专题03 定积分的几何意义-2015年高考理数母题题源系列
3 上的图象所围成 2
D． 2 2
【答案】D
Go the distance
5． 【2015 山东期末】由曲线 y A．
源:Z|xx|]
x ，直线 y x 2 及 y 轴所围成 的图 形的面积为（
B． 4 C．
） D．6
10 3
16 3
[来
【答案】C
6． 【2015 内蒙古期中】如图，阴影区域的边界是直线 y 0 ， x 2 ， x 0 及曲线 y 3x ，则这个区域的
[来源:学科网 ZXXK]
Go the distance
【命 题意图】本题考查抛物线的方程、定积分的几何意义和微积分 基本定理等基础知识，意在考查学生数 形结合思想的运用能力和运算求解能力． 【方法、技巧、规律】在具有对称性的曲边形面积的计算中，要善于根据对称性表达所求的面积，以简化 运算．使用微积分基本定理时，要注意检验得出的函数的导数是否等于被积函数．对于含有绝对值符号的 被积函数 ，要先去掉绝对值号才能积分． 【探源、变式、扩展】对于某些定积分的计算，很难找到原函数，甚至没有原函数 ，此时需要用定积分的 几何意义，将其转化为计算平面图形的面积． 【变式】 【2015 广东六校联考】
[来源:学+科+网]
2 所围成的封闭的图形的面积为（ x
C． 2e 3
2
）
B． 3
e D．
4． 【2015 山东期末】如图所示，由函数 f x sin x 与函数 g x cos x 在区间 0, 的封闭 图形的面积为（ A． 3 2 1 ） B． 4 2 2 C． 2
2
面积是（ A． 4
） B． 8 C．
1 3
D．
1 2
【答案】B
Go the distance
7． 【2015 湖北期中】如图中阴影部分的面积是（
） C．
2 3 A．
92 3 B．
32 3
D．
35 3
【答 案】C
8． 【2015 江西月考】由曲线 xy 1 ，直线 y x ， y 3 所围成的平面图 形的面积为（ A．
） D． 4 ln 3
32 9
B． 2 ln 3
C． 4 ln 3
【答案】D
Go the distance
9． 【2015 河南月考】如图是函数 y cos 2 x
5 6
在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（
C．
）
A．
3 4
B．
5 4
3 2
D．
3 2
0
1
4 x 2 dx
．
【答案】
3 2 3
Go the distance
1． 【2015 福建期末】曲线 y 3x 与直线 x 1 ， x 2 及 x 轴围城的封闭图形的面积是（
2
） D． 8
A． 1
网]
B． 3
C． 7
[来源:学_科_
【答案】C
2． 【2015 江西月考】由直线 y A． 2ln 2 【答案】A 【解析】如图
Go the distance
【母题来源】2015 陕西卷理–16 【母题原题】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致 水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线 表示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．
【答案】 1.2 【考点定位】1、定积分的计算；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．
3 4
【答案】B
10． 【2015 辽宁质检】由曲线 y x ， y
2
x 围成的封闭图形的面积为（
C．
） D． 1
A．
1 6
B．
1 3
2 3
【答案】B 【解析】如图．
Go the distance
Go the distance
1 1 ， y 2 ，曲线 y 及 y 轴所围成的封闭图形的面积是（ 2 x 1 B． 2 ln 2 1 4
Go the distance
[来源:学科网]
3． 【2015 安徽联考】由直线 y 0 ， x e ， y 2 x 及曲线 y A． 3 2ln 2 【答案】B
2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：专题2_第3讲_导数及其应用(含答案)
①ʃkf(x)dx＝kʃf(x)dx；
②ʃ[f1(x)±f2(x)]dx＝ʃf1(x)dx±ʃf2(x)dx；
③ʃf中a<c<b)．
（2）微积分基本定理：
一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么ʃf(x)dx＝F(b)－F(a).
思维启迪(1)先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，再化为一般式方程．(2)A点坐标是解题的关键点，列方程求出．
思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．
A．2B．4C．2 D．4
思维启迪(1)利用微积分基本定理先求出a，再求分段函数的函数值；(2)利用图形将所求面积化为定积分．
思维升华(1)直接使用微积分基本定理求定积分时，要根据求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出原函数．
(2)利用定积分求所围成的阴影部分的面积时，要利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限．同时，有的定积分不易直接求出，需要借用其几何意义求出．
(2)求导函数f′(x)；
(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x)>0或f′(x)<0.
②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′(x)≥0或f′(x)≤0在单调区间上恒成立问题来求解．
定积分几何意义公式
定积分几何意义公式定积分是微积分中的一个重要概念，在数学和物理学等科学领域有着广泛的应用。
它不仅可以用于求解函数在一段区间内的面积、体积等几何问题，还可以用于描述变化率、累积效应等动态的物理过程。
在本文中，我们将介绍定积分的几何意义和相关公式，并举例说明其应用。
首先，我们来理解定积分的几何意义。
定积分可以用于计算曲线下的面积，这是因为定积分可以看作是对一个函数在给定区间内的“加和”。
具体而言，如果我们有一个连续函数f(x)在区间[a, b]上的图像，那么用定积分来求解f(x)在该区间内的面积就是将该区间分成无数个无穷小的矩形，并将这些矩形的面积相加得到。
对于一个函数f(x)在区间[a, b]上的连续图像，我们可以将区间[a, b]等分成n个小区间，每个小区间的长度为Δx = (b-a)/n。
然后，我们在每个小区间上找到一个样本点ξi，并计算函数f(ξi)在该小区间内矩形的面积（即f(ξi) * Δx）。
最后，我们将所有小区间的面积相加得到近似面积Sn = f(ξ1) * Δx + f(ξ2) * Δx + ... +f(ξn) * Δx。
当我们将n趋向于无穷大时，也就是将每个小区间的长度无限缩小，那么每个小区间的面积也会无限接近于曲线下的面积。
此时，我们可以得到定积分的几何意义公式如下：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Sn = lim(n→∞) [f(ξ1) *Δx + f(ξ2) * Δx + ... + f(ξn) * Δx]其中，∫[a,b]表示从a到b的定积分，f(x)表示被积函数，dx表示无穷小的区间长度。
除了用于计算曲线下的面积，定积分还可以用于求解其他几何问题。
例如，我们可以通过定积分来计算某个形状的物体的体积。
如果我们有一个截面积为A(x)、从a到b的连续函数在坐标轴上的图像，那么这个形状的体积可以通过定积分来计算：V = ∫[a,b] A(x) dx这个公式的几何解释是，我们可以将这个形状分成无数个无穷小的薄片，每个薄片的厚度为dx，然后将每个薄片的体积（即A(x) * dx）相加得到整个形状的体积。
2015届高考数学(理)一轮精品复习课件3.4定积分与微积分基本定理(人教版)
的值.
���1���2dx
1������ =12x2|e1+ln x|e1- |e1
பைடு நூலகம்
=12(e2-1)+(ln e-ln 1)-
1 e
-1
=12e2-1e+32.
(3)
e
0f(x)dx=
1 0
x2dx+
e 1 1������dx
=13x3|10+ln x|e1=13+ln e=43.
考点一 考点二 考点三
3 1
2dt+
6 3
13 t + 1
dt=t2|11+2t|13+
2
1 6
������2
+
t |36=449(m).
考点一 考点二
考点三
答案
-22-
方法提炼
1.做变速运动的物体在一段时间间隔内所经过的路程,可以利用该物
体运动的速度关于时间的函数在该时间段上的积分来求解.因此要求一个
物体在一段时间内的位移,只要求出其运动的速度函数,再利用微积分基本
定理求出该时间段上的定积分即可,即物体做变速直线运动的路程 s,等于
其速度函数
v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a,b]上的定积分
������ ������
v(t)dt.另外物体做
变速直线运动的速度 v,等于加速度函数 a=a(t)在时间区间[a,b]上的定积分
������ ������
a(t)dt.
2.如果力 F(x)使得物体沿力的方向由 x=a 运动到 x=b(a<b),则力 F(x)
对物体所做的功
W=
������ ������
2015高考数学一轮课件：第2篇 第12节 定积分概念及简单应用
a
a
n
i＝1
b－n af(ξi)，a
与
b
分别叫做
积分下限
与积分上限
，区间[a，
b]叫做 积分区间 ，函数 f(x)叫做 被积函数 ，x 叫做积分变 量， f(x)dx 叫做被积式．
数学 人教A版 ·理科 第四页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
基础梳理
(2)定积分的几何意义
课 时 训考练点 突 破
(2)变力做功问题 物体在变力 F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与力 F(x)相同的方向从 x＝a 移动到 x＝b(a<b)，则变力 F(x)所做的功
bF(x)dx
为 W＝____a________.
数学 人教A版 ·理科 第九页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
质疑探究：定积分bf(x)dx 与bf(t)dt 是否相等？
a
a
提示：相等，定积分的值只与被积函数有关，而与积分变
量用哪一个字母表示无关．
数学 人教A版 ·理科 第十页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
1．已知 f(x)为偶函数且6f(x)dx＝8，则6－6f(x)dx 等于( ) 0
0
1
＝ ＝83＋332－43－(16－1)＋(16－4) ＝9.
数学 人教A版 ·理科 第二十九页，编辑于星期五：十三点 四十三分。
基础梳理
课 时 训考练点 突 破
法二 选用 y 为积分变量，这时所求的面积为 4－212y＋2－14y2dy ＝14y2＋2y－112y3－4 2 ＝9. [答案] (1)C (2)9
高考数学母题题源系列 专题03 定积分的几何意义 理(含
定积分的几何意义【母题来源】2015陕西卷理–16【母题原题】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为．【答案】1.2【考点定位】1、定积分的计算；2、抛物线的方程；3、定积分的几何意义．【命题意图】本题考查抛物线的方程、定积分的几何意义和微积分基本定理等基础知识，意在考查学生数形结合思想的运用能力和运算求解能力．【方法、技巧、规律】在具有对称性的曲边形面积的计算中，要善于根据对称性表达所求的面积，以简化运算．使用微积分基本定理时，要注意检验得出的函数的导数是否等于被积函数．对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分．【探源、变式、扩展】对于某些定积分的计算，很难找到原函数，甚至没有原函数，此时需要用定积分的几何意义，将其转化为计算平面图形的面积．【变式】【2015广东六校联考】0214x dx--=⎰．【答案】323π+1．【2015福建期末】曲线23y x =与直线1x =，2x =及x 轴围城的封闭图形的面积是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．8 【答案】C2．【2015江西月考】由直线12y =，2y =，曲线1y x=及y 轴所围成的封闭图形的面积是（ ） A ．2ln 2 B ．2ln21- C ．1ln 22 D ．54【答案】A 【解析】如图3．【2015安徽联考】由直线0y =，x e =，2y x =及曲线xy 2=所围成的封闭的图形的面积为（ ） A ．32ln 2+ B ．3 C ．223e - D ．e 【答案】B4．【2015山东期末】如图所示，由函数()sin f x x =与函数()cos g x x =在区间30,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．321-B ．422-C ．2D ．22【答案】D5．【2015山东期末】由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（ ）A ．103 B ．4 C ．163D ．6 【答案】C6．【2015内蒙古期中】如图，阴影区域的边界是直线0y =，2x =，0x =及曲线23y x =，则这个区域的面积是（ ）A ．4B ．8C ．13 D ．12【答案】B7．【2015湖北期中】如图中阴影部分的面积是（ ）A ．23B ．923-C ．323 D ．353【答案】C8．【2015江西月考】由曲线1xy =，直线y x =，3y =所围成的平面图形的面积为（ ） A ．329B ．2ln3-C ．4ln3+D ．4ln3- 【答案】D9．【2015河南月考】如图是函数5cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ） A ．34 B ．54 C ．32D ．332-【答案】B10．【2015辽宁质检】由曲线2y x =，y x = ）A ．16 B ．13 C ．23D ．1 【答案】B【解析】如图．。
2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B)(2021年整理)
2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B)(word版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B)(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2015年全国各地高考模拟数学试题汇编导数与定积分(理卷B)(word版可编辑修改)的全部内容。
专题2 不等式、函数与导数 第4讲 导数与定积分(B 卷）一、选择题（每题5分，共30分）1、（2015·山东省滕州市第五中学高三模拟考试·4)01()x x e dx --⎰=( ）A ．11e--B ．1-C ．312e-+D ．32-622a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开2．(2015·德州市高三二模（4月）数学（理)试题·9）式的常数项是15，右图阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a x+=及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ )A ．146π- B ．146π+C ．4πD ．163。
(江西省新八校2014—2015学年度第二次联考·12)已知定义域为R 的奇函数)(x f 的导函数)(x f ',当0≠x 时，0)()(>+'xx f x f ，若)1(sin 1sin f a ⋅=，)3(3--=f b ，)3(ln 3ln f c =，则下列关于c b a ,,的大小关系正确的是( ）A.a c b >>B.b c a >>> C 。
a b c >>D 。
【高考领航】2015年高考数学(理科)新一轮总复习考点突破课件：2.13定积分
1 3 解析：∵3x －cos x′＝x2＋sin
∴
(x ＋sin
2
1 3 x)dx＝3x －cos x
2 答案：3
• (2)由y＝cos x及x轴围成的介于0与2π之间的 平面图形的面积，利用定积分应表达为 ________．
解析：如图
阴影部分的面积
答案：
4．微积分基本定理 一般地， 如果 f(x)是区间[a， b]上的连续函数， 并且 F′(x)＝f(x)， 那么 f(x)dx＝ F(b)－F(a) ．这个结论叫做微积分基本定理，
2
23 x dx＝3t .
2
S2 的面积等于曲线 y＝x2 与 x 轴，x＝t，x＝1 围成的面积去掉矩形 面积，矩形边长分别为 t2,1－t， 即 S2＝ 23 2 1 x dx－t (1－t)＝3t －t ＋3.
2 2
所以阴影部分的面积
43 2 1 S＝S1＋S2＝3t －t ＋3(0≤t≤1)． 令 S′(t)＝4t
第13课时 定积分(理科)
接电话的痕迹
• (一)考纲点击 • 1 ． 了 解定积分的实际背景，了解定积分 的基本思想，了解定积分的概念． • 2．了解微积分基本定理的含义．
• • •
(二)命题趋势 1．高考中多考查利用定积分求不规则图形面 积、变力做功、变速运动的位移等，常与几 何概型结合在一起来考查． 2 ．考查题型多为选择题和填空题，难度不 大．
0≤t≤1 1≤t≤3 3≤t≤6
，
49 【答案】 m 4
• 【归纳提升】 利用定积分解决变速直线 运动路程问题和变力做功问题时，关键是 求出物体做变速直线运动的速度函数和变 力与位移之间的函数关系，确定好积分区 间，得到积分表达式，再利用微积分基本 定理计算即得所求．
定积分的几何意义物理意义
定积分的几何意义物理意义一、定积分的几何意义定积分的几何意义可有趣啦！想象一下，你在一个平面直角坐标系里画了一条曲线，比如说y = x²。
如果我们要求从a到b这个区间上函数y = x²的定积分，那这个定积分的值就表示由曲线y = x²、x = a、x = b以及x轴所围成的图形的面积。
不过呢，这里要注意，如果曲线在x轴下方，那这部分面积可就得算成负的啦，就像欠了面积似的。
比如说y = -x²，从0到1求定积分，这个值就是负的，它表示的是x轴下方，曲线y = -x²和x轴以及x = 0和x = 1围成的图形的面积，只不过因为在下方所以是负的。
这就像是把平面的图形分成了上下两部分，x轴上面的是正面积，下面的是负面积，而定积分就把这些面积都加起来，得出一个总的“有正负之分的面积”值。
二、定积分的物理意义定积分在物理里也超级有用呢。
咱先说路程和速度的关系。
如果有一个物体，它的速度v是时间t的函数，比如v = 3t。
那从t₁时刻到t₂时刻这个物体走过的路程就可以用定积分来求啦。
这是为啥呢？你看啊，速度是描述物体运动快慢的，在一小段时间Δt里，物体近似看成是做匀速直线运动，那它走过的路程Δs就约等于vΔt。
当我们把整个时间段[t₁, t₂]分成无数个小时间段，每个小时间段都这么算路程，然后把这些小路程加起来，这不就是定积分干的事儿嘛。
所以定积分在这就表示这个物体从t₁时刻到t₂时刻走过的路程。
还有在做功方面。
假如有个力F是位移x的函数，例如F = 2x。
那力F在从x₁到x₂这段位移上做的功W就可以用定积分来求。
因为在一小段位移Δx里，力近似看成不变，那这一小段位移上做的功ΔW就约等于FΔx。
把整个位移区间[x₁, x₂]分成无数个小位移区间，每个小位移区间都这么算功，最后加起来就是总的功，这也就是定积分的意义。
定积分在物理里就像是一个神奇的工具，把很多连续变化的量通过这种分割、近似、求和的方式联系起来了呢。
定积分的几何意义
单调地变到 b.则
b
a
f
xdx
f
[
(
t
)]
t
dt
几点说明：
“换元必换限”,(原)上(下)限对(新)上(下)限.
从右到左应用上公式,相当于不定积分的第一 换元法(凑微分法).一般不设出新的积分变量, 这时,原积分的上、下限不变.只要求出被积函 数的一个原函数,就可直接应用牛顿-莱布尼 兹公式求出定积分的值.
第一节 定积分的概念
7.1.1 曲边梯形的面积
所谓曲边梯形是由三条直线段和一条曲线所谓成的平 面图形（如下图所示）。
如何求曲边梯形的面积？
求解思路：分割
取近似 求和 取极限
把大的曲边梯形沿着y轴方向 切割成许多窄窄的小曲边梯 形，把每一个小曲边梯形近似 看作一个矩形，用矩形的面积 近似代替小曲边梯形的面积。 把这些近似值加起来，就是大 曲边梯形面积的近似值。显 然，分得越细，近似程度越 高。
牛顿从物理学出发，运用集合方法研究
微积分，其应用上更多地结合了运动学，造 诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出 发，运用分析学方法引进微积分概念、得出 运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿 所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能 节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功 的关键之一。因此，他发明了一套适用的符 号系统，如，引入dx 表示x的微分，∫表示 积分等等。这些符号进一步促进了微积分学 的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分 的历史和起源》一文，总结了自己创立微积 分学的思路，说明了自己成就的独立性。
0
b
a
f
(
x
)dx
ba
f
(
x
)dx
初等函数在定义区间内部都是可积的
定积分的意义及其在几何中的应用
定积分的意义及其在几何中的应用定积分是微积分中的一种重要概念，它是反映了函数在一些区间上面积的大小。
定积分的含义非常丰富，不仅可以用于求函数的面积、周长、体积等几何问题，还广泛应用于物理学、经济学、生物学等领域的计算与分析中。
首先，定积分的最基本的含义是求函数在一些区间上的面积。
对于非负连续函数f(x)，可以将其图像以下方的函数图形为界，通过分割区间，构造出一系列较窄的矩形，然后求出这些矩形的面积之和，即可近似地得到曲线下面积的值。
随着分割区间的无穷细小，这个近似的面积将趋近一个确切的值，即定积分。
如果函数是负值或者非连续的情况，面积的计算则需要对函数图像进行分段处理，并分别计算每个部分的面积。
所以，定积分在几何中的应用可以明确地用于求曲线与坐标轴之间的面积。
其次，定积分也可以用于求曲线的弧长。
由于曲线的形状较为复杂，无法直接计算其弧长，但通过将曲线分成许多较小的线段，并每个线段用直线段来代替，再对这些直线段进行求和的方式，可以用定积分来近似计算曲线的长度。
当分割的线段无限细小时，这个近似的弧长将趋近于曲线的实际弧长。
这种方法虽然只能得到近似值，但对于一些无法获得解析解的复杂曲线来说，这种近似是非常有用的。
此外，在三维几何中，定积分可以应用于计算旋转体的体积。
对于一个曲线沿着坐标轴旋转形成的立体，可以将其分成许多非常薄的盘状元素，并计算每个盘状元素的体积，然后通过定积分将这些体积相加，即可得到整个旋转体的体积。
这个方法适用于各种形状的旋转体，能够有效地求解这些体积。
除了在几何中的应用，定积分在物理学、经济学、生物学等领域也有广泛的应用。
在物理学中，定积分可以用于计算各种形状物体的质心、重心等。
在经济学中，定积分常用于求解定量经济模型中的微积分方程，如求解需求曲线、利润函数等。
在生物学中，定积分可以用于计算生物体的体积、质量、功率等。
总之，定积分是微积分中一个重要的概念，不仅在几何中用于求解曲线的面积、弧长、旋转体的体积等问题，还在许多学科中都有广泛的应用。