第八章 角动量定理
角动量定理内容
角动量定理内容角动量定理是经典力学中的一条重要定理，描述了物体在外力作用下角动量的变化规律。
它是力学中的基本原理之一，对于研究刚体转动、角速度、角加速度等问题具有重要意义。
本文将从角动量定理的基本原理、相关概念以及应用等方面进行详细阐述。
一、角动量定理的基本原理角动量定理是从牛顿第二定律出发推导得到的。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，与物体的质量成反比。
而角动量定理则是在这个基础上对物体的角动量进行了推导和描述。
角动量是描述物体旋转状态的物理量，它与物体的质量、旋转轴和角速度有关。
对于一个质点，其角动量的大小等于质点与旋转轴之间的距离与质点的线速度的乘积。
角动量的方向则由旋转轴和质点的速度方向决定，符合右手定则。
角动量定理的表述可以简单地理解为：当物体受到外力作用时，物体的角动量随时间的变化率等于外力矩的大小。
外力矩是力对物体产生的转动效果，它与力的大小、作用点与旋转轴之间的距离有关。
根据角动量定理，当外力矩为零时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。
二、相关概念1. 角动量：角动量是描述物体转动状态的物理量，它与物体的质量、旋转轴和角速度有关。
角动量的大小等于质点与旋转轴之间的距离与质点的线速度的乘积，方向由右手定则确定。
2. 外力矩：外力矩是力对物体产生的转动效果，它与力的大小、作用点与旋转轴之间的距离有关。
外力矩的大小等于作用力的大小与力臂的乘积，方向垂直于力臂和力的平面。
3. 角动量守恒：当物体不受外力矩作用时，物体的角动量保持不变，即角动量守恒。
这意味着物体在旋转过程中，如果没有外力矩的干扰，角动量的大小和方向将保持不变。
三、角动量定理的应用角动量定理在物理学中有着广泛的应用。
下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 刚体转动：对于刚体的转动，角动量定理可以用来描述刚体的旋转状态。
通过应用角动量定理，可以推导出刚体的角加速度与外力矩之间的关系，从而研究刚体的运动规律。
角动量定理.pdf
A M r o
x2
m
解：在地面参考系中， 在地面参考系中，建立如图 x 坐 标，设滑轮半径为 r 有： B
l = AA′ + AB + BB′ = x1 + x2 + πr
B′
s
s = x1 − x 2
mAA′ m = ⋅ x1 , l
mAB
m = ⋅ πr l
m = ⋅ x2 , l
A′
x1
x
mBB′
µ
m2
ro m
m1
m2 和滑轮为研究对 解：在地面参考系中， 在地面参考系中，选取 m1 、 象，分别运用牛顿定律 分别运用牛顿定律和 牛顿定律和刚体定轴转动定律得 刚体定轴转动定律得：
T1
N
aT2T2o向里+Ny
m1
a
m1 g
µm2 g
m2
m2 g
Nx
T1
列方程如下： 列方程如下：
m 1 g − T1 = m 1 a T2 − µ m 2 g = m 2 a 1 2 T1 r − T 2 r = m r β 2 a = rβ
用隔离法列方程: (以逆时针方向为正) A M r o
CA x2 x1
m
T1
T2 CB . m Bg T1
B
CB
. CA
m Ag
Jr T2
B′
s
A′
m A g − T1 = m A a
x
T2 − mB g = mB a
T1r − T2 r = Jβ 2 2 J = J M + J AB = 1 Mr + m r AB 2
T1
r a1
以向下为正方向
3.4 角动量定理 角动量守恒定律
L r P sin
r， P
S
P
r
O
特例：质点作圆周运动
方向：垂直
组成的平面
L M L2 T
L rp mr v
1
SI
k g m /s
2
量纲：
讨论
惯性参照系
(1) 质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决 于固定点的选择)有关； (2) 当质点作平面运动时，质点对运动平面内某参考点 O 的动量矩也称为质点对过O 垂直于运动平面的轴的 动量矩 ； L
dr dt
二、力对定点的力矩
dL dt
d r p dt
dr dt
o
p r
dp dt
p v p 0
dL dt r dp dt rF M
M
F
O .
定义
为力对定点O的力矩 M rF 力对O 点的力矩 大小： M r F sin
M
A
r Lo T
A
R T 0
R
r
mg
O
m gR sin m gr
LA R mv
r
对于O点：
M
g
M
A
r T
rT cos
LO r m v
r mg
m gr
质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。 例 质点对圆心的动量矩。 行星在椭圆轨道上的动量矩。
F 0 P 0
M 0 L 0
形式上完全相同，所以记忆上就可简化。从动量定理变换到 角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。
角动量定理公式
角动量定理公式
牛顿第二定律描述了物体运动的基础定律，牛顿第二定律表明物体在受到力的作用下，它的运动对外界力具有相应的反应，即保持状态不变就是物体不会自动移动。
牛顿第二定律从另一个方面更好地描述了物体运动，即角动量定理：物体运动时，角动量是保持不变的，即角动量守恒定律。
角动量定理定义为：质点系统在任何时刻的角动量是一个守恒量，不会受外界的改变而改变，即不会由于内部及外部的力而改变。
用数学符号表示该定理就是：L=L0。
其中，L表示物体角动量的量，L0表示同一时刻物体的总的角动量的初始量。
角动量定理在实际应用中也具有重要的意义，可以说物体的角动量是物体运动的重要参数，在实际的机械应用中神经元行为被证明物体上外力对物体角动量的作用在该定理中得到了完整的描述和表现。
推广一下角动量定理，我们可以证明角动量定理从力学基础的角度阐述的不仅是物体的状态，也表明了在物体运动中，物体的局部运动状态会受到整体运动的限制，这也是物体的自身结构所决定的，角动量定理也完整地反映了这一点。
在实际应用中，角动量定理可以帮助我们快速解决物体运动的相关问题，有助于精确描述物体运动及其受外力影响时形成的物理参数变化，也可以提高计算机实现物体运动模拟的准确率。
总之，角动量定理是物体运动学中一个非常关键的定理，对于探究物体运动的机理和运动规律有重要的意义。
它的应用可以顺利解决很多实际中存在的问题，也可以提升模拟物体运动的精度。
角动量定理是物理定律研究中最为重要的一个定理，它更好地描述了物体运动，为研究物体运动提供了重要的线索。
角动量定律
由①、②解得:
M m 2π mM
M
m 2p mM
(2) 由机械能守恒定律得：
1 1 2 m( Rw m ) M ( Rw M ) 2 E0 2 2
R M m
wm M 将①式 代入上式，有 wM m
wM
2mE0 1 R M (m M )
小球从射出到碰撞经过的时间为:
M 2pm R (m M ) M t wM m M 2m E0
M
m 2p mM
质点在有心力场中的运动
• 有心力：方向始终指向或背 向一个固定中心的力，该固 定中心称为力心，记为O。 一般情况下，有心力的大小 仅与参考点到力心O的距离 有关，即
f
r
O
ˆ r m1m2 q1q2 f f (r )r0 ; 如 : f G 2 r0 , f k 2 r0 r r • 有心力场：有心力存在的空间，为保守力场
1 1 1 2 2 ( m m0 )v1 ( m m0 )v k ( l l0 )2 ( 3 ) 2 2 2
O
l
B
v
v0
l0
A
m
m0
2
m v k ( l l0 ) v 2 ( m m0 ) m m0
2 2 0
sin
1 2 2 0
2 1 Mdt 1 dL L2 L1 L 2 冲量矩： Mdt
2
1
质点所受合力矩的冲量等于质点角 动量的增量。
2、质点系角动量定理： 质点系的角动量 L Li ri pi ri mi vi
dLi dL d Li dt ri ( Fi fi ) M e M i dt dt 转动动力 dL Me 内力fi 对总力矩的贡献为零 学方程 dt
角动量及角动量定理
dL
vi
mivi
ri
L r p
Fi Mi
～角动量
dt
在惯性系中，作用于质点的合外力对某定点的力矩 等于质点对该点的角动量的时间变化率。
1
二、质点的角动量守恒定律
M 0 M
dL dt
t2
M
d
t
t
1
t2 t
d
L
0
L2
L1
1
在惯性系中，如果作用于质点的合外力对某定点的 力矩恒为零，则质点对于该点的角动量恒定。
例六：对于质量为 m 的质点的匀速直线运动的情形。
解①：如图选择惯性系中的定点，
r
M 0 L r mvsin mvh o
解②：如图选择惯性系中的定点，
mv
h
M 0 L r mvsin 0
r
mv
2
三、质点系的角动量定理及其守恒定律 i fij
1. 角动量定理：
ri
Mi ri(Fi
i j
fij
)
d Li dt
f ji
o
rj
j
ri f ij
M
rj f ji Mi
ri f ij r j ri Fi
f ij
d Li dt
( ri d
dt
(
r j)
Li)
f ij
0 dL dt
在惯性系中，作用于质点系的诸外力对某定点的力 矩和等于各质点对该点的角动量和的时间变化率。
§2.3 角动量定理及角动量守恒定律
一、质点的角动量定理
对于标量，定义了第一质量矩： miri M rc
对于矢量，有力矩：Mi
ri F
第八章 角动量定理 PPT
人沿盘的边缘跑， 盘却反方向转动
当直升飞机机翼旋转 起来时，由角动量守 恒知机身将发生反向 的旋转，为了稳定机 身，常在直升飞机的 尾部加上一尾翼。还 可在直升飞机上加双 重反向旋转的机翼。 其目的之一都是为了 保持机身的稳定。
直升 飞机 的旋 转机
翼
在跳水运动员的跳水过程， 运动员从跳板向前跃起时， 绕一通过质心的水平轴有 一角速度，从而具有绕通 过质心的水平轴的角动量。
在空中时，他把手和腿都收
缩到靠近身体质心的位置， 使转动惯量迅速减小，由 于角动量守恒，使角速度 迅速增加，以便在空中多 翻几圈。快接近水面时， 他把身体伸直，以便加大 转动惯量，减小角速度， 从而平稳地入水。
1-支架，2-可转动的
1 外环，3-可相对外环
2
转动的内环，4 -装在 内环中的回转仪转子。
宇宙中天体运动遵守角动量守恒
在宇宙中天体间的作用是引力。 引力是有心力，其力矩等于零。 在宇宙中天体的运动都遵守角动量守恒。
开普勒第二定律
行星对太阳的矢径在相同的时间内扫过的 面积相等。
开普勒第二定律的实质是角动量守恒。
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的星系m74
§8-2 角动量守恒定律与空间 旋转对称性
3 转轴光滑，无外力矩。
4 由于角动量守恒，回 转仪的转轴方向将固 定不变。因此它被广 泛地安装在飞船、飞
机、轮船导弹上，起 导航的作用。
由于地球自转时，不受外力矩的作用， 满足角动量守恒，其转轴总是指向同一 方向——北极星。地球还绕太阳以一定 轨道公转，其自转轴和公转轴方向不一 致，自转轴与公转平面的垂线成23.50。 由于地球自转轴方向恒定不变，地球的 北极有时偏向太阳。六个月以后，它又 偏离太阳，故地球上出现明显的四季。 夏天，阳光几乎与北半球球面垂直，而 冬天的阳光倾斜厉害，故夏热冬冷。
大学物理-角动量定理和角动量守恒定律
系统内物体之间的相互作用力矩不会改变系统的 总角动量。
角动量守恒的应用举例
天体运动
行星绕太阳公转、卫星绕地球运 行等天体运动中，角动量守恒定
律是重要的理论基础。
陀螺仪
陀螺仪利用角动量守恒原理，通过 高速旋转来保持方向稳定，广泛应 用于导航、制导和控制系统。
机械系统
在机械系统中，如旋转机械、齿轮 传动等，角动量守恒定律用于分析 系统的动态平衡和稳定性。
04 角动量定理与守恒定律的 实际意义
在天文学中的应用
描述行星和卫星的运动
角动量定理和守恒定律在天文学中用于描述行星和卫星围绕中心天体的运动。 这些定律帮助科学家理解天体的旋转和轨道运动，以及它们之间的相互作用。
预测天文现象
通过应用角动量定理和守恒定律，科学家可以预测天文现象，如行星的轨道变 化、卫星的旋转等。这些预测有助于更好地理解宇宙的演化。
在航天工程中的应用
航天器姿态控制
角动量定理和守恒定律在航天工程中用于控制航天器的姿态 。通过合理地布置航天器上的动量轮，可以调整航天器的角 动量，实现姿态的稳定和控制。
L = m × v × r，其中L是 角动量，m是质量，v是 速度，r是转动半径。
角动量单位
在国际单位制中，角动量 的单位是千克·米²/秒 (kg·m²/s)。
角动量定理表述
角动量定理
01
对于一个封闭系统，其总角动量保持不变，即系统内力的力矩
之和为零。
表述形式
02
dL/dt = ΣM = 0，其中dL/dt表示角动量的时间变化率，ΣM表
角动量守恒的应用
角动量守恒定律在许多物理现 象中都有应用，如行星运动、 陀螺仪等。
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直升 飞机 的旋 转机
翼
在跳水运动员的跳水过程， 运动员从跳板向前跃起时， 绕一通过质心的水平轴有 一角速度，从而具有绕通 过质心的水平轴的角动量。
在空中时，他把手和腿都收
缩到靠近身体质心的位置， 使转动惯量迅速减小，由 于角动量守恒，使角速度 迅速增加，以便在空中多 翻几圈。快接近水面时， 他把身体伸直，以便加大 转动惯量，减小角速度， 从而平稳地入水。
§8-1 角动量定理和 角动量守恒定律
8.1.1 角动量、 角动量定理 8.1.2 角动量守恒定律 8.1.3 自然界中的角动量守恒现象
谈谈角动量
人们对角动量这个物理量的认识和应用比较 晚，18世纪在力学中才开始定义和应用它， 直到19世纪才把它看成力学中最基本的概念 之一。
角动量与动量、能量一起成为力学中最重要 的概念之一的原因是：角动量的概念与自然 界中普遍存在的物体的转动有关，大到星系， 小到粒子如：电子、中微子等都具有转动的 特性；更重要的原因在于很多情况下角动量 服从守恒定律。角动量守恒定律是自然界中 最基本、最普遍的规律之一。
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的星云m33
§8-2 角动量守恒定律与空间 旋转对称性
8.2.1 空间旋转对称性 8.2.2 角动量守恒与空间 旋转对称性
角动量守恒与空间旋转对称性
用一套实验装置做实验， 把实验装置旋转某一角度， 所得的实验结果是不会改 变的，这就是空间的各向 同性，或说空间的旋转对 称性。
宇宙中天体运动遵守角动量守恒
在宇宙中天体间的作用是引力。 引力是有心力，其力矩等于零。பைடு நூலகம் 在宇宙中天体的运动都遵守角动量守恒。
开普勒第二定律
行星对太阳的矢径在相同的时间内扫过的 面积相等。
开普勒第二定律的实质是角动量守恒。
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的仙女座星云
宇宙中角动量守恒的表现 ——涡旋的星系m74
惯性导航装置——回转仪
1-支架，2-可转动的
1 外环，3-可相对外环
2
转动的内环，4 -装在 内环中的回转仪转子。
3 转轴光滑，无外力矩。
4 由于角动量守恒，回 转仪的转轴方向将固 定不变。因此它被广 泛地安装在飞船、飞
机、轮船导弹上，起 导航的作用。
角动量守恒与地球的四季
角动量守恒与地球的四季
由于地球自转时，不受外力矩的作用， 满足角动量守恒，其转轴总是指向同一 方向——北极星。地球还绕太阳以一定 轨道公转，其自转轴和公转轴方向不一 致，自转轴与公转平面的垂线成23.50。 由于地球自转轴方向恒定不变，地球的 北极有时偏向太阳。六个月以后，它又 偏离太阳，故地球上出现明显的四季。 夏天，阳光几乎与北半球球面垂直，而 冬天的阳光倾斜厉害，故夏热冬冷。
与空间各向同性相对应的 守恒定律是角动量守恒定 律，它也是自然界中的基 本规律之一。
思考题
8-1、简述角动量守恒定律，举出你所观 察到的现象，并给以说明。
8-2、试用角动量守恒说明地球上有春夏 秋冬之分的原因。
8-3、举出在天体运动中角动量守恒的表 现。
8-4、试解释宇宙中星云的旋转盘状结构 的成因。
角动量守恒的表现
为什么当把哑铃收 拢在胸前时，女孩 的旋转速度加快？ 你在冰上运动和芭 蕾舞表演中看到过 类似的现象吗？
人沿盘的边缘跑， 盘却反方向转动
直升飞机加尾翼的作用
当直升飞机机翼旋转 起来时，由角动量守 恒知机身将发生反向 的旋转，为了稳定机 身，常在直升飞机的 尾部加上一尾翼。还 可在直升飞机上加双 重反向旋转的机翼。 其目的之一都是为了 保持机身的稳定。
是什么使角动量改变？是力矩
力矩M的定义： 力矩等于力f 和力的作用点相对
一固定点的位矢r 的叉乘。
刚体转动力矩
力矩M的大小等 于力f 和力臂d的 乘积，它的方向 由右手定则决定。
角动量定理
物体（系）的角 动量对时间的变 化率等于它（们） 所受到的外力矩
角动量守恒定律
当系统不受外力矩或所受的合外力矩 为零时，系统的总角动量保持不变。
质点绕定点转动的角动量
设有一个质量为m的质点位于A点， 该点相对空间一定点O的位置矢量为r， 质点的速度为v，动量为mv，定义质点 对O点的角动量L为
质点绕定点转动的角动量
质点作圆周运动的角动量
刚体绕定轴转动的角动量
刚体定轴转动的角 动量L等于刚体对 定轴的转动惯量J和 角速度ω的乘积
L = Jω