均值不等式专题附带解析
高考数学考点均值不等式全解
高考数学考点均值不等式全解2.平均值不等式名师点拨：1.定理2的常见变形2.利用平均值不等式求最值对两个正实数a,b.(1)若它们的和S是定值,则当且仅当x=y时,它们的积P取得最大值;(2)若它们的积P是定值,则当且仅当x=y时,它们的和S取得最小值.对于三个正数a,b,c.利用平均值不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”,即:(1)各项或各因式均为正;(2)和或积为定值;(3)各项或各因式能取得相等的值.01利用平均值不等式求最值分析：根据题设条件,合理变形,创造出能应用平均值不等式的条件和形式,然后应用平均值不等式求解.反思感悟平均值不等式的基本功能在于“和与积”的相互转化,利用平均值不等式求最值时,给定的形式不一定能直接应用平均值不等式,往往需要拆添项或配凑因式(一般是凑积或和是定值的形式),构造出平均值不等式的形式再进行求解,求解时一定注意平均值不等式成立的条件:①各项或各因式应为正;②和或积为定值;③各项或各因式能取到使等号成立的值,简记为:“一正、二定、三相等”02利用平均值不等式证明不等式分析：(1)考虑到a+b+c=1,可将不等式左边每个括号中分子上的1替换为a+b+c,化简后再利用平均值不等式,然后根据不等式的性质证明.(2)因为左边有分式,也有整式的形式,所以要两次利用平均值不等式.反思感悟：利用平均值不等式证明不等式的方法与技巧(1)用平均值不等式证明不等式时,应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形,使之具备平均值不等式的结构和条件,然后合理地选择平均值不等式或其变形形式进行证明.(2)对含条件的不等式的证明问题,要将条件与结论结合起来,找出变形的思路,构造出平均值不等式,切忌两次使用平均值不等式用传递性证明,因为这样有可能导致等号不能取到.03利用平均值不等式解决实际问题【例3】已知26辆货车以相同速度v由A地驶向400 km处的B地,每两辆货车间距离为d km,现知d与速度v的平方成正比,且当v=20 km/h时,d=1 km.(1)写出d关于v的函数关系式;(2)若不计货车的长度,则26辆货车都到达B地最少需要多少小时?此时货车速度为多少?分析：对于(1),可由已知数据代入求得;(2)先列出时间与速度的关系式,再借助平均值不等式求解.反思感悟：利用平均值不等式求解实际问题时的注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后,只需利用平均值不等式求得函数的最值;(3)在求函数的最值时,一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.均值不等式的解题方法均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)
高中数学人教版必修5——第十三讲均值不等式(解析版)第十三讲均值不等式(解析版)在高中数学的学习中，均值不等式是一条非常重要的数学定理。
它能够帮助我们找到一组数的平均值与其他特定的数值之间的关系。
本文将详细解析高中数学人教版必修5中的第十三讲——均值不等式。
一、均值不等式的定义和性质均值不等式实际上是按平均值来衡量一组数与其他数值之间的大小关系。
它包含了算术平均值、几何平均值和平方平均值等不同的形式。
算术平均值是最为熟悉的一种形式，它表示一组数相加后除以元素个数得到的结果。
几何平均值是将一组数相乘后开根号得到的结果。
平方平均值是将一组数的平方相加后除以元素个数再开根号得到的结果。
在不等式的关系中，对于正实数来说，有以下几个性质：1. 当所有元素相等时，算术平均值、几何平均值和平方平均值相等。
2. 当所有元素不相等时，算术平均值大于几何平均值，而几何平均值大于平方平均值。
3. 对于正实数来说，算术平均值大于几何平均值，并且它们都大于平方平均值。
二、均值不等式的应用均值不等式在数学问题的解决中具有广泛的应用。
它可以帮助我们证明和推导其他重要的数学关系。
1. 证明与推导在证明和推导方面，均值不等式可以帮助我们解决一些复杂的不等式问题。
通过运用不同形式的均值不等式，我们可以逐步地推导出更为严格的不等式关系。
例如，在求证某个不等式问题时，我们可以使用算术平均值与几何平均值之间的关系来逐步推导出正确的结论。
2. 理解与比较均值不等式还能够帮助我们理解和比较数列的大小关系。
通过对数列的算术平均值、几何平均值和平方平均值的比较，我们可以得出一些关于数列性质的结论。
例如，当一组数的算术平均值大于几何平均值时，就能够说明这组数存在着某种程度的波动和不均匀性。
三、均值不等式的例题解析下面，我们将通过一些例题来具体解析均值不等式的应用。
例题1：已知a、b、c为正实数，证明(a+b)(a+c)(b+c)≥8abc。
解析：我们可以通过均值不等式来证明这个不等式关系。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
专题03 均值不等式基础方法15类
专题3 均值不等式基础方法15类总结目录一、热点题型归纳【题型一】对勾型 (2)【题型二】添加常数构造“对勾型” (3)【题型三】“和定求积”型 (4)【题型四】“积定求和”型 (6)【题型五】单元（单变量）分离常数型 (7)【题型六】“常数”因子法： (8)【题型七】“单分母”构造因子法 (9)【题型八】“双分母”构造法 (11)【题型九】有和有积无常数型 (12)【题型十】有和有积有常数型：求“积”型 (14)【题型十一】有和有积有常数型：求“和”型 (15)【题型十二】多元分离型 (16)【题型十三】反解消元型 (18)【题型十四】换元型 (19)【题型十五】较简单的三元均值 (21)培优第一阶——基础过关练 (23)培优第二阶——能力提升练 (27)培优第三阶——培优拔尖练 (31)知识点综述：1.基本不等式：：a2＋b2≥ 2ab(a，b∈R)；2.常用不等式：ab ≤a ＋b2； (1) 基本不等式成立的条件：a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .简称为““一正”“二定”“三相等”，三个条件缺一不可． 3.基本不等式的变形：①a ＋b ≥2ab ，常用于求和的最小值；②ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22，常用于求积的最大值；4.重要不等式链：a 2＋b 22≥ a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b；【题型一】对勾型【典例分析】（2021·江苏·高一专题练习）不等式（x -2y ）+12x y -≥2成立的前提条件为（ ） A ．x ≥2y B ．x >2yC ．x ≤2yD ．x <2y【答案】B【分析】由均值不等式成立的前提条件是“一正、二定，三相等”，结合此条件即可得解. 【详解】解：由均值不等式的条件“一正、二定，三相等”，即均值不等式成立的前提条件是各项均为正数，所以不等式()1222x y x y-+≥-成立的前提条件为20x y ->，即2x y >. 故选：B.【提分秘籍】 基本规律对勾型：1t t +，bat t+ 容易出问题的地方，在于能否“取等”,如1.2sin sin θθθ+，其中锐角（第五章会学习到）2.221x 5x 5+++1.（2022·全国·高一专题练习）若0x >，0y >，则1122x y x y+++的最小值是（ ） A ．32B ．42C ．4D ．2【答案】A【分析】利用基本不等式可求出12x x+和12y y +的最小值，相加可得出结果.【详解】由基本不等式得111122222223222x y x y x y x y +++≥⋅⋅ 当且仅当2x =，2y =时等号成立，因此，1122x y x y +++的最小值为32故选A.2.（2022·河南驻马店·高一期末）已知a >0，则当19a a+取得最小值时，a 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13 D ．3【答案】C【分析】利用基本不等式求最值即可.【详解】∵a >0，∵19296a a +≥，当且仅当19a a =，即13a =时，等号成立，故选：C【题型二】 添加常数构造“对勾型”【典例分析】（2022·吉林延边·高一期末）已知2x >，则函数()1222y x x =+--的最小值是（ ）A ．22B ．222C ．2D 2【答案】D【分析】应用基本不等式求函数的最小值，注意等号成立的条件. 【详解】由题设，20x ->， ∵()()11(2)2(2)22222y x x x x =-+≥-⋅=--22x =时等号成立，∵2故选：D.【提分秘籍】 基本规律 对于形如1cx+d ax b ++，则把cx+d 转化为分母的线性关系：c 1ax+b)ax b cd a a ++-+（可消去。
均值不等式(基本不等式+知识点+例题+习题)pdf版
t
t
t
答案：[2, )
例 2 求函数 y x2 3 的最小值． x2 1
解析：令 x2 1 t,t 1，则 x2 t2 1 ，带入原式化简得 y t 2 2 2 ， t
当 t 2 即 t 2 时等号成立． t
答案： 2 2
例 3 已知 x 1，求 f (x) x2 x 1 的最小值． 2x 1
2
2
2 | 10
[不等式] 练习答案：
1
2
38
对勾函数：
形如 f (x) ax b (ab 0) 的函数． x
利用对勾函数性质可解决均值不等式等号不成立时的情况．
性质
a 0,b 0
y
a 0,b 0 y
图像
2 ab
Obxab a NhomakorabeaO
x
-2 ab
定义域
值域 奇偶性 渐近线
{x | x 0}
2
题型四：分离换元法求最值（二次比一次或一次比二次时用）
例 1 求函数 y x2 3 (x 1) 的值域． x 1 2
解析：令 x 1 t,t 3 ，则 x t 1，带入原式得到 y (t 1)2 3 t 4 2 ，
2
t
t
t 4 2 2 t 4 2 2 ，当 t 4 即 t 2 时等号成立．
解析：构造对勾函数 y 3x 12 ，由函数性质可知 x (3, ) 时函数单调递减， x
故
y
3x
12 x
y(3)
13
．
答案： (, 13]
练习 1 练习 2
已知 x 0 ，求函数 y x 4 的最小值． x4
已知 x 3，求函数 y 2x 3 的值域． 2x
事业单位数量关系：均值不等式
在行测考试中，我们经常会遇到求极大值和极小值这一类的题目，我们把这类题目统称为极值问题。
当题干或者问法中出现最大或最小、最多或最少，至多或至少这样的字眼时都是求极值的问题，今天我们就来学习一种方法求解极值方法，均值不等式。
一、什么是均值不等式结论：和一定的两个数，差越小，积越大(针对两个数取不到相等的情况);积一定的两个数，差越小，和越小(针对两个数取不到相等的情况)。
二、均值不等式的应用和一定，求积的最大值【例1】某外贸公司生产运动服，每套的成本是144元，售价是200元。
一个经销商订购了120套运动服，并提出：如果每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套。
按经销商的要求，该外贸公司获得最大利润需售出的套数是：A.144B.136C.128D.142【解析】A。
最大的利润=每套利润×销售套数，现在要求的是销售的套数，题目中告诉每套运动服的售价每降低2元，就多订购6套，但是具体降低了多少钱未知，可以设每套运动服的的售价降低2X元，则多订购了6X套。
原来每套的利润为200-144=56元，则所获总利润为(56-2X)(120-6X)=12(28-6X)(20 +X)，因为(28-X)与(20+X)之和为定值，可以根据均值不等式原理，当且仅当2 8-X=20+X，即x=4 时，所获利润最大，此时售出的套数是120+6×4=144 套。
【例2】一款笔记本以每本2元的价格批发，可出售10万本。
若该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，则该款笔记本可能的最大销售收入为多少万元?A.25.5B.24.5C.23.5D.22.5【解析】D。
销售收入=单价×销量，题目告诉该笔记本价格每提高0.2元，销量将减少5000本，但是具体提高了多少钱未知，可以设价格提高了0.2X元，则销量为(10-0.5X)万本，销售收入=(2+0.2X)×(10-0.5X)=0.1×(10+X)×(20-X)，因为(10+X)与(20-X)(20-X)之和为定值。
专题17 均值不等式及其应用(解析版)
提升训练2.7 均值不等式及其应用一、选择题1．已知x ＞0，函数9y x x=+的最小值是（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 ∵x ＞0，∴函数96y x x =+≥=，当且仅当x=3时取等号， ∴y 的最小值是6． 故选：C ．2．已知1(0,4x ∈,则(14)x x -取最大值时x 的值是( ) A ．14B ．16C ．18D ．110【答案】C 【解析】因为1(0,)4x ∈，所以40,140x x >->，所以2114141(14)=4(14)44216x x x x x x +-⎛⎫-⋅-≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当414x x =-时，即18x =，等号成立. 故答案选C .3．()2301x x y x x++=>+的最小值是( )A ．B ．1C ．1D ．2【答案】B 【解析】1,10x x >-∴+>，231x x y x++∴==+3311111x x x x +=++-++…， 当且仅当311x x=++，即1x =时等号成立， 所以()2301x x y x x++=>+的最小值是1-，故选B.4．已知a ，b 都为正实数，21a b +=，则ab 的最大值是( ) A ．29B ．18C ．14D ．12【答案】B 【解析】因为a ，b 都为正实数，21a b +=，所以221212228ab a b ab +⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2a b =，即11,42a b ==时，ab 取最大值18. 故选B5．已知正实数a 、b 满足a+b=ab ，则ab 的最小值为（ ） A ．1 B ．C ．2D ．4【答案】D 【解析】 ∵ab=a+b≥2，≥2，∴ab≥4，当且仅当a=b=2时取等号，故ab 的最小值为4，故选：D ．6．若0,0,31x y x y >>+=，则113x y+的最小值为（ ） A ．2 B ．12x xC ．4D．【答案】C 【解析】11113()(3)224333y x x y x y x y x y +=++=++≥+=,当且仅当132x y ==时取等号，故113x y+的最小值为4，选C. 7．若正数,m n 满足21m n +=，则11m n+的最小值为（ ）A ．3+B ．3C ．2+D ．3【答案】A 【解析】由题意，因为21m n +=，则11112()(2)333n m m n m n m n m n +=+⋅+=++≥+=+，当且仅当2n mm n =，即n =时等号成立，所以11m n+的最小值为3+ A.8．若两个正实数x ，y 满足211x y+=，则2x+y 的最小值为（ ）A ．9B ．7C ．5D ．3【答案】A 【解析】两个正实数x y ，满足211x y+=，则()2122224159y x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=+++≥+=⎪⎝⎭，当且仅当22y xx y=，即3x y ==时取等号， 故2x y +的最小值为9. 故选A ． 9．若正实数满足，则（ ）A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．有最大值【答案】D【解析】对于A，取，则，故A错误；对于B，取，则，故B错误；对于C，取，则，故C错误；对于D，因为，又，故，即，当且仅当时等号成立，故D正确.10．已知关于、的方程组：（其中、）无解，则必有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由方程组得x+b(1-ax)=1,所以方程（1-ab）x=1-b无解.所以当ab=1,且a,b不同时为1，其中、，∴，即.故选:B11．若正数a，b满足111a b+=，则1911a b+--的最小值为（）A．6B．9C．12D．15【答案】A【解析】由111a b+=得：1111ab a a-=-=，即：1aba=-0b>，0a>10a∴->()19191916111111a a ab a a a ∴+=+=+-≥=------ 当且仅当()1911a a =--，即4a =时取等号 min19611a b ⎛⎫∴+= ⎪--⎝⎭本题正确选项：A12．设，，均为正实数，则三个数，，( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2【答案】D 【解析】 假设，，均小于，则，又因为，，，故，这与矛盾， 故假设不正确，即，，至少有一个不小于．故选D ． 二、填空题13．若0a >，0b >，25a b +=，则ab 的最大值为__________． 【答案】258【解析】因为0a >，0b >，25a b +=，所以21122522228a b ab a b +⎛⎫=⋅≤=⎪⎝⎭， 当且仅当2a b =时，取等号； 故答案为25814．若a b >，则()82a b a b-+-的最小值为______．【答案】8 【解析】因为a b >，所以()828a b a b -+≥=-, 当且仅当2a b -=时取等号,即()82a b a b-+-的最小值为8.15．若矩形的长和宽分别为，其对角线的长为5，则该矩形的周长的最大值为______________.【答案】【解析】 由已知得，，所以，因为，所以，所以，当且仅当时取等号，所以该矩形的周长的最大值为.故答案为. 16．若，且，则的最小值为_______．【答案】【解析】由a 2+2ab ﹣3b 2＝1得（a+3b ）（a ﹣b ）＝1，令x ＝a+3b ，y ＝a ﹣b ，则xy ＝1且a ，b ，所以a 2+b 2＝（）2+（）2，当且仅当x 2，y 2时取等．故答案为．三、解答题17．已知正实数a ，b 满足，求的最小值.【答案】 【解析】，当且仅当，即时取等号，的最小值为.18．设,x y 都是正数，且123x y+=，求2x y +的最小值．【答案】83. 【解析】∵123x y +=，∴11213x y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. ∴()()11222123x y x y x y x y ⎛⎫+=+⨯=+⨯+⎪⎝⎭1414433y x x y ⎛⎛⎫=+++ ⎪ ⎝⎭⎝ (83)=. 当且仅当4y x x y=，即2y x =时，取“＝”． 又∵123x y +=，∴23x = 43y =.∴2x y +的最小值为83. 19．已知，求证：.【答案】证明见解析 【解析】 证明：，， ，上面三式相加，得：，所以，.20．某单位建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为302m ，房屋正面每平方米造价为1500元，房屋侧面每平方米造价为900元，屋顶造价为5800元，墙高为3米，且不计算背面和地面的费用，问怎样设计房屋能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 【解析】令房屋地面的正面长为x m ，侧面宽为y m ，总造价为z 元， 则30x y ⋅=，1500390065800450054005800z x y x y =⋅+⋅+=++，∵45005400229003054000x y +≥=⨯=⨯⨯=， ∴45005400580054000580059800z x y =++≥+=，当且仅当4500540030x y x y =⎧⎨⋅=⎩即65x y =⎧⎨=⎩时取等号，答：房屋正面长为6m ，侧面宽为5m 时，总造价最低为59800元. 21．已知，．（1）求的最小值；（2）是否存在，满足？并说明理由．【答案】（1）；（2）不存在. 【解析】（1），当且仅当时，等号成立．所以的最小值为2．（2）不存在． 因为，所以，又，所以．从而有，因此不存在，满足．22．设a>0，b>0，且证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：由，a>0，b>0，得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab＝1矛盾．故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．。
《均值不等式》例题-完整版课件
【解析】 (1)设污水池的长为 x，则宽为40x0，总造价
y＝2x＋2·40x0·200＋2·250·40x0＋80×400
＝ 400x＋90x0 ＋ 32 000≥400·2
•
某工厂拟建一座平面图为矩形且面
积为400平方米的三级污水处理池，平面图
如下图所示．池外ห้องสมุดไป่ตู้建造单价为每米200元，
中间两条隔墙建造单价每米250元，池底建
造单价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不
计，且池无盖)．
• (1)试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并 求出最低造价；
• (2)若受场地限制，长与宽都不能超过25米，则 污水池的最低造价为多少？
【解析】 ∵a＞2，∴a－2＞0， 又∵m＝a＋a－1 2＝(a－2)＋a－1 2＋2， ∴m≥2 a－2×a－1 2＋2＝4，即 m∈[4，＋∞)． 由 b≠0 得 b2≠0，∴2－b2＜2，∴22－b2＜4，即 n＜4， ∴n∈(0,4)，综上易得 m＞n.
【答案】 A
已知 a、b、c 为正数，求证：b＋ac－a＋c＋ab－b ＋a＋bc－c≥3.
从而ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc≥6(当且仅当 a＝b＝c 时取 等号)．
∴ba＋ab＋ac＋ac＋bc＋bc－3≥3， 即b＋ac－a＋c＋ab－b＋a＋bc－c≥3.
【思路点拨】 因为 x<54，∴4x－5<0，故应先处理符号， 再将 4x－2 化为 4x－5＋3，然后用基本不等式．
【解析】 ∵x＜54，∴5－4x＞0， ∴y＝4x－2＋4x－1 5＝－[(5－4x)＋5－14x]＋3≤－2＋3 ＝1， 当且仅当 5－4x＝5－14x时，即 x＝1 时，上式等号成立． ∴x＝1 时，ymax＝1.
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12．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______．
13．若 ， ， ，则 的最小值为______．
14．若 ，则 的最小值为________.
15．已知a，b都是正数，满足 ，则 的最小值为______．
16．已知 ， 且 ，则 的最小值为______．
17．已知点 在圆 上运动，则 的最小值为___________．
18．若函数 的单调递增区间为 ，则 的最小值为____．
19．已知正实数 ， 满足 ，则 的最大值为______.
20．已知 ， ，则 的最小值为____．
参考答案
1．
【解析】
【分析】
根据对数相等得到 ，利用基本不等式求解 的最小值得到所求结果.
【详解】
则 ，即
由题意知 ，则 ，
则
当且仅当 ，即 时取等号
【点睛】
本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.
3．4.
【解析】
【分析】
直接利用代数式的恒等变换和利用均值不等式的应用求出结果．
【详解】
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当且仅当 ， 时取等号，
故答案为：4.
【点睛】
本题考查的知识要点：代数式的恒等变换，均值不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．
均值不等式专题
一、填空题
1．若 则 的最小值是__________．
2．若 ,且 则 的最大值为______________.
3．已知 ，且 ，则 的最小值为______．
4．已知正数 满足 ，则 的最小值是_______.
5．若直线2ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4，则 + 的最小值是______．
20．2
【解析】
【分析】
将 分子分母同时除以 得到 ，换元令然后 ＝t，t＞0，根据基本不等式求解即可得到最小值．
【详解】
∵x，y＞0，则 ＝ ，
设 ＝t，t＞0，
则 ＝（t+1）+ ﹣2≥2 ﹣2＝4﹣2＝2，
当且仅当t+1＝ ，即t＝1时取等号，此时x＝y，
故 的最小值为2，
故答案为：2
【点睛】
【详解】
圆 ，即 ，表示以 为圆心、半径等于2的圆．
再根据弦长为4，可得 经过圆心，
故有 ，
求得 ，则 ，
当且仅当 时，取等号，
故则 的最小值为4，
故答案为：4
【点睛】
本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．
6．8
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最小值.
【详解】
令 ，
则
当且仅当 时取等号.即 的最小值为8.
6．设正实数 满足 ，则 的最小值为________
7．已知 ，且 ，则 的最小值是________
8．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值是______
9．已知 ，函数 的值域为 ，则 的最小值为________．
10．已知 ， ，且 ，则 的最小值为__________．
11．若正数x，y满足 ，则 的最小值是______．
4．
【解析】
【分析】
由题得 ，所以 ，再根据基本不等式即可求出答案．
【详解】
正数 ， 满足 ，则 ，
则
，
当且仅当 时，即 ， 时取等号，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了条件等式下利用基本不等式求最值，考查了变形的能力，考查了计算能力，属于中档题．
5．4
【解析】
【分析】
由题意可得 经过圆心，可得 ，再 + 利用基本不等式求得它的最小值．
故答案为：9．
【点睛】
本题考查基本不等式的运用，注意运用“1”的代换，考查化简运算能力，属于基础题．
14．
【解析】
【分析】
由基本不等式，可得到 ，然后利用 ，可得到最小值，要注意等号取得的条件。
【详解】
由题意， ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以当 时， 取得最小值 ．
【点睛】
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
7．
【解析】
【分析】
根据基本不等式求最小值.
【详解】
因为 ,当且仅当 时取等号，所以 的最小值是
由题意可知，点 在椭圆 上运动，得 ，则 ，构造基本不等式，即可求出结果.
【详解】
∵点 在椭圆 上运动， 即 ，
则
，当且仅当 时，取等号，
即所求的最小值为 .
【点睛】
本题主要考查了利用椭圆的方程，利用基本不等式求解最小值，解题的关键是利用了 的代换，从而把所求的式子变形为积为定值的形式，根据基本不等式即可求出结果.
本题正确结果：
【点睛】
本题考查基本不等式求解和的最小值问题，关键是能够利用对数相等得到 的关系，从而构造出符合基本不等式的形式.
2．
【解析】
【分析】
先平方，再消元，最后利用基本不等式求最值.
【详解】
当 时， ， ，所以 最大值为1，
当 时，因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，即 最大值为 ，
综上 的最大值为
10．
【解析】
【分析】
由已知将 化为一次式，运用“1”的变换，再利用基本不等式可得.
【详解】
因为 ，所以 ，
= （当且仅当 ，即 ， 时取等号），
所以 的最小值为 ，
故答案为 .
【点睛】
本题考查基本不等式及利用基本不等式求最值,将所求式运用“1”的变换，化为积为常数的形式是关键，属于中档题.
11．
【解析】
利用基本不等式求最值必须具备三个条件：
①各项都是正数；
②和（或积）为定值；
③等号取得的条件。
15．3
【解析】
【分析】
由已知可知， ，整理结合基本不等式可求.
【详解】
解： ，b都是正数，满足 ，
则 ，
当且仅当 且 ，即 时， 取得最小值3，
故答案为：3．
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是进行1的代换配凑基本不等式的应用条件，属于基础题.
【分析】
利用乘“1”法，借助基本不等式即可求出．
【详解】
正数x，y满足 ，则 ，
，
当且仅当 时取等号，
故 的最小值是12，
故答案为：12
【点睛】
本题考查了基本不等式及其应用 属基础题．
12．2
【解析】
【分析】
利用“1”的代换，求 得最值，再对 直接利用基本不等式求 得最值，再结合题意求解即可
【详解】
【点睛】
在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
8．
【解析】
【分析】
由已知分离 ，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．
【详解】
正实数x，y满足 ，则
16．15
【解析】
【分析】
对 变形可得原式 ，由 ，利用 ，利用基本不等式求最值即可。
【详解】
解： ， 且 ， ，
故 ．（当且仅当 时取“=”）.
问题，利用基本不等式是解决本题的一个常见方法，考查了转化思想的应用，是一道中档题。
17．1
【解析】
【分析】
9．
【解析】
【分析】
由函数 的值域为 ，可得 ， 化为 ，利用基本不等式可得结果.
【详解】
的值域为 ，
，
，
，
，
当 ，即 是等号成立，
所以 的最小值为 ，
故答案为 .
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，以及基本不等式的应用，属于中档题.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
19．3；
【解析】
【分析】
将原式子变形得到 再由均值不等式可得到最值.
【详解】
已知正实数 ， 满足 ，根据均值不等式得到 等号成立的条件为：x=2y+2.
故答案为：3.
【点睛】
这个题目考查了均值不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
当且仅当 且 即 ， 时取得最小值是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
18．4
【解析】
【分析】
利用二次函数的单调增区间求得 ，再利用 ，利用基本不等式可求最小值．
【详解】
的对称轴为 ，故 ，
又 ，当且仅当 时等号成立，从而 的最小值为 ，填 ．
【点睛】
应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.