 2n ＋2＋a 2n ＋1a 2n ＋a 2n －1＝12a 2n ＋12a 2n －1a 2n ＋a 2n －1＝12，所以数列{b n }是公比为12的等比数列．因为a 1＝1，a 1·a 2＝12，所以a 2＝12，b 1＝a 1＋a 2＝32，所以b n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝32n ，n ∈N *.(2)由(1)可知a n ＋2＝12a n ，所以a 1，a 3，a 5，…是以a 1＝1为首项，12为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…是以a 2＝12为首项，12为公比的等比数列，所以a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，所以a n ＝11221,212n n n n +-⎧⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎩为奇数，偶，为数. (3)因为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝3－32n ，又S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3－32n －12n ＝3－42n ，所以S n ＝21233,2432n n n n +⎧-⎪⎪⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.，。

二轮复习【数列专题】专题1数列的单调性微点2数列单调性的判断方法(二)——作差比较法、作商比较法

=
3 8
,
an+1
=
1 8
an2
+
3 8
n N
试判断数列的单调性.
例 4.（2023·湖南省临澧县第一中学高二开学考试）
4．已知公比 q 1 的等比数列{ an }满足 a52 = a10 ， 2 (an + an+2 ) = 5an+1 ．若
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( ) bn = (n − ) an n N* ，且数列bn是递增数列，则实数的取值范围是．
) ，则an 为递增数列”为假命
题的数列an 的通项公式可以为 an =
．
例6
6．已知数列xn
满足：
x1
= 1,
xn+1
=
1 2
xn
+
3 xn
,
n
N
，求证：数列 xn ( n
2)
是单调
递减数列.
例7
7．已知数列an的通项公式是 an
=
9n
(n +1)
10n
，试讨论此数列的单调性.
【针对训练】
8．已知数列 an 的通项公式是
an
=
3n 4n +
2
，则 an （
）
A．不是单调数列 B．是递减数列
C．是递增数列
D．是常数列
9．设等差数列{an}的公差为 d，若数列{2a1an } 为递减数列，则
A． d 0
B． d 0
C． a1d 0
D． a1d 0
（2023·天津·高三期中）
10．数列an 的通项公式为 an = n2 + kn ，则“ k −2 ”是“an 为递增数列”的（）

高考数学二轮复习专题3 数列第一讲等差数列与等比数列理

高考数学二轮复习专题3 数列第一讲等差数列与等比数列理第一讲等差数列与等比数列1．等差数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝d (其中n∈N *，d 为与n 值无关的常数)⇔{a n }是等差数列． 2．等差数列的通项公式．若等差数列的首项为a 1，公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． 3．等差中项．若x ，A ，y 成等差数列，则A ＝x ＋y2，其中A 为x ，y 的等差中项．4．等差数列的前n 项和公式．若等差数列首项为a 1，公差为d ，则其前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）d2．1．等比数列的定义．数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (其中a n ≠0，q 是与n 值无关且不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列．2．等比数列的通项公式．若等比数列的首项为a 1，公比为q ，则a n ＝a 1·q n －1＝a m ·qn －m(n ，m ∈N *)．3．等比中项．若x ，G ，y 成等比数列，则G 2＝xy ，其中G 为x ，y 的等比中项，G 值有两个． 4．等比数列的前n 项和公式．设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(×)(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(√) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．(×) (4)满足a n ＋1＝qa n (n ∈N *，q 为常数)的数列{a n }为等比数列．(×) (5)G 为a ，b 的等比中项⇔G 2＝ab .(×) (6)1＋b ＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＝1－b51－b.(×)1．在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝(B ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25解析：2d ＝a 4－a 2＝5－1＝4⇒d ＝2，a 1＝a 2－d ＝1－2＝－1，a 5＝a 2＋3d ＝1＋6＝7，故S 5＝（a 1＋a 5）×52＝6×52＝15.2. (2015·北京卷)设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是(C ) A ．若a 1＋a 2＞0，则a 2＋a 3＞0 B ．若a 1＋a 3＜0，则a 1＋a 2＜0 C ．若0＜a 1＜a 2，则a 2＞a 1a 3 D ．若a 1＜0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)＞0解析：设等差数列{a n}的公差为d，若a1＋a2＞0，a2＋a3＝a1＋d＋a2＋d＝(a1＋a2)＋2d，由于d正负不确定，因而a2＋a3符号不确定，故选项A错；若a1＋a3＜0，a1＋a2＝a1＋a3－d＝(a1＋a3)－d，由于d正负不确定，因而a1＋a2符号不确定，故选项B错；若0＜a1＜a2，可知a1＞0，d＞0，a2＞0，a3＞0，∴a22－a1a3＝(a1＋d)2－a1(a1＋2d)＝d2＞0，∴a2＞a1a3，故选项C正确；若a1＜0，则(a2－a1)(a2－a3)＝d·(－d)＝－d2≤0，故选项D错．3．(2015·新课标Ⅱ卷)已知等比数列{a n}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝(B)A．21 B．42C．63 D．84解析：∵ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴ 3＋3q2＋3q4＝21.∴ 1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.4．等差数列{a n}的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是(B)A．90 B．100C．145 D．190解析：设公差为d，则(1＋d)2＝1·(1＋4d)．∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝100.一、选择题1．已知等差数列{a n}中，前n项和为S n，若a3＋a9＝6，则S11＝(B)A．12 B．33 C．66 D．99解析：∵{a n}为等差数列且a3＋a9＝6，∴a 6＋a 6＝a 3＋a 9＝6. ∴a 6＝3. ∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 6＋a 62×11＝11a 6＝11×3＝33.2．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则数列{a n }的前6项和S 6＝(B ) A ．120 B ．140 C ．160 D ．180 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6为等比数列． ∴(a 3＋a 4)2＝(a 1＋a 2)(a 5＋a 6)．即a 5＋a 6＝（a 3＋a 4）2a 1＋a 2＝40220＝80.∴S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝20＋40＋80＝140.3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17＝(C ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 解析：∵S n ＝n 2－2n －1， ∴a 1＝S 1＝12－2－1＝－2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－2n －1－[(n －1)2－2(n －1)－1] ＝n 2－(n －1)2＋2(n －1)－2n －1＋1 ＝n 2－n 2＋2n －1＋2n －2－2n ＝2n －3.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －3，n ≥2.∴a 3＋a 17＝(2×3－3)＋(2×17－3)＝3＋31＝34. 4．(2014·陕西卷)原命题为“若a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N *，则{a n }为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是(A )A ．真，真，真B ．假，假，真C ．真，真，假D ．假，假，假解析：由a n ＋a n ＋12＜a n ⇒a n ＋1＜a n ⇒{a n }为递减数列，所以原命题为真命题；逆命题：若{a n }为递减数列，则a n ＋a n ＋12＜a n ，n ∈N ＋；若{a n }为递减数列，则a n ＋1＜a n ，即a n ＋a n ＋12＜a n ，所以逆命题为真；否命题：若a n ＋a n ＋12≥a n ，n ∈N ＋，则{a n }不为递减数列；由a n ＋a n ＋12≥a n ⇒a n ≤a n ＋1⇒{a n }不为递减数列，所以否命题为真；因为逆否命题的真假为原命题的真假相同，所以逆否命题也为真命题．故选A.5．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为(C )A ．5B ．7C ．9D ．11解析：由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入m ＝9，因此选C.二、填空题6．(2015·安徽卷)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于27．解析：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×（9－1）2×12＝9＋18＝27.7．设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝32．解析：将S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝3a 1q ＋2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q 3＋2，两式作差得：a 1q 2＋a 1q 3＝3a 1q (q 2－1)，即：2q 2－q －3＝0，解得q ＝32或q ＝－1(舍去)．8．(2014·广东卷)等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝5．解析：由题意知a 1a 5＝a 23＝4，且数列{a n }的各项均为正数，所以a 3＝2， ∴a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25，∴log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5. 三、解答题9．已知数列{a n }满足，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2 ＝a n ＋a n ＋12，n ∈N *.(1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列； (2)求{a n }的通项公式．解析：(1)b 1＝a 2－a 1＝1，当n ≥2时，b n ＝a n ＋1－a n ＝a n －1＋a n2－a n ＝－12(a n －a n －1)＝－12b n －1，所以{b n }是以1为首项，－12为公比的等比数列．(2)由(1)知b n ＝a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －2＝1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1，当n ＝1时，53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－121－1＝1＝a 1.所以a n ＝53－23⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ∈N *)．10．(2015·安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由题设知a 1·a 4＝a 2·a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，a 4＝1(舍去)．由a 4＝a 1q 3得公比q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1（1－q n ）1－q＝2n－1.又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 1－1S 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.。

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数列应用问题
数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
建立数学模型的一般方法步骤.
认真审题，准确理解题意，达到如下要求：
⑴明确问题属于哪类应用问题；
⑵弄清题目中的主要已知事项；
⑶明确所求的结论是什么.
抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达
将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.
规律方法指
1、数列与集合
2、数列的项与通项
数列的通项是通项公式的简称，它是表示数列中的各项的通式，是函数解析式；而数列的项是指整个数列中的某一或某几项，是组成数列的各个元素，是函数值
3、数列与函数
函数是非空数集到非空数集的映射，其定义域可以是实数集R或R的有限子集；而数列是特殊的函数，其定义域是正整数集或正整数集的有限子集。

函数的图象可以是平滑的连续的曲线也可以是间断的点；而数列的图象是一系列不连续的点。

4、等差数列与等比数列
（d为常数）
（q为非零常数）
；
，则，则
5．解本单元题型的常用数学思想
①函数思想：数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合思想.
②方程思想：等差、等比数列中，、、、()、“知三求二”，体现了方程(组)思想、消元思想、整体思想．
③分类讨论思想：求等比数列的前项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想．
数列综合练习
一、选择题
1．数列则是该数列的（）
A．第6项B．第7项 C．第10项 D．第11项
2．方程的两根的等比中项是（）
A． B． C．D．
3．已知为各项都大于零的等比数列，公比，则（）
A．B．
C．D．和的大小关系不能由已知条件确定4．一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）
A．12 B． C．16 D．18
5．若a、b、c成等差数列，b、c、d成等比数列，成等差数列，则a、c、e成（）A．等差数列B．等比数列
C．既成等差数列又成等比数列D．以上答案都不是
6．在等差数列{a n}中，，则（）
A．4 B．C．8 D．
7．两等差数列{a n}、{b n}的前n项和的比，则的值是（）
A．B． C． D．
8．{a n}是等差数列，，则使的最小的n值是（）
A．5 B． C．7 D．8
9．{a n}是实数构成的等比数列，是其前n项和，则数列{} 中（）
A．任一项均不为0 B．必有一项为0
C．至多有一项为0 D．或无一项为0，或无穷多项为0
10．某数列既成等差数列也成等比数列，那么该数列一定是（）
A．公差为0的等差数列B．公比为1的等比数列
C．常数数列D．以上都不对
二、填空题
11．已知等差数列{a n}的公差，且a1、a3、a9成等比数列，则的值是
________．
12．（2011 北京）在等比数列{a n}中，a1＝，a4＝－4，则公比q＝___；
___．
13．已知数列{a n}中，对任意正整数n都成立，且，则____________．14．在等差数列{a n}中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n}中，若，则有等式____________成立．
三、解答题
15．已知数列{2n-1a n }的前n项和．
⑴求数列{a n}的通项公式；
⑵设，求数列的前n项和．
16．已知数列{a n}是等差数列，且．
⑴求数列{a n}的通项公式；
⑵令，求数列{b n}前n项和的公式．
17．甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示．
甲调查表明:从第1年每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个鸡场出产2万只鸡．乙调查表明:由第1年养鸡场个数30个减少到第6年10个．
请您根据提供的信息说明：
⑴第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数；
⑵到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由；
⑶哪一年的规模最大？请说明理由．
18．已知数列{a n}为等差数列，公差，{a n}的部分项组成的数列恰为等比数列，其中，求．
参考答案
一、选择题：1.B 2.B 3.A 4.B 5.B 6.B 7.B 8.B 9.D 10.B
二、填空题
11. ； 12. －2 ； 13. 1 ； 14.
三、解答题
15． (1) ； (2)
16． (1) ； (2)
17．(1) 第2年养鸡场的个数为26个，全县出产鸡的总只数是31.2万只；
(2) 到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了；
(3) 第2年的规模最大。

18．。