拉普拉斯定理k阶子式
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§8拉普拉斯(Laplace)定理·行列式的乘法规则
这里 cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
∴ D = ( −1)
1+ 2+L+ n+ ( n+1)+L+ 2 n
cij ( −1) = cij
n
从而
aij bij = cij ,
cij = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + ainbnj , i , j = 1,2,L , n.
按照原来次序组成一个 k 级行列式 M，称为行列 按照原来次序组成一个 ，称为行列 级子式； 式 D 的一个 k 级子式；在 D 中划去这 k 行 k 列后 余下的元素按照原来的次序组成的 n − k 级 行列 余子式； 式 M ′ ，称为 k 级子式 M 的余子式；
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
−1 2 = 5 A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 1 = 0 , 4 , 1 3 0 1 0 2 = 0 , A = ( −1)1+ 3+1+ 2 0 −1 = 0 . 6 0 3 0 1
4+1+1+ 3
∴ D = (−2) 1 + 0 (−2) + (−1) 5 + 2 0 + 6 0 + (−1) 0 = −7
又对D作初等行变换： 又对 作初等行变换： 作初等行变换
ri = ai 1rn+1 + ai 2 rn+ 2 + L + ain r2 n , i = 1,2,L , n.
拉普拉斯展开定理(课堂PPT)
§ 2.3 拉普拉斯展开定理
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
1
一、k阶子式的概念 定义 在n阶行列D式 中，任k行 取k列(1kn)，
位于k这 行k列的交点k上 2个的元素按原来的相 置组成k阶 的行列S， 式称D为 的一k个 阶子式。
在行列 D中式 划S所 去在k行 的 k列，余下的元 原来的相对位 nk置 阶组 行成 列 余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
6
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
2
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行 某组成 k阶的 子所 式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)， 为 它们相应 分 的 别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
3
例1 计算 2 1 0 0 0 12100
D0 1 2 1 0 0 01 21 0 0 01 2
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
一、k阶子式的概念 二、拉普拉斯展开定理 三、举例
1
一、k阶子式的概念 定义 在n阶行列D式 中，任k行 取k列(1kn)，
位于k这 行k列的交点k上 2个的元素按原来的相 置组成k阶 的行列S， 式称D为 的一k个 阶子式。
在行列 D中式 划S所 去在k行 的 k列，余下的元 原来的相对位 nk置 阶组 行成 列 余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
6
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
2
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
设 D 的k行 某组成 k阶的 子所 式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)， 为 它们相应 分 的 别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
3
例1 计算 2 1 0 0 0 12100
D0 1 2 1 0 0 01 21 0 0 01 2
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
一、k 级子式 余子式 代数余子式
中所在的行、 若 k 级子式 M 在 D 中所在的行、列指标分别是
i1 , i2 ,L , ik ; j1 , j2 ,L , jk ，则在 M 的余子式 M ′ 前
( −1)i1 + i2 +L+ ik + j1 + j2 +L+ jk 后称之为 M 的代数 后称之为 加上符号
余子式， 余子式，记为 A = ( −1)
c d −a −b b −a d −c
d −c b −a c −d −a b d c −b −a
a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0 0 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 = 0 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 a2 +b2 +c2 +d2 0 0 0
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
Laplace 定理
设在行列式 D 中任意取 k ( 1 ≤ k ≤ n − 1 )行， 行 元素所组成的一切k级子式与它们的 由这 k 行元素所组成的一切 级子式与它们的 代数余子式的乘积和等于 D．即 ． 若 D 中取定 k 行后，由这 k 行得到的 k 级子式 行后， 为 M 1 , M 2 ,L , M t ，它们对应的代数余子式分别为 它们对应的代数余子式分别为
M 3 = 1 4 = −1, 1 3 M 5 = 2 4 = 6, 0 3
它们的代数余子式为
§2.8 Laplace定理 Laplace定理
2 1 = 2, M4 = 0 1 M 6 = 1 4 = −1 1 3
A1 = ( −1)
2-3.1(k阶子式、余子式、代数余子式)--线性代数PPT
S的余子式:
在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式.
S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称
A (1)(i1 ik )( j1 M jk )
为S的代数余子式.
§2.3 拉普拉斯展开定理
[结]
20 1 02 1 0 1 0 1
01 S1 1 1
A 0 1 1 2 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 1
101 M1 0 1 2
011
012 S2 1 1 1
2 2 2
A1 1 1 3 2 3 M1 M1 ,
10 M2 0 1
第二章 行列式
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式 二. 拉普拉斯定理
电子科技大学 黄廷祝
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式
k阶子式： 矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式.
A2 1 1 34 2 35 M 2 M 2 .
§2.3 拉普拉斯展开定理
例如，5阶行列式detA中，取子式
S a22 a52
a24 a54
则其代数余子式为
a11 a13 a15
(1)(25)(24) a31 a33 a35
a41 a43 a45
§2.3 拉普拉斯展开定理
在A中划去S所在的k行、k列，余下的元按原来的 相对位置组成的n-k阶行列式M, 称为S的余子式.
S的代数余子式: 设S的各行位于A中第i1,…,ik, S的各列位于A中第 j1,…, jk列，称
A (1)(i1 ik )( j1 M jk )
为S的代数余子式.
§2.3 拉普拉斯展开定理
[结]
20 1 02 1 0 1 0 1
01 S1 1 1
A 0 1 1 2 1 0 2 2 1 2 0 1 1 1 1
101 M1 0 1 2
011
012 S2 1 1 1
2 2 2
A1 1 1 3 2 3 M1 M1 ,
10 M2 0 1
第二章 行列式
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式 二. 拉普拉斯定理
电子科技大学 黄廷祝
§2.3 拉普拉斯展开定理
一. k阶子式、余子式、代数余子式
k阶子式： 矩阵A中任取k行、k列，位于这k行、k列交点上的k2 个元按原来的相对位置组成的k阶行列式S, 称为A的 一个k阶子式.
A2 1 1 34 2 35 M 2 M 2 .
§2.3 拉普拉斯展开定理
例如，5阶行列式detA中，取子式
S a22 a52
a24 a54
则其代数余子式为
a11 a13 a15
(1)(25)(24) a31 a33 a35
a41 a43 a45
§2.3 拉普拉斯展开定理
pdf2.3Laplace定理(线性代数)
1+ 2+ 2+ 4
A6 = (1)
1+ 2+3+ 4
因此 D = M 1 A1 + M 2 A2 + M 3 A3 + M 4 A4 + M 5 A5 + M 6 A6 = 4.
例3.1 计算行列式
x 2y
x y
x 2y
x 3y
2x 2 y 2x y 2x 2 y 2x 3y D= . 3x 3 y 3x 2 y 4 x 5 y 3x 5 y 4x 4 x 3 y 5x 7 y 4 x 3 y
+ anj Ank = 0, 1 ≤ j , k ≤ n
现在引入Kronecker符号,其定义为
1, i = j δ ij = 0, i ≠ j
使用Kronecker符号,我们有 定理3.1对于 n 阶行列式 D = det(aij )
恒有
a1i A1 j + a2i A2 j +
ai1 A j1 + ai 2 A j 2 +
+ ( j2 2) +
+ ( jk k )
= i1 + i2 +
+ ik + j1 + j2 +
+ jk 2(1 +
+ k)
设经上述行、列互换后得到的行列式为 D1 ,并令 t = i1 + + ik + j1 + + jk ,则
.
D = (1)t 2(1+ + k ) D1 = (1)t D1 , 因此 D 和 D1 的一般项之间仅相差一个 (1)t . 注意到, M 位于 D1 的左上角, 符号 并且上述行、列互换的方式并未改变其 余诸列的相对位置, 故 M ′ 恰好位于 D1 的 右下角.
§2.8拉普拉斯(Laplace)定理
从而
a ij b ij c ij ,
c ij a i 1 b1 j a i 2 b 2 j a in b n j ,
i , j 1, 2 , , n .
§2.8 Laplace定理
例2：证明齐次性方程组
ax1 bx1 cx 1 dx1 bx2 ax2 dx2 cx 2 cx 3 dx3 ax3 bx3 dx4 cx 4 bx4 ax4 0 0 0 0
A 1 , A 2 , , A t , 则 D M 1 A 1 M 2 A 2 M t A t. .
§2.8 Laplace定理
注：
① k 1 时，D M 1 A1 M 2 A 2 M t A t 即为行列式 D 按某行展开；
a11 a1 k 0 a k 1 a kk 0 D b1 1 * br 1 0 a 1 1 a 1 k b1 1 b1 r 0 b1 r a k 1 a k k b r 1 b rr b rr
只有零解．其中 a , b , c , d 不全为0．
§2.8 Laplace定理
证：系数行列式
a b c d b a d c D c d a b d c b a a b c d b a d c c d a b d c b a
D
2
a b c d b a d c DD c d a b d c b a
二、拉普拉斯(Laplace)定理
引理
行列式 D 的任一子式 M 与它的代数余子式 A的乘积中的每一项都是行列式 D 的展开式中 的一项，而且符号也一致．
§2.8 Laplace定理
拉普拉斯展开定理
设 D 的k行 某组成 k阶的 子所 式 S1,S2有 , 分 ,St(t 别 C n k)， 为 它们相应 分 的 别 A 1,A 代 2, 为 ,A 数 t,则余子式
D S1A 1S2A 2A tSt。
例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
角线上有非零 ,其子余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
利用拉普拉斯定理（P68）可得：
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1nLeabharlann cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 deati(j)
,D2 debti(j)
D S1A 1S2A 2A tSt。
例1 计算 2 1 0 0 0
12100 D0 1 2 1 0
0 01 21
0 0 01 2
设S的各行D中 位第 i于 1,i2,,ik(i1i2ik)， S的各列D中 位第 j于 1, j2,, jk(j1j2jk)，那么
A(1)(i1i2ik)(j1j2jk)M为S的代数余子
二、拉普拉斯展开定理
若在行列D式 中任意取k个 定行(1kn1)， 则有这 k个行组成的k所 阶有 子式与它们的代数 子式的乘积之和D.等于
A1 1
A1
A1 2
o
o
.
A1 s
小结
1.k阶子式的概念 2.拉普拉斯展开定理
角线上有非零 ,其子余块 子块都为,零 且矩 非阵
零子块都是.即 方阵
A1
A
A2
O
O
,
As
其中Ai (i=1 , 2 , … , s)都是方阵,则A为分块对 角阵.
分块对角矩阵的行列式具有下述性质:
A A 1A 2 A s.
若 A i 0 i 1 , 2 , , s , 则 A 0 , 并
利用拉普拉斯定理（P68）可得：
a11 a1k
0
设
D
ak1 c11
akk c1k
b11
b1nLeabharlann cn1 cnk bn1 bnn
a11 a1k
b11 b1n
D1 deati(j)
,D2 debti(j)
第8节 拉普拉斯定理
它们的代数余子式为
A1 ( 1)1 31 2 0 1 0, 0 1 A3 ( 1)
1 3 2 3
A2 ( 1)1 3 2 4 1 1 2, 1 1 A4 ( 1)
1 31 2
1 2 5, 1 3
0 1 0, 0 1
A5 ( 1)411 3 0 2 0, 0 3
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1
0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn
c11 c n1 b11 bn1
c1n cn1 b1n bnn
注释1 ① 一个行列式的k 级子式和余子式有很多。 ② k=1时A的行列式的每个元素都是一个1级子式， k=n时A本身是一个n级子式（没有余子式）。
二、Laplace定理
定理8.3 在矩阵A中取定k行，则这k行确定的所有k
阶子式和它们的代数余子式的乘积和等于 A .
注释2
① 理解引理和Laplace定理以及会用定理即可 ② k=1时Laplace定理就是行列式按行(列)展开法则 ③ Laplace定理不适合计算一般行列式（见下例）
2 2 2 D a11 a12 a1n 2 2 2 a21 a22 a2n
n
作业：P130 Ex 1 (2), (4), 2 (1)(3)
2 2 2 an1 an 2 ann
2 nD aij 0. i 1 j 1
n
n
因此，由上面两方面知，结论成立。
到第k 行, j , k 1,2,, n.
a11 a1n 0 an1 ann 0 1 b11 1 bn1 0 0 0 0 0 0 1 b1n 1 bnn c11 c n1 b11 bn1 c1n cn1 b1n bnn
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拉普拉斯定理k阶子式
拉普拉斯定理是线性代数中的重要定理之一，其内容涉及矩阵与
行列式之间的关系。
本文将详细介绍拉普拉斯定理的定义、推导过程
以及在实际问题中的应用。
拉普拉斯定理是指矩阵A的任意k阶子式都可以由A的余子式来
表示。
具体地说，设A为一个n阶矩阵，它的第i行第j列元素为aij。
对于A的任意k阶子式，即从A中选择k行k列，并在这k 行k列所
对应的位置取元素，而这个子式的行号为i1，i2...ik，列号为j1，
j2...jk，那么这个k阶子式的值为(-1)的(i1+i2+...ik+j1+j2+...jk)次幂乘以这k行k 列所对应的余子式的乘积之和。
拉普拉斯定理的推导过程相对较为繁琐，笔者将以3阶矩阵为例
进行说明。
设矩阵A的三阶子式如下：
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
根据拉普拉斯定理，该三阶子式的值等于a11(a22a33-a32a23)-
a12(a21a33-a23a31)+a13(a21a32-a31a22)。
这个推导过程可通过对应
位置的代数余子式做加减乘运算得到。
同理，对于任意k阶子式，都
可以通过类似的操作得到其表达式。
拉普拉斯定理在解决实际问题中具有广泛的应用。
首先，在矩阵理论中，拉普拉斯定理是求解矩阵行列式的重要方法。
通过利用拉普拉斯定理的性质，可以将一个n阶行列式转化为n个n-1阶行列式的求解，简化了计算的复杂度。
其次，在线性方程组的求解中，拉普拉斯定理可以用于求解系数矩阵的逆矩阵。
当系数矩阵可逆时，根据拉普拉斯定理，可以通过求解系数矩阵的每个元素的代数余子式，再进行转置和除法运算，得到系数矩阵的逆矩阵。
这为线性方程组的求解提供了一种简便而有效的方法。
此外，在统计学中，拉普拉斯定理也有着重要的应用。
例如，在多元正态分布的概率密度函数推导中，拉普拉斯定理可以用于求解多元正态分布的协方差矩阵的逆矩阵。
通过引入拉普拉斯定理，可以简化推导过程，进一步推导出多元正态分布的参数估计等相关结果。
综上所述，拉普拉斯定理是矩阵与行列式之间的重要联系，在线性代数、统计学等领域都有着广泛的应用。
通过了解拉普拉斯定理的定义、推导过程以及在实际问题中的应用，我们可以更好地理解和应用这一定理，提高问题解决的效率。
同时，拉普拉斯定理的研究也有助于推动线性代数领域的发展，为更广泛的数学和科学问题提供更为丰富的解决方法。