小学数学六年级《一次不定方程及其应用》教案
小学奥数六年级上第7讲《不定方程》教学课件
巩固提升
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作业3：一张纸上写有25个1.21和25个1.3，现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总 和为20.08，那么应划去多少个1.3? 答案：17个
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作业4：樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃. (1)第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了；已知冬菜 包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子? (2)第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子，于是樱木邀请晴子一起去吃包子 到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串，已知羊肉串每串12元， 最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25；那么两人最多吃了多少串羊肉串? 答案：10；7
巩固提升
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作业5：甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书，已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其 余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人 各捐7册，其余各捐9册，已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班 捐赠的册数都在400与600之间；各班各有多少人? 答案：甲班51人，乙班53人，丙班49人
六年级上第7讲
不定方程
• Culture
知识树
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知识树
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知识树
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数学知识点
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1.知识精讲 3.极限挑战
2.例题讲解 4.巩固提升
数学知识点
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一次不等式与方程教案
一次不等式与方程教案引言本教案旨在帮助学生掌握一次不等式与方程的基本概念、解题方法和应用。
通过系统的教学活动，学生将能够在数学中运用一次不等式与方程解决实际问题。
教学目标1. 理解一次不等式和方程的定义及性质；2. 掌握一次不等式和方程的求解方法；3. 能够运用一次不等式和方程解决实际问题。
教学内容1. 一次不等式- 不等式的基本概念和符号表示；- 不等式的性质和解集的表示方法；- 一次不等式的解法和图像表示。
2. 一次方程- 方程的基本概念和符号表示；- 方程的性质和解的判定；- 一次方程的解法和解集的表示方法。
教学步骤1. 导入：通过引入实际问题，激发学生研究一次不等式与方程的兴趣；2. 概念解释：讲解一次不等式和方程的基本概念和符号表示；3. 解题示范：以简单的一次不等式和方程为例，演示求解的具体步骤；4. 练训练：让学生进行一次不等式和方程的练，并提供及时反馈；5. 拓展应用：通过实际问题的应用，让学生灵活运用一次不等式和方程解决实际问题；6. 总结归纳：对一次不等式和方程的基本概念、解题方法和应用进行总结概括。
教学资源- 教学课件：包含一次不等式和方程的基本概念和解题方法的PPT；- 练册：提供一次不等式和方程的练题目；- 实际问题案例：提供一些实际问题，供学生应用解决。
教学评估1. 练评估：布置一定数量的一次不等式和方程的练题目，检验学生的解题能力；2. 应用评估：提供实际问题，要求学生运用一次不等式和方程解决，并评估其解决问题的能力。
教学反思根据学生的研究情况和反馈意见，对教学内容和教学方法进行调整，以不断提高教学效果和学生的研究兴趣。
总结本教案通过系统的教学活动，帮助学生掌握一次不等式和方程的基本概念、解题方法和应用。
通过实际问题的引入和练习训练的方式，培养学生在数学中应用一次不等式和方程解决问题的能力。
实际问题中的方程——小学六年级数学教案实践
实际问题中的方程——小学六年级数学教案实践一、前言方程是数学中重要的概念之一，也是学习数学中的重难点。
在数学中涉及到很多的问题，通过方程可以找到问题的解决方案，在现实生活中也同样如此。
了解方程的应用，不仅能够辅助我们解决现实中的问题，同时也能加深我们对数学的理解。
本文将以小学六年级的数学课程教案为实践案例，探讨实际问题中的方程应用。
二、实际问题中的方程1.教学目标了解方程的定义，理解实际问题中方程的应用，学会运用方程解决实际问题2.教学内容①方程的定义及简单应用②实际问题中的方程③方程的解3.教学方法导入法、讨论法、演练法4.教学步骤（1）热身导入通过板书、图片等方式简单介绍方程的概念，导入课堂话题。
（2）知识讲解通过讲解、示范等多种方式，深入学生掌握方程的概念、定义及其相关运算方法，并通过老师精心编排的习题进行预习。
（3）课堂讨论在知识讲解后，对学生所了解的知识进行热身课堂讨论，引导学生独立分析问题，并通过适当的提示，引导学生对现实问题进行分析。
（4）实例演练在理解方程的概念和应用基础上，老师将会用具体的实际问题进行演练。
当学生掌握了每一个案例的解法之后，再引导学生将其推广到其他实际问题中。
（5）课堂反馈通过课堂反馈的形式，让每一位学生分享课堂的收获，总结课堂的重点和难点。
三、实际案例以下是小学六年级数学教案中所涉及的一个实际问题：小明和他的妈妈一起去购物，小明的妈妈花了199元，小明花了x元。
如果小明和他妈妈一共花了500元，请问小明花了多少元？这道题目可以用方程的方法来解决。
我们可以设定一个未知数x，即小明花了多少元。
根据已知条件，我们可以列出一个简单的方程式： 199+x=500。
只要解出x即可。
x=500-199x=301故小明花了301元。
四、总结实际问题中的方程是数学课程中的重点之一，掌握实际问题中方程的解法除了能提高学生数学素养之外，更能够辅助学生解决生活中的实际问题。
在教学实践中，教师可以通过教学软件、美术作品和手工制作等方式进行多种形式的课堂教学，以解决学生对于方程式的理解与应用多方面的问题。
沪教版数学六年级下册第六章《一次方程(组)和一次不等式(组)》教学设计
沪教版数学六年级下册第六章《一次方程（组）和一次不等式（组）》教学设计一. 教材分析《一次方程（组）和一次不等式（组）》是沪教版数学六年级下册第六章的内容。
本章主要介绍一次方程（组）和一次不等式（组）的概念、解法及其应用。
通过本章的学习，学生能够理解一次方程（组）和一次不等式（组）的定义，掌握解法，并能运用其解决实际问题。
二. 学情分析六年级的学生已经具备了一定的代数基础，对解方程和不等式有一定的了解。
但在解决实际问题时，还需要进一步培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
此外，学生可能对一次方程（组）和一次不等式（组）的解法掌握不够熟练，需要通过大量的练习来巩固。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一次方程（组）和一次不等式（组）的概念，掌握解法，并能运用其解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生的抽象思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一次方程（组）和一次不等式（组）的概念、解法及其应用。
2.难点：一次方程（组）和一次不等式（组）的解法，以及如何运用其解决实际问题。
五. 教学方法1.自主学习：鼓励学生自主探究，发现问题，解决问题。
2.合作交流：引导学生与他人合作，共同探讨问题，分享解题经验。
3.案例分析：通过分析实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
4.巩固练习：通过大量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示一次方程（组）和一次不等式（组）的概念、解法及应用。
2.练习题：准备适量的一次方程（组）和一次不等式（组）的练习题，用于巩固所学知识。
3.小组讨论：安排学生分组，进行合作交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入一次方程（组）和一次不等式（组）的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）展示一次方程（组）和一次不等式（组）的定义、解法及应用，让学生初步了解其基本概念和解题方法。
一次函数现一次方程及不等式公开课教案设计
一次函数、一次方程及不等式公开课教案设计第一章：一次函数的概念与性质1.1 导入：通过实际生活中的例子，如购物时物品的定价，引入一次函数的概念。
1.2 讲解：解释一次函数的定义，即函数形式为y=kx+b，其中k为斜率，b为截距。
1.3 实例分析：分析生活中的一些实例，让学生理解斜率和截距的含义。
1.4 练习：让学生进行一些一次函数的绘制和分析练习。
第二章：一次函数的图像2.1 导入：通过一次函数的图像，帮助理解一次函数的性质。
2.2 讲解：解释一次函数图像是一条直线，并讲解斜率和截距对图像的影响。
2.3 实例分析：分析一些一次函数图像，让学生理解斜率和截距对图像的影响。
2.4 练习：让学生绘制一些一次函数图像，并分析其性质。
第三章：一次方程的解法3.1 导入：通过实际问题，引入一次方程的解法。
3.2 讲解：讲解一次方程的解法，如加减法、乘除法等。
3.3 实例分析：分析一些一次方程的解法，让学生理解解法的原理。
3.4 练习：让学生解决一些一次方程的问题。
第四章：一次不等式的解法4.1 导入：通过实际问题，引入一次不等式的解法。
4.2 讲解：讲解一次不等式的解法，如同号相加、异号相减等。
4.3 实例分析：分析一些一次不等式的解法，让学生理解解法的原理。
4.4 练习：让学生解决一些一次不等式的问题。
第五章：一次函数、一次方程及不等式的应用5.1 导入：通过实际问题，引入一次函数、一次方程及不等式的应用。
5.2 讲解：讲解如何将实际问题转化为一次函数、一次方程及不等式的问题。
5.3 实例分析：分析一些实际问题的解决方法，让学生理解一次函数、一次方程及不等式的应用。
5.4 练习：让学生解决一些实际问题，运用一次函数、一次方程及不等式的知识。
第六章：一次函数的图像与不等式6.1 导入：通过一次函数的图像，引入不等式与一次函数的关系。
6.2 讲解：讲解一次函数的图像与不等式的关系，即不等式的解集可以在图像上表示为一条带区间的线段。
6年级奥数-不定方程
不定方程讲义讲义编号 LTJYsxsrl005学员编号：LTJY001 年 级：六年级 课时数： 学员姓名: 辅导科目：数学 学科教师： 学科组长签名及日期教务长签名及日期课 题一次不定方程（组）的整数解问题授课时间：备课时间：教学目标 1.理解不定方程（组）的含义2.掌握一次不定方程（组）的定理和相关解题方法 重点、难点 重点：不定方程定理的理解难点：解不定方程方法与技巧的灵活运用 考点及考试要求 不定方程（组）是数论中的一个重要课题教学内容【写在前面】不定方程（组）是数论中的一个重要课题. 对于不定方程（组），我们往往只求整数解，甚至是只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定.有时还可以解决计数、求最值等方面的问题.二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常要转化为二元一次不定方程问题加以解决. 【本讲重点】求一次不定方程（组）的整数解 【知识梳理】不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定. 重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤： （1） 判断有无整数解； （2） 求出一个特解； （3） 写出通解；（4） 有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解. 解不定方程（组），需要依据方程（组）的特点，并灵活运用以下知识和方法：（1）分离整系数法； （2）穷举法； （3）因式分解法； （4）配方法； （5）整数的整除性； （6）奇偶分析； （7）不等式分析； （8）乘法公式.【学法指导】【例1】求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x . 【分析】根据定理1、定理2确定方程的整数解.【解答】（1）原方程变形为：43=+y x ， 观察得到⎩⎨⎧==1,1y x 是43=+y x 的一组整数解（特解），根据定理2 ，)(1,31是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=是原方程的所有整数解.（2）∵（5，10）=5，但5不能整除13，∴根据定理1，原方程的无整数解.【点评】先判断方程是否有整数解，多于系数不大的题目优先选用观察法寻找特解. 求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的.【实践】求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x .【例2】求方程213197=+y x 的所有正整数解.【分析】此方程的系数较大，不易用观察法得出特解.根据方程用y 来表示x ,再将含y 的代数式分离出整系数部分，然后对分数系数部分进行讨论，赋予y 不同的整数，寻找一个使分数系数部分成为正整数的y 0，然后再求x 0，写出通解，再解不等式组确定方程的正整数解.【解答】∵（7，19）=1，根据定理2，原方程有整数解.由原方程可得75323075314210719213yy y y y x -+-=-+-=-=， 由此可观察出一组特解为x 0=25，y 0=2.∴方程的通解为)(72,1925是整数t ty t x ⎩⎨⎧-=+=.其中⎩⎨⎧>->+072,01925t t ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->72,1925t t ∴721925<<-t ∴0,1-=t 代入通解可得原方程的正整数解为⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.2,25.9,6y x y x 或 【点评】根据定理2解这类方程，若未知数的系数较大不容易观察出一组整数解时，可用一个未知数去表示另一个未知数，再利用整数的知识，这是解二元一次不定方程基本的方法，称为分离整系数法. 这样就容易找出一组整数解来. 【实践】求方程2654731=+y 的正整数解.【例3】大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.【分析】本题是不定方程的应用，根据题意列出方程并求出非负整数解即可.【解答】设需要大客车x 辆，小客车y 辆，根据题意可列方程 3783654=+y x ，即2123=+y x .又（3，2）=1，根据定理2，原方程有整数解. 易知⎩⎨⎧==9,1y x 是一个特解，通解为)(99,21是整数t t y t x ⎩⎨⎧-=+=由题意可知⎩⎨⎧≥-≥+099,021t t 解得.3,2,1,0=t 相应地⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==.0,7.3,5.6,3.9,1y x y x y x y x 答：需要大客1车辆，小客车9辆；或需要大客车3辆，小客车6辆；或需要大客车5辆，小客车3辆；也可以只要大客车7辆，不要小客车.【点评】一般来说实际问题通常取正整数解或者非负整数解.【实践】某次考试共需做20道小题，对1道得8分，错一道扣5分，不做不得分.某生共得13分，他没做的题目有几道？【例4】某人的生日月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347，求此人的生日. 【分析】本题的隐含条件是：月份的取值[1，12]，日期的取值[1，31].【解答】设此人生日的月份数为x ,日期数y. 根据题意可列方程 31x+12y=347.〈方法一〉 〈方法二〉特解：)(3116125165是整数通解：t ty t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== )31347(|123134712x x y -∴-=答：此人的生日为5月16日.【点评】求出通解后，要利用隐含条件求出符合题意的解. 其中方法二是利用了同余的知识. 【实践】已知有一个三位数，如果它本身增加3，那么新的三位数的各位数字和就减少到原来的31，求一切这样三位数的和.【例5】(新加坡数学竞赛题)设正整数m,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 . 【分析】把m 用含有n 的代数式表示，用分离整系数法，再结合整除的知识，求出m 的最大值. 【解答】∵698+=+mn n m ，∴n mn m 968-=-，n m n 96)8(-=- 由题意可得，n≠8，∴8669866729869896-+=-+-=--=--=n n n n n n n m ， ∵m,n 为正整数， ∴ 当n=9时，m 有最大值为75.【点评】此题是求最值的问题，利用分离整系数法是一种典型的常用方法.【实践】(北京市数学竞赛题)有8个连续的正整数，其和可以表示成7个连续的正整数的和，但不能3个连续的正整16550125121121)(512)12(mod 711)12(mod 31347===∴=∴≤+≤∴≤≤+=∴≡∴≡∴y x x t t x t t x x x 代入原方程得：把是整数 .16503131161121251311121是符合题意解解得⎩⎨⎧==∴=∴⎩⎨⎧≤-≤≤+≤∴⎩⎨⎧≤≤≤≤y x t t t y x数的和，那么这8个连续的正整数中最大数的最小值是 .【例6】我国古代数学家张建丘所著《算经》中的“百钱买百鸡”问题：鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，问鸡翁，鸡母，鸡雏各几何？【分析】分析：用x,y,z 来表示鸡翁，鸡母，鸡雏的只数，则可列方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++1001003135z y x z y x如何解这个不定方程组？消元转化为不定方程.【解答】解：设鸡翁，鸡母，鸡雏的只数分别为x,y,z.⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(1003135)1(100z y x z y x (2)×3－(1)得：14x +8y =200，即7x +4y =100.〈方法一〉)(71844.184是整数通解：，特解：t t y t x y x ⎩⎨⎧-=+=⎩⎨⎧== .2,1,07181071804400=∴⎪⎩⎪⎨⎧<->⎩⎨⎧>->+∴⎩⎨⎧>>t t t t t y x 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===844128111878184,z y x z y x z y x 原方程有三组解：相应地 〈方法二〉〉下面的方法同〈方法一为整数）（通解：的特解是其特解为令.75004300.1004750030053,147t ty t x y x y x y x y x ⎩⎨⎧--=+==+⎩⎨⎧-==∴⎩⎨⎧-===+ 〈方法三〉下面方法同〈一〉是整数得：代入把是整数，即，，).(71844718)3(44).(44)4(mod 30:)4(mod 7100)7100(|4)3(71004t ty tx ty t x t t x x x x x y ⎩⎨⎧-=+=∴-=+=+=∴≡≡∴-∴-= 【点评】充分挖掘题目的隐含条件，进而求整数解.【实践】如果1只兔可换2只鸡，2只兔可换3只鸭，5只兔可换7只鹅.某人用20只兔换得鸡、鸭、鹅共30只.问：其中的鸡、鸭、鹅各多少只？ 答案：（2，21，7）、（4，12，14）、（6，3，21）【例7】求方程23732=++z y x 的整数解.【分析】对于三元一次不定方程，可以另外引进一个未知数，将其转化为方程组，然后分别解方程组中的各个方程，从而得到原方程的解.【解答】设t y x =+32，则原方程可看作⎩⎨⎧=+=+)2(.237)1(,32z t t y x 对于方程（1）x =-t ,y =t 是一个特解， 从而（1）的整数解是)()4(.2)3(,3-是整数u u t y u t x ⎩⎨⎧+=-= 又t =2,z =3是方程（2）的一个特解，于是（2）的整数解是)()6(.72)5(,3是整数v v t v z ⎩⎨⎧+=-= 将（6）代入（3）、（4）消去t 得到原方程的所有整数解为：)(.3,272,372是整数、v u v z u v y u v x ⎪⎩⎪⎨⎧-=++=---=【点评】一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的，将解中的参数作适当代换，就可以化为同一形式. 【实践】求方程7892439=+-z y x 的整数解.【例8】(海峡两岸友谊赛试题)甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学没人有31个核桃，三组共有核桃总数是365个.问：三个小组共有多少名同学？【分析】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，由题意得365313028=++c b a . 要求c b a ++，可以运用放缩法从确定c b a ++的取值范围入手.【解答】设甲组同学a 人，乙组同学b 人，丙组同学c 人，则365313028=++c b a .∵)(31365313028)(28c b a c b a c b a ++<=++<++，∴2836531365<++<c b a .∵c b a ++是整数，∴c b a ++=12或13.但当c b a ++=13时，得132=+c b ，无正整数解. 答：三个小组共有12名同学.【点评】整体考虑和的问题，巧妙运用放缩法.【实践】Alice wants to buy some radios, pens and bags. If she buys 3 radios,6 pens,2 bags,she will pay ¥302. If she buys 5radios,11 pens,3 bags,she will pay ¥508. Question: How much will Alice pay for 1 radio,1 pen and 1 bag?【例9】一个布袋里有红、黄、蓝三种颜色大小相同的木球.红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3.小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标的数字和等于21.（1） 小明摸出的球中，红球的个数最多不超过几个？（2） 若摸出的球中三种颜色都有，有多少种不同的摸法？【分析】由于知道三种球的个数和，因此可设二元.第（2）问计数问题的实质是就是求正整数解的组数. 【解答】（1）设小明摸的红球有x 个，黄球有y 个，蓝球有）（y x --10个，则21)10(32=--++y x y x ， 整理，得x y 29-=，因为x 、y 均为正整数，可知x 的最大值为4.即红球最多不超过4个.（2）由（1）知蓝球的个数是1)29(1010+=---=--=x x x y x z ，又∵.290.01,029,0,0,0,0<<⎪⎩⎪⎨⎧>+>->∴⎪⎩⎪⎨⎧>>>x x x x z y x 解得 ∴.4,3,2,1=x因此共有4种不同的摸法，如下：（1，7，2），（2，5，3），（3，3，4），（4，1，5）.【点评】此题求的是未知数的范围及可能取值的个数，因此不需要求出方程的通解，而是根据题意对未知数的限制利用不等式分析出未知数的取值范围，以及整数解的个数.【实践】已知有两堆水泥，若从第一堆中取出100袋放进第二堆，则第二堆比第一堆多一倍；相反，若从第二堆中取出一些放进第一堆，则第一堆比第二堆多5倍.问第一堆中可能的最少水泥袋数是多少？并在这种情况下求出第二堆水泥的袋数.【例10】设非负整数n ，满足方程n z y x =++2的非负整数（x,y,z ）的组数记为n a . （1）求3a 的值；（2）求2001a 的值.【分析】审清题中n a 的n 与方程n z y x =++2是同一个非负整数，3a 的含义是方程32=++z y x 的非负整数解的（x,y,z ）的组数.【解答】（1）当n=3时，原方程为32=++z y x ，由于.10,0,0≤≤≥≥z y x 得 当z=1时，方程为x+y=1，其解（x,y ）=(0,1),(1,0) 有2组；当z=0时，方程为x+y=3，其解（x,y ）=(0,3),(1,2)，(2,1),(3,0) 有4组. 综上，3a =6.（2）当n=2001时，原方程为20012=++z y x ，由于.10000,0,0≤≤≥≥z y x 得当z=1000时，方程为x+y=1，其解有2组；当z=999时，方程为x+y=3，其解有4组； 当z=998时，方程为x+y=5，其解（x,y ）=(0,5),(1,4)，(2,3),(3,2)，(4,1),(5,0)有6组；…； 当z=0时，方程为x+y=2001，其解（x,y ）=(0,2001),(1,2000)，…，(2001,0) 有2002组.综上，2001a =2+4+6+…+2002=1003002.【点评】此题综合较强，涉及解不定方程、分类讨论、计数等方面的知识，需要灵活运用所学只是解决问题. 【实践】一次不定方程x+y+z=1999的非负整数解有( )个 CA.20001999B.19992000C.2001000D.2001999【总结反思】以上介绍了初中数学竞赛中一次不定方程的基本解法、各种解题技巧以及应用. 解不定方程的基本方法是分离整系数法，要熟练掌握. 在具体应用问题上，能将实际问题转化为不定方程的问题，并根据题意挖掘题目的隐含条件，也就是未知数的取值范围.【题海拾贝】1.（2000年希望杯竞赛题）若a 、b 均为正整数，且2a>b ，2a+b=10，则b 的值为（ ） A. 一切偶数 B.2、4、6、8 C.2、4、6 D.2、42. 若正整数x,y 满足2004a=15y ，则 x+y 的最小值为 .3. 如果三个既约真分数6,432b a ，的分子都加上b ，这时得到的三个分数之和为6. 求这三个既约真分数的和.4. （重庆市竞赛题）一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩余1粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完.问：盒子里装有多少粒棋子？5. （2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求AB 两地的距离.学生签名： 签字日期：。
不定方程教案
不定方程教案不定方程教案一、教学目标：1. 理解不定方程的概念和基本特征。
2. 掌握解一次不定方程的方法。
3. 能够运用解不定方程的方法解决实际问题。
二、教学重点：1. 解一次不定方程的基本方法。
2. 运用解不定方程的方法解决实际问题。
三、教学难点：解二次及高次不定方程的方法。
四、教学步骤：1. 引入问题老师可以通过举例子的方式引入不定方程的概念，比如说“若一只鸡和一只兔子的总脚数是80只，问鸡和兔子各有多少只？”。
引导学生思考如何解决这个问题。
2. 解一次不定方程的方法讲解求解一次不定方程的基本方法，即设未知数，列方程，求解方程，得出答案。
举例说明这个方法的具体步骤，并让学生自己尝试解决举的例子。
3. 运用解不定方程的方法解决实际问题让学生运用所学的方法解决一些实际问题，比如说“小明有25元钱，要买一些苹果和梨，苹果的单价是2元，梨的单价是3元，问他可以买到几个苹果和几个梨？”。
引导学生列方程并求解，得出答案。
4. 解二次及高次不定方程的方法讲解解二次及高次不定方程的方法，包括设未知数，列方程，求解方程，得出答案。
举例说明这个方法的具体步骤，并让学生自己尝试解决举的例子。
5. 进行练习和巩固让学生在教师的指导下进行练习，巩固所学的知识。
教师可以根据学生的理解情况适当调整难度。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生能够掌握解一次不定方程的基本方法，并能够运用解不定方程的方法解决实际问题。
但在解二次及高次不定方程的方法上，学生普遍存在困难。
所以，下节课需要继续强化解二次及高次不定方程的方法讲解，并加大练习和巩固的力度。
一次函数现一次方程及不等式公开课教案设计
一、教学目标1. 让学生理解一次函数的概念,掌握一次函数的图像和性质。
2. 让学生学会用一次函数解决实际问题,能够列出一次方程并解之。
3. 让学生掌握一次不等式的解法,能够将实际问题转化为一次不等式并求解。
二、教学内容1. 一次函数的概念和性质2. 一次函数的图像3. 一次函数解决实际问题4. 一次方程的解法5. 一次不等式的解法三、教学方法采用问题驱动的教学方法,通过实例引入一次函数的概念和性质,引导学生通过观察、分析、归纳、推理等思维活动,掌握一次函数的图像和性质。
利用实际问题引导学生列出一次方程并解之,让学生在解决实际问题的过程中,掌握一次方程的解法。
,通过实际问题引导学生转化为一次不等式并求解,让学生掌握一次不等式的解法。
四、教学步骤1. 引入一次函数的概念和性质,让学生通过观察、分析、归纳、推理等思维活动,掌握一次函数的图像和性质。
2. 通过实际问题引导学生列出一次方程并解之,让学生在解决实际问题的过程中,掌握一次方程的解法。
3. 将实际问题转化为一次不等式并求解,让学生掌握一次不等式的解法。
4. 对所学内容进行总结和复习,让学生巩固所学知识。
五、教学评价通过课堂讲解、学生练习、实际问题解决等方式,评价学生对一次函数、一次方程和一次不等式的掌握程度。
六、教学拓展1. 引入正比例函数和反比例函数的概念，让学生了解其与一次函数的区别和联系。
2. 通过实例让学生掌握如何将实际问题转化为比例函数问题，并求解。
3. 引导学生探索一次函数、正比例函数和反比例函数在实际问题中的应用，提高学生解决问题的能力。
七、教学难点1. 一次函数图像的特点和性质。
2. 一次方程的解法，尤其是当方程有多个解时如何判断。
3. 一次不等式的解法，尤其是当不等式中含有分数、括号等复杂表达式时如何处理。
八、教学准备1. 准备相关的一次函数、一次方程和一次不等式的实例和练习题。
2. 准备课件或黑板，用于展示一次函数的图像和性质。
六年级上数学教案(解方程)
六年级上数学教案(解方程)一、教学目标：1. 让学生掌握解方程的基本方法，能够求解一元一次方程。
2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
二、教学内容：1. 学习一元一次方程的定义及特点。
2. 学习解方程的基本方法：代入法、加减法、乘除法。
3. 运用解方程的方法解决实际问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：掌握一元一次方程的解法及应用。
2. 教学难点：理解方程的解法原理，能够灵活运用解法解决实际问题。
四、教学准备：1. 教师准备相关教学材料，如PPT、例题、练习题等。
2. 学生准备笔记本、文具等学习用品。
五、教学过程：1. 导入新课：通过生活实例引入方程的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解概念：讲解一元一次方程的定义及特点，让学生理解方程的基本结构。
3. 演示解法：教师通过PPT展示解方程的基本方法，如代入法、加减法、乘除法，并进行讲解。
4. 练习巩固：学生分组讨论，尝试运用解方程的方法解决实际问题，教师巡回指导。
6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价：1. 通过课堂问答、练习题和课后作业评价学生对一元一次方程解法的掌握程度。
2. 关注学生在解题过程中的思维过程和方法，评价学生的逻辑思维能力和问题解决能力。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，评价学生的合作意识和沟通能力。
七、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生从实际问题中发现方程，激发学生的学习兴趣。
2. 运用案例教学法，通过具体例题讲解解方程的方法，帮助学生理解和掌握。
3. 采用分组合作学习法，鼓励学生相互讨论、交流，培养学生的团队合作能力。
八、教学步骤：1. 导入新课：通过展示实际问题，引导学生发现方程，并引入一元一次方程的概念。
2. 讲解概念：讲解一元一次方程的定义和特点，让学生理解方程的基本结构。
3. 演示解法：通过PPT演示解方程的基本方法，如代入法、加减法、乘除法，并进行讲解。
不定方程教案
不定方程教案教案标题：解不定方程的教案教学目标：1. 学生能够理解不定方程的概念和特点。
2. 学生能够掌握解决不定方程的方法和步骤。
3. 学生能够运用所学知识解决实际问题。
教学重点：1. 不定方程的定义和特点。
2. 解决不定方程的方法和步骤。
教学难点：1. 运用所学知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学素材、黑板、粉笔等。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔等。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 教师通过提问引入不定方程的概念，如：“你们知道什么是不定方程吗？它和方程有什么不同？”2. 学生回答后，教师简要介绍不定方程的定义和特点。
二、知识讲解（15分钟）1. 教师通过示例演示如何解决不定方程，解释解决步骤和方法。
2. 教师讲解不定方程的常见解法，如试探法、代入法等。
3. 教师强调解决不定方程的关键是找到合适的方法和步骤。
三、训练与实践（20分钟）1. 教师提供一些不定方程的练习题，让学生尝试解决。
2. 学生在解题过程中，教师适时给予指导和帮助。
3. 学生解题完毕后，教师和学生一起讨论解题思路和方法。
四、拓展应用（15分钟）1. 教师提供一些与实际问题相关的不定方程，让学生运用所学知识解决。
2. 学生在小组内合作解决问题，并向全班展示解题过程和结果。
3. 教师引导学生思考不定方程在实际生活中的应用价值。
五、总结与反思（5分钟）1. 教师对本节课的内容进行总结，强调不定方程的重要性和解决方法。
2. 学生回答教师提出的问题，对本节课的学习进行反思和总结。
六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关的课后作业，巩固学生对不定方程的理解和应用能力。
2. 学生整理笔记，预习下一节课内容。
教学延伸：1. 学生可以通过自主学习，进一步探究不定方程的应用领域。
2. 学生可以应用数学软件或在线工具解决更复杂的不定方程问题。
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《一次不定方程及其应用》教案设计
教学内容：
教学内容：让学生了解什么叫不定方程，解二元一次不定方程的问题时，我们有两个定理，及他的应用，解二元一次不定方程的关键是求它的一组解。
教学重点：二元一次定方程的定理及其应用。
教学难点：定理的理解及其应用。
情景导入：同学们以前学过一元一次方程的求解，那我们来一起
回顾一下。
让学生分成两组进行比赛：
5x+2=12 得x=2
13y-3=23 得y=2
那大家想一下，以前我们都是计算的一元一次方程，那现在如果告诉我们一个式子，摆出式子，x+y=4，那大家看一下，我们能算出这个式子中的两个未知数吗、这就是我们今天要学习的内容。
例1.求方程4x+5y=21的整数解。
思路点拨：因为方程4x+5y=1，有一组解的x=-1，y=1，所以方程4x+5y=21，有一组解x=-21，y=21，又因为方程4x+5y=0的所有整数解为x=5k。
y=-4k（k为整数）所以方程4x+5y=21的所有整数解为X=-21+5k，y=21-4k（k为整数）
解答：方程4x+5y=21得所有整数解为x=-21+5k。
y=21-4k（k为整数）
说明：本题也可直接观察得到方程4x+5y=21的一组特解，从而得到4x+5y=21的通解{x=-1+5k。
y=5-4k}（k为整数）
扩展训练:求方程5x+3y=22的所有正整数解。
分析：先求出原方程的一切整数解，再从中得出原不定方程的正整数解。
解：方程5x+3y=1的一组解为x=-1，y=2.
所以方程5x+3y=22有一组解为x=-22，y=44
又因为5x+3y=0的所有正整数解为x=3，y=-5k。
k为整数
所以方程5x+3y=22的正整数解为x=33k-22，y=-5k+44，k为整数，由3k-22>o。
-5k+44>0,解得k>22|3，k<44|5,所以，k=8.原方程的正整数解为x=2，y=4
例2，求方程63x+8y=-23的整数解。
思路点拨：（1）用xy中系数较大者除以较小着：63=8×7+7 （2）用上一步的除数除以上一步的余数：8=7×1+1
（3）重复第二步，直到余数为1为止。
（4）逆序写出1的分解式：
1=8-7×1=8-（63-8×7）×1=8-63+8×7=8×8-63
（5）写出原方程的特解和通解。
解方程：63x+ 8y=1，有一组特解x=-1，y=8，方程63x+8y=-23有一组特解x=23，y=-8×23，所以原方程的所有整数解为x=23+8k、y=-8×23-63k。
k为整数。
扩展训练：求方程37x+107y=25的整数解。
解：107=2×37+33,37=1×33+4，33=4×8+1
所以1=33-4×8=33-（37-1×33）×8=37×（-8）+33×9=37×（-8）
+（107-2×37）×9=107×9+37×（-26）
所以方程37x+107y=1有一组整数解为x=-26，y=9，原方程的所有整数解为x=-26+107k，y=9-37k。
k为整数
课堂小结：我们学习了什么叫不定方程，在碰到二元一次不定方程时我么应该怎么样一步步的分析，解决，应用所学的去解决题目中的未知数。
\下课；
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