(word完整版)高三数学总复习正弦定理和余弦定理教案
《3.7第七节 正弦定理和余弦定理》 教案
教学过程课堂导入三角形是最基本的几何图形．三角形中的数量关系，有着极其广泛的应用．在初中，我们已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的测量问题．在实际工作中，我们还会遇到许多其它的测量问题，这些仅用锐角三角函数就不够了．如：1．怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？2．怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？3．怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？4．怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？5．怎样确定航向，才能在航速一定的情况下，尽快与一运动的物体(如轮船)相遇？等等．研究这些问题显然需要明白三角形中的边长与角度之间的数量关系，那么本次课我们就来发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并将它们融入已有的知识体系．复习预习回忆在三角函数中学过的公式A.三角函数诱导公式：B.三角函数的两角和或差公式：C.三角函数的二倍角公式：D.三角函数的辅助角公式：知识讲解考点1 正弦定理和余弦定理考点2 在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sin A＜a＜b a≥b a＞b a≤b解的个数一解两解一解一解无解例题精析【例题1】【题干】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos A－2cos Ccos B＝2c－a b.(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B＝14，△ABC的周长为5，求b的长．【解析】(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k ， 则2c －a b ＝2k sin C －k sin A k sin B ＝2sin C －sin A sin B ，所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin Asin B，即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， 化简可得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )．又因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A .因此sin Csin A ＝2. (2)由sin C sin A ＝2得c ＝2a .由余弦定理及cos B ＝14得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋4a 2－4a 2×14＝4a 2. 所以b ＝2a .又a ＋b ＋c ＝5，从而a ＝1.因此b ＝2.【例题2】【题干】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2a sin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.(1)求角A的大小；(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．【解析】∵2a sin A ＝(2b －c )sin B ＋(2c －b )sin C ， 得2a 2＝(2b －c )b ＋(2c －b )c ，即bc ＝b 2＋c 2－a 2， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝60°. (2)∵A ＋B ＋C ＝180°， ∴B ＋C ＝180°－60°＝120°.由sin B ＋sin C ＝3，得sin B ＋sin(120°－B )＝3， ∴sin B ＋sin 120°cos B －cos 120°sin B ＝ 3. ∴32sin B ＋32cos B ＝3，即sin(B ＋30°)＝1. 又∵0°＜B ＜120°，30°＜B ＋30°＜150°， ∴B ＋30°＝90°，即B ＝60°.∴A ＝B ＝C ＝60°，∴△ABC 为正三角形．【例题3】【题干】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a cos C＋3a sin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.【解析】(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π6＝12.又0＜A ＜π，故A ＝π3.(2)△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3，故bc ＝4.而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.解得b ＝c ＝2.【例题4】【题干】(2012·江西高考)(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知A ＝π4，b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a .(1)求证：B －C ＝π2；(2)若a ＝2，求△ABC 的面积．【解析】(1)证明：由b sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －c sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝a ，应用正弦定理，得sin B sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋C －sin C sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋B ＝sin A ，sin B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin C ＋22cos C －sin C 22sin B ＋22cos B ＝22，⇨(3分) 整理得sin B cos C －cos B sin C ＝1，即sin(B －C )＝1，⇨(5分)由于0<B ，C <34π，从而B －C ＝π2.⇨(6分)(2)B ＋C ＝π－A ＝3π4，因此B ＝5π8，C ＝π8.⇨(8分)由a ＝2，A ＝π4，得b ＝a sin B sin A ＝2sin 5π8， c ＝a sin C sin A ＝2sin π8，⇨(10分)所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝2sin 5π8sin π8＝2cos π8sin π8＝12.⇨(12分)课堂运用【基础】1．(2012·上海高考)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是() A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定解析：选A由正弦定理得a2＋b2＜c2，故cos C＝a2＋b2－c22ab＜0，所以C为钝角．2．在△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()A.32 B.332C.3＋62 D.3＋394解析：选B由余弦定理得：(7)2＝22＋AB2－2×2AB·cos 60°，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，故BC边上的高是AB sin 60°＝33 2.3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝()A.725B．－725C．±725 D.24 25解析：选A 由C ＝2B 得sin C ＝sin 2B ＝2sin B cos B ，由正弦定理及8b ＝5c 得cos B ＝sin C 2 sin B ＝c 2b ＝45，所以cos C ＝cos 2B ＝2cos 2 B －1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.【巩固】4．(2012·福建高考)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．解析：依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a,2a(a＞0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋2a2－2a22a·2a＝－24.答案：－245．在△ABC中，D为边BC的中点，AB＝2，AC＝1，∠BAD＝30°，则AD的长度为________．解析：延长AD到M，使得DM＝AD，连接BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形．在△ABM中，由余弦定理得BM2＝AB2＋AM2－2AB·AM·cos∠BAM，即12＝22＋AM2－2·2·AM·cos 30°，解得AM＝3，所以AD＝32.答案：32【拔高】6．已知A、B、C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a、b、c，且2cos2A2＋cos A＝0.(1)求角A的值；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．解：(1)由2cos2A2＋cos A＝0，得1＋cos A＋cos A＝0，即cos A＝－12，∵0<A<π，∴A＝2π3.(2)由余弦定理得，a2＝b2＋c2－2bc cos A，A＝2π3，则a2＝(b＋c)2－bc，又a＝23，b＋c＝4，有12＝42－bc，则bc＝4，故S△ABC＝12bc sin A＝ 3.7．(2012·江苏高考)在△ABC中，已知AB·AC＝3BA·BC.(1)求证：tan B＝3tan A；(2)若cos C＝55，求A的值．解：(1)因为AB ·AC ＝3BA ·BC ，所以AB ·AC ·cos A ＝3BA ·BC ·cos B ，即AC ·cos A ＝3BC ·cos B ， 由正弦定理知AC sin B ＝BCsin A ，从而sin B cos A ＝3sin A cos B ，又因为0＜A ＋B ＜π，所以cos A ＞0，cos B ＞0，所以tan B ＝3tan A . (2)因为cos C ＝55，0＜C ＜π，所以sin C ＝1－cos 2C ＝255，从而tan C ＝2，于是tan[π－(A ＋B )]＝2，即tan(A ＋B )＝－2， 亦即tan A ＋tan B 1－tan A tan B＝－2.由(1)得4tan A1－3tan 2A＝－2， 解得tan A ＝1或－13，因为cos A ＞0，故tan A ＝1，所以A ＝π4.课程小结(1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A>B⇔a>b⇔sin A>sin B.(2)在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝b sin A b sinA<a<ba≥b a>b 解的个数一解两解一解一解。
高中数学高三第三章正弦定理、余弦定理【教案】
§3.7正弦定理、余弦定理1．正弦、余弦定理在△ABC中,若角A，B，C所对的边分别是a，b,c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容错误!＝错误!＝错误!＝2R a2＝b2＋c2－2bc cos A；b2＝c2＋a2－2ca cos B; c2＝a2＋b2－2ab cos C变形（1）a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sinC；（2）sin A＝错误!,sin B＝错误!，sin C＝错误!；(5）cos A＝错误!cos B＝错误!；cos C＝错误!(3）a ∶b ∶c ＝sinA ∶sinB ∶sinC ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sinC ＝c sin B ，a sin C ＝c sin A2.S △ABC ＝12ab sin C ＝错误!bc sin A ＝错误!ac sin B ＝错误!＝错误!(a ＋b ＋c )·r （r是三角形内切圆的半径），并可由此计算R 、r 。
3．在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a 〈b a ≥b a 〉b解的个数一解 两解 一解 一解【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√"或“×"）（1）在△ABC中，A>B必有sin A>sin B．（√）（2）若满足条件C＝60°，AB＝错误!，BC＝a的△ABC有两个，那么a的取值范围是（3，2)．( √）(3）若△ABC中,a cos B＝b cos A，则△ABC是等腰三角形．( √) (4）在△ABC中，tan A＝a2,tan B＝b2，那么△ABC是等腰三角形．( ×)（5）当b2＋c2－a2〉0时,三角形ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时,三角形为直角三角形;当b2＋c2－a2<0时，三角形为钝角三角形．（×）（6）在△ABC中，AB＝错误!，AC＝1，B＝30°，则△ABC的面积等于错误!.（×)1．（2013·湖南改编）在锐角△ABC中，角A,B所对的边长分别为a，b，若2a sin B＝3b，则角A＝。
(完整word)高中数学余弦定理教案
1、1、 2 余弦定理一、【学习目标】1．掌握余弦定理的两种表示形式及其推导过程；2．会用余弦定理解决详细问题；3．经过余弦定理的向量法证明领会向量工具性．【学习成效】：教课目的的给出有益于学生整体的掌握讲堂.二、【教课内容和要求及教课过程】阅读教材第 5—7 页内容，而后回答以下问题（余弦定理）<1>余弦定理及其推导过程？<2>余弦定理及余弦定理的应用？结论：<1>在中，AB、BC、CA的长分别为c、a、b．由向量加法得：<2>余弦定理：三角形任何一边的平方等于其余两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．余弦定理还可作哪些变形呢？[ 理解定理 ]（1）余弦定理的基本作用为：①已知三角形三边求角；②已知两边和它们的夹角，求第三边。
[ 例题剖析 ]例1评论：五个量中两边及夹角求其余两个量。
例 2 评论：已知三边求三角。
【学习成效】：学生简单理解和掌握。
三、【练习与稳固】依据今日所学习的内容，达成以下练习练习一：教材第 8 页练习第1、 2 题四、【作业】教材第 10 页练习第3---4题.五、【小结】（1）余弦定理合用任何三角形。
（2）余弦定理的作用：已知两边及两边夹角求第三边；已知三边求三角；判断三角形形状。
（ 3）由余弦定理可知六、【教课反省】本节课要点理解余弦定理的运用.要求记着定理。
习题优选一、选择题1．在中，已知角则角 A 的值是（）A．15°B．75°C．105°D．75°或 15°2．中，则此三角形有（）A．一解 B ．两解 C ．无解 D ．不确立3．若是（）A．等边三角形B．有一内角是30°C．等腰直角三角形D．有一内角是30°的等腰三角形4．在中，已知则AD长为（）A．B．C．D．5．在，面积，则BC长为（）A．B．75 C ．51D．496．钝角的三边长为连续自然数，则这三边长为（）A． 1、2、3、B．2、3、4C． 3、 4、5D． 4、 5、67．在中，，则A等于（）A．60°B．45° C ．120°D．30°8．在中，，则三角形的形状为（）A．直角三角形B．锐角三角形C．等腰三角形 D ．等边三角形9．在中，，则等于（）A．B．C．D．10．在中，，则的值为（）A．B．C．D．11．在中，三边与面积S的关系式为则角C为（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．在中，是的（）A．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件二、填空题13．在中，，则14．若的三个内角成等差数列，且最大边为最小边的 2 倍，则三内角之比为 ________。
高考数学复习知识点讲解教案第27讲 余弦定理、正弦定理
（2） 若，求 的周长的取值范围.
［思路点拨］根据正弦定理，结合三角恒等变换将三角形的周长转化为正弦型三角函数，利用正弦型三角函数的性质求 周长的取值范围即可.
解： 由正弦定理得，则 ,，又 ,，所以，又 为锐角三角形，所以，，则 ，所以 ，因为，所以，则 ，所以，即的周长的取值范围为
[总结反思]破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是角往边化,从而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值范围或最值问题转化为三角函数问题,利用三角函数的单调性进行求解,或利用基本不等式、三角函数的有界性进行求解.
［思路点拨］先由余弦定理求出，然后由正弦定理求解 即可.
[பைடு நூலகம்结反思]
（1）正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程（组），通过解方程（组）求得未知元素.（2）正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系.
微点2 多三角形背景解三角形
例4 [2023·新课标Ⅱ卷] 记的内角，，的对边分别为,, ，已知面积为，为的中点，且 .
（1） 若，求 ；
［思路点拨］思路一：利用三角形的面积公式求出，再利用余弦定理求得 ，进而可得，从而求得的值；思路二：利用三角形的面积公式求出 ，作出 边上的高，利用直角三角形的性质求解即可.
高中数学正余弦定理教案模板(精选7篇)-最新
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如何把教案做到重点突出呢？这里给大家分享一些关于高中数学余弦定理教案，方便大家学习。
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余弦定理教案篇一今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。
下面我分别从教材分析。
教学目标的确定。
教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。
一、教材分析本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书《数学》必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。
平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。
本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。
在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。
二、教学目标的确定基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。
引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有：1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题；2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力；3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、三、教学方法的选择基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据《学记》中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。
(完整版)《余弦定理》教案完美版
《余弦定理》教案(一）教学目标1．知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题.2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论,并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值:培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系,来理解事物之间的普遍联系与辩证统一.（二）教学重、难点重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；难点:勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用.(三）学法与教学用具学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角教学用具:直尺、投影仪、计算器(四）教学设想［创设情景］ C 如图1．1—4，在∆ABC 中,设BC=a ，AC=b,AB=c ，已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B（图1．1-4）[探索研究］联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求,发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题,从而可以考虑用向量来研究这个问题. A如图1．1-5,设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则 b c()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b =⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ C a B从而 2222cos c a b ab C =+- (图1．1—5）同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+-于是得到以下定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
正弦定理和余弦定理教案
cos A cos B cos C
(三) 理解定理 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
例题： 例 1、△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ 2a. b (1)求 ； a (2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B.
)
8.△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30° ，则△ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D.
) 3 3 或 2 4
2π 9．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，∠C＝ ，则 a＝________. 3
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________． 1 11.在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD＝ DC，∠ADB＝120° ，AD＝2.若△ADC 的面积为 3－ 3，则∠BAC 2 ＝_______.
)
3、已知△ABC 中，a＝c＝2，A＝30° ，则 b＝( A. 3 B. 2 3
4、 △ABC 中，a＝ 5，b＝ 3，sinB＝ A. 1 个 B. 2 个
2 ，则符合条件的三角形有( 2 C. 3 个 D. 0 个
)
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2－b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A＝( A．30° B．60° C．120° D．150°
a
sin A
a
sin A
b
sin B
，
ห้องสมุดไป่ตู้
高考高三数学总复习教案：正弦定理和余弦定理
第三章三角函数、三角恒等变换及解三角形第7课时正弦定理和余弦定理（对应学生用书（文）、（理）５３～５４页）考情分析考点新知正余弦定理及三角形面积公式．掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.１．（必修５P１0习题１．１第１（２）题改编）在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝４５°，BC＝３错误!，则AC＝________．答案：２错误!解析：在△ABC中，错误!＝错误!，∴AC＝错误!＝错误!＝２错误!.２．（必修５P２４复习题第１（２）题改编）在△ABC中，a＝错误!，b＝１，c＝２，则A＝________．答案：60°解析：由余弦定理，得cosA＝错误!＝错误!＝错误!，∵0＜A＜π，∴A＝60°.３．（必修５P１7习题１．２第6题改编）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，若a＝２bcosC，则此三角形一定是________三角形．答案：等腰解析：因为a＝２bcosC，所以由余弦定理得a＝２b·错误!，整理得b２＝c２，故此三角形一定是等腰三角形．４．（必修５P１7习题6改编）已知△ABC的三边长分别为a、b、c，且a２＋b２—c２＝ab，则∠C ＝________．答案：60°解析：cosC＝错误!＝错误!＝错误!.∵0°＜C＜１80°，∴∠C＝60°.５．（必修５P１１习题１．１第6（１）题改编）在△ABC中，a＝３错误!，b＝２错误!，cosC＝错误!，则△ABC的面积为________．答案：４错误!解析：∵ cosC＝错误!，∴sinC＝错误!，∴S△ABC＝错误!absinC＝错误!×３错误!×２错误!×错误!＝４错误!.１．正弦定理：错误!＝错误!＝错误!＝２R（其中R为△ABC外接圆的半径）．２．余弦定理a２＝b２＋c２—２bccosA，b２＝a２＋c２—２accosB；c２＝a２＋b２—２abcosC或cosA＝错误!，cosB＝错误!，cosC＝错误!.３．三角形中的常见结论（１）A＋B＋C＝π.（２）在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinＢ．（３）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．（４）△ABC的面积公式１S＝错误!a·h（h表示a边上的高）；２S＝错误!absinC＝错误!acsinB＝错误!bcsinA＝错误!；３S＝错误!r（a＋b＋c）（r为内切圆半径）；４S＝错误!，其中P＝错误!（a＋b＋c）．[备课札记]题型１正弦定理解三角形例１在△ABC中，a＝错误!，b＝错误!，B＝４５°.求角A、C和边Ｃ．解：由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴sinA＝错误!.∵a>b，∴A＝60°或A＝１２0°.当A＝60°时，C＝１80°—４５°—60°＝7５°，c＝错误!＝错误!；当A＝１２0°时，C＝１80°—４５°—１２0°＝１５°，c＝错误!＝错误!.错误!在△ABC中，（１）若a＝４，B＝３0°，C＝１0５°，则b＝________．（２）若b＝３，c＝错误!，C＝４５°，则a＝________．（３）若AB＝错误!，BC＝错误!，C＝３0°，则∠A＝________．答案：（１）２错误!（２）无解（３）４５°或１３５°解析：（１）已知两角和一边只有一解，由∠B＝３0°，∠C＝１0５°，得∠A＝４５°.由正弦定理，得b＝错误!＝错误!＝２错误!.（２）由正弦定理得sinB＝错误!＝错误!>１，∴无解．（３）由正弦定理错误!＝错误!，得错误!＝错误!，∴sinA＝错误!.∵BC>AB，∴A>C，∴∠A＝４５°或１３５°.题型２余弦定理解三角形例２在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且错误!＝—错误!.（１）求角B的大小；（２）若b＝错误!，a＋c＝４，求△ABC的面积．解：（１）由余弦定理知：cosB＝错误!，cosC＝错误!.将上式代入错误!＝—错误!，得错误!·错误!＝—错误!，整理得a２＋c２—b２＝—aＣ．∴ cosB＝错误!＝—错误!＝—错误!.∵B为三角形的内角，∴B＝错误!π.（２）将b＝错误!，a＋c＝４，B＝错误!π代入b２＝a２＋c２—２accosB，得b２＝（a＋c）２—２ac—２accosB，∴１３＝１6—２ac错误!，∴ac＝３．∴S△ABC＝错误!acsinB＝错误!.错误!（２0１４·南京期末）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知c＝２，C＝错误!.（１）若△ABC的面积等于错误!，求a、b；（２）若sinC＋sin（B—A）＝２sin２A，求△ABC的面积．解：（１）由余弦定理及已知条件，得a２＋b２—ab＝４．因为△ABC的面积等于错误!，所以错误!absinC＝错误!，得ab＝４．联立方程组错误!解得a＝２，b＝２．（２）由题意得sin（B＋A）＋sin（B—A）＝４sinAcosA，所以sinBcosA＝２sinAcosＡ．当cosA＝0时，A＝错误!，所以B＝错误!，所以a＝错误!，b＝错误!.当cosA≠0时，得sinB＝２sinA，由正弦定理得b＝２a，联立方程组错误!解得a＝错误!，b＝错误!.所以△ABC的面积S＝错误!absinC＝错误!.题型３三角形形状的判定例３在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角∠A、∠B、∠C的对边，如果（a２＋b２）sin（A—B）＝（a２—b２）sin（A＋B），判断三角形的形状．解：已知等式可化为a２[sin（A—B）—sin（A＋B）]＝b２[—sin（A＋B）—sin（A—B）]，∴２a２cosAsinB＝２b２cosBsinＡ．由正弦定理得sin２AcosAsinB＝sin２BcosBsinA，∴sinAsinB（sinAcosA—sinBcosB）＝0，∴sin２A＝sin２Ｂ．由0<２A<２π，0<２B<２π得２A＝２B或２A＝π—２B，即△ABC为等腰或直角三角形．错误!已知△ABC中，错误!＝错误!，试判断△ABC的形状．解：由已知，得错误!＝错误!＝错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.由正弦定理知错误!＝错误!，∴错误!＝错误!.∴sinCcosC＝sinBcosB，即sin２C＝sin２B，因为∠B、∠C均为△ABC的内角．所以２∠C＝２∠B或２∠C＋２∠B＝１80°，所以∠B＝∠C或∠B＋∠C＝90°，故三角形为等腰或直角三角形．题型４正弦定理、余弦定理的综合应用例４在△ABC中，A、B、C所对的边分别是a、b、c，且bcosB是acosC、ccosA的等差中项．（１）求B的大小；（２）若a＋c＝错误!，b＝２，求△ABC的面积．解：（１）由题意，得acosC＋ccosA＝２bcosＢ．由正弦定理，得sinAcosC＋cosAsinC＝２sinBcosB，即sin（A＋C）＝２sinBcosＢ．∵A＋C＝π—B，0＜B＜π，∴sin（A＋C）＝sinB≠0．∴cosB＝错误!，∴B＝错误!.（２）由B＝错误!，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴ac＝２．∴S△ABC＝错误!acsinB＝错误!.错误!已知a、b、c分别为△ABC三个内角A、B、C的对边，acosC＋错误!asinC—b—c＝0．（１）求A；（２）若a＝２，△ABC的面积为错误!，求b、Ｃ．解：（１）由acosC＋错误!asinC—b—c＝0及正弦定理得sinAcosC＋错误!sinAsinC—sinB—sinC ＝0．因为B＝π—A—C，所以错误!sinAsinC—cosAsinC—sinC＝0．由于sinC≠0，所以sin错误!＝错误!.又0<A<π，故A＝错误!.（２）△ABC的面积S＝错误!bcsinA＝错误!，故bc＝４．而a２＝b２＋c２—２bccosA，故b２＋c２＝8．解得b＝c＝２．１．（２0１３·安徽）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，若b＋c＝２a，３sinA ＝５sinB，则角C＝________．答案：错误!解析：根据正弦定理，３sinA＝５sinB可化为３a＝５b，又b＋c＝２a，解得b＝错误!，c＝错误!.令a＝５t（t>0），则b＝３t，c＝7t，在△ABC中，由余弦定理得cosC＝错误!＝错误!＝—错误!，所以C ＝错误!.２．（２0１３·贵州）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b＝２，B＝错误!，C＝错误!，则△ABC的面积为________．答案：错误!＋１解析：∵ b＝２，B＝错误!，C＝错误!，∴由正弦定理得错误!＝错误!，解得c＝２错误!.又A＝π—（B＋C）＝错误!，S△ABC＝错误!bcsinA＝错误!×２×２错误!×错误!＝错误!＋１．３. （２0１３·盐城期末）在△ABC中，若9cos２A—４cos２B＝５，则错误!＝________．答案：错误!解析：由9cos２A—４cos２B＝５，得9（１—２sin２A）＝５＋４（１—２sin２B），得9sin２A＝４sin２B，即３sinA＝２sinＢ．由正弦定理得错误!＝错误!＝错误!.４．已知△ABC中，∠B＝４５°，AC＝４，则△ABC面积的最大值为________．答案：４＋４错误!解析：AC２＝AB２＋BC２—２AB·BC·cos４５°，即１6＝c２＋a２—２ac·cos４５°，则有２ac—２ac·cos４５°≤１6，即ac≤错误!＝错误!＝8（２＋错误!）．S max＝错误!acsin４５°＝错误!×8（２＋错误!）＝４＋４错误!.１．（２0１４·南通一模）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝—３bcosA，tanC＝错误!.（１）求tanB的值；（２）若c＝２，求△ABC的面积．解：（１）由正弦定理，得sinC＝—３sinBcosA，即sin（A＋B）＝—３sinBcosＡ．所以sinAcosB ＋cosAsinB＝—３sinBcosＡ．从而sinAcosB＝—４sinBcosＡ．因为cosAcosB≠0，所以错误!＝—４．又tanC＝—tan（A＋B）＝错误!，由（１）知，错误!＝错误!，解得tanB＝错误!.（２）由（１），得sinA＝错误!，sinB＝错误!，sinC＝错误!.由正弦定理，得a＝错误!＝错误!＝错误!.所以△ABC的面积为错误!acsinB＝错误!×错误!×２×错误!＝错误!.２．（２0１４·苏州期末）在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC＋错误!c ＝Ｂ．（１）求角A的大小；（２）若a＝错误!，b＝４，求边c的大小．解：（１）用正弦定理，由acosC＋错误!c＝b，得sinAcosC＋错误!sinC＝sinＢ．∵sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，∴错误!sinC＝cosAsinＣ．∵sinC≠0，∴cosA＝错误!.∵0<A<π，∴A＝错误!.（２）用余弦定理，得a２＝b２＋c２—２bccosＡ．∵a＝错误!，b＝４，∴１５＝１6＋c２—２×４×c×错误!.即c２—４c＋１＝0．则c＝２±错误!.３．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、Ｃ．（１）若c＝２，C＝错误!，且△ABC的面积为错误!，求a、b的值；（２）若sinC＋sin（B—A）＝sin２A，试判断△ABC的形状．解：（１）∵ c＝２，C＝错误!，∴由余弦定理c２＝a２＋b２—２abcosC，得a２＋b２—ab＝４．又△ABC的面积为错误!，∴错误!absinC＝错误!，即ab＝４．联立方程组错误!解得a＝２，b＝２．（２）由sinC＋sin（B—A）＝sin２A，得sin（A＋B）＋sin（B—A）＝２sinAcosA，即２sinBcosA ＝２sinAcosA，∴cosA·（sinA—sinB）＝0，∴cosA＝0或sinA—sinB＝0．当cosA＝0时，∵0＜A ＜π，∴A＝错误!，△ABC为直角三角形；当sinA—sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴ △ABC为等腰三角形或直角三角形．４．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝１，b＝２，cosC＝错误!.求：（１）△ABC的周长；（２）cos（A—C）的值．解：（１）因为c２＝a２＋b２—２abcosC＝１＋４—４×错误!＝４．所以c＝２．所以△ABC的周长为a＋b＋c＝１＋２＋２＝５．（２）因为cosC＝错误!，所以sinC＝错误!＝错误!＝错误!.所以sinA＝错误!＝错误!＝错误!.因为a＜c，所以A＜C，故A为锐角，所以cosA＝错误!＝错误!＝错误!.所以cos（A—C）＝cosAcosC＋sinAsinC＝错误!×错误!＋错误!×错误!＝错误!.１．（１）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．（２）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．２．（１）根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解题的关键．（２）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．３．在已知关系式中，若既含有边又含有角，通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求解．错误![备课札记]。
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高三数学总复习 正弦定理和余弦定理教案
教学目标：
1、掌握正弦定理和余弦定理的推导，并能用它们解三角形.
2、利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积问题是高考考查的热点．
3、常与三角恒等变换相结合，综合考查三角形中的边与角、三角形形状的判断等.
教学重点：①能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式． ②能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形．
③能解决与三角形有关的实际问题．
教学难点：①根据已知条件判定解的情形，并正确求解．
②将实际问题转化为解斜三角形．
教学过程
一、基础回顾
1、正余弦定理 正弦定理：a sinA ＝b sinB ＝c sinC
＝2R(其中R 为△ABC 外接圆的半径)． 余弦定理
a 2＝
b 2＋
c 2－2bccosA ，
b 2＝a 2＋
c 2－2accosB ；
c 2＝a 2＋b 2－2abcosC
2、变形式
①a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ；(其中R 是△ABC 外接圆半径)
②a ∶b ∶c ＝sinA ：sinB ：sinB
③cosA ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cosB ＝a 2＋c 2－b 22ac ，cosC ＝a 2＋b 2－c 22ab
. 3、三角形中的常见结论
(1) A ＋B ＋C ＝π.
(2) 在三角形中大边对大角，大角对大边：A>B a>b sinA>sinB.
(3) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
(4) △ABC 的面积公式
① S ＝12
a ·h(h 表示a 边上的高)； ② S ＝12absinC ＝12acsinB ＝12bcsinA ＝abc 4R
； ③ S ＝12
r(a ＋b ＋c)(r 为内切圆半径)； ④ S ＝P （P －a ）（P －b ）（P －c ），其中P ＝12
(a ＋b ＋c)． 二、基础自测
1、在△ABC 中，若∠A＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝________．
2、在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A ＝________．
3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，若a ＝2bcosC ，则此三角形一定是________三角形．
4、已知△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ，则∠C＝________．
5、在△ABC 中，a ＝32，b ＝23，cosC ＝13
，则△ABC 的面积为________．
三、典例分析
例1 (2013·惠州模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .
(1)求b a
； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理，得asin B ＝bsin A ，
又asin Asin B ＋bcos 2A ＝2a ，
∴bsin 2A ＋bcos 2A ＝2a ，即b ＝2a ，因此b a ＝ 2. (2)由c 2＝b 2＋3a 2及余弦定理，得
cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝（1＋3）a 2c
， (*) 又由(1)知，b ＝2a ，∴b 2＝2a 2，
因此c 2＝(2＋3)a 2，c ＝2＋3a ＝
3＋12 a. 代入(*)式，得cos B ＝
22， 又0＜B ＜π，所以B ＝π4
. 规律方法：1．运用正弦定理和余弦定理求解三角形时，要分清条件和目标．若已知两边与夹角，则用余弦定理；若已知两角和一边，则用正弦定理．
2．在已知三角形两边及其中一边的对角，求该三角形的其它边角的问题时，首先必须判断是否有解，如果有解，是一解还是两解，注意“大边对大角”在判定中的应用．
例2、(2013·合肥模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向
量m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A 2，cos 2A)，且m ·n ＝72
. (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状．
解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝(cos 2A
2
，cos 2A )， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2
－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝72
， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝72，解得cos A ＝12. ∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.
(2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3，
∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·12
＝b 2＋c 2－bc . ① 又∵b ＋c ＝23，∴b ＝23－c ，
代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝3， 于是a ＝b ＝c ＝3，即△ABC 为等边三角形．
规律方法：判定三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行转化．无论使用哪种方法，不要随意约掉公因式；要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能．
例3、(2012·课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，acos C ＋3asin C －b －c ＝0.
(1)求A ；
(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c.
解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0.
因为B ＝π－A －C ，则sin B ＝sin A cos C ＋cos A sin C .
所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.
由于sin C ≠0，所以sin(A －π6)＝12
. 又0<A <π，故A ＝π3
. (2)△ABC 的面积S ＝12
bc sin A ＝3，故bc ＝4. ① 又a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8.
② 由①②联立，得b ＝c ＝2.
四、练习 变式练习1：(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bsin A ＝3acos B.
(1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
变式练习2：在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C.
(1)求A 的大小；
(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状
五、作业布置
六、板书设计
1、正余弦定理
2、变形式
3、三角形中常用结论
典例分析
七、教学反思。