3.1.2复数的几何意义教案

y
b
y
Z=a+bi Z(a,b)
o
a
x
y
y
y
y
3
Z(a,b)

面向全体 学生（属基本 题型），巩固概 念，体会数形 结合思想，重 视一题多变， 较全面地理解 复数、复平面 内的点、始点 为原点的向量 三者的关系。
2
C
B
A

-2
123 x
阐明复数 与实数的联系 和区别，实数
2、复数的几何意义
能比较大小，
平面向量
OZ
[巩固练习]
（1）、在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：
4，2+i，-1+3i，3-2i，-i
（2）、“a=0”是“复数 a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。
(A)必要不充分条件
(B)充分不必要条件
(C)充要条件
(D)既不充分也不必要条件
（3）、复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？
五、作业（略）
回顾、反 思打破了原有 回顾知识的格 局，主要安排 体现三部分， 即知识梳理、 技巧与警示、 重要的数学思 想方法，为学 生的后续学习 奠定基础提高 他们的认识水 平。
3、复数的模（或绝对值）
复数的模。
（3）（4）中利
向量 OZ 的模叫做复数 Z=a+bi 的模（或绝对值），记作 Z 或 a bi 。如果 b=0， 用 计 算 机 动
那么 Z=a+bi 就是实数 a，它的模等于 a （即实数 a 的绝对值）。
画，体会数形 结合思想，加
Z = a bi = a2 b2
3.1.2 复数的几何意义教案
教学 目标
教学 重点 教学 难点 教学 方法
设 计 说 明
1、知识目标：理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数代数式 加法、减法运算的几何意义。
2、能力目标：渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力。 3、情感目标：引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质。 复数的几何意义
OZ1 ，OZ2 为两条邻边画平行四边形 O Z1 Z Z 2 ，则对角线 OZ 所表示的向量 OZ
就是复数（a+c）+(b+d)i 对应的向量。（平行四边形法则） 根据复数减法的定义和复数加法的几何意义，可以得到复数减法的几何意义。
（三角形法则，过 O 作与其相等的向量）
y
Z2 Z1
在理解复 数有关几何意
y
Z
Z2
Z1
x O
（学生讨论，动手实践，回答；后用计算机作图并用平面几何理论证明） 4、复数加法、减法的几何意义
设向量 OZ1 ，OZ2 分别与复数 a+bi，c+di 对应，且 OZ1 ，OZ2 不共线，以
例 1 训练 学生对复数几 何意义的运 用，渗透数形 转化思想，培 养学生严谨的 思维品质，有 利于学生对复 数几何意义的 理解。
变式：第二象限的点表示的复数有何特征？
问题 4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请
拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。
（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）
不能比较大 小，但向量的 模可以比较大 小，从而引出 复数的模（或 绝对值）。
通过知识 的分层练习， 使学生明确复 数的模（或绝 对值），即点 Z 到复平面原点 的距离，会求
（1）|z-1-i|=|z+2+i| （2）|z+i|+|z-i|=4 （3）|z+2|-|z-2|=1
义的基础上， 将复数几何意 义应用推广到 用复数研究解 析几何某些曲 线等问题，使 学生进一步体 会复数减法几 何意义的重要 性，认识到复 数与其它数学 内容之间的联 系。
根据课堂 学生的反应， 控制上课节 奏；来不及讲 的话，可将它 作为课后思考 题；重视一题 多解，一题多 变，感受数形 结合的美妙。
于第二象限，求实数 m 允许的取值范围。
变式：证明对一切实数 m，此复数 z 所对应的点不可能位于第四象限
（解不等式组；解不等式组无解）
表示复数的点所在象限的问题
相互转化
数的实部与虚部所满足的不
等式组的问题
(几何问题)
（代数问题）
数学思想：数形结合、转化思想
例 2 在复平面内，满足下列复数形式方程的动点 Z 的轨迹是什么？
复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？
疑——验证—
（4）设 Z∈C，满足 2< Z 3 的点 Z 的集合是什么图形？（结果动画演示）
—应用”获取 知识的手段和
方法，提高学
生分析问题、
问题 5：既然复数可以用复平面内过原点的向量来表示，那么，复数的加法、 解决问题的能
减法有什么几何意义呢？它能像向量加法、减法一样，用作图的方法得到吗？ 力。
深数与形的相 互转化。
[巩固练习]
（1）、已知复数 Z1 =3+4i， Z 2 =-1+5i，试比较它们模的大小。
培养学生的类 比猜想能力，
（2）、若复数 Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为
。
逐步形成“观
拓展与延伸：
察——类比—
（3）满足|z|=5(z∈R)的 z 值有几个？满足|z|=5(z∈C)的 z 值有几个？这些 —猜想——质
0
x
Z
设 Z1 =a+bi， Z 2 =c+di，则 Z1 - Z 2 =（a-c）+（b-d）i
故 Z1 Z2 Z2Z1 (a c)2 (b d)2
表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点之间的距离。 三、数学应用
例 1 已知复数 z= (m2 m 6) (m2 m 2)i 在复平面内所对应的点位
应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一 数的条件，为
对应关系）
新课的传授作
实数可以用数轴上的点来表示
必要的铺垫。
教
实数
一一对应
实数轴上的点 （几何
学
模型）
以学生熟
过
悉的知识为载
程
数
形
体，采用类比
的方法，引导
问题 3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复 学生对比、思
复数与向量的关系；复数模的几何意义；复数减法的几何意义。
问题启发
1、微观与宏观：每一节数学课，一方面需要完成具体数学知识、方法等微观教学任务；另一
方面，作为整个数学学科教学的一个有机组成部分，同时也肩负着培养学生数学思想，形成数学观，
整体认识数学学科等的宏观教学任务。
2、探索与指导：人类对客观世界的认识离不开探索，但所有知识都通过探索去获得是没有必
复数 a+bi，即点 Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量 OZ （复数的向量形式。 虚数不能比较
大小，是实数
以 O 为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）
三者的关系如下：
的复数能比较
大小，能比较
复数
z a bi
大小的复数只 能是实数。复 数可看作是向
量 OZ ，向量
复平面 内的点 Z（a,b）
教学进程
设计意图
一、问题情景
问题 1：对于复数 a+bi 和 c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这
回忆旧
两个复数相等？
知，吸引学生
（a=c 且 b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）
的注意力；揭
问题 2：若把 a,b 看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数 a+bi 是怎样的对 示确定一个复
数其他的一些性质吗？
考、愤悱，调
（学生猜测，讨论，形成一些共识）
动他们的积极
二、建构数学
性和主动性，
1、复平面的概念
活跃课堂气
实轴，y 轴叫做 氛，拓展思维
虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。
宽度，从而使
新课更加顺理
成章的展开。
要的。也是不可能的。本课的设计中希望学生在教师的指导下作小范围的必要的教学探索活动，使
整个教学更有序。、更有效。
3、兴趣与毅力：兴趣是学习良好的开端，毅力是学习的保证。在课的设计中一方面要安排一
些有趣、直观、易于理解的内容，另一方面也需要有一定难度的思维训练，因为数学学习不可能是
一件十分轻松的事情。
延伸：若将（2）中的等于改为小于呢？
（轨迹分别是直线；椭圆；双曲线）
（备用题：）
已知，复数 Z1 =3+4i，复数 Z 满足
（代数方法；几何方法）
Z Z1
2 ，求
Z
的最值。
四、回顾反思 1、请同学们依据板书顺序回顾课堂全程内容。 2、请同学们谈谈对复数几何意义的认识。 3、重现复数加法、减法的几何意义的内容。 4、体会数形结合思想，加强复数与其它数学内容的联系。