复数性质及其在数学上的应用毕业论文
高中数学“复数”学习论文
高中数学“复数”的学习之我见在高中数学复数一节的题型主要是讨论复数的概念,复数相等,复数的几何表示,计算复数模,共轭复数,解复数方程等.纵观历年高考试卷,复数几乎年年都有一个题,而且大都是以选择题或填空题的题型出现。
主要考查复数的有关概念,复数的运算。
高考中重点考查的概念有:虚数,纯虚数,共轭复数,两复数相等及这些概念的复数的运算。
一、正确理解复数的基本概念1、(1)若i为虚数单位,规定①②实数可以与之进行四则运算,进行四则运算时,原有的加,乘法运算律仍然成立。
(2)形如的数叫做复数,a,b分别叫做复数的实部和虚部。
若b=0,则复数为实数若,则复数为虚数若且a=0时,则复数为纯虚数(3)若a,b,c,d∈r,则a+bi=c+di的充要条件是a=c,且b=d;(4)若a,b,c,d∈r,则a+bi与c+di为共轭复数的充要条件是a=c,且b+d=0;2、(1)建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,其中横轴叫做实轴,纵轴叫做虚轴。
(2)复数与复平面内的点建立了一一对应关系。
二、掌握好复数的基本运算1、复数的加,减,乘,除法运算按以下法则进行:设:加减法:乘法:除法:2、复数加法,乘法满足交换律,结合律及乘法对加减法的分配律。
实数的正整数指数幂运算也能推广到复数集中。
即,,三、运用好解题的主要的思想方法1.整体处理思想解复数问题中,学生往往不加分析地用复数的代数形式或三角形式解题。
这样常常给解题带来繁琐的运算,导致解题思路受阻。
因此在复数学习中,有必要提炼和强化整体处理的思想方法,居高临下地把握问题的全局,完善认识结构,获得解题的捷径,从而提高解题的灵活性及变通性。
【例1】已知z=2-i,求z6-3z5+z4+5z3+2的值。
【分析】如果直接代入,显然比较困难,将z用三角式表示也有一定的难度。
从整体角度思考,可将条件转化为(z-2)2 =(-i)2=-1,即z2-4z+4=-1,即z2-4z+5=0,再将结论转化为z6-3z5+z4+5z3+2=(z2-4z+5)(z4+z3)+2,然后代入就不困难了。
复数在数学中的应用
复数在数学中的应用《复数在数学中的应用》嘿，同学们！你们知道吗？复数这个家伙在数学里可有着超级重要的作用呢！就好像是一把神奇的钥匙，能打开好多好多数学难题的大门。
先来说说在电学里的应用吧。
咱们都知道电流和电压这些东西吧？复数在这方面可派上了大用场！想象一下，电流和电压就像是两个调皮的小精灵，在电路里跑来跑去。
而复数就像一个超级厉害的魔法棒，能把它们的变化和关系清楚地表示出来。
比如说，在交流电路中，电流和电压可不是像咱们平时看到的那么简单，它们是会变来变去的。
这时候，复数就能帮助我们准确地描述它们的大小和相位。
哎呀，这难道不神奇吗？再讲讲复数在几何中的作用。
复数可以把平面上的点和向量表示得明明白白的。
这不就像是给每个点和向量都穿上了一件独特的衣服，让我们一眼就能认出它们来？比如说，一个复数就对应着平面上的一个点或者一个向量。
我们可以通过复数的运算，来进行图形的旋转、缩放这些操作。
这多酷啊！就好像我们手里有了一个神奇的遥控器，可以随意摆弄这些图形。
还有在信号处理中，复数也是大功臣呢！各种声音、图像的信号，通过复数的分析，就能变得更加清晰、更容易理解。
这难道不像给混乱的信息来了一次大扫除，让有用的东西都显露出来？老师在课堂上讲这些的时候，同学们都瞪大了眼睛，听得可认真啦！“哎呀，这复数也太厉害了吧！”小明忍不住感叹道。
“就是就是，感觉打开了新的数学世界的大门！”小红也跟着附和。
我也在心里默默想着：这么神奇的复数，以后可得好好研究研究！总之，复数在数学中的应用真是无处不在，它就像是一个默默无闻的超级英雄，一直在背后为我们解决各种难题。
难道我们不应该好好去学习它、掌握它，让它为我们的数学之旅增添更多的精彩吗？我觉得呀，我们一定要认真对待复数，这样才能在数学的海洋里畅游得更畅快！。
中学数学认识复数在几何中的应用
中学数学认识复数在几何中的应用复数是数学中一个重要的概念，广泛应用于许多领域，包括几何。
在几何中，复数可以用来描述平面上的点、向量和图形的位置、形状和运动等。
在本文中，将介绍复数在几何中的应用，并探讨其相关性质和定理。
1. 复数表示平面上的点在复数表示中，复数可以看作是一个有序对(a, b)，其中a和b分别表示复数的实部和虚部。
在几何中，我们可以将复数看作是平面上的一个点P(x, y)，其中x表示点P在x轴上的坐标，y表示点P在y轴上的坐标。
通过复数的表示，我们可以方便地描述平面上的点，比如确定点的位置和计算两点之间的距离等。
2. 复数表示向量在几何中，向量是有大小和方向的量，可以表示为一个有向线段。
在复数中，我们可以将复数看作是一个向量，即复数的模表示向量的大小，复数的辐角表示向量的方向。
通过复数的表示，我们可以方便地描述向量的运动、旋转和平移等操作。
3. 复数表示图形位置和形状在几何中，我们经常需要描述和分析图形的位置和形状。
复数在这方面具有很大的优势。
例如，我们可以使用复数表示平面上的一个点，通过改变复数的值来改变点的位置；我们还可以使用复数表示平面上的一个矢量，通过乘以复数的模和辐角来实现平移和旋转操作。
这些操作可以帮助我们更好地理解和描述图形的位置和形状。
4. 复数在系统分析中的应用在系统分析中，我们经常需要描述和分析复杂的系统，例如电路、控制系统等。
复数在这方面具有很大的应用价值。
例如，我们可以使用复数表示电路中的电压和电流，通过复数的运算来分析电路的性质和行为；我们还可以使用复数表示控制系统中的信号和响应，通过复数的变换和运算来分析系统的稳定性和性能等。
复数在系统分析中起到了重要的作用。
总结起来，复数在几何中的应用十分广泛且重要。
通过使用复数，我们可以方便地描述和分析平面上的点、向量和图形的位置、形状和运动等。
复数在几何中的应用不仅方便了我们的工作，还能帮助我们更深入地理解和掌握几何的相关性质和定理。
复数的应用
复数在初等数学中的应用摘要： 本文介绍了复数的一些基本概念、性质、运算等。
利用复数的性质来解决初等数学的基本问题，例如代数、几何向量等。
一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。
关键字： 共轭复数；复数的模；复平面；复数方程分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。
负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。
无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。
在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？实际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。
因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginary number unit.所以，用“i ”来表示这个新数。
引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i 应满足什么条件呢？规定它的平方等于-1，即12-=i因此出现了形如bi a z +=（R b a ∈,）的数。
它就是我们所说的复数。
一、复数的有关概念 1、虚数单位i（1）它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式 2、复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
3、根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di d b c a ==⇔,. 由这个定义得到a+bi=00,0==⇔b a . 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
复数的实际应用及意义文献综述
---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 复数的实际应用及意义+文献综述摘要：复数是数学中的重要内容, 它涉及面广，知识跨度大，并且由于它具有综合代数、三角函数、几何为一体的特点，所以它的应用十分广泛.本在阐明复数、复数性质及其运算的几何意义的基础上主要针对复数在数学代数、几何、三角函数问题解决上的应用做一些具体的举例说明,并在本文最后对复数在其他学科方面的应用做了一些简单的介绍.11944关键词：复数的模；复平面；共轭复数；三角函数形式Application of ComplexAbstract: The complex is an important content in mathematics. It involves a wide range of knowledge, large span. And it has a characteristic which is connecting of the algebra, trigonometric function, geometry. So it is widely1 / 6used. The paper expounds the complex, plural and geometric meaning of complex operation. Adopting example amply introduce complex application in problem solving about algebra, trigonometric function, geometry. Finally, simply introduces the complex application in many fields of the society.Key words: Modulus of complex；Complex plane；Complex of conjugate；Form of trigonometric function.目录摘要.1引言21预备知识31.1复数的相关概念3---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------ 1.2复数的运算41.2.1复数的运算法则41.2.2复数的乘幂与方根41.3复数的几何意义41.4复数的相关性质51.4.1共轭复数的性质51.4.2复数的性质52复数的应用62.1复数在数学中的应用6本文主要介绍复数在数学中的应用.全文阅读了大3 / 6量参考文献和阐明复数、复数意义及其运算的几何意义的基础上，详细阐述了复数在数学中的应用，重点放在利用复数及其相关性质解决代数、三角函数、几何问题上，并在本文最后介绍了复数在社会其他领域中的应用.本文通过许多例子说明了复数在数学问题解决中的应用，重点突出了在解决问题的过程中，运用复数及其相关知识后，问题变得更加的简便、巧妙.1.预备知识1.1复数的相关概念定义形如或的数称为复数，其中是任意实数，实数单位为1,满足，称为虚数单位.复数的四种表示形式(1)复数的代数形式；(2)复数的几何形式复平面上的点或由原点出发的向量；---------------------------------------------------------------范文最新推荐------------------------------------------------------(3)复数的三角形式；(4)复数的指数形式.其中表示复数的模，表示复数的辐角.复数相等的概念复数与相等，是指它们的实部与实部相等，虚部与虚部相等，即必须且只须.共轭复数复数的共轭复数常记为，.复数的模我们用向量来表示复数，其中顺次等于沿轴与轴的分量，向量的长度称为复数的模或绝对值，以符号或表示，因而有且的充要条件是.复数的辐角实轴正向到非零复数所对应的向量间的夹角合于，称为复数的辐角，记为.复平面一个复数本质上有一对有序实数唯一确定，就称为复数的实数对形式.于是能够建立平面上全部的点和全体复数间的一一对应关系.换句话说，我们可以借助于横坐标为、纵坐标为的点来表示复数.5 / 6由于轴上的点对应着实数，故轴称为实轴；轴上的非原点的点对应着纯虚数，故轴称为虚轴.这样表示复数的平面称为复平面或平面.复平面也常用C 表示.(4)设R（）表示对于复数的任一有理运算，则.1.4.2复数的性质性质1（当且仅当时左等号成立，时右等号成立）. 复数的实际应用及意义+文献综述(3):。
复数在高等数学中的应用
复数在高等数学中的应用复数是数学中非常重要的一种数，它包含了实部和虚部，代表了平面上的一个点。
在高等数学中，复数的应用非常广泛，可以用来求解微分方程、分析函数、分析波动等等。
在本文中，我们将会探讨复数在高等数学中的应用。
1. 复数的基本概念复数是由实数域上的数和一个虚数单位i所构成的数系，可以表示为a+bi，其中a,b都是实数。
a称为实部，b称为虚部。
虚数单位i具有如下性质：i²=-1，i³=i²i=-i，i⁴= i²i²=1。
在复平面中，实部为x轴，虚部为y轴，每个复数可以对应平面上的一个点，复数的加减乘除规则则是根据向量的加减乘除规则而得出的。
2. 复函数及其性质复函数是定义在复数域上的函数。
在高等数学中，复函数有很多特殊的性质，下面我们将一一探讨。
首先，我们看一下复函数的可导性。
由于复函数的自变量是复数，所以它可以进行复数微积分。
如果一个复函数在某一点处可导，则该点处的导数是一个复数。
和实变量类似，可导性等价于该函数在该点处存在一个复数的导数。
其次，我们探讨复函数的单解析性。
如果一个函数在某个开集内是单解析的，则该函数在该开集内是光滑的，可以用泰勒展开公式表示。
同时，如果一个函数在某个开集内是单解析的，则它在该开集内的曲线积分是互换顺序的。
最后，我们探讨复函数的调和性。
如果一个函数在某个开集内是调和的，则它满足拉普拉斯方程。
3. 复数的三角函数在高等数学中，我们还会经常用到复数的三角函数。
和实数的三角函数一样，复数的三角函数也有正弦、余弦、正切、余切等。
首先，我们来看一下复数的正弦和余弦。
由欧拉公式，我们可以将复数表示为eⁱθ=cosθ+isinθ。
因此，复数的正弦和余弦函数分别定义为sin(z)=(eⁱz-e⁻ⁱz)/2i，cos(z)=(eⁱz+e⁻ⁱz)/2。
接下来是复数的指数函数。
根据欧拉公式，eⁱθ=cosθ+isinθ，因此eⁱz=eⁱx(cosy+isiny)=eⁱxcosy+ieⁱxsiny。
复数的几何意义范文
复数的几何意义范文复数在数学中是非常重要的概念，它在代数、几何、物理等领域都有广泛的应用。
在几何中，复数可以用来表示平面上的点、向量和旋转等，具有丰富的几何意义。
可以将复数表示为z=a+bi，其中a和b分别为实部和虚部，i是虚数单位。
这表示复数z在平面上的一个点，横坐标是实部a，纵坐标是虚部b。
实部和虚部分别对应于z在x轴和y轴上的投影。
首先，我们来看复数的绝对值，也叫模或幅角。
复数z的绝对值表示该点与原点之间的距离，即，z，=√(a^2+b^2)。
这个概念类似于向量的模，可以用来衡量一个点与原点的距离。
与绝对值相关的是复数的共轭。
复数z=a+bi的共轭表示为z*=a-bi，是实部不变、虚部取相反数的复数。
共轭复数在几何上表示平面上z关于x轴的对称点，即将z在实轴上反射得到的点。
接下来，我们来看复数的加法和减法的几何意义。
设z1=a1+b1i和z2=a2+b2i是两个复数，则它们的和z=z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i表示两个向量的相加。
即z的实部是两个向量在实轴上的投影之和，虚部是两个向量在虚轴上的投影之和。
对于复数的减法z=z1-z2=(a1-a2)+(b1-b2)i，它的几何意义是将z1减去z2的向量，也可以看作是从z2指向z1的向量。
减法可以实现平面上的向量相减。
复数的乘法的几何意义是非常有意思的。
设z1=a1+b1i和z2=a2+b2i是两个复数，则它们的乘积z=z1*z2=(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i表示平面上的两个向量的相乘。
从几何上看，复数的乘法可以实现向量的旋转和缩放，模的乘积等于两个向量的模的乘积，而幅角的和等于两个向量的幅角的和。
特别地，如果一个复数z=a+bi乘以纯虚数i，则其几何意义是将z逆时针旋转90度，相当于将复平面上的向量旋转90度。
最后，我们来看复数的除法。
设z1=a1+b1i和z2=a2+b2i是两个非零的复数，则它们的商z=z1/z2=(a1a2+b1b2)/(a2^2+b2^2)+((b1a2-a1b2)/(a2^2+b2^2))i。
复数在高考数学中的应用
复数在高考数学中的应用复数是高考数学中比较重要的一个内容，其在高中数学中也有一定的应用，主要是在解二次方程时使用。
在复数的定义中，我们可以将其视为实部和虚部相加，其中实部和虚部都是实数。
因此，可以将复数看作是一对有序实数，即(a, b)，其中a和b分别表示该复数的实部和虚部。
在本篇论文中，我们将探讨复数在高考数学中的应用，包括复数的基本运算、解高次方程、几何意义以及复数与三角函数的关系等方面。
一、复数的基本运算复数的基本运算包括加、减、乘、除四种。
其中，加法和减法较为简单，只需要分别将两个复数的实部和虚部相加、相减即可。
而乘法和除法的运算稍微麻烦一些，需要用到复数的共轭以及极座标形式等相关知识。
乘法运算时，我们可以将两个复数a+bi和c+di相乘，得到一个新的复数(ac-bd)+(ad+bc)i。
这个运算结果也可以使用复数的极座标形式表示，即z1×z2=|(r1×r2)|[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]。
除法运算时，我们需要用到复数的共轭，即将一个复数的虚部变号，然后将其代入分子中。
设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，则z1/z2=[(a1a2+b1b2)+(b1a2-a1b2)i]/(a2²+b2²)。
通过这个公式，我们可以将一个复数除以另一个复数，并得到一个新的复数。
二、解高次方程在高考数学中，经常会出现一些高次方程的解题题型，并且其中有一部分题目需要用到复数，如求方程x⁴+1=0的解，x⁴-2x²+2=0的解等。
这些题目一般都需要通过复数的知识来解决。
对于一个二次方程ax²+bx+c=0而言，我们可以通过求根公式得到其解析式。
而对于高次方程，求解方式则需要更多的技巧。
其中，一种常见的方法是通过将高次方程转化为齐次方程，并使用复数解决。
具体的做法是，将高次方程中的项进行代换，例如y=x²，则原方程可以转化为y²+1=0的形式，然后使用复数知识解决该方程即可。
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【标题】复数性质及其在数学上的应用
【作者】齐耀秋
【关键词】数学复数应用
【指导老师】王进
【专业】数学与应用数学
【正文】
１引言
复数是中学数学知识的重要交汇点，它的代数、几何、三角等多种表示形式以及特有的性质和运算法则，决定了它与代数、几何、三角的紧密联系。
代数与几何是中学数学的两大重要内容，在代数中复数及其相关性质是重要的学习内容，探讨怎样巧用复数性质解决数学问题十分有意义。
通过对一些具体例子的论证，说明利用复数及其相关性质解决某些数学问题往往能起到避繁就简、化难为易的作用。
本课题从复数在代数中的应用、复数在几何中的应用、复数在三角中的应用三个方面展开讨论。
2复数概念及性质
2.1复数概念
形如的数叫做复数。
复数的表示形式有：
代数形式；三角形式；指数形式。
几何形式：
用向量表示复数；
用点表示复数。
向量的长度称为复数的模，记为：，即。
向量与轴正半轴间的角即为复数的辐角，即为：。
复数与互为共轭复数。
2.2复数性质
设,于是有：
；纯虚数或零；。
；；。
；。
；。
棣莫弗公式：。
3复数性质在数学中的应用
3.1利用复数性质解决代数问题
例１设，求函数的最小值
分析：由于直接利用二次函数或根式的性质都不能求解，配方，联想复数的模可设复数，从而利用复数模性质将本题解决。
解：
设，
因为
而，
所以
因此函数的最小值为５。
由此例可见，巧设复数，利用复数的模能使问题得以快速解决。
例２设复数满足：，它们在复平面内分别对应于不同的点A点B，O为坐标原点，若，求使得△AOB有最大面积时的a的值，并求出最大面积．
解：由于，所以，首先应结合题目条件，考虑与的关系．
首先，，所以，，解这个关于的方程，得：．
所以，，
因此，
所以，
等号成立当且仅当，即时取得．此时，△AOB取得最大面积，为。
本课题通过复数的几何表示法及复数模的性质，平均值不等式求解三角面积的最大值显得尤为简单。
例３设a、b、x、y都是实数，求证：
分析：按常规无理不等式证明，此题是很难解决的。
如果考虑式中五个根式都是复数的模，则利用模的性质来证明，问题就简单多了。
证明：设，则
，则
，则
，则
又因为
所以
由模的性质可知
所以
例４设a为任意实数，求证：
证明：因为
设，
根据（等号仅当同向时成立）
因，故有
例５：求证:
分析：由于，可以用数学归纳法证明以上等式，但由等式联想棣莫弗公式和二项
式定理，使证明更简明。
证明：设
则
由复数相等的定义可得：
这道题关键是由等式左边联想棣莫弗公式，等式右边结合二项式定理，才使证明简明扼要。
例６已知实数列，的各项均不为零，且，，，，为已知常数，求数列，的通项公式。
解：构造复数（）则
所以是以为首项，为公比的等比数列
所以
故
此题运用棣莫弗公式：，使运算量大大减少，优化了过程，提高了效率，可谓匠心独运，对能力提高大有帮助。
3.2利用复数性质证明几何问题
例７已知平行四边形的两个顶点A(0，0)，B(3，-5)，点P内分对角线AC为2∶1。
当D点在以
Q（3，2）为圆心，3为半径的圆周上运动时，求P点的轨迹。
分析：如图,按常规方法，找出P点与D点的坐标关系后，利用D点的轨迹求解，其运算繁杂。
若将直角坐标平面视为复平面，则解决起来会十分简便。
解：由题知点A、B、Q对应的复数分别为：
，，
设点P对应的复数为，根据题意有：
且
所以
又因为
所以
所以
故所求的P点的轨迹为以点（4，－2）为圆心，半径为2的圆。
正确理解复数的几何意义是数形结合和实现问题转化的关键。
例８为顶点依次顺时针方向排列的等腰直角三角形，其中A为定点，B是定圆上的动点，C为直角顶点，求C点的轨迹。
解：如图建立坐标系（确定复平面）
设定圆的半径为r，A、C对应的复数为
又因为
所以
因此，即
故C点的轨迹是以（a ,a）为圆心，以为半径的圆。
一个复数对应于复平面上的一个点,如果复数的实部与虚部是一对实数变量,则所对应的点就成为复平面上的动点。
如果复数变量按某种条件变化,则复平面上的动点就构成具有某种特性的点集或轨迹,因此通过复平面可把复数与平面解析几何的某些曲线联系起来,而且用复数形式表示曲线方程显得更简单、清晰。
例９椭圆和直线（）交于P、Q两点，求直线
OP和OQ相互垂直的条件。
解：设P、Q两点在X轴上的坐标分别为，因P、Q在直线
上，利用复数表示有
，
若要，知必须应为纯虚数。
据其实部为零，有
即：（1）
再由
得
（2）
所以
代入（1）得（3）
因（2）要有两个不同的实根，须判别式
即（4）
以上条件（3）（4）即为所求的条件。
3.3利用复数性质解决三角问题
例１０求证：
分析：将，，，，分别看成是复数，，，的一个辐角，问题已转变为求四个复数辐角和，则利用即可。
证明：设，
则，，，，
所以
又因为
所以
又因为
所以
即
利用复数证明角相等，要注意讨论角的范围。
例１１已知，求的值
解：构造复数：，
则有
因为
所以
根据两个复数相乘，积的辐角等于各复数辐角之和，得
4总结：
复数是高中数学中涉及面广, 知识跨度大的内容, 它具有综合代数、三角、几何为一体的特点, 应用十分广泛。
并且对数学的发展起到了探索和导向的作用。
本文介绍了复数概念及其性质，并通过复数性质在代数、几何、三角三个方面的应用对课题进行了阐述。
从文中所举例子可见，对于数学中的某些问题，通过使用复数相关性质可以使问题得以巧妙解决。
其中利用复数性质求函数极值、数列通项公式、轨迹方程、三角函数值，证明不等式、证明等式、三角恒等式、证明两条直线垂直问题都显得十分简便。
通过一些带综合性例题的解答，可以提高学生灵活运用数学知识解决问题的能力，提高解题效率。
通过对复数、复平面内的点及位置向量三者之间的联系与转换的例题讨论，可以培养学生数形结合的思想，进一步对学生进行辩证观点的教育。