辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高三下学期第三次模拟数学(文)试卷 Word版含解析

辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合A={y|y≥0}，A∩B=B，则集合B不可能是( )A．B．C．{y|y=lgx，x＞0} D．∅2．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．下列结论错误的是( )A．：“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆是假B．若函数f（x）可导，则f′（x0）是x0为函数极值点的必要不充分条件C．向量的夹角为钝角的充要条件是＜0D．p：“∃x∈R，e x≥x+1”的否定是“∀x∈R，e x＜x+1”4．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )A．8 B．C．4 D．5．如图，已知在△ABC中，BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，，则∠BGC的度数为( )A．135°B．120°C．150 D．105°6．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（4﹣x）且f（2﹣x）+f（x﹣2）=0，若f（2）=1，则f的值是( )A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定7．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是( )A．3 B．4 C．5 D．68．函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是( )A．f2（x）＜f（x2）＜f（x）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f （x2）＜f2（x）D．f（x2）＜f（x）＜f2（x）9．直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=4交于M、N两点，若满足C2=A2+B2，则（O为坐标原点）等于( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．110．已知D是△ABC边BC延长线上一点，记．若关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是( )A．λ＜﹣2 B．λ＜﹣4C．D．λ＜﹣4或11．若函数f（x）=xcosx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，a n，…，则对任意正整数n必有( )A．π＜a n+1﹣a n＜B．＜a n+1﹣a n＜πC．0＜a n+1﹣a n＜D．﹣＜a n+1﹣a n＜012．给出以下四个中，真的个数为( )①[+lg（﹣x）]dx=2π；②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．13．若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则x的值等于__________．14．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2﹣c2=2b，且sinB=6cosA•sinC，则b的值为__________．15．在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为__________．16．若实数x，y满足log2[4cos2（xy）+]=lny﹣+ln，则ycos4x的值为__________．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．18．已知首项都是1的数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足b n+1=（Ⅰ）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为各项均为正数的等比数列，且b32=4b2•b6，求数列{a n}的前n项和S n．19．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB上异于A，B的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．（Ⅰ）求证：AB∥平面DFC；（Ⅱ）当三棱锥F﹣ABE体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1，F2分别为C的左右焦点，|F1F2|=2，且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，是否存在直线l，使得△OAF2与△OBF2的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线g（x）=在交点处有共同的切线，求a的值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）在（I）的条件下，求证：xf（x）＞﹣1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．（选修4-1：几何证明选讲）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD．（1）求线段PD的长；（2）在如图所示的图形中是否有长度为的线段？若有，指出该线段；若没有，说明理由．（选修4-4：极坐标系与参数方程）23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．（选修4-5：不等式选讲）24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．辽宁省沈阳市东北育才学校2015届高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若集合A={y|y≥0}，A∩B=B，则集合B不可能是( )A．B．C．{y|y=lgx，x＞0} D．∅考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：计算题．分析：根据题意，由交集的性质可得若A∩B=B，则B是A的子集，分析选项：对于A、集合{y|y=，x≥0}可化为{y|y≥0}，分析可得有A∩B=B成立，对于B、分析可得{y|y=（）x，x∈R}={y|y＞0}，有B⊆A，则A∩B=B成立，对于C、分析可得{y|y=lgx，x＞0}=R，此时A⊆B，则A∩B=B不成立，对于D、由空集的性质，易得B⊆A，A∩B=B成立，即可得答案．解答：解：根据题意，若A∩B=B，则B是A的子集，分析选项可得：对于A、集合{y|y=，x≥0}={y|y≥0}，有A=B，此时A∩B=B成立，对于B、{y|y=（）x，x∈R}={y|y＞0}，有B⊆A，则A∩B=B成立，对于C、{y|y=lgx，x＞0}=R，此时A⊆B，则A∩B=B不成立，对于D、若B=∅，有B⊆A，则A∩B=B成立，故选C．点评：本题考查集合的交集的判断，关键是由A∩B=B，得到B是A的子集．2．在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的代数表示法及其几何意义．专题：计算题．分析：将复数z=的分母实数化，求得z=1+i，即可求得，从而可知答案．解答：解：∵z====1+i，∴=1﹣i．∴对应的点（1，﹣1）位于第四象限，故选D．点评：本题考查复数的代数表示法及其几何意义，将复数z=的分母实数化是关键，属于基础题．3．下列结论错误的是( )A．：“若a＞b＞0，则a2＞b2”的逆是假B．若函数f（x）可导，则f′（x0）是x0为函数极值点的必要不充分条件C．向量的夹角为钝角的充要条件是＜0D．p：“∃x∈R，e x≥x+1”的否定是“∀x∈R，e x＜x+1”考点：的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：A写出该的逆并判断真假；Bf′（x0）=0时，x0不一定是函数的极值点，判断充分性，x0为函数的极值点时，f′（x0）=0，判断必要性；C向量的夹角为钝角时，＜0判断必要性，＜0时，的夹角不一定是钝角，判断充分性；D写出特称p的否定即可．解答：解：对于A，该的逆是“若a2＞b2，则a＞b＞0”，它是假，∵（﹣2）2＞12，但﹣2＜1，∴A正确；对于B，函数f（x）可导，当f′（x0）=0时，x0不一定是函数的极值点，如f（x）=x3在x=0时f′（x）=0，x=0不是极值点，∴充分性不成立，当x0为函数的极值点时，f′（x0）=0，∴必要性成立，∴B正确；对于C，当向量的夹角为钝角时，＜0，必要性成立，当＜0时，向量的夹角不一定是钝角，如、的夹角为180°时，•＜0，∴C错误；对于D，p：“∃x∈R，e x≥x+1”的否定是“∀x∈R，e x＜x+1”，∴D正确．故选：C．点评：本题通过的真假，考查了简易逻辑的应用问题，解题时应对每一个进行分析判断，以便得出正确的结果，是综合题．4．设a＞0，b＞0，若3是3a与3b的等比中项，则的最小值为( )A．8 B．C．4 D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件可得3a•3b =32，故a+b=2，=（a+b）（），展开后利用基本不等式求出它的最小值．解答：解：∵a＞0，b＞0，3是3a与3b的等比中项，3a•3b =32，故a+b=2．∴=（a+b）（）=（+）=+2++≥+2 =，当且仅当=时，等号成立，则的最小值为，故选D．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解题的关键，属于中档题．5．如图，已知在△ABC中，BC=2，以BC为直径的圆分别交AB，AC于点M，N，MC与NB交于点G，若，，则∠BGC的度数为( )A．135°B．120°C．150 D．105°考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：由条件求得故M在BC的中垂线上，且∠CBM=45°=∠BCM．N在BC上的投影（设为D）到C的距离为，故OD=．利用勾股定理求得ND=，可得tan∠CBN的值，从而求得∠CBN 的值．再利用三角形的内角和公式求得∠BGC的值．解答：解：∵，∴BM•cos∠CBM=1，故M在BC的中垂线上，∴∠CBM=45°=∠BCM．∵，∴CN•cos（180°﹣∠NCB）=﹣，所以，N在BC上的投影（设为D）到C的距离为，∴OD=．设圆心为O，则OD2+ND2=ON2=1，解得ND=，故tan∠CBN===，∴∠CBN=30°．∴∠BGC=180°﹣∠CBN﹣∠BCM=180°﹣30°﹣45°=105°，故选D．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，直角三角形中的边角关系，三角形的内角和公式，属于中档题．6．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=f（4﹣x）且f（2﹣x）+f（x﹣2）=0，若f（2）=1，则f的值是( )A．﹣1 B．0 C．1 D．无法确定考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：先由条件f（2﹣x）+f（x﹣2）=0推出f（﹣x）=﹣f[2﹣（x+2）]=﹣f[（x+2）﹣2]=﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，再由条件f（x）=f（4﹣x）推出函数为周期函数，根据函数奇偶性和周期性之间的关系，将条件进行转化即可得到结论．解答：解：∵函数f（x）满足f（2﹣x）+f（x﹣2）=0，∴f（2﹣x）=﹣f（x﹣2），∴f（﹣x）=﹣f[2﹣（x+2）]=﹣f[（x+2）﹣2]=﹣f（x），∴函数f（x）为奇函数，又f（x）满足f（x）=f（4﹣x），∴f（x）=f（x﹣4），∴f（x+8）=f（x+8﹣4）=f（x+4）=f（x+4﹣4）=f（x），∴函数为周期函数，周期T=8，∴f=f（251×8+6）=f（6），又f（6）=f（6﹣8）=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣1，故选：A．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，利用函数的周期性和奇偶性进行转化是解决本题的关键．7．已知不等式组表示的平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖，则实数k的值是( )A．3 B．4 C．5 D．6考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，则可知，（0，﹣6）关于（3，3）的对称点（6，12）在x﹣y+k=0上，从而解出k．解答：解：由题意作出其平面区域，由平面区域恰好被圆C：（x﹣3）2+（y﹣3）2=r2所覆盖可知，平面区域所构成的三角形的三个顶点都在圆上，又∵三角形为直角三角形，∴（0，﹣6）关于（3，3）的对称点（6，12）在x﹣y+k=0上，解得k=6，故选D．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8．函数，当0＜x＜1时，下列式子大小关系正确的是( )A．f2（x）＜f（x2）＜f（x）B．f（x2）＜f2（x）＜f（x）C．f（x）＜f（x2）＜f2（x）D．f（x2）＜f（x）＜f2（x）考点：利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质；不等式比较大小．分析：由0＜x＜1得到x2＜x，要比较f（x）与f（x2）的大小，即要判断函数是增函数还是减函数，可求出f′（x）利用导函数的正负决定函数的增减性．即可比较出f（x）与f（x2）大小．解答：解：根据0＜x＜1得到x2＜x，而f′（x）=，因为（lnx）2＞0，所以根据对数函数的单调性得到在0＜x＜1时，lnx﹣1＜0，所以f′（x）＜0，函数单调递减．所以f（x2）＞f（x），根据排除法A、B、D错，C正确．故选C点评：考查学生利用导数研究函数的单调性，以及会利用函数的单调性判断函数值的大小，在做选择题时，可采用排除法得到正确答案．9．直线Ax+By+C=0与圆x2+y2=4交于M、N两点，若满足C2=A2+B2，则（O为坐标原点）等于( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：设出点M，N坐标，进而表示出，把直线方程与圆方程联立分别利用韦达定理求得x1x2和y1y2的表达式，代入，根据C2=A2+B2，求得答案．解答：解：设M（x1，y1），N（x2，y2）则=x1x2+y1y2由方程Ax+By+C=0与x2+y2=4联立消去y：（A2+B2）x2+2ACx+（C2﹣4B2）=0∴x1x2=同理，消去x可得：y1y2=∴x1x2+y1y2=又C2=A2+B2，得：x1x2+y1y2=﹣2即=﹣2故选A点评：本题主要考查了直线与圆相交的性质，向量的基本运算．考查了学生基本运算能力，基础知识的熟练掌握．10．已知D是△ABC边BC延长线上一点，记．若关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，则实数λ的取值范围是( )A．λ＜﹣2 B．λ＜﹣4C．D．λ＜﹣4或考点：平面向量的综合题．专题：计算题．分析：根据题意，由D是BC延长线上一点，=（﹣λ），得到λ＜0；令sinx=t，方程2t2﹣（λ+1）t+1=0在（﹣1，1）上有唯一解，（2﹣（λ+1）+1）•（2+（λ+1）+1）＜0①，或△=（λ+1）2﹣8=0②，解出λ范围．解答：解：∵=λ+（1﹣λ）=+λ（﹣）=+λ=+（﹣λ）．又∵=+，∴=（﹣λ），由题意得﹣λ＞0，∴λ＜0．∵关于x的方程2sin2x﹣（λ+1）sinx+1=0在[0，2π）上恰有两解，令sinx=t，由正弦函数的图象知，方程2t2﹣（λ+1）t+1=0 在（﹣1，1）上有唯一解，∴[2﹣（λ+1）+1]•[2+（λ+1）+1]＜0 ①，或△=（λ+1）2﹣8=0 ②，由①得λ＜﹣4 或λ＞2（舍去）．由②得λ=﹣1﹣2 ，或λ=﹣1+2 （舍去）．故选D．点评：本题考查一元二次方程根的分布，两个向量加减法及其几何意义，有题意得到方程2t2﹣（λ+1）t+1=0在（﹣1，1）上有唯一解是解题的难点．11．若函数f（x）=xcosx在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1，a2，…，a n，…，则对任意正整数n必有( )A．π＜a n+1﹣a n＜B．＜a n+1﹣a n＜πC．0＜a n+1﹣a n＜D．﹣＜a n+1﹣a n＜0考点：利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：求出函数的导数，利用函数导数和极值之间的关系，结合图象，确定a n…，的关系即可求．解答：解：f′（x）=cosx﹣xsinx，由f′（x）=0得x=，设x0＞0是f′（x）=0的任意正实根，则存在一个非负整数k，使x0∈（+kπ，π+kπ），即x0在第二或第四象限内，则满足f′（x）=0的正根x0都是f（x）的极值点．设函数f（x）在（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排列为a1＜a2＜…＜a n…，则+（n﹣1）π＜a n＜π+（n+1）π，+nπ＜a n+1＜π+nπ，则＜a n+1﹣a n＜∵a n+1﹣a n=﹣==﹣（1+tana n+1•tana n）tan（a n+1﹣a n），∵tana n+1﹣tana n＞0，∴tan（a n+1﹣a n）＜0，∴a n+1﹣a n必在第二象限，即a n+1﹣a n＜π，综上＜a n+1﹣a n＜π．故选：B．点评：本题主要考查函数零点个数的判断，以及函数极值和导数之间的关系，综合性较强，难度较大．12．给出以下四个中，真的个数为( )①[+lg（﹣x）]dx=2π；②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象仅通过平移得到；③函数y=ln与y=lntan是同一函数；④在△ABC中，若==，则tanA：tanB：tanC=3：2：1．A．1 B．2 C．3 D．4考点：的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：①利用圆的面积计算公式与定积分的几何意义可得dx=2π，而函数f（x）=lg（﹣x）是奇函数，可得=0．即可判断出；②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象通过伸缩变换可得y=3•2x，因此不可能仅通过平移得到；③利用倍角公式与对数的性质可得函数y==与y=lntan的函数定义域不同，即可判断出；④在△ABC中，由==，利用数量积定义与正弦定理可得==，可得tanA：tanB：tanC=6：2：3．解答：解：①：∵dx==2π，∵函数f（x）=lg（﹣x）满足f（﹣x）=﹣f（x）是奇函数，∴=0．∴[+lg（﹣x）]dx=2π，正确；②函数y=3•2x+1的图象可以由函数y=2x的图象通过伸缩变换可得y=3•2x，再经过平移变换可得y=3•2x+1，因此不可能仅通过平移得到，不正确；③函数y=ln==与y=lntan的函数定义域不同，不是同一函数，不正确；④在△ABC中，∵==，∴，由正弦定理可得==，则tanA：tanB：tanC=6：2：3．因此不正确．综上可得：只有①正确．故选：A．点评：本题考查了简易逻辑的有关知识、定积分的计算、三角函数变换、函数的三要素、正弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．13．若lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，则x的值等于log25．考点：对数的运算性质；等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的定义和对数的单调性即可解出答案．解答：解：∵lg2，lg（2x﹣1），lg（2x+3）成等差数列，∴2lg（2x﹣1）=lg2+lg（2x+3），∴lg（2x﹣1）2=lg（2x+1+6），化为（2x﹣1）2=2x+1+6，整理为（2x）2﹣4×2x﹣5=0，即（2x ﹣5）（2x+1）=0，（*）∵2x＞0，∴2x+1＞1，∴（*）化为2x=5，化为对数式x=log25．故答案为log25．点评：熟练掌握等差数列的定义和对数的单调性是解题的关键．14．△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2﹣c2=2b，且sinB=6cosA•sinC，则b的值为3．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b=6c•cosA，再把余弦定理代入化简可得b=3×，再把a2﹣c2=2b代入化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b的值．解答：解：△ABC中，∵sinB=6cosA•sinC，∴由正弦定理可得b=6c•cosA=6c•=3×．∵a2﹣c2=2b，∴b=3•，化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b=3，故答案为3．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．15．在△ABC中，AC=6，BC=7，，O是△ABC的内心，若，其中0≤x≤1，0≤y≤1，则动点P的轨迹所覆盖的面积为．考点：平面向量的综合题．专题：平面向量及应用．分析：根据，其中0≤x≤1，0≤y≤1，可得动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形，S=AB×r，r为△ABC的内切圆的半径，计算AB及r，即可得到结论．解答：解：∵，其中0≤x≤1，0≤y≤1，∴动点P的轨迹所覆盖的面积是以OA，OB为邻边的平行四边形∴S=AB×r，其中r为△ABC的内切圆的半径在△ABC中，由余弦定理可得cosA=∴5AB2﹣12AB﹣65=0∴AB=5∴∵O是△ABC的内心，∴O到△ABC各边的距离均为r，∴∴r=∴S=AB×r==．故答案为：．点评：本题考查向量知识的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．16．若实数x，y满足log2[4cos2（xy）+]=lny﹣+ln，则ycos4x的值为﹣1．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由4cos2（xy）+≥2，得log2[4cos2（xy）+≥1，令y=2，得lny﹣+ln=1，由此推导出cos4x=﹣，从而能求出ycos4x的值．解答：解：∵4cos2（xy）+≥2，∴log2[4cos2（xy）+]≥1，当且仅当4cos2（xy）=，即4cos2（xy）=1时等号成立．令y=2，得lny﹣+ln=1，∴4cos2（2x）=1，cos4x=﹣，∴ycos4x=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．（1）求cosB的值；（2）求sin2A+sinC的值．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（1）运用正弦定理和诱导公式、以及同角公式，即可得到cosB；（2）由二倍角的正弦和余弦公式，以及诱导公式，化简计算即可得到．解答：解（1）∵，∴cosB=cos（+A）=﹣sinA，又a=3，b=4，所以由正弦定理得，所以=，所以﹣3sinB=4cosB，两边平方得9sin2B=16cos2B，又sin2B+cos2B=1，所以，而，所以．（2）∵，∴，∵，∴2A=2B﹣π，∴sin2A=sin（2B﹣π）=﹣sin2B=又A+B+C=π，∴，∴sinC=﹣cos2B=1﹣2cos2B=．∴．点评：本题考查正弦定理和运用，考查三角函数的化简和求值，注意运用二倍角公式和诱导公式，以及同角三角函数的基本关系式，属于中档题．18．已知首项都是1的数列{a n}，{b n}（b n≠0，n∈N*）满足b n+1=（Ⅰ）令c n=，求数列{c n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为各项均为正数的等比数列，且b32=4b2•b6，求数列{a n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题意得a n+1b n=a n•b n+1+3b n•b n+1，从而，由此推导出数列{c n}是首项为1，公差为3的等差数列，进而求出c n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N*．（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q，q＞0，由已知得，n∈N*，从而a n=c nb n=，由此利用错位相减法能求出数列{a n}的前n项和S n．解答：解：（Ⅰ）由题意得a n+1b n=a n•b n+1+3b n•b n+1，两边同时除以b n b n+1，得，又c n=，∴c n+1﹣c n=3，又，∴数列{c n}是首项为1，公差为3的等差数列，∴c n=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N*．（Ⅱ）设数列{b n}的公比为q，q＞0，∵，∴，整理，得，∴q=，又b1=1，∴，n∈N*，a n=c nb n=，∴S n=1×…+，①∴=+…+，②①﹣②，得：+…+﹣（3n﹣2）×=1+3[]﹣（3n﹣2）×==4﹣（6+3n﹣2）×=4﹣（3n+4）×（）n，∴S n=8﹣（6n+8）×．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．19．如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=AD=2，CD=4，点E为线段AB上异于A，B的点，且EF∥AD，沿EF将面EBCF折起，使平面EBCF⊥平面AEFD，如图2．（Ⅰ）求证：AB∥平面DFC；（Ⅱ）当三棱锥F﹣ABE体积最大时，求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）证明BE∥平面DFC、AE∥平面DFC，可得平面ABE∥平面DFC，即可证明AB∥平面DFC；（Ⅱ）建立坐标系，利用三棱锥F﹣ABE体积最大时，确定点的坐标，可得向量的坐标，求出平面CBA的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值．解答：（Ⅰ）证明：∵BE∥CF，BE⊄平面DFC，CF⊂平面DFC，∴BE∥平面DFC，同理AE∥平面DFC，∵BE∩AE=E，∴平面ABE∥平面DFC，∵AB⊂平面ABE，∴AB∥平面DFC；（Ⅱ）解：∵平面EBCF⊥平面AEFD，CF⊥EF，平面EBCF∩平面AEFD=EF，∴CF⊥平面AEFD，建立如图所示的坐标系，设AE=x，则EB=2﹣x，∴V F﹣ABE=•x（2﹣x）•2=﹣（x﹣1）2+．∴x=1时，三棱锥F﹣ABE体积最大，∴A（2，1，0），B（2，0，1），C（0，0，3），∴=（2，0，﹣2），=（2，1，﹣3），设平面CBA的法向量为=（x，y，z），则，∴=（1，1，1），∵平面AEFDA的一个法向量为=（0，0，2），∴cos＜，＞==，∴平面ABC与平面AEFD所成锐二面角的余弦值是．点评：本题考查平面与平面的平行、线面平行，考查平面与平面所成锐二面角的余弦值，正确运用平面与平面的平行、线面平行的判定，利用好空间向量是关键．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），F1，F2分别为C的左右焦点，|F1F2|=2，且离心率e=．（1）求椭圆C的方程；（2）设过椭圆右焦点F2的直线l和椭圆交于两点A，B，是否存在直线l，使得△OAF2与△OBF2的面积比值为2？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用焦距概念和离心率公式，从而求出参数a、b、c，得到椭圆的方程；（2）假设存在，将条件中的面积比转化为向量关系，得到两点纵坐关系，再通过直线和椭圆联立方程组，得到两点的纵坐标关系，从而求出参数k，得到直线l的方程，说明其存在性．解答：解：（1）由于|F1F2|=2，且离心率e=，则c=，=，即有a=2，b==1，则椭圆方程为+y2=1；（2）假设存在直线l，使得△OAF2与△OBF2的面积比值为2．则∵△OAF2与△OBF2的面积比值为2，∴由三角形的面积公式可得，AF2：BF2=2，则=2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则（﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣，y2），∴y1=﹣2y2①设直线l的方程为x=ky+，由，得到（k2+4）y2+2ky﹣1=0，则y1+y2=﹣②y1y2=﹣③由①②③得k=，因此存在直线l：x=y+，使得△OAF2与△OBF2的面积比值为2．点评：本题考查了三角形面积公式、椭圆的焦距和离心率公式、韦达定理，以及化归转化的数学思想，有一定的探索性，属于中档题．21．已知函数f（x）=alnx，a∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）与曲线g（x）=在交点处有共同的切线，求a的值；（Ⅱ）若对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，求a的取值范围；（Ⅲ）在（I）的条件下，求证：xf（x）＞﹣1．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（I）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+∞），，g′（x）=．设曲线y=f（x）与曲线g（x）=交点（x0，y0），由于在交点处有共同的切线，利用导数的几何意义可得，a＞0．由f（x 0）=g（x0）可得．联立解得即可．（II）对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x．（*）令h（x）=x﹣lnx，利用导数研究其单调性可得h（x）≥h（1）=1．从而（*）可化为a，x∈[1，e]．令F（x）=，再利用导数研究其单调性极值与最值可得F（x）≥F（1）=﹣1，即可得出．（III）在（I）的条件下f（x）=．要证明xf（x）＞﹣1．即证明exlnx＞xe1﹣x﹣2．分别令H（x）=exlnx，令G（x）=xe1﹣x﹣2，利用导数研究其单调性极值与最值即可证明．解答：解：（I）函数f（x）=alnx的定义域为（0，+∞），，g′（x）=．设曲线y=f（x）与曲线g（x）=交点（x0，y0），由于在交点处有共同的切线，∴，解得，a＞0．由f（x 0）=g（x0）可得．联立，解得．（II）对任意x∈[1，e]，都有f（x）≥﹣x2+（a+2）x恒成立，化为a（x﹣lnx）≤x2﹣2x．（*）．令h（x）=x﹣lnx，，∵x∈[1，e]，∴h′（x）≥0，∴函数h（x）单调递增，∴h（x）≥h（1）=1．∴（*）可化为a，x∈[1，e]．令F（x）=．F′（x）=．∵x∈[1，e]，∴x﹣1≥0，2（1﹣lnx）＞0，∴当x∈[1，e]时，F′（x）≥0，∴函数F（x）在x∈[1，e]上单调递增，∴F（x）≥F（1）==﹣1，∴a≤﹣1．（III）在（I）的条件下f（x）=．要证明xf（x）＞﹣1．即证明exlnx＞xe1﹣x﹣2．令H（x）=exlnx，可得H′（x）=e+elnx=e（1+lnx），令H′（x）＞0，解得，此时函数H（x）单调递增；令H′（x）＜0，解得，此时函数H（x）单调递减．∴当x=时，函数H（x）取得极小值即最小值，=﹣1．令G（x）=xe1﹣x﹣2，可得G′（x）=（1﹣x）e1﹣x，令G′（x）＞0，解得0＜x＜1，此时函数G（x）单调递增；令G′（x）＜0，解得x＞1，此时函数G（x）单调递减．∴当x=1时，函数G（x）取得极大值即最大值，G（1）=﹣1．∴H（x）＞G（x），因此xf（x）＞﹣1．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了恒成立问题等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答．注意：只能做所选定题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．（选修4-1：几何证明选讲）22．选修4﹣1：几何证明选讲如图，PA切圆O于点A，割线PBC经过圆心O，OB=PB=1，OA绕点O逆时针旋转60°到OD．（1）求线段PD的长；（2）在如图所示的图形中是否有长度为的线段？若有，指出该线段；若没有，说明理由．考点：直线与圆的位置关系．专题：综合题．分析：（1）由PA与圆O相切，根据切线性质得到OA与AP垂直，所以三角形OPA为直角三角形，又B为斜边PO的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AB=OB=OA，故三角形AOB为等边三角形，得到∠AOB=60°，由旋转角也为60°得到∠POD=120°，由OD及PO的长，利用余弦定理即可求出线段PD的长；（2）线段PA长度为，理由为：由PA为圆O的切线，PB为圆的割线，由切割线定理列出PA2=PB•PC，将PA和OB的长代入即可求出PA的长．解答：解：（1）∵PA切圆O于点A，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°，又B为PO中点，∴AB=OB=OA．∴∠AOB=60°，∴∠POD=120°，在△POD中，由OP=OB+PB=2，OD=1根据余弦定理得：，则PD=；（2）图形中有线段PA=，理由如下：∵PA是切线，PB=BO=OC∴PA2=PB•PC=1×3=3，∴PA=．点评：此题考查了切线的性质，余弦定理及切割线定理．要求学生掌握直线与圆相切时，圆心到切线的距离等于圆的半径，且圆的切线垂直于过切点的半径，熟练掌握余弦定理及切割线定理是解本题的关键．（选修4-4：极坐标系与参数方程）23．已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）求+的值．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）消去参数t，把直线l的参数方程化为普通方程，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程化为普通方程；（2）把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程中，得到t2﹣t﹣1=0，由根与系数的关系，求出+=的值．解答：解：（1）消去参数t，把直线l的参数方程（t为参数）化为普通方程是x﹣y+1=0，利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ=2sin（θ+）化为ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，∴普通方程是x2+y2=2y+2x，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=2中，得t2﹣t﹣1=0，∴；∴+=+====．点评：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟悉参数方程、极坐标方程与普通方程的互化问题，是中档题．（选修4-5：不等式选讲）24．设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|（1）求不等式f（x）≤3的解集；（2）若不等式||a+b|﹣|a﹣b||≤|a|f（x）（a≠0，a∈R，b∈R）恒成立，求实数x的范围．考点：绝对值不等式；函数恒成立问题．专题：计算题；压轴题．分析：（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|中的绝对值符号，画出函数函数f（x）的图象，根据图象求解不等式f（x）≤3，（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），从而解得实数x的范围．解答：解：（1），…所以解集[0，3]…（2）由||a+b|﹣|a﹣b||≤2|a|，…得2|a|≤|a|f（x），由a≠0，得2≤f（x），…解得x或x…点评：考查了绝对值的代数意义，去绝对值体现了分类讨论的数学思想；根据函数图象求函数的最值，体现了数形结合的思想．属中档题．。