不等式专题——不等式的解法

专题复习——不等式的解法
知识回顾
1．一元一次不等式)0(≠>a b ax 的解集情况是
（1）当0>a 时，解集为}|{a b x x >
（2）当0<a 时，解集为}|{a
b x x <
类型（设b a <） 解集 数轴表示 b x >
a x <
b x a <<
φ
一元二次不等式可利用一元二次方程02与二次函数c bx ax y ++=2
的有关性质求解，具体见下表：
0>a ，ac b 42-=∆
0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
c bx ax y ++=2
的图象
一元二次方程 02
=++c bx ax 的根
有两实根
21x x x x ==或 有两个相等的实根
a
b x x x 221-
=== 无实根
一元二次不
等
式解集
不等式
02>++c bx ax 的解集
}|{21x x x x x ><或
}|{1x x x ≠
R
不等式
02<++c bx ax 的解集
}|{21x x x x <<
Φ
Φ
（1） 把二次项的系数a 变为正的．（如果0<a ，那么在不等式两边都乘以1-，把系数变为正） （2） 解对应的一元二次方程．（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） （3） 求解一元二次不等式．（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 2．当0>a 且0>∆时，定一元二次不等式的解集的口诀：“小于号取中间，大于号取两边” ． 三、含有绝对值的不等式的解法 基本口诀：“小于号取中间，大于号取两边” （1）()()()()()f x g x g x f x g x <⇔-<< （2）()()()()f x g x f x g x >⇔<-或()()f x g x > （3）()()()()2
2f x g x f
x g x <⇔<
（4）零点分段法：x a x b k -++-<L （找零点，分段求解，取并集） 四、一元高次不等式的解法
一元高次不等式0)(>x f （或0)(<x f ），一般用数轴标根法求解，其步骤是：
b x a
x >>
a
b
b
x a
x <<
a
b
b
x a x <>
b x a
x ><
a
b
a
b
（1）将)(x f 的最高次项的系数化为正数；
（2）将)(x f 分解为若干个一次因式的积；（注意：确保每个因式x 系数为正） （3）将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线；（注意：“奇穿偶不穿”） （4）根据曲线显现出)(x f 值的符号变化规律，写出不等式的解集． 如：若n a a a a <<<<Λ321，则不等式0)())((21>---n a x a x a x Λ 或0)())((21<---n a x a x a x Λ的解法如下图（即“数轴标根法”）：
五、分式不等式的解法
对于解a x g x f a x g x f ≥<)(')
()
()('''或型不等式，应先移项、通分，将不等式整理成
)0(0)()()0(0)()(≤≥<>x g x f x g x f 或的形式，再转化为整式不等式求解。

（1）
0)()(0)()(>•⇔>x g x f x g x f （2）0)()(0)()
(<•⇔<x g x f x g x f （3） （4）
六、指数、对数不等式的解法
1、指数不等式 （1）当01a <<时，()
()
()()f x g x a a
f x
g x <⇔>
（2）当1a >时，()
()
()()f x g x a
a
f x
g x <⇔<
（3）换元法 形如：()
(
)
()
()
2
200f x
f x f x t a m a
na
l mt nt l =++>−−−→++> （注意0t >）
2、对数不等式（一定注意真数大于零，底数大于零且不等于一）
（1）当01a <<时，()()()()()0
log log a a g x f x g x f x g x >⎧⎪<⇔⎨>⎪⎩
（2）当1a >时，()()()()()0
log log a a f x f x g x f x g x >⎧⎪<⇔⎨<⎪⎩
（3）换元法 形如：()
()
()()2
log 2log log 00a t f x
a a m f x n f x l mt nt l =++>−−−−→++>
注意：解指数、对数不等式主要用①“同底法”将不等式化成底数相同的指数或对数式;②换元法，注意中间
变元的取值范围。

解指数、对数不等式应和分式不等式一样，需先将非标准形式化成标准形式再求解，解对数真数、底数的取值范围。

例题精解 【】解下列不等式组，并在数轴上表示出它们的解集： （1） （2）
【点评】解不等式的一个基本功就是能熟练运用数轴解决不等式的解集交并关系。

⇔≥0)()(x g x f 0)()(≥•x g x f 0)(≠x g ⇔≤0)()
(x g x f 0)()(≤•x g x f 0)(≠x g 234131
2+->-x x 4)1()1(22-+>-x x
02>-x 05>-x 0
8<-x
【例2】解下列不等式
（1）0122
>+--x x （2）
23
123x x
-≤- （3）23(2)(1)(1)(2)0x x x x +-+-<
（4）211x x +>+ （5）219x x ++-< （6）223
3(1)12()2
x x x ---<
（7）()()2
0.30.3log 34log 2100x x x ---+> （8）2
1
122
2log 7log 30x x ⎛⎫
++≤ ⎪⎝⎭
【点评】解常规不等式的关键是将所解不等式转化为“标准”不等式，然后按相应方法求解。

【例3】解关于x 的不等式：
（1）2
2
3
()0,()x a a x a a -++<∈R
（2）
(1)
12a x x ->-
（3）()()2log 1log 12a a x a x ->+-⎡⎤⎣⎦ ()1a > （4）2132x x
a a -+-> ()0,1a a >≠
【例4】已知()1ln 1f x x a ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭，设()()a F x f x m x
=-+，其中0a >，求()F x 的单调区间；
【点评】解含有参数的不等式的关键是对参数的讨论，明确什么时候才需要讨论，按什么标准分类讨论，不能盲目胡乱分类讨论。

【例5】（1）关于x 的不等式ax 2+bx +c <0的解集为{x |x <α或x >β}(α<β<0),求不等式ax 2
-bx +c >0的解集.．
（2）已知不等式()
()0314542
2
>+---+x m x m m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围
【点评】 1、不等式解区间端点，就是使得等式等于零的方程的根。

2、要使不等式02>++c bx ax 对一切实数x 恒成立的，则一般分这两种情况讨论：一种是当0=a 时特殊情况，一种是当0>a 且0<∆时的情况．
3、要使不等式02<++c bx ax 对一切实数x 恒成立的，则一般分这两种情况讨论：一种是当0=a 时0<a 且0<∆时的情况．
（1）
2331≤-+x
x （2）()()()()2
11230x x x x -+++>
（3）21<-+x x （4）2
113
3
log (34)log (210)x x x -->+
2、解关于x 的不等式
（1）22
345
231
x x x
x a
a ---+> （2）()2
110ax a x -++<
2、（1）若不等式022
<+-a bx x 的解集为}51|{<<x x ，求a b 、的值。

（2）关于x 的不等式2
0ax bx c ++<的解集为1
{|2}2
x x x <->-或，求关于x 的不等式2
0ax bx c -+>的解集
3、（1）关于x 的不等式01)1(2
<-+-+a x a ax 对于R x ∈恒成立，求a 的取值范围．
（2）若函数()f x =
R ，求实数k 的取值范围.。