质点动力学习题课[1]
质点动力学习题课
4. 有一单摆，用一水平力作用于 有一单摆，用一水平力作用于m 使其缓慢上升。 使其缓慢上升。当θ 由 0 增大到θ 0 时 ， 此力的功。 求: 此力的功。 F T sinθ = 0 { d θ T cos mg = 0 θ Lθ 解得： 解得： F = mg tgθ T ds ds = Ld θ m . ds = F ds cosθ dA = F F F L cos d = θ θ mg = mg tg L cos d θ θ θ θ A = ∫ mg L sin d = mg L ( 1 cos 0 ) θ θ θ 0
W = W外 +W保内 +W非保内 = Ek − Ek0
(2)功能原理 功能原理
W外 +W非保内 = E − E0 = (Ek + Ep ) − (Ek0 + Ep0 )
(3)机械能守恒定律 机械能守恒定律
W外 = 0,W非保内 = 0, E = E0或∑(Ek + Ep ) = 0
四、质点角动量及其规律 1、角动量 、 (1)质点：L = r × mv 质点： 质点 (2)质点系：L = 质点系： 质点系 2、角动量规律 、 转动动力学方程 角动量定理 角动量守恒定律
d( xy) dy dx y =x + dt dt dt
v = −gt v2 l−y= 2g 1 2 y = l − gt 2
dy v= dt
dv −g= dt
d( yv) 2 = − yg + v dt = − yg + 2(l − y)g
N = 3ρg(l − y)
6. 一篮球质量 一篮球质量0.58kg，从2.0m高度下落，到 高度下落， ， 高度下落 达地面后，以同样速率反弹， 达地面后，以同样速率反弹，接触时间仅 0.019s，求：对地平均冲力？ ， 对地平均冲力？ 解：篮球到达地面的速率
01 质点运动学和动力学习题答案
(2)由题知：
������������ ������ ������ = − ������ ������������
������ ������������
������ ������
∫
������0
dt dv A Bv
t
v
dt
dv
0
0 A Bv
t 1 [ln( A Bv) ln A] B
即： v A (1 eBt ) B
（2） v dy A (1 eBt ) dy A (1 eBt )dt
dt B
B
y
dy
t A (1 eBt )dt
（2）������ = |���⃑���| = 2√16������2 + 1
���⃑��� = ���������⃑⃑��� = 8���⃑���
������������
������������
32������
������������ = ������������ = √16������2 + 1
������d������， 1
������0
−
1 ������
=
−
1 2
������������2
������
=
2
2������0 + ������������0������2
4．t=1s
分析：由 an
a ，������
= ������������������， a
v2 R
可得。
大学物理习题课件2.质点动力学1
当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f=kv(k
为常数），证明小球在水中竖直沉降的速度v与时间t
的关系为
v
mg
F
(1
kt
em
)
k
F
式中t为从沉降开始计算的时间
证明：作受力图，取坐标。
f
根据牛顿第二定律，有
mg kv F ma m dv dt
a x
mg
mg kv F ma m dv dt
静摩擦力： 0 f N
摩
0
0
擦
方向：与物体相对滑动趋势的方向相反
力 滑动摩擦力： f N
方向：与物体相对运动的方向相反
判断下列情况中的摩擦力的方向：
F
F
四、牛顿运动定律的应用
1、动力学的两大类问题
（1）已知运动求力：
r r t v t
dr
at
dv
F
ma
（2）已知力求运动：
dt
dt
直角坐标系：
Fx
max
m
dvx dt
,
自然坐标系：
F
ma
m
dv , dt
Fy
may
m
dvy dt
Fn
man
m
v2
例2-1：升降机内有一固定光滑 斜面，倾角为，如
图物A所体对解示A地：沿。设的斜当A加面相升速滑对降度下于机为，斜以求面a匀 A的加对a加速地速a面a度0 0上的为升加a时速＇Y，度质。量为Am的aN0
ax＝ax＝a cos
a'
mg
ay＝ay a０＝a０ a sin
根据牛顿第二定律，有
N sin ＝macos
力学课件 质点动力学习题课
第二章教学基本要求：⒈理解牛顿运动定律的基本内容，掌握牛顿运动定律的适用条件。
⒉掌握常见力的性质和计算方法，能熟练地分析物体受力。
⒊熟练掌握运用牛顿定律和运动学知识解题的思路和步骤，并能科学地表述。
能用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。
内容提要:牛顿定律第一定律: 任何物体如果不受其它物体的力的作用，就会保持静止或匀速直线运动的状态。
第二定律: )(d d vm tF =当质量m 为常量时，a m F= 在直角坐标系中，z z y y x x ma F ma F ma F ===,,在自然坐标系中，ρ2,v mF dt dv m F n t ==第三定律: 2112F F-=力学问题中的几个常见力万有引力 G 2r mM重力 mg弹簧力 f = -kx 正压力与支持力 N= -N ′ 滑动摩擦力 f μ = μN 静摩擦力 f μ ≤μN习题1：一半径为R 的环形竖直壁固定在光滑的水平面上，如题图所示，一质量为m 的物块紧靠着壁的内侧在水平面上运动。
已知物块与环形壁之间的摩擦系数为μ，0=t 时物块的速率为0v ，求物块的速率v 随时间t图2-7解： 研究对象：m 受力： 自然坐标系 方程：法向： R v m N 2= （1）切向： dt dvm f r =- （2）N f r μ= （3） 求解：由 上 述 各 式 可 得 dt dvR v =-2μ分离变量法⎰⎰-=v v t v dv R dt 020μ得： t v R Rv v 00μ+=图2-7f习题2：一细绳跨过光滑的定滑轮,一端挂一m 重物,另一端被人用双手拉着,人悬空,质量 m/2,若人以相对于绳的加速度0a 向上爬,且不打滑,求:人相对于地的加速度。
解：如图建坐标,分别选人和重物m 为对象, 受力分析,设m 对地加速度为a ： 对m ：ma mg T =-对人：)(21210a a m mg T -=- 解得：30g a a -=人相对于地的加速度为3200ga a a +=-习题3：一根弯成如图所示形状的金属丝，其上套一小环，设环与金属丝间的摩擦可略去不计.当金属丝以匀角速度ω绕竖直对称轴转动时，小环在金属丝上任何地方都能平衡，即与金属丝无相对运动，问这根金属丝要弯成什么形状?解 : 小环受力如图所示, 当小环位置坐标为x y 、时其动力学方程为 :N m xN mg sin cos θωθ==2而 x y d d tg =θ ,所以 g xx y 2d d ω=积分得y xgc=+ω222 由x =0, y =0 定出 c =0m gθN∴yxg=ω222 .此即金属丝形状所满足的方程，应为顶点即坐标原点，口向上的抛物线。
质点动力学习题课[1]
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4．对功的概念有以下几种说法： ［ ］ （1）保守力作正功时，系统内相应的势能 增加； （2）质点运动经一闭合路径，保守力对质 点作的功为零； （3）作用力和反作用力大小相等、方向相 反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A) (1)、(2)是正确的 (B)只有(2)是正确的 (C) (2)、(3)是正确的 (D) 只有(3)是正确的
K K 2．某质点在力 F = (4 + 5 x)i (SI)的作用
下沿x轴作直线运动，在从x＝0移动到 x＝10m的过程中，力所做的功为 。
3．一质量为m的质点在指向圆心的平方 反比力F =－k／r2的作用下，作半径为r的 圆周运动。此质点的速度v =__________。 若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机 械能E =________。
2．一质点在力F= 5m(5 - 2t) (SI)的作用 下，t =0时从静止开始作直线运动，式中 m为质点的质量，t为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为 (单位m·s-1) ［ (A) 50 (B) 25 (C) 0 ］
(D) -50
3．如图所示，一个小物体，位于光滑的 水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的 另一端穿过桌面中心的小孔O。该物体原以 角速度ω 在半径为R的圆周上绕O旋转，今 将绳从小孔缓慢往下拉。则物体 ［ ］ (A) 动能不变，动量改变 R (B) 动量不变，动能改变 O (C) 角动量不变，动量不变 (D) 角动量改变，动量改变 (E) 角动量不变，动能、动量都改变
∫ (C) − ∫
(A) −
l2
l1 l 2 − l0
kx d x
l1 − l0
kx d x
∫ (D) ∫
(B)
l2
l1 l 2 − l0 l1 − l0
质点动力学习题课
求 m1 和 m2 的加速度和绳中的张力。 解 取电梯为参考系
对m1 有
O'
T
对m2 有
T
m2g
m1g
一光滑斜面固定在升降机的底板上，如图所示，当升降机以 匀加速度a0 上升时，质量为m 的物体从斜面顶端开始下滑。 求 物体对斜面的压力和物体相对斜面的加速度。 解 方法（一）取地面为参考系
设物体的加速度为
竖直方向有 运动轨迹为
设一物体在离地面上空高度等于地球半径处由静止落下。 求 它到达地面时的速度（不计空气阻力和地球的自转）。 解 以地心为坐标原点，物体受万有引力
在地面附近有
可得：
把一个物体从地球表面上沿铅垂方向以第二宇宙速度
发射出去，阻力忽略不计， 求 物体从地面飞行到与地心相距 nRe 处经历的时间。 解 根据机械能守恒定律有:
平均冲力的大小和方向。
v2
30o
45o
n
v1
解法一：取挡板和球为研究对象， 由于作用时间很短，忽略重力影 响。设挡板对球的冲力为 则有： 取坐标系，将上式投影，有：
y
v2
O
30o
45o x n
v1
mv1
mv2
mv1
为 I 与 x 方向的夹角
解法二 应用余弦定理、正弦定理解三角形
mv1
mv2
mv1
m
x 方向
y 方向
y
x
方法（二） 取升降机为参考系 惯性力
x 方向 y 方向
y x
质量为2.5g的乒乓球以10 m/s 的
速率飞来，被板推挡后，又以
20 m/s 的速率飞出。设两速度在
垂直于板面的同一平面内，且
它们与板面法线的夹角分别为
第2章质点动力学习题
质点动力学练习题（一）姓名 学号 专业班级一、选择题。
1、三个质量相等的物体A 、B 、C 紧靠在一起，置于光滑水平面上，如图。
若A 、C 分别受到水平力F 1和F 2（F 1>F 2）的作用，则A 对B 的作用力大小为:( )(A) 1F ； (B) 12-F F ； (C) 122+33F F ； (D) 122-33F F ； (E) 122+33F F 2、如图所示，两物体的质量分别为m A 和m B ，一起在水平面上沿x 轴作匀减速直线运动，加速度大小为a ，A 、B 的最大静摩擦系数为μ，则A 作用于B 的静摩擦力F的大小和方向分别为:( )(A) μm B g ，与x 轴正方向相反； (B) μm B g ，与x 轴正方向相同；(C) m B a ，与x 轴正方向相同； (D) m B a ，与x 轴正方向相反。
3. 一质量为2 kg 的物体沿xoy 平面运动，其运动方程232.5r =t i +t j （SI ），则当t =2s 时，则该物体所受到的合力大小为：( )(A) 12 N ； (B) 13 N ； (C) 24 N ； (D) 26 N 。
二、填空题。
1、一质量为0.25 kg 的物体，受拉力F ti =，式中t 为时间。
t = 0时该质点以2v j =速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位置矢量为 ，t = 1s 时速度的大小为 m/s 。
2、如图，把一根均匀的棒AC 放置在光滑桌面上。
已知棒的质量为M ，长为L ，用一大小为F 1的力沿水平推棒的左端。
设想把棒分成AB 和BC 两段，且BC 段的长度为L /5,则AB 段对BC 段的作用力为 。
3、如图，两定滑轮与绳质量忽略不计，绳子不可伸长，不计所有摩擦，在水平外力作用下，质量分别为m 1和m 2的两物体加速度a = ，绳中张力T= 。
三、判断题1、物体所受合外力不为零，则速率必然越来越大。
（）2、牛顿第二定律仅适用于惯性系，研究对象应为低速运动的宏观物体。
高二物理竞赛课件：质点动力学习题 (1)
(1)木块的下滑过程 (2)碰撞过程
m
9
解 (1)木块的下滑过程
(M+m+地球)：机械能守恒。选弹簧原长处为零 势点，则有
求得
方向沿斜面向下。
m
1
10
(2)碰撞过程 (M+m): 只有沿斜面方向系统动量守恒:
M1-m cos=(M+m)2 解出: 2=-0.89m/s。
负号表示此速度的方向沿斜面向上。
质点动力学习题
1
例题 半球面(R 、M) , 球面和地光滑， m、M静 止，若在角处m开始脱离球面，试求：
(1) 角满足的关系式； (2)分别讨论m/M<<1和m/M>>1时cos的取值。
解 (1)小物体脱离球面的条 件是：N=0。
m相对球面作圆运动， m
离开球面的瞬间球面是惯性
系，于是沿法向有
Vx
N
m
1
11
例题 要从地面以初速o发射卫星m进入离 地心为r的圆轨道，求o =？(地球: me、Re，
不计空气阻力)
解 圆轨道： 机械能守恒：
12
例题 质点作园周运动，半径为r，受力： (k为常量) ，方向指向园心。取无穷远为零势 点，求该质点的机械能。
解 r
o
机械能
13
讨论：(1)当r=Re时,
中的x、是m对地的速度。
m
R M
N
mg r
4
由速度合成定理: (4)
(5)
(1)
y
解上述式子得:
(2)
x m
N
(3)
Vx
R
M mg r
5
(2) 当m/M<<1，即M>>m时,
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K K 2．某质点在力 F = (4 + 5 x)i (SI)的作用
下沿x轴作直线运动，在从x＝0移动到 x＝10m的过程中，力所做的功为 。
3．一质量为m的质点在指向圆心的平方 反比力F =－k／r2的作用下，作半径为r的 圆周运动。此质点的速度v =__________。 若取距圆心无穷远处为势能零点，它的机 械能E =________。
4．人造地球卫星绕地球作椭圆运动，近 地点为A，远地点为B。A、B两点距地心分 别为r1 、r2 。设卫星质量为m，地球质量为 M，万有引力常量为G。则卫星在A、B两点 处万有引力势能之差EPB －EPA= 卫星在A、B两点的动能之差 EPB－EPA＝ 。
地心 r1 r2 B A
；
三、计算题
K K K 开始时粒子A的速度 v A 0 = 3i + 4 j ，粒 K K K 子B的速度 v B 0 = 2i − 7 j ；在无外力作
∫ (C) − ∫
(A) −
l2
l1 l 2 − l0
kx d x
l1 − l0
kx d x
∫ (D) ∫
(B)
l2
l1 l 2 − l0 l1 − l0
kx d x kxdx
二、填空题
1．设作用在质量为1 kg的物体上的力 F＝6t＋3（SI）。如果物体在这一力的作 用下，由静止开始沿直线运动，在0到2.0 s 的时间间隔内，这个力作用在物体上的冲 量大小Ｉ＝_____________。
用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A的
1．粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，
K K K 速度变为 v A = 7i − 4 j
的速度？
，则此时粒子B
2．质量为m的雨滴下降时，因受空气阻 力，在落地前已是匀速运动，其速率为 v = 5.0 m/s。设空气阻力大小与雨滴速率 的平方成正比，问：当雨滴下降速率为 v = 4.0 m/s时，其加速度a多大？
G (2)求质点所受的合外力 F 以及当质点从A G G G 点运动到B点的过程中 F 的分力 Fx 和 Fy 分
别作的功。
思考题：
在光滑水平面上，平放着固定半圆形屏 障，质量为m的滑块以初速度v0沿切线方向 从一侧进入屏障，滑块与屏障间的摩擦系 数为μ，求滑块从屏障另一侧滑出时，摩 擦力所做的功。
G G G G Δr = 4i − 5 j + 6k (SI)，其中一个 移为： G G G G 力为恒力：F = −3i − 5 j + 9k (SI)，则
此力在该位移过程中所作的功为 ［ (A) -67J (B) 17J (C) 67J ］ (D) 91J
5．一个质点同时在几个力作用下的位
6．有一劲度系数为k的轻弹簧，原长为 l0，将它吊在天花板上。当它下端挂一托 盘平衡时，其长度变为l1。然后在托盘中 放一重物，弹簧长度变为l2，则由l1伸长至 l2的过程中，弹性力所作的功为［ ］
4．对功的概念有以下几种说法： ［ ］ （1）保守力作正功时，系统内相应的势能 增加； （2）质点运动经一闭合路径，保守力对质 点作的功为零； （3）作用力和反作用力大小相等、方向相 反，所以两者所作功的代数和必为零。 在上述说法中： (A) (1)、(2)是正确的 (B)只有(2)是正确的 (C) (2)、(3)是正确的 (D) 只有(3)是正确的
2．一质点在力F= 5m(5 - 2t) (SI)的作用 下，t =0时从静止开始作直线运动，式中 m为质点的质量，t为时间，则当t = 5 s 时，质点的速率为 (单位m·s-1) ［ (A) 50 (B) 25 (C) 0 ］
(D) 50
3．如图所示，一个小物体，位于光滑的 水平桌面上，与一绳的一端相连结，绳的 另一端穿过桌面中心的小孔O。该物体原以 角速度ω 在半径为R的圆周上绕O旋转，今 将绳从小孔缓慢往下拉。则物体 ［ ］ (A) 动能不变，动量改变 R (B) 动量不变，动能改变 O (C) 角动量不变，动量不变 (D) 角动量改变，动量改变 (E) 角动量不变，动能、动量都改变
质点动力学
习题课
一、选择题
1．人造地球卫星绕地球作椭圆轨道运 动，卫星轨道近地点和远地点分别为A和 B。用L和EK分别表示卫星对地心的角动量 及其动能的瞬时值，则应有 ［ ］ (A) LA>LB，EKA>EKB (B) LA=LB，EKA<EKB (C) LA=LB，EKA>EKB (D) LA<LB，EKA<EKB
3．物体质量为m，受到的合外力为： F= － kv2t，k为常数，假设其初速度为 v0，求速度减为v0 /2所经历的时间。
4．质量m＝2 kg的物体沿x轴作直线运 动，所受合外力F＝10＋6x2 (SI)。如果在 x=0处时速度v0＝0；试求该物体运动到x＝ 4 m处时速度的大小。
5 ．质量为m的质点在Oxy平面上运动， G G G 其位置矢量为：r = a cos ω t i + b sin ω t j (SI)式中a、b、ω是正值常量，且a＞b。 (1)求质点在A点(a，0)时和B点(0，b)时的 动能；