1基本概念

1 基本概念：
单位上三角阵即为主对角线元素为1的上三角矩阵。

对称矩阵正定的充分必要条件是矩阵的各阶主子式都为正。

2 矩阵分解
将数域P 上的某个已知矩阵写成若干个满足一定条件的特殊类型矩阵之和或矩阵之积的形式，将这种矩阵表示成为矩阵的分解。

矩阵分解可以使矩阵的结构简洁明了，从而减少矩阵的各种相关运算量。

3 矩阵的三角分解
若A 为n 阶方阵，如存在单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U 使得
A LU = (1)
则称A 可以进行三角分解。

矩阵三角分解的存在唯一性可表述如下：
设A 为n 阶非奇异矩阵，则A 可唯一的分解为一个单位下三角矩阵L 和一个上三角矩阵U 的乘积充分必要条件是A 的所有顺序主子式均不为零。

4 Cholesky 分解
设A 为对称正定矩阵,则存在唯一的三角分解：
T A LL = (2)
其中L 为下三角阵，且对角元大于零。

4.1 Cholesky 分解的计算公式
利用Cholesky 分解容易求得下三角阵L 的元素，用L ij 表示L 的元素，且i<j 时，有
L ij =0 。

由矩阵的乘法可得：
1
,j
ij ip jp p a l l i j ==≥∑ (3)
由上式自左至右逐列计算待定元素ij l ，可得计算公式： 对于j=1，2，…，n ，有
11
221
()j jj jj jp
p l a l -==-∑ (4)
1
1
,1,,,j ij ip jp
p ij jj
a l l l i j n j n l -=-=
=+⋅⋅⋅≠∑ (5)
4.2 cholesky 分解实例
P 为一3阶对称正定阵，对其进行cholesky 分解，得到T
P CC =
2
1121
311111111121113122
2122322122
2122112121212131223222231
32
333132333132
331131
21313132330
00
000T
T
p p p c c c c c c c p p p c c c c c c c c c c c c p p p c c c c c c c c c c c c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 根据各个元素对应相等的关系，可以利用公式（4）、（5）求得矩阵C 的各个元素。

Cholesky 分解用于求解方程组或是求逆，降低了存储空间，只需存储矩阵的n(n+1)/2个元素，而且计算量小，但是要进行开方运算。

5 LD 分解（modified cholesky decomposition ）算法
对称正定矩阵P 可被分解为P=LDL^，其中L 为单位下三角矩阵，D 为对角矩阵，称之为LD 分解或修正Cholesky 分解。

记
111
1111121222
11
1111123111111,,n n n nn l d a a a l l d a a a A L D l l l d a a a ⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤
⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅⋅⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎣⎦⎣⎦⎣
⎦
ii l =1（i=1，2，…，n ）。

由矩阵的乘法可得： 1
,j
ij ik jk k k a l l d i j ==≥∑ (6)
当j=i 时，由上式可得矩阵D 的元素：
1
2
1,1,2,
,i i ii ik k k d a l d i n -==-=∑ (7)
当j<i 时，有
1
1
j ij ik jk k ij jj j k a l l d l l d -==+∑ (8)
可得矩阵L 的元素：
1
1
()/j ij ij ik jk k j k l a l l d d -==-∑ (9)
矩阵的LD 分解可以解决矩阵运算过程中的舍入误差带来的病态性问题，能够提高数值
解的稳定性和可靠性并且存储空间小，计算效率高。