专题01不等式(3大重难点详细讲解)…难点及压轴题突破

第1讲——不等式（3大难点）难点1：基本不等式（1）——配凑均值不等式在高考数学中，我们经常会遇到求两个数的积的最大值，对于这类题我们需要构造不等式，利用基本不等式来求解，即a b +≥【例题】（多选）已知0a >，0b >，且21a b +=，则下列不等式一定成立的有 A.18ab ≤C.2214a b +≥ B.12a b +>D.41313a b +≥++ 【答案】ABD 【解析】由题意， 对于选项A ，我们发现要求的是从a 和b 的乘积的范围，而题目中所给的是2a 和b ，因此我们考虑配凑一个2ab .∵0a >，0b >，且21a b +=，∴22a b+≥ 化简得出ab 的不等式，而我们知道21a b +=，即可得出的范围.∴2121228a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当122a b ==时，等号成立， A 正确； 对于选项B ，我们知道21a b +=，而我们要求的是a 和b 的和的取值范围，我们发现条件是两个数字的和，让我们求的也是两个数字的和，不能使用均值不等式，那该怎么办呢？对于题目条件是两个数字和的形式，我们可以借助题目条件进行换元，我们把其中一个字母用另一个字母来表示，进而利用等式和0a >，0b >求出a 和b 的和的取值范围. ∵12(0,1)b a =-∈，∴0,2a ∈ ⎪⎝⎭ ，∴11,12a b a ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭ ，B 正确； 对于选项C ，我们要求2a 和2b b 用含a 的式子表达，得出只含a 的表达式，即可求出2a 和2b 的和的取值范围.∵10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴222222211(12)5415555a b a a a a a ⎛⎫+=+-=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， C 错误； 对于选项D ， 我们要求411a b ++的范围，分母不是单独的a 和b 1a +和b 分别设为x 和y ，将求411a b++的范围转化为求41x y+的范围，将已知等式化为23x y +=.而所求的是分母中含有x 和y ，已知等式中含有x 和y ，因此我们为了消去分母中的x 和y 考虑用乘法，而由于等式和是3，因此用乘法时需要乘13.设110,x a y b =+>=>， ∴23x y +=，∴24814141141(2)133x y y xx y a b x y x y +++⎛⎫+=+=++= ⎪+⎝⎭，这样，分子和分母中都包含了x 和y ，相乘即可消掉，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出411a b++的范围.∴8133y x+++≥=+，当且仅当2y x =时， ∵23x y += ，∴当3(4737x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，D 正确. 故选：ABD.【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点：（1）换元法一般是将分母的式子设成两个新的未知量，然后将已知的等式化为两个未知数的等量关系，进而利用“1”的性质求解；（2）如果给出了一个含有,a b 等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有,a b ，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练1】（多选）已知正实数,a b 满足4a b +=，则下列说法正确的是 A. 4ab ≤ B. 223a b +≤ C.1494a b +≥ D.1111a b≤+【答案】ACD 【解析】对于 A ， 利用基本不等式2a b+≥， 将 4a b += 代入，得 4ab ≤ ， 当且仅当 2,2a b == 时等号成立， 故A 正确；对于B ， 222()21628a b a b ab ab +=+-=-≥ ， 当且仅当 2,2a b == 等号成立，故B 错误； 对于C ，1414559444444a b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当 48,33a b == 时等号成立，故C 正确； 对于D ，111114ab aba b a b a bab===≤+++， 当且仅当 2,2a b == 时等号成立， 故D 正确； 故选：ACD【变式训练2】已知821(0,0)a b a b +=>>，则ab 的最大值为 . 【答案】164【解析】由题意，211821821616264a b ab a b +⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭, 当且仅当11,164a b ==时取等号， ∴ab 的最大值为164.故答案为：164.难点2：基本不等式（1）——两个复杂分式求和的最小值在高考数学中，我们经常会遇到两个复杂分式求和的最小值，对于这类题我们需要通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，进而构造不等式，利用基本不等式来求解，即a b +≥【例1】已知实数,x y 满足0x y >>且2x y +≤，则213x y x y++-的最小值为 .【答案】34+ 【解析】由题意，题目给的是,x y 和x y +范围，我们要求的是213x y x y ++-的最小值，即是求213x y x y++-的范围，我们在上一道题中发现，对于这种分式的加和，我们一般是通过乘以“1”的形式进行转化，而乘以的对象一般是两个分母的加和相关的形式，因此我们需要先求3x y x y ++-的范围.∵()2,3222x y x y x y x y x y +≤++-=+=+， ∴()324x y x y x y ++-=+≤，即()1314x y x y ++-≤， 和难点1一样，我们将3x y +和x y -分别看成一个整体，已知的等式中含有3x y +和x y -，我们要求的式子分母中含有3x y +和x y -，若消去分母则需用乘法，而基本不等式既可以转化成两数相乘，还可以求范围，因此我们考虑用基本不等式，即可求出213x y x y++-的范围. ∴()2112112233334343x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫-++≥++-+=++ ⎪ ⎪+-+-+-⎝⎭⎝⎭， ∵0x y >>，∴0x y ->，∴2233x y x yx y x y-++≥+-当且仅当5xy=+∴min21334x y x y ⎛⎫++= ⎪+-⎝⎭，故答案为：34+. 【总结】在求解不等式问题的时候，我们需要注意以下几点： （1）求和的最小值的时候，往往考虑正用基本不等式；（2）如果给出了一个含有,a b 等式，并且所求范围的式子中含有分母项，且分母中含有,a b ，就可以利用“1”的性质，使用不等式来进行计算.【变式训练】若,00x y >>，且224log 3log 9log 81x y +=，则213x y+的最小值为 .【答案】43+ 【解析】由题意，∵0,0x y >>∴4224222222log 31log 3log 3log 3log 3log 42xy+===，()222222log 3log 9log 33log 3x y x y x y ++=⋅=，∴2222log 3log 3x y +=， ∴22x y +=，即()1212x y +=， ∴()21121124182232323323y x x y x y x y x y ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝1823⎛== ⎝⎭当且仅当43y x x y =，即4322y xx y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得61x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩∴min21433x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭难点3：三个及以上正数的算术——几何平均不等式在高考数学中，我们遇到的不等式证明题往往是两个数以上的，对于两个数以上的这类不等式证明，如何配凑是解决此类问题的难点。

对于此类问题，我们常常用推导的基本不等式，即几何平均不等式来求解，我们有如下定理。

定理如果,,a b c +∈R ，那么3a b c ++≥当且仅当a b c ==时，等号成立。

这个不等式可以表述为：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均。

事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数12,,,n a a a ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即1212nnn a a a a a na +++当且仅当12n a a a ===时，等号成立。

【例题】已知,,a b c 为正数，且满足3a b c abc ++=.证明： （1）3ab bc ca ++≥； （2）2221113a b c++≥.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）第一步：对于3个数的和，左边是加法，右边却是三个数相乘的形式。

那么如何从加法变成乘法呢？在我们所学过的知识中，只有基本不等式是将加法和乘法联系起来的，而基本不等式是两个数相加，这里是三个数，因此我们想到用推导的基本不等式（几何平均不等式）求范围∵a b c ++≥a b c ==时取等号）∴3abc ≥1abc ≥（当且仅当1a b c ===时取等号）我们得出是三个数的乘积，而题目中所给的是三个数两两相乘后的相加，而三个数,,ab bc ca 相乘后恰好含有三个数两两相乘abc ，又是左边加法右边乘积的形式，继续使用推导的基本不等式（几何平均不等式）.第二步：将三个乘积看成是三个数相加，继续使用几何平均不等式。

∵ab bc ca ++≥1abc ≥∴3ab bc ca ++≥（当且仅当1a b c ===时取等号）（2）我们发现给出的等式中右边是3abc ，要证明的不等式右边是3，我们想到可能是左边的分母的原因消掉了abc ，如果要消掉abc ，就需要每个分母中至少含有其中两个. 第一步：分别两两利用基本不等求出范围，并相加. ∵22112a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）， 22112b c bc +≥（当且仅当b c =时取等号）， 22112c a ca+≥（当且仅当c a =时取等号）， ∴22211111122a b c ab bc ca ⎛⎫⎛⎫++≥++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴222111111a b c ab bc ca++≥++， 第二步：我们得出每个分母含有其中两个数字后，通分即可得到分子是包含abc 项的，利用三个乘积的倒数和为1，即可证明不等式.∵11133a b c abc ab bc ca abc abc ++++===， ∴2221113a b c++≥（当且仅当1a b c ===时取等号） 【总结】使用几何平均不等式的时候，不同公式的选取取决于我们的“目的” （1）如果在含有,,a b c 的式子中想构造多项乘积abc ，就可以直接使用集合平均不等式（2）如果在含有,,a b c 的式子中想构造两项乘积,,ab bc ac ，就可以利用“两两配对”使用两项均值不等式【变式训练】已知,,a b c 都是非负实数，证明：2b a c a b c b++≥+；【答案】证明见解析. 【解析】由题意，第一步：构造三元基本不等式, 即可证明不等式成立.由三元基本不等式知，112b a c b a b c a b c b a b c b +++=++-≥=++ 当且仅当b a b c a b c b+==+，即a b =且0c =时取等号.。