人教版中考数学专题复习第五章

人教版中考数学专题复习第五章第五章 四边形第一节 多边形与平行四边形本节知识导图河北中考考题试做平行四边形的判定及性质的相关计算1．(2016·河北中考)如图，将▱ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点B′处．若∠1＝∠2＝44°，则∠B 为(C)A ．66°B ．104°C ．114°D ．124°2．(2015·河北中考)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图所示的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证．已知：如图，在四边形ABCD 中，BC ＝AD ， AB ＝__CD__．求证：四边形ABCD 是__平行__四边形． (1)在方框中填空，以补全已知和求证； (2)按嘉淇的想法写出证明；证明：连接BD.在△ABD 和△CDB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，AD ＝CB ，BD ＝DB ，∴△ABD ≌△CDB(SSS )．∴∠ABD ＝∠CDB ，∠ADB ＝∠CBD. ∴AB ∥CD ，AD ∥CB.∴四边形ABCD 是平行四边形；(3)用文字叙述所证命题的逆命题为__平行四边形的两组对边分别相等__． 多边形性质的相关计算3．(2019·河北中考)下列图形为正多边形的是(D)4．(2017·河北中考)已知正方形MNOK 和正六边形ABCDEF 边长均为1，把正方形放在正六边形中，使OK 边与AB 边重合，如图所示．按下列步骤操作：将正方形在正六边形中绕点B 顺时针旋转，使KM 边与BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点C 顺时针旋转，使MN 边与CD 边重合，完成第二次旋转；……在这样连续6次旋转的过程中，点B ，M 间的距离可能是( C )A ．1.4B ．1.1C ．0.8D ．0.5 5．(2018·河北中考)如图1，作∠BPC 平分线的反向延长线PA ，现要分别以∠APB ，∠APC ，∠BPC 为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC 为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC ＝90°，而90°2＝45°是360°(多边形外角和)的18，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．图2中的图案外轮廓周长是14；在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是21.中考考点清单多边形【方法点拨】已知多边形的内角和求边数时，可以利用内角和公式列方程求解．若已知一个多边形的各个内角均相等，且知道其中一个内角，求边数时，常由其一个内角度数求出一个外角的度数，再用360°除以这个外角的度数即可．例如，(1)六边形的内角和为(A)A．720°B．360°C．540°D．180°(2)一个正多边形的每个内角的度数都等于相邻外角的度数，则该正多边形的边数是(B)A．3 B．4C．6 D．12平行四边形的性质及判定近五年平行四边形的性质及判定考查了3次，考查题型为选择题、解答题，考查类型有2种：(1)与其他图形综合求证；(2)以折叠为背景利用平行四边形的性质求角度．1．平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，如图①所示▱ABCD.图①2．平行四边形的性质典题精讲精练多边形的相关计算【例1】(2019·云南中考)一个十二边形的内角和等于(D) A ．2 160° B ．2 080° C ．1 980° D ．1 800°【解析】根据多边形的内角和公式(n －2)·180°，可得十二边形的内角和等于(12－2)×180°＝1 800°.,1．(2019·青海中考)如图，小莉从点A 出发，沿直线前进10 m 后左转20°，再沿直线前进10 m ，又向左转20°……照这样走下去，她第一次回到出发点A 时，一共走的路程是(C)A ．150 mB ．160 mC ．180 mD ．200 m 平行四边形的性质及判定【例2】在▱ABCD 中，E ，F 在直线AC 上，连接BE ，BF ，DE ，DF.(1)若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的中线，求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线，四边形BEDF 还是平行四边形吗？若BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的高线，四边形BEDF 还是平行四边形吗？【解析】(1)通过证得“对角线互相平分”来证明四边形BEDF 是平行四边形；或利用全等三角形的判定与性质证得结论；(2)BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线和高线时，都可证得△BOE ≌△DOF ，仍有OE ＝OF ，从而可得结论．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD. ∵BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的中线，∴OE ＝12OA ，OF ＝12OC.∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形；(2)解：四边形BEDF 是平行四边形．证明如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，AB ∥CD.∴∠ABO ＝∠CDO.∵BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的角平分线， ∴∠OBE ＝∠ODF. 又∵∠BOE ＝∠DOF ， ∴△BOE ≌△DOF(ASA )． ∴OE ＝OF.∴四边形BEDF 是平行四边形．同理可证得BE ，DF 分别是△ABO ，△CDO 的高线时，仍有四边形BEDF 是平行四边形．【方法点拨】判定平行四边形的基本思路(1)若已知一组对边平行，可以证明这一组对边相等，或另一组对边平行； (2)若已知一组对边相等，可以证明这一组对边平行，或另一组对边相等； (3)若已知条件与对角线相关，可考虑证明对角线互相平分； (4)若已知一组对角相等，可以证明另一组对角相等．,2．(2019·泸州中考)四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，下列四组条件中，一定能够判定四边形ABCD 为平行四边形的是(B)A ．AD ∥BCB ．OA ＝OC ，OB ＝OD C ．AD ∥BC ，AB ＝DC D ．AC ⊥BD3．(2019·郴州中考)如图，▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，连接CE 并延长交BA 的延长线于点F ，连接AC ，DF.求证：四边形ACDF 是平行四边形．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD.∴∠FAE ＝∠CDE ，∠AFE ＝∠DCE. ∵点E 是边AD 的中点，∴AE ＝DE. 在△AEF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AFE ＝∠DCE ，∠FAE ＝∠CDE ，AE ＝DE ，∴△AEF ≌△DEC(AAS )．∴EF ＝EC.又∵AE ＝DE ，∴四边形ACDF 是平行四边形．第二节 矩形、菱形、正方形本节知识导图河北中考考题试做矩形的性质及判定1．(2016·河北中考)关于▱ABCD 的叙述，正确的是( C )A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形菱形的判定及相关计算2．(2019·河北中考)如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(D)A．30° B．25° C．20° D．15°3．(2017·河北中考)求证：菱形的两条对角线互相垂直．已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.求证：AC⊥BD.以下是排乱的证明过程：①又BO＝DO，②∴AO⊥BD，即AC⊥BD.③∵四边形ABCD是菱形，④∴AB＝AD.证明步骤正确的顺序是(B)A．③→②→①→④B．③→④→①→②C．①→②→④→③D．①→④→③→②正方形性质的相关计算4．(2014·河北中考)如图，将长为2，宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n≠(A)A．2 B．3 C．4 D．5中考考点清单矩形及其性质与判定周长菱形及其性质与判定表示菱形的边长)正方形及其性质与判定2平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系【知识拓展】中点四边形(1)定义：顺次连接四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．(2)中点四边形的形状由原四边形的对角线之间的关系决定．①原四边形是任意四边形，则中点四边形是平行四边形．②原四边形的对角线相等，则中点四边形是菱形．③原四边形的对角线垂直，则中点四边形是矩形．④原四边形的对角线垂直且相等，则中点四边形是正方形．典题精讲精练矩形的性质及判定【例1】(2019·福建中考)如图，点E ，F 分别在矩形ABCD 的边AB ，CD 上，且DF ＝BE.求证：AF ＝CE.【解析】先利用矩形的性质得到边角关系，再利用“SAS ”证△ADF ≌△CBE ，从而可得AF ＝CE.【解答】证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠D ＝∠B ＝90°，AD ＝CB. 在△ADF 和△CBE 中，{AD ＝CB ，∠D ＝∠B ，DF ＝BE ， ∴△ADF ≌△CBE(SAS )． ∴AF ＝CE.1．(2019·江西中考)已知：如图，四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AD ＝BC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，且OA ＝OD.求证：四边形ABCD 是矩形．证明：∵AB ＝CD ，AD ＝BC ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．∴OA ＝12AC ，OD ＝12BD.又∵OA ＝OD ，∴AC ＝BD. ∴四边形ABCD 是矩形．菱形的性质及判定【例2】(2019·北京中考)如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF.(1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O.若BD ＝4，tan G ＝12，求AO 的长．【解析】(1)根据菱形和等腰三角形的性质，结合“三线合一”证明结论；(2)根据菱形的性质得对角线AC ，BD 互相垂直平分．结合EF ⊥AC 得BD ∥EG ，∠G ＝∠BDC ，进而根据∠ODC 的正切值求出OC 的长，即可求AO 的长．【解答】(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AB ＝AD ，AC 平分∠BAD. ∵BE ＝DF ，∴AE ＝AF. ∴AC ⊥EF ；(2)解：∵四边形ABCD 为菱形，∴AO ＝OC ，OD ＝12BD ，AC ⊥BD.由(1)知EF ⊥AC ，∴BD ∥EG. ∴∠G ＝∠ODC. ∵BD ＝4，∴OD ＝2.在Rt △COD 中，tan ∠ODC ＝tan G ＝12，可得OC ＝1.∴AO ＝1.,2．(2019·衢州中考)已知：如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且BE ＝DF ，连接AE ，AF.求证：AE ＝AF.证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∠B ＝∠D. 又∵BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS )． ∴AE ＝AF.正方形的性质及判定【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于点E，垂足为点F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB的中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形BECD是正方形？请说明你的理由．【解析】(1)先证出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质可得结论；(2)证得四边形BECD是平行四边形，推出CD＝BD，根据菱形的定义可得结论；(3)求出∠CDB＝90°，再根据正方形的定义可得结论．【解答】(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.又∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD；(2)解：四边形BECD是菱形．理由：∵D为AB的中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形BECD是菱形；(3)解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.∵四边形BECD是菱形，∴四边形BECD是正方形．,3．(2019·长沙中考)如图，正方形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE 相交于点G.(1)求证：BE＝AF；(2)若AB＝4，DE＝1，求AG的长．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝DC，∠BAE＝∠ADF＝90°.又∵DE＝CF，∴AD－DE＝DC－CF，即AE＝DF.在△ABE和△DAF中，{BA＝AD，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF(SAS)．∴BE＝AF；(2)解：∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝4－1＝3.∴BE＝AB2＋AE2＝42＋32＝5.由(1)可得∠EBA＝∠FAD.∴∠FAD＋∠AEB＝∠EBA＋∠AEB＝90°，即∠AGE ＝90°＝∠BAE.∴△AGE ∽△BAE.∴AG BA ＝AE BE ，即AG 4＝35. ∴AG ＝125.第五章易错点专攻不能灵活、恰当地运用平行四边形的性质和判定【例1】如图，在四边形ABCD 中，E 是BC 边的中点，连接DE 并延长，交AB 的延长线于点F ，AB ＝BF.添加一个条件，使四边形ABCD 是平行四边形．你认为下面四个条件中可以选择的是( )A ．AD ＝BCB ．CD ＝BFC ．∠A ＝∠CD ．∠F ＝∠CDE【错解分析】本题考查平行四边形的判定，结合已知条件去寻找判断四边形ABCD 是平行四边形所需条件——一组对边平行且相等．由于平行四边形的判定方法较多，不能很快找到解决方案．【正确解答】D1．在下列给出的条件中，不能判定四边形ABCD 一定是平行四边形的是(B)A ．AB ＝CD ，AD ＝BCB ．AB ∥CD ，AD ＝BCC ．AB ∥CD ，AB ＝CDD ．AB ∥CD ，AD ∥BC规避反思：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________不能区分平行四边形与三角形面积的求法【例2】如图，▱ABCD 中，AC ，BD 为对角线，BC ＝6，BC 边上的高为4，则阴影部分的面积为( )A ．3B ．6C ．12D ．24【错解分析】本题主要利用平行四边形是中心对称图形，过对称中心的直线把它分成面积相等的两部分．另外平行四边形的面积求法也是本题的一个重点．【正确解答】C2．如图，▱ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AE ⊥BC ，垂足为E ，AB ＝3，AC ＝2，BD ＝4，则AE 的长为(D)A.32B.32C.217D.2217规避反思：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________没有掌握好正方形的对称性【例3】如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为()A．23B．26C．3D.6【错解分析】这是一个典型的利用轴对称性质求最值的问题，解题时我们首先看到正方形中B和D 关于AC成轴对称，于是PD＋PE的和最小值为BE的长，然后根据正方形面积与△ABE是等边三角形即可得出这个最小值．【正确解答】A3．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△PAB＝13S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为41.规避反思：________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。