利息理论 第2章 等额年金 (上)
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利息理论第二章年金
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基本年金图示
1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 ------1
---1 1 ----
1 1
1
1---- 延付永久年金 1---- 初付永久年金 0--0--初付年金 延付年金
0 0 1 0
0
1
2
3
-------
n
n+1 n+2---
Page 6
2.1.1期末付年金
1 0 1
Page 20
假设分别在 1、2、3、…、n 时刻付款 1 的 n 次 付款所形成的付款系列，记该系列付款在 t 时的 值为 V(t)，则 V(0)、V(1)、V(n)、V(n+1)分别为
an 、 an 、 sn 和 sn ，对于其他任意（整数）点 t，
（1）如果 t<0（这里为了方便，我们允许负数作 为时间的标识数，其意义符合逻辑顺序，如-1 表 示在 0 前一期，-5 表示在 0 前 5 期） ，则 V(t)= (1+i)t an = v t an = ant - at 注意，这里 t<0 为负数； （2）如果 1<t<n，则 V(t)= (1+i)t an = vnt sn = st + ant ； （3）如果 t>n+1，则 V(t)= (1+i)t an = (1 i)t n sn = st - st n ；
Page 21
2.1.3 任意时刻的年金值
例 某人从1980年1月1日起开始向希望工程捐款，每年捐款支付3000元，到 2005年1月1日为止从未间断。该人还表示，他的捐款将持续到2019年1月1 日为止。假设年实质利率为6%，分别求该人的全部捐款在下列各时刻的价 值： （1）1960年1月1日； （2）1979年1月1日； （3）1980年1月1日； （4）2000年1月1日； （5）2019年1月1日； （6）2020年1月1日；
(完整版)利息理论第二章年金部分习题参考答案
第二章 年金 部分习题参考答案证明：(1)(1)(1)(1)(1)(1)[]()m nn m m n m n m n v v v v v v i iv v i i a a i i⌝⌝----=---=⨯--=⨯-=⨯-证明：n n n-t t n t t n tttt nnnnn nn t t tt t t t t t t t n na S a a v a a v a =a S v a v a v a v a i v a ia 1111v =====1v v a viv a v v v--+=+----（1-）（1-）（1-）（1-）6. 解：由公式得：mn m+n mva =a a-71118777v a =a a 7.036=9.180 5.153i i=1=0.08299---也即：（1+）解得：7. 设X 可取得的存款额为S,根据题意：5712120.08 0.0818187121000(10.08)1000(10.08)100037.45024 1.0839169.84S S S -=+=+=⨯⨯=12. 解：根据题意，有1010301030101000a 1000a v =a a v K K +-又由于，则上式经整理得：10v =1/21030101030101030101030101111(1)a -a v 10001-v -v (1v )5822111a +a v 1-v +v (1v )91(1)8221800K K ----====--+-=解得：14. 设该永续年金每年支付R ，结合公式: nn a =a v a ∞∞+根据题意该永续年金为三人年金现值之和，即：n n n a a Ra =Rv a 22RR ∞∞++又由于三人所领取的年金现值相等，有:nnn n n 1v a v 2=v a R =R 2i i v =1/3R R ∞- 即，所以，19. 根据题意：22i i 2222222i i 222105105i i 22105i 2i 21051051000=1700011==171=t t t 17t 15=0f()t t 17t 15escart t=f =-0.00117fS S S S t D ⨯++++++-++-+（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）-1+（）-1则：令，上式经过整理为：令=根据规则，上式最多有两个正根，而1显然不符合实际，故排除。
利息理论第二章
a ′ (t ) = a (t ).a ′ (0 ) ⇒ a ′ (0 ) = ⇒ a ′ (0 ) = [ln a (t )]′ a (t )
a ′ (0 ) = [ln a (t )]′
积分： 在等式两端从 0－ t积分：
∫ [ln a (s )]′ds = ∫
t 0
t
0
a ′ (0 )ds
ln a (t ) − ln a (0 ) = ta ′ (0 )
a (t ) = 1 + it ( t = 0 ,1, 2 ...)
称为单利率． 其中 i称为单利率．
问题：单利率是否就为实际利率？ 问题：单利率是否就为实际利率？
为 a (t + 1 ), 则从时点 t开始的一个时期内的实 际利率 i t 应为 :
为单利利率， 令 i为单利利率，在时点 t的累积值为 a (t ), 在时点 t + 1的累积值
a (t )
复利
单利
(1,1 + i ) (0,1)
0
t
2、在初始本金一定的条件下单利在相等的时间区间内有相等的 、 利息，而复利在相等的时间区间内有相等的增长率。 利息，而复利在相等的时间区间内有相等的增长率。
例如在时间区间 (t, t + s )内：
单利利息的绝对增量： 单利利息的绝对增量： 复利利息的相对增量： 复利利息的相对增量： a (t + s ) − a (t ) = 1 + i (t + s ) − 1 − it = is [ a (t + s ) − a (t )] / a (t )
1 t=3 3
三、复利 复利－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息,即 －－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息 复利－－指前期赚取的利息在后期会赚取附加利息 即 利滚利” “利滚利”． 为整数时， 当t为整数时，复利条件下的累积函数为： 为整数时 复利条件下的累积函数为：
利息论第二章
利息论讲义——第二章 年金
几个概念 支付期（payment period):两次年金支付之 间的间隔。 计息期(interest coversion period ):两次计 息日之间的区间 年金时期（term of annuity ):第一次支付期 的期初到最后一次支付期的期末。
利息论讲义——第二章 年金
1 i
n 1
1 i i
n
1
利息论讲义——第二章 年金
注意：实质上 an i 和 sn i 是同一项年金在不同 时刻的价值。前者为基本延付年金的现值； 后者为终值。故有：
sn i an i 1 i n a s ni ni
n
利息论讲义——第二章 年金
i2 i结束插值过程
利息论讲义——第二章
3迭代法：
年金
f i (ani k )i
f (i s ) is 1 is ' f (is )
n 1 is 1 kis is 1 1 ，2，3， s 0， n 1 1 is n 1 1 1 is
a i
1 d
n
3、
1 1 lim an i lim n n d d
利息论讲义——第二章 年金
永续年金与有限期年金的关系：
1 1 n1 n an i a i a i i i i
n
例2.6
利息论讲义——第二章 年金
例2.3.2 Ralph buys a perpetuity-due paying 500 annually. He deposits the pmts into a saving account earning interest at an effective annual rate of 10%. Ten years later, before receiving the 11th pmt, Ralph sells the perpetuity base on an effective annual interest rate of 10%. Using the proceeds from the sale plus the money in the saving account, Ralph purchases an annuity-due paying X per year for 20 years at an effective rate of 10%, calculate X.
2 利息理论
反过来，在1100元的基础上减少100元成为一年前的 价值1000元，其中减少的100元是贴现额。
利息率=利息100元与本金1000元之比=10%
贴现率=贴现额100元与累积额11000元之比=9.1%
18
利率和贴现率的关系
a(1) 1 (1 i) 1 i d i a(1) 1 i 1 i
0.05884
4
0.05870
6
0.05855
12
0.05841
∞
0.05827
i
(m)
0.06000
26
名义贴现率:一年结算多次的规定的年贴现率。
以 d ( m ) 表示，m表示结算次数，
1 d [1
d
(m)
m
(m)
]
m
d m d 1 [1 ] m
27
名义贴现率和利率、名义利率的关系
五、利息力
利息力：衡量确切时点上利率水平的指标。
(m) i 对于名义利率 ，当结算次数m趋于无穷大时便可 以表示确切时点上的利率水平。
定义利息力δ为，
lim i
m
( m)
d (1+i ) x |x 0 (1+i) ln(1 i) |x0 ln(1 i) dx 1 e . 故， e 1 i，
i(m) m 12% 12 i (1 ) 1 (1 ) 1 12.68% m 12
30
(2)实际贴现率为
d (m) m 10% 4 d 1 (1 ) 1 (1 ) 9.63% m 4
(3)由(1 i)1 1 d , 有
i(m) m d (n) n (1 ) (1 ) m n 12% 12 d (2) 2 (1 ) (1 ) 12 2
《利息理论》等额年金知识分析
4
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
a n|
和
s 的关系 n|
（1）
s a (1 i)n
n|
n|
（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到 时刻 k 这段时间的利率， i1，i2， ，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|
1、 期末付年金（Annuity-immediate）
期末付年金的含义：在 n 个时期中，每个时期末付款1。
年金
111
时间 0 1 2 3
11 n-1 n
5
期末付年金的现值因子
（annuity-immediate present value factor）
a ：a-angle-n n
n期期末付年金的现值因子 a ，a表示annuity，i表示每 ni
a 1v n
vn1
1 vn 1 vn
1v d
s ——期初付年金的积累值因子 n|i
s (1 i) (1 i)n (1 i)[1 (1 i)n1] n
(1 i)n 1 (1 i)
(1 i)n 1
(1 i) 1
d
16
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和
s 的关系 n|
（1）
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n|
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（2） 1 1 d an sn
a
a m
m|
a n
vmna
m|
a n
a
a m
vmna
0
m
m+n
a m
m|
a n
vmna
a
38
6、可变利率年金（了解）
问题：如果用 ik 表示第k个时期的利率，即从时刻k-1到 时刻 k 这段时间的利率， i1，i2， ，it 分别表示第1， 2，…，t 期的利率。如何计算年金的现值和累积值？
34
解：10万元每年产生的利息是7000元。
A所占的份额是 7000a 7000(7.0236) 49165 10|
B所占的份额是 7000(a a ) 7000(10.5940 7.0236) 24993 20| 10|
第二章 利息理论2
1)10000(1.08)5 10000 4693.28
2)5 (10000 0.08) 4000 10000 3) R 2504.56; I 5 2504.56 10000 2522.8 a5 0.08
例. 某人以月计息的年名义利率5.58%从银行贷款30万 元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月 等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前 还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付 给银行多少钱？ （1）Ra1512 0.00465 300000
单利与复利两者关系：t 1,( 1 i ) 1 i t
t
0 t 1,( 1 i )t 1 i t
t 1,( 1 i ) 1 i t
t
单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。
0 t 1 相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大
利息问题求解
利息问题求解四要素 1）原始投资本金； 2）投资时期长度； 3）利率及计息方式 期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实质利率、名义利率、利息力 4）本金在投资期末的积累值；
利息问题求解原则 本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要 素知三求一的问题。 工具：现金流图
( 1 1%)
(12)
为12%，问本金翻倍需要几年？
i( 12 ) 12%时，
12 n
ln 2 2n 5.8 12 ln1.01
第二节 年金
定义:按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。 分类： 1）基本年金 等时间间隔付款； 付款频率与利息转换频率一致； 每次付款金额恒定； 2）一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般 年金
第二章 等额年金(上)-PPT精品文档
年金的原始含义—指一年付款一次，每次支付相等金额的一系 列款项。 年金—指以相等的时间间隔进行的一系列的收付款行为，例如： 投保、房贷。 年金的类型： 1、按照年金的支付时间和支付金额是否确定，可划分为确定年 金和风险年金。 注：确定年金就简称为年金。 2、按照年金的支付期限长短，可划分为定期年金和永续年金。 3、按照年金的支付周期不同，可分为每年或每月支付一次的年 金等等，如果是连续支付，则这种年金就称为连续年金。
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。 5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
年金的现值
年金的现值是指一系列付款在期初的价值。
1、期末付定期年金的现值 假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其现值 一般用符号an 表示。
和 股 票 出 售 的 收 入投 进资 行。 B股 票 在 前 10年 没 有 红 利 收 入 ，
投资，并且 n 在 年 后 出 售 股 票 。 为甲 了乙 使在 乙 的 股 票 出刻 售时
解：设乙的股票出售价格为x
0 . 4 100 s 1 i 2 100 1 i 1 0
59 现值: 6755 . 879998 . 19402 ( 1 0 . 015 ) 3256
例 ： 甲 持A 有 股票 100 股 ， 乙 持B 有 股票 100 股。 A股 票 每 年 底 得 到红利 0.40 元，共计 10年 ， 在 第 10 次分红后，甲以每 2元 股 的价
格 将 所 有 的 股 票 出而 售且 ，甲 以 年 利 6 ％ 率 的收益率将红利收 第 11 年底开始每年得到 0.80 红利 元 ， 如 果 乙 也 是 以率 年 6 ％ 利进 行 的 累 积 值 相 同 ， 分n 别 15 对 、 50 、 25三 种 情 况 计 算 乙 的出 股售 票 价格。
4、按照年金在每期的支付时点不同，可划分为期初付年金和期 末付年金。 5、按照年金开始支付的时间不同，可划分为及期年金和延期年 金。
6、按照每次支付的金额是否相等，可划分为等额年金和变额年 金。
年金的现值
年金的现值是指一系列付款在期初的价值。
1、期末付定期年金的现值 假设年金的支付时期为n个时期，在每个时期末支付1元,其现值 一般用符号an 表示。
和 股 票 出 售 的 收 入投 进资 行。 B股 票 在 前 10年 没 有 红 利 收 入 ，
投资，并且 n 在 年 后 出 售 股 票 。 为甲 了乙 使在 乙 的 股 票 出刻 售时
解：设乙的股票出售价格为x
0 . 4 100 s 1 i 2 100 1 i 1 0
59 现值: 6755 . 879998 . 19402 ( 1 0 . 015 ) 3256
例 ： 甲 持A 有 股票 100 股 ， 乙 持B 有 股票 100 股。 A股 票 每 年 底 得 到红利 0.40 元，共计 10年 ， 在 第 10 次分红后，甲以每 2元 股 的价
格 将 所 有 的 股 票 出而 售且 ，甲 以 年 利 6 ％ 率 的收益率将红利收 第 11 年底开始每年得到 0.80 红利 元 ， 如 果 乙 也 是 以率 年 6 ％ 利进 行 的 累 积 值 相 同 ， 分n 别 15 对 、 50 、 25三 种 情 况 计 算 乙 的出 股售 票 价格。
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n
期初投资1元，每年末可获得利息i， 且第n年末可获得本金1元。
②年金终值
.
0 1 n-2 Hale Waihona Puke -1 n111
1
1+i (1+i）2 (1+i)n-1
sn 1 (1 i ) (1 i ) (1 i )
2
n 1
。
1 (1 i ) 1 (1 i )
v
m 2
v
m n 1
v
m n
。
v (v v v )
m 2 n
v an
m
或：
a a a m n m n m
终值
2 n 1 s 1 ( 1 i ) ( 1 i ) ( 1 i ) m n
(1 i ) n 1 sn i
(1 i ) n 1 i
n
每年末存入1元，第n年末可得
sn
③ an 与sn 的关系
sn an (1 i )
n
1 1 i 证明： an s n
1 i 证： i i n sn (1 i ) 1
i (1 i ) n (1 i ) 1 i 1 n 1 v an
Pa10 20000 1 v P 20000 d P 3485.25元
10
1 v10 P 20000 i
P
3985.04元
2、延期m年的n年期年金
1）期末付延期年金 现值 0 m
Vm+1 m+1 1 m+n-1 1 m+n 1
vm+n-1 Vm+n
m
an v
m 1
三、年金的现值与终值
1、n年定期年金 1）期末付年金 ①现值
0 1 1 2 1 3 1 n 1
v
v2
vn
an v v v
2
n
。
v (1 v ) 1 v
n
1 v i
n
年初存入 an ，则每年末可得到 1元的 年金。
上式可写成：
1 ian v
(1 i) 1 d
n
n s
或：
s a (1 i ) m n m n
m n
例：3，000元的债务从第5年初开始，每年初偿还相 同的数额，共分15次还清，年利率为8%，求年还债 额。 解：
15 3000 P 4 a 19 a 4 ) P(a P(9.6036 3.3121 )(1 0.08) P 441.51元
m
同理：
m n m n m n (1 i ) s s s s
m
.
年金的当前值
0 1 1 ------m 1 1 n 1
m s a v a ( 1 i ) m n m nm n
m s a v a ( 1 i ) m n n m nm
3、永续年金
1）期末付年金现值
1 vn 1 a lim an lim n n i i 2）期初付年金现值
1 期初投资 i 元，
则 每年可获得1元
1 期初投资 d 元，则
1 v 1 lim a n lim a n n d d
n
每年可获得1元
3）延期m年的永续年金
v a lim v an m n i
m m m
v lim v a n a m n d
m
4、其他时点上的年金
过期年金的终值
0 1 1 ------n 1 n+1 n+m
sn m sn (1 i ) sm n sm
。
n (1 i ) (1 i ) 2 (1 i ) n s (1 i ) n 1 d
③ a n 与 n 的关系 s
n a n (1 i ) s
n
1 1 或： d n n a s
④期初付年金与期末付年金
n (1 i )an a
第二章
等额年金（上）
主要内容
年金的定义 年金的类型 年金的现值与终值 年金的利率问题、时间问题求解
一、年金的定义
年金是指在相等的时间间隔内的一系列支付 或收款。 等额年金：每次的支付额相等。
二、年金的类型
确定性分类：确定型年金、不确定型年金。 每次的支付额分类：等额年金、变额年金。 支付时点分类：期初付年金、期末付年金。 支付期限分类：定期年金、永续年金。 连续性年金：离散型年金、连续型年金。
或：
m
sn m an (1 i )
m n
2)期初付延期年金
现值
m m 1 m n 1 a v v v m n
v (1 v v v )
m 2
n1
n v a
m
n a m n a m 或：m a
。
终值
2 n s (1 i) (1 i) (1 i) m n
n
2）期初付年金
①现值
0 1 1 1 2 1 n-2 1 n-1 1 n
v
v2
Vn-1
n 1 v v v a
2
n 1
。
1 v 1 v
n
1 v d
n
n v 或： 1 da
n
②终值
。
0
1
1
1
n-2
1
n-1
1
n
1+i (1+i)2
(1+i)n
sn (1 i ) sn
⑤其他
n1 1 an a n an1 1 a sn sn1 1
例：王平从银行贷款20，000元，他想在今后的10年 内等额还清贷款，贷款年利率为15%。求： 1）每年末的还款额； 2）每年初的还款额。
解: Pa10 20000
同理：
例：某投资项目，前3年每年初投资5万元，后3年每 年末投资3万元，i=6%，试计算该项投资在10年末的 终值
解：前3年投资在10年末的终值为：
3 7 5 3 (1 i ) 7 25.37万元 5 s s
后3年投资在第10年末的终值为：
3s3 4 3s3 (1 i ) 12.06万元