数学建模第五讲

（5.1.10）
下面介绍确定参数 的两种方法。
方法一利用已知介质（环境）温度 下物体在最初时间段 其温度下降度数为 这一条件来确定 。此时有
将其代入到（5.1.9）式中，有
解得
于是得
（5.1.11）
（5.1.12）
方法二利用在现场过一段时间增加一次温度测定从而增加一个条件的方法来确定 ，记 为在时刻 物体再一次被测定的温度，将其代入到（5.1.9）式中，有
（案发时刻 的人梯的正常体温）
（室内环境（介质空气）温度）
（尸体在最初2小时其温度下降的度数）
（刑侦人员和法医赶到现场第一次测得的尸体温度），
（分钟）
代入（5.1.12）式，得
（分钟）
于是
结果表明，这一凶杀案致受害者死亡的案发时间大约在当天上午7：31左右。
例4（马王堆一号墓入葬年代的测定问题）湖南省长沙市马王堆一号墓于1972年8月发掘出土，其时测得出土的木炭标本中碳—14平均原子蜕变数29.78次/分钟，而新烧成的同种木炭标本中碳—14（C—14）平均原子蜕变数38.37次/分钟，又知碳—14的半衰期为5730年，试由此推断入葬的大致年代。
二、测定含放射性元素材料年龄的原理
测定油画（岩石，化石等）的原理关键是本世纪初发现的放射性现象。
英国著名物理学家Rutherford(卢瑟福)在本世纪初发现：某些放射性元素的原子是不稳定的，并且在已知的一段时间内，有一定比例的原子自然蜕变而形成新元素的原子，并且物质的放射性与所存在物质的原子数称正比。
记N(t)为t时刻存在的原子数，则 为单位时间内蜕变的原子数，因此有
，
(新木炭标准中碳—14原子蜕变数)，
（出土的木炭标本中碳—14原子蜕变数）
代入到（5.1.17）式,得
于是得
结果表明,马王堆墓入葬年代大约在公元前123年左右的西汉中期，该结论与马王堆出土文物的考证结果相一致。
本例中所显示出的运用碳—14衰变来测定文物或化石年代的方法叫做碳定年代法。
5.2 减肥的数学模型25分钟
问题分析该问题归结为物理上的冷却现象，需要运用Newton冷却定律“物体在介质中的冷却速度同该物体温度与介质温度之差成正比”来解决。由于速度刻画的是物体在某时刻的变化率，涉及导数的概念，因此反映在数学模型上必然可以运用微分方程来建模。
模型建立现就一般情形考虑，记 为时刻t物体的温度， 为初始时刻 物体的温度（本例中为受害者被害时的体温）， 为介质（环境）温度，则由Newton冷却定律可得一阶线性微分方程模型
(5.1.8)
其中 为比例系数，由物体和介质的性质来决定，而负号则表示温度是下降的。
模型求解对数学模型（5.1.8）分离变量法求解，易得
（5.1.9）
这就是物体冷却过程中物体温度随时间变化的函数关系。在根据物体和介质的性质确定 值后，利用 与 值已知的条件，由（5.1.9）式就可以得到便于应用的形式
整理得 （5.1.2）
此即为物体运动过程中的数学模型，它是一个二阶微分方程。
模型求解令 则
以之代入（5.1.2）式，有
分离变量得
积分得
再代入初始条件 ，可得
故
由于物体达到最大高度时， ，所以由
解得物体的最大高度为
（5.1.3）
如果物体要脱离地球引力而进入太阳系，必须 ，由（5.1.3）式知，此时必有 ，所以应取
解得
于是得
（5.1.13）
（5.1.14）
显然，方法一是方法二的特殊情形，如果已经有通过试验而列出的在不同介质（环境）温度状况下物体在最初时间段其温度下降的度数表，那么通过查这种表立知时刻以及温度下降速度，因而就利用方法一来确定，可以减少再一次测定物体温度的手续。
现在对本例运用方法一求解计算，将具体数据
为审理这一案件，法庭组织了一个由化学家、物理学家、艺术史学家组成的陪审团。科学家采用了当时最先进的科学方法，终于在其中几幅画发现了本世纪初才有的某些有机化合物（酚醛类人工树脂），判定几幅画确系伪造，并由此判定Van Meegren伪造罪成立，判刑一年，Van Meegren在监狱心脏病突发，于1947年12月30日去世。
两边同除以 ，并令 ，得初值问题
（5.1.6）
这就是乙桶中盐含量的数学模型。
将 代入（3.1.6）并整理得
（5.1.7）
求解此一阶线性微分方程，得
所以任意时刻，乙桶内盐水的浓度为
例3（凶杀作案时间的推断问题）某天在一住宅发生一起凶杀案，下午16：00刑侦人员和法医赶到现场，立即测得尸体温度为 ,室内环境温度为 。已知在环境温度 状况下尸体在最初2小时其温度下降 ，若假定室内环境基本上为恒温，试推断这一凶杀作案的时间。
5.1微分方程的简单应用问题40分钟
模型建立记地球半径为R，假设空气阻力不计。
设在t时刻物体上升的高度为 （即离开地面的高度），则根据Newton万有引力定律知，物体受地球的引力为
（ ） (5.1.1)
其中 为比例系数。
因为当物体在地面上时， ，即
故
所以
又物体在上升过程中满足Newton第二定律
所以
（5.1.15）
其中 称为衰变系数，由放射性物质所决定， 为生物体在死亡时刻 时的碳—14含量。
模型求解对所得的一阶线性微分方程模型（5.1.15）采用同变量分离法求解，得
由于 时，有
代入上式，有
所以得
（5.1.16）
这就是生物体中碳—14的含量随时间衰变的规律，由之易解得
（5.1.17）
将所得的数学模型的一般解应用于本例，此时以
每天净吸收脂肪量= ，每天每kg体重净消耗脂肪量= ，进而知在 到 时间内体重的变化为
由此得到体重变化的数学模型为
（5.2.1）
五、模型求解
运用变量分离法，解方程（5.2.1），有
利用初始条件 得
于是得
（5.2.2）
注意到（5.2.2）两端同号，指数因式为正，因此 与 同号，故有
解得
（5.2.3）
下面作进一步的分析，对（5.2.3）求导得
（5.2.4）
由（5.2.1）、（5.2.3）、（5.2.4）可以对减（增）肥效果分析如下：
（1）若 ，即每天净吸收大于当初总消耗，
则体重增加；
（2）若 ，即每天净吸收小于当初总消耗，
则体重减少；
（3）若 ，即每天净吸收deng于当初总消耗，
则体重不变；
（4）由（5.2.3）知
上述分析结果表明，只要适当控制a（进食）、b（新陈代谢）、 （生活）, （体育锻炼），要使体重控制在某个范围是可能的，而且从数学上看， 衰减得很快，一般在有限时间内（3--4个月）体重就近似等于 。因此要减肥，要减少a，增大b、 、 。有必要指出，市场上某些减肥药可能在b（新陈代谢）上做文章，从而具有某种速效，然而人们的新陈代谢不能违反生理规律，所以某些药物强制性大幅度改变人们的新陈代谢对人们的身体造成了不良后果。正确的减肥策略最主要是有一个良好的饮食、工作、锻炼的习惯，即要适当控制a及 。当然，对于少量肥胖者和运动员来说，研究不伤身体的新陈代谢的改变也是必要的。
建立微分方程模型需对研究对象作具体分析，一般有以下三种方法：一是根据问题所遵循的规律（如电学、热学、力学、物理学）建模；二是用微元法建模，即分析微元之间的关系式；三是用模拟近似法建模。
建立微分方程模型只是解决问题的第一步。通常要求出方程的解来说明实际现象，并用以检验。如果能得到解析形式的解固然便于分析和应用，但许多方程是求不出解析解的，因此研究其稳定性和数值解法也是十分重要的方法。
5.3 名画“Emmaus (艾牟斯)的信徒们”伪造案时解放后，荷兰保安机关开始搜捕纳粹的合作者，于1945年5月以通敌罪逮捕了一名三流画家Van Meegren(范.梅格伦)，此人曾将荷兰17世纪著名绘画家Jan Vermeer的名画盗卖给德寇。
可是，Van Meegren被捕后于同年7月宣称他从没出卖过荷兰的利益，所有画是伪造的。为了证明，他开始在牢内作画，当快要完成时，他得悉通敌罪会变为伪造罪，为逃避判决，他拒绝完成，指望别人不会发现他使复制品老化的秘密。
事情并未到此结束，其余的画是不是赝品？事实上，在此之前有的画已经被著名鉴定家认定为真迹，“Emmaus的信徒们”被Rembradt以高达17万美元买去。专门小组解释为这些伪造品是Van Meegren开始伪造时为了成名之作，当他有了杰作后，后来就不用心了。这种解释不能令怀疑者满意他们要求用科学方法证明。这一问题悬而未决了20年，直到1967年，Carnegie Mellon University(卡内基.梅伦大学)的科学家才通过建立一阶常微分方程数学模型，证明“Emmaus的信徒们”确系赝品，了结了这一公案。
模型建立与求解设 分别表示t时刻甲、乙两桶内盐的数量。
先分析甲桶：任取一段时间 ，则该时段甲桶内盐的改变量为
两边同除以 ，并令 ，得初值问题
（5.1.5）
这就是甲桶中盐含量的数学模型。
对（5.1.5）式分离变量并积分，可得
它表示甲桶内盐的变化，显然甲桶中盐水在稀释。
现分析乙桶：同理在任意时间段 内乙桶内盐的改变量为
一、问题的提出
随着生活水平的提高，普通百姓减肥之风日盛，但是众多的减肥食品几乎让人不知所措，有些甚至对身体产生危害，迫切需要考虑如何建立减肥的数学模型以便进行指导？
二、问题分析
各种族不同性别的人都有自己的体重标准。对亚洲人来说，超过标准体重的20%视为肥胖，肥胖从某种意义上就是脂肪过多。如果吸收了过多的热量，则这些热量就会转化为脂肪而使体重增加。为了减肥似乎应该不吃或少吃，但为了维持生命，就必须摄入一定的热量以进行必要的新陈代谢、学习、工作。因此，减肥应基于对饮食、新陈代谢、学习、工作这些关系的正确分析上，选择适当的方法进行。减肥模型的建立就由此入手。
内容
备注
数学建模课程教案