微扰理论
第六章 微扰理论
ˆ H ˆ k H ˆ H 0 k
k 1
ˆ k H ˆ ) E (H 0 k n n n
k
( 0) (1) ( 2) (k) n n n 2 n k n
E n E (n0) E (n1) 2 E (n2) k E (nk )
(1) n k n ( 0 )* ˆ (0) H d k 1 n (0) k
E
(0) n
E
(0) k
E
( 2) n
( 0 )* n
ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H (1) ( 0 )* ˆ (0) 1 kn 1 kn 1 nk ˆ H1 n d ( 0 ) H1 k d ( 0) (0) n (0) k n E n E k kn E n E k
0) ( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) b m (E (m E (n0 ) ) E (n2 ) mn E (n1) m n d m H 1 n d
现在来求能量的二级修正值。当m=n时，上式就变成
( 0 )* (1) ( 0 )* ˆ (1) 0 E (n2 ) E (n1) n n d n H1 n d
( 0) n (1) n (0) n
k
bm
k n
(E(0) n
ˆ ) (H ˆ ) ˆ ) (H ˆ ) (H (H 1 kn 1 mk 1 nn 1 mn 0) ( 0) 2 E (k0) )(E (n0) E (m ) (E(0) n Em )
(k) n E (nk ) 称为能量的k级校正。 称为波函数的k级校正，
假定级数对于λ=1是收敛的，并希望对于很小的微扰，只要取级数的 头几项，就能得到真实能量和波函数得很好近似。
微扰理论与非微扰方法
微扰理论与非微扰方法介绍微扰理论与非微扰方法是量子力学领域中一种重要的计算技术，用于解决复杂的物理系统问题。
微扰理论通过将一个较难求解的系统分解成较容易处理的简单部分，从而得到近似解。
非微扰方法则是通过直接求解系统的哈密顿量，不依赖于近似处理。
本文将重点探讨微扰理论与非微扰方法的基本原理、应用领域以及优缺点。
一、微扰理论1. 基本原理微扰理论适用于具有已知能谱的系统，通过对系统的哈密顿量施加微小的扰动，进而获得系统能级的修正。
微扰理论通常分为一阶、二阶和高阶微扰，利用微扰展开公式，通过求解微扰项系数，可以计算系统的能级修正值。
在实际应用中，通常选择扰动项为系统的相互作用哈密顿量或外场的影响。
2. 应用领域微扰理论在量子力学、统计力学以及量子场论等领域中具有广泛的应用。
它可以用于解释原子和分子的能级结构、光谱分析以及固体物理中的能带结构等问题。
微扰理论的优势在于精度高、计算相对简单，但在处理强扰动或高阶修正时可能存在收敛问题。
二、非微扰方法1. 基本原理非微扰方法是一种精确求解系统能量本征态的方法，适用于没有已知能谱的系统。
非微扰方法通过直接求解薛定谔方程或利用变分原理等方式，获得系统的精确解。
常用的非微扰方法有矩阵对角化方法、变分法以及数值求解等。
2. 应用领域非微扰方法在处理复杂的多粒子问题、强相互作用系统以及量子多体问题等方面具有重要应用。
它可以用于求解分子结构、低温物理中的超流与超导现象以及强关联电子体系等问题。
非微扰方法的优势在于可以获得准确的数值解，但计算量通常较大且对问题的特定形式要求较高。
三、微扰理论与非微扰方法的比较1. 优点微扰理论相对计算简单，适用于众多物理问题的近似解。
它提供了对系统能级的修正值，能够揭示物理体系中的微小变化。
非微扰方法可以获得精确的解，特别适用于需要高精度计算的问题。
2. 缺点微扰理论在处理强扰动或高阶修正时可能存在收敛问题，适用范围较窄。
它提供的是主要在较小扰动下的近似解。
高等量子力学中的微扰理论
高等量子力学中的微扰理论高等量子力学是现代物理学的重要分支之一，涉及到极小尺度物理现象的研究。
微扰理论是高等量子力学中的一种重要方法，它可以用来解析量子系统中的微小扰动，从而预测和解释各种现象。
1. 量子力学简介量子力学是研究微观世界的物理学分支，研究物质粒子在原子和分子中的行为。
它用数学语言描述粒子的状态和运动，具有非常强的预测能力。
量子力学反映了微观世界的基本规律，例如不确定性原理、波粒二象性、量子纠缠等。
2. 微扰理论的概念和作用如果一个物理系统的哈密顿量是已知的，那么可以使用量子力学算符的迹化技术来计算它的基态和激发态能量。
但是，如果在系统中加入一个微小的扰动，基态和激发态的能量将有所不同。
此时，不能直接进行求解，需要使用微扰理论来解决问题。
微扰理论是一种处理微小扰动的技术，它假设一个物理系统的能谱是某个参考系统能谱的微小扰动。
微扰可以是任何小的改变，例如电磁场、电场、磁场等等。
通过微扰理论，研究者可以理解量子系统中微扰的行为，并预测物理现象。
3. 一阶微扰理论对于一个量子系统，一阶微扰理论可以用来计算它的基态和激发态的能量。
在这个理论里，扰动被认为是非常微小的，基态和激发态的能量差别也非常小。
因此，可以使用泰勒展开式把基态和激发态的能量展开成一个级数。
使用一阶微扰理论时，需要假设扰动具有已知的形式和强度，并取出能谱中的一组基态和激发态。
这些状态是由系统的哈密顿量确定的。
在扰动的存在下，采用微扰理论的计算将会得到新的能量本征值及其对应的本征态。
4. 二阶微扰理论对于更大的扰动，可以使用二阶微扰理论。
此时，需要考虑到基态和激发态的交叉影响，这意味着它们之间的耦合必须被纳入计算。
可以用泰勒展开式表示能量和哈密顿量，这样一阶和二阶的能量差就会变得更加明显。
在二阶微扰理论中，我们需要计算基态和激发态之间跃迁的振幅，这是一个复杂的计算。
计算结果可以得到系统基态和激发态之间的变化、能级之间的相互作用等信息。
Chap5微扰理论
ˆ ”后， ˆ H ˆ H ˆ' 加上“微扰H H 0 0
( 0) En En ( 0) n n
ˆ 的本征方程（ 1 ）式变为： H
ˆ H ˆ ) E (H 0 n n n (4)
将待求的 n 写成 k
k n
( 0)
的线性迭加：
k k n n c ( 0) ( 0)
ˆ ( 0 ) dx e ( 0 )* x ( 0 ) dx k( 0 )* H H kn n k n
可利用
( 0) n
n 1 (0) n (0) n 1 n 1 2 2
解2 精确解
ˆ H ˆ Const. H
ˆ E H
(12 )
k k n n c ( 0) ( 0) k n
( 0) ck H nk En En H nn
(5)
(8)
(12 )
cm
H mn (0) ( 0) En Em
k n
将(12)式 m k ，并代 入(8)式，即得 En 的二级近似
( 0) En ~ En ,
cm ~ mn
k n
(8)式中略去最小的第三项即 项,即得 En 的一级近似
(0) En E n H nn
(11)
(0) (9)式中略去最小的项，即 项，并在右端用 En 作为 En k n
的近似，就得到 Cm的一级近似
H mn cm ( 0 ) ( 0) En Em
(14 )
(13)式右端各项通常称为 En 的零级近似，一级修正
和二级修正:
E
(1) n
, H nn
第五章微扰理论
2b 2 2 nπx 2b nπx ( 0 )∗ (0) = ∫ψ n H 'ψ n dx = − sin dx + sin 2 dx ∫ ∫ a 0 a a a a 0
a a 2 nπ
a
2b ＝− nπ
＝−
2b sin ydy + ∫ nπ 0
2
2
nπ
n
∫ sin π
2
2
ydy ⎞ ⎟＝0 。 ⎠
−n
2 3
)
[1 − (− 1) ] sin mLπ x
m+ n
。
⎧− b,0 ≤ x ≤ a / 2, 例 4、粒子处于宽为 a 的一维无限深势阱中，若微扰为 H ' = ⎨ 试求粒子 ⎩ b, a / 2 ≤ x ≤ a, ，
能量和波函数的一级修正。 解： （1）能量的一级修正，按公式
E
(1) n
m+ n
−1
] [
，
所以波函数的一级修正为：
(1) (x ) = ψn
∑
m
'
2 μL2 4 Lamn (− 1)m+ n − 1 ⋅ 2 2 2 2 2 2 2 2 π h (n − m ) (m − n ) π
]
2 mπ sin x L L
4
8μL3 an ＝ 4 2 π h
2 L
∑
m
'
(m
m
2
2
。
E ( 0) + b a ⎞ ( 0) ˆ ( 0) 表象中的表示为 H = ⎛ ⎜ 1 ⎟ ，其中 E1 例 1、设体系的哈密顿在 H , E (20) 为 (0) ⎜ a ⎟ E2 + b⎠ ⎝
量子力学微扰理论
量子力学微扰理论量子力学微扰理论是量子力学中一个重要的理论工具，它可以用来研究体系在外加微弱扰动下的行为。
这个理论被广泛应用于各个领域，如原子物理、固体物理和量子化学等。
在本文中，我们将介绍微扰理论的基本原理、应用以及一些相关的研究进展。
一、量子力学微扰理论的基本原理量子力学微扰理论的基本原理是基于微扰理论的思想，通过将体系的哈密顿量拆分为一个容易求解的部分和一个微弱扰动部分，从而简化求解复杂问题的过程。
根据微扰的性质，我们可以将微扰分为两类：一类是无简并微扰，即体系本身的能级是非简并的；另一类是简并微扰，即体系本身的能级是简并的。
对于无简并微扰，我们可以使用微扰理论的一阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
一阶微扰理论的基本公式可以表示为：E_n^{(1)} = E_n^{(0)} + \langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle其中，E_n^{(1)}为包含微扰的能级修正，E_n^{(0)}为无微扰的能级，|n^{(0)}\rangle为无微扰下的波函数，V为微弱扰动的哈密顿量。
对于简并微扰，由于在简并态上的微扰能级修正不再是一个确定的值，我们需要使用微扰理论的高阶近似来计算体系的能级和波函数的改变。
高阶微扰理论的计算过程更加复杂，需要考虑简并态之间的耦合效应。
二、量子力学微扰理论的应用1. 原子物理领域在原子物理领域中，微扰理论广泛应用于计算原子的能级结构和跃迁概率。
通过引入微弱的扰动，我们可以计算原子能级的微小变动，并且预测产生的光谱线的频率和强度。
这对于原子吸收光谱和发射光谱的解释具有重要意义。
2. 固体物理领域在固体物理领域中，微扰理论被用来研究固体中的电子能级和电子态密度。
通过引入微弱的外电场或者磁场，我们可以计算固体材料的电子能级的变化，并且研究外界扰动对电子输运性质的影响。
3. 量子化学领域在量子化学领域中，微扰理论被广泛用于计算分子的能谱和分子反应的速率常数。
微扰理论
第五章 微扰理论本章介绍：在量子力学中，由于体系的哈密顿算符往往比较复杂，薛定谔方程能严格求解的情况不多（一维谐振子，氢原子）。
因此，引入各种近似方法就显得非常重要，常用的近似方法有微扰论，变分法，WKB （半经典近似），Hatree-Fock 自恰场近似等。
本章将介绍微扰论和变分法。
本章将先讨论定态微扰论和变分法，然后再讨论含时微扰以及光的发射和吸收等问题。
§5.1 非简并定态微扰论 §5.2 简并定态微扰论§5.3 氢原子的一级Stark 效应§5.4 变分法§5.5 氦原子基态§5.6 含时微扰§5.7 跃迁几率和黄金费米规则§5.8 光的发射与吸收§5.9 选择定则附录： 氦原子基态计算过程非简并定态微扰论本节将讨论体系受到外界与时间无关的微小扰动时，它的能量和波函数所发生的变化。
假设体系的哈密顿量不显含时间，能量的本征方程ˆH E ψψ= 满足下列条件： ˆH 可分解为 0ˆH 和 ˆH '两部分，而且 0ˆH 远大于ˆH'。
00ˆˆˆˆˆ H H H H H ''=+ 0ˆH 的本征值和本征函数已经求出，即 0ˆH 的本征方程(0)(0)(00ˆn n n H E ψψ=中，能级(0)n E 和波函数(0)n ψ都是已知的。
微扰论的任务就是从0ˆH 的本征值和本征函数出发，近似求出经过微扰ˆH ' 后，ˆH 的本征值和本征函数。
3. 0ˆH 的能级无简并。
严格来说，是要求通过微扰论来计算它的修正的那个能级无简并的。
例如我们要通过微扰计算ˆH '对 0ˆH 的第n 个能级(0)n E 的修正，就要求(0)nE 无简并，它相应的波函数只有(0)n ψ一个。
其他能级既可以是简并的，也可以是无简并的。
4. 0H 的能级组成分离谱。
严格说来，是要求通过微扰来计算它的修正的那个能级(0)n E 处于分离谱内，(0)n ψ是束缚态。
第五章 微扰理论
第五章微扰理论经常遇到许多问题，体系哈密顿算符比较复杂，不能精确解，只能近似解，微扰论就是其中一个近似方法，其基本思想是逐级近似。
微扰论方法也就是抓主要矛盾。
如何分？假设本征值及本征函数较容易解出或已有现成解，是小量能看成微扰，在已知解的基础上，把微代入方程同次幂相等（（1）(2)(3)①求能量的一级修正(2)式左乘并对整个空间积分能量的一级修正等于在态中的平均值。
②求对波函数一级修正将仍是方程 (2) 的解，选取 a 使展开式不含将上时代入式 (2)以左乘上式，对整个空间积分令上式化简为：③求能量二级修正把代入(3)式，左乘方程（3）式，对整个空间积分左边为零讨论：（1）微扰论成立的条件：(a)可分成，是问题主要部分，精确解已知或易求(b) <<1（2）可以证明例：一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场作用，电场沿x正方向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。
【解】是的偶函数利用递推公式波函数的一级修正利用能级移动可以直接准确求出令：§5.2 简并情况下的微扰理论假设是简并的k 度简并已正交归一化代入上式以左乘上式两边，对整个空间积分左边右边不全为零解的条件是由久期方程可得到能量一级修正的k个根由于具有某种对称性，因此不考虑时，能级是k度简并的,考虑后,哈密顿量的对称性破坏，使能级的简并度降低或完全消除。
要确定，需求出，将代入上式，可求出。
§5.3 氢原子的一级斯塔克效应斯塔克（stark）效应：氢原子在外电场作用下所产生的谱线分裂现象。
( 是均匀的，沿z轴)下面研究n=2时的能级分裂现象：n=2,有4个简并度求只有两个态角量子数差 , 时, 矩阵元才不为零和不为零为实的厄密算符带入久期方程没有外电场时，原来简并的能及在一级修正中分裂为三个，兼并部分消除①当时②当时③当时，和为不同时为零的常数。
§5.4 变分法应用微扰论应很小，否则微扰论不能应用，本节所介绍的变分法不受上述条件限制。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以
( 0) m *
（m≠n）左乘上式两边，并对整个
空间积分，得
( 0 ) (1) 0 0 ( 0) (1) 0 0 ' E a * d E ' a * l l m l n l m l d l l (1) 0 ( 0) 0 ˆ ' ( 0) d En * d * H n m n m
(0) ˆ ' ( 0) d H ' mn m *H n
N me
2
2
x
2
H m (x)(ex) N n e
2
2
x2
H n (x)dx dx
N m N n e N m N n e
xH m (x) H n (x)e
2 x 2
2
d ]
系数
2 Nn [ ] 2 n n!
1
N n 1 [
2
1 n 1
] (n 1)!
1
1 2
1 2 2 [ ] [ ] 2(n 1) 2 n n! 1 [ ]2 Nn 2(n 1)
N n 1 [
1 2
1
2
n 1
] (n 1)!
，以
( 0) n *
左乘上式
两边，并对整个空间积分，得
( 0) ˆ E 0 ) (1) d E (1) ( 0) * ( 0) d ( 0) * H ˆ (1) ( 0) d * ( H n n n n n n n n
（6） 注意
H
( 0)
( 0) E 是厄米算符， n
能级是非简并的，用非简并定态微扰理论。
1：能级的修正 能量的一级修正 E
(1) n
H ' mn
2
2
(0) ˆ * H ' n d 0 m
(1) (0) ˆ ' ( 0 ) d En n *H n
N ne
2 n
2
2
x2
H n (x)(ex) N n e xH (x)e
( 0) En
和波函数
E
(1) n
(1) ， n
为一级修正，
( 2) 2 ( 2) 2 En ， n 为二级修正。
ˆ (0) H ˆ (1) ) E 得 将两式代入（1）式 (H n n n
ˆ ( 0 ) H ˆ (1) )( ( 0) (1) 2 ( 2) ) (H n n n
1 2
[ 2n] N n
H ' mn
n 1 2 2 [( ) N n 1 H n 1 ( )N m H m ( )e d 2 1 n 2 2 ( ) N n 1 H n 1 ( )N m H m ( )e d ] 2
例一：一电荷为e的线性谐振子受到恒定弱电场
作用，电场沿正x方向。用微扰法求体系的定态
能量和波函数。 体系哈密顿算符 解：电场沿x正方向，
2 2 d 1 2 2 ˆ H x ex 2 2 dx 2
此为定态问题（
ˆ H
与时间无关） ex 很小，
2 d 2 1 2 2 x 2 2 dx 2
微扰理论
精确求解，波函数能够用精确的解析形式表达 出来。 本章介绍近似求解薛定諤方程的方法，如微 扰理论等。 本章主要内容 1：非简并定态微扰理论 2：简并情况下的定态微扰理论 3：含时间的微扰
§5.1非简并定态微扰理论 微扰理论是很常见的一种近似方法，是通过 逐级近似来求出实际上足够精确的解，应用这种方 法时，要将体系的能量算符分成两部分
0 (0) * m l d ml注意到 ( 0)源自l的正交归一性得到
( 0) (1) ( 0) (1) 0 ( 0) ˆ ' E a E ' a * H ' l l ml n l ml m n d l l
令
H ' mn
0 ˆ ' ( 0) d H ' * H n mn m
是实数，有
(0) ˆ ( 0 ) E 0 ) (1) d [( H ˆ ( 0 ) E 0 ) ( 0 ) ] * (1) d 0 * ( H n n n n n n
由（6）式，注意到
( 0) n
的正交归一性，得到
(1) (0) ˆ (1) ( 0 ) d En n *H n
e
1
利用 及
( 0) n
Nne
2
2
x
2
H (x) N n e
2
2
H ( )
H ' mn e (
2
1 2 1 2
) [(n 1)
1 2
1 2
(0) ( 0) n 1 m dx
( n) e ( 2
( 0) E ( 0 ) En ( 0) ( 0) n
( 0) En ( 0) n
ˆ ' 的微小程度，引入参数 为了明显地显示 H
使
ˆ ' H ˆ (1) H
ˆ H
的本征方程为
ˆ (0) H ˆ (1) ) E (H n n n
（1）
( 0) En
现在的目的是由已知的能量
我们总可以选取 a 使得上面展开式中不含 n(0) 项
(1) n ' al(1) l0 （7） l
上式右边求和号上角加一撇号表示求和时不 包括 l n 的项，将上式带入（3）式
ˆ (0) E (0) ) (1) (H ˆ (1) E (1) ) (0) ，得 (H n n n n
称为微扰矩阵元。前式变为
( 0) ( 0) (1) (En Em )am H ' mn
或
a
(1) m
H ' mn ( 0) ( 0) ( En Em )
带入（7）式，得到波函数的一级修正为
(1) n
H ' mn 0 ' ( 0) m ( 0) m ( En Em )
(0) (1) ( 2) (0) (1) ( 2) ( En E n 2 E n )( n n 2 n )
上式两边
的同次幂应该相等，得 （2） （3 ） （4）
ˆ (0) E (0) ) (0) 0 (H n n ˆ (0) E (0) ) (1) (H ˆ (1) E (1) ) (0) (H n n n n
二、二级修正 为了求能量的二级修正，将（7）式带入（4） 式，并用 n(0) * 左乘方程（4），对整个空间积分， 得
( 0) ˆ (0) E 0 ) ( 2) d ' a (1) H ˆ ' E (1) ' a (1) ' E ( 2) * ( H n n l nl n l nl n n l l
2 2 x 2
x2
H n (x)dx
N e
dx
由于
H (x)
2
及
e
2 x 2
均是x的偶函数
xH (x)e
2
2 x 2
是奇函数，上式积分值为零。
ˆ (1) 0 E n
能量的一级修正为零
能量的二级修正
( 2) En m
H mn
2
(0) (0) En Em
( 0) 这里用了 n
的正交归一性，上式左边为零，
ln
右边第二项由于
E
( 2) n (1) l
，也为零，于是有
H ' nl
2
H ' ln H ' nl ˆ ' a H ' nl ' ( 0 ) ' (0) (0) (0) E E E E l l l n l n l
ˆ ( 0) E 0 ) ( 2) ( H ˆ (1) E (1) ) (1) E ( 2) ( 0) (H n n n n n n
解这些方程就可以得到能级和波函数的各级修正。 引进
的目的是为了更清楚地从方程中
ˆ (1) H
按数量级分出（2）、（3）、（4）等方程。达到 目的后，将
最后一步是因为
0 ˆ ' ( 0) d H ' * H n mn m
ˆ (1) H
是厄米算符，由 ，有 H 'ln H 'nl
综上, 受到微扰后能量的修正
En E
(0) n
E
(1) n
E
( 2) n
E
(0) n
H ' nn
m
H mn E
(0) n
2 (0) m
E
受到微扰后波函数的修正
n
( 0) n
(1) n
( 0) n
H mn ( 0) (0) m ( 0) m En Em
式中
( 0 ) ˆ ( 0) m H mn H n d ( 0 ) ˆ ( 0) n H nn H n d
能量的一级修正为
ˆ (1) ( 0 ) * H ˆ ' ( 0 ) d E n n n