轮换对称不等式的证明技巧
轮换对称法(地位等价法)
高中数学：基本不等式暴力求最值方法：轮换对称法（地位等价法）
大家看好啊，这个等式变下来，很多同学让你自己来构造，是不一定能想得这么明白的，所以这常规解是有一定的难度的。
那就我们就来用大招了，那就是第二种方法：轮换对称法（地位等价法），它不但适合基本不等式求最值，还适合有些三角函数问题，以及有些向量问题。
但是我要给大家讲的是：它是有一定的局限性，不是所有不等式求最值都能搞定的，但是只要题目满足2个要求，它就能做到秒杀。
实事实是的讲，我们上次讲的差值法比这轮换对称法要广泛很多，对于这种题型是可遇不可求的。
那么，有同学就问了，有没有能搞定大部分不等式求最值的
方法？答案是肯定的，那么，绝招肯定是要留到正课里的，你懂的。
但是，今天讲这种方法是可以快速解决掉这方面的高考真题。
那么它要满足的2个需求是：
①．“平方和式”与“和式”的系数必须成比例
②．不用管乘积项系数（成绩项系数可凑）
为方便大家理解，请看下图：
大家可以看出，这样一写，和式系数与和乘积项系数成比例条件成立，那就我们就可以x=2y，不信是不是?那么大家可以将x＝2y，y＝x/2代入原等式，可以看出题干无变化,那就相当于X与2y等价。
将x＝2y代入，只剩未知数y，解出y和x即可算出答案。
看一看，是不是可以10秒出答案
好，我们再看第二题来验证下技巧：
大家看好，通过变化，和式系数、乘积项系数、平方和式系数成比例条件是不是成立了，那么大家可以将x＝y/2，y＝2x代入原等式，也可以看出题干没有任何变化, 那就相当于2x与y等价。
将y＝2x代入，只剩未知数y，解出y和x即可算出答案。
不等式证明技巧谈之一
▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓ 不等式证明技巧谈之一——轮换对称式在证明中的技巧不等式的证明在中学阶段是一个较难的问题，往往是看似简单，而动手时却毫无头绪，这其中最主要的原因是对于代数式的结构把握不准，不能充分利用代数式本身的特征来解决问题。
例题：已知a 、b ∈R ，求证：122-++≥+b a ab b a首先，我们来分析这个式子的结构特点。
在代数式中，较为突出的式子有——齐次式、轮换对称式、共轭因式等等。
此题显然是一个轮换对称式（即将a 和b 互相交换，式子不变）。
对于轮换对称式而言，在不等式的证明中，当且仅当a=b 时取等号，这就给我们做题提供了一些解题基本思路。
从上题我们知道，等号成立的条件是a=b也就是说方程122-++=+b a ab b a 成立的条件是a=b ，代入可得a=b=1，也就是说从此方程中可以得到a=b 、a=1和b=1。
下面，我们从解方程的角度来考虑。
如果是一个一元方程f(x)=0，若有一根α，则必有f(x)=(x-α)g(x)，而对于一个多元的不定方程而言，若能解出唯一的一组根的条件是什么呢？方程01),(22=+---+=b a ab b a b a f 有唯一的一组根a=b=1，显然不能说f(a,b)=(a-1)(b-1)g(a,b)，因为若如此，则方程f(a ，b)=0的根就是a=1或b=1，而不是“且”。
故f(a ，b)必定是一组平方和。
而由题知a=b 、a=1和b=1，则f(a ，b)的因式中必包含222)1()1()(---b a 、b a 和。
即f(a 、b)= 222)1()1()(-+-+-b a b a由此，我们可以知道：0)1()1()(222≥-+-+-b a b a ，展开即得我们所要证明的不等式。
轮换对称不等式的证明技巧
不 等 式叫作轮换对 称不 等式 。 一 与 原 不 等 式 相 同 ’ 则 称 这 个 ＋ （ 羔一 ｂ ） ＋ （ … ｃ ２ 专 ‘ ． 。 ‘
，
轮换对称不等式形式优美 ，其证 明方法也有很 多 ， 但 是， 其 中的规律却难以寻找。 在教学过程 中， 学生对此 常常 有所 困惑 ， 在证明时因为对轮换对称不等式 的概念及性质 认识模糊等等原 因 。 容易 出现一些错误 。 下面 ， 结合本 人的 教 学实践 ， 介绍几种易操作 的方法供读者参考 。希望 大家 能够举一反 三 ， 触 类旁通 ， 较好地 掌握 这些 轮换 对称不 等 式的证明技巧 ， 提高 自己的思维能力。 ’ 例１ ： 已知 ａ ＋ ｈ ＋ ｃ ＝ ｌ ， 且ａ 、 ｂ ， ｃ 均 为非 负实数 。求证 ：
（ 音） ＋ （ 一 告）
不 妨 设 ａ≥ｂ≥ｃ＞０ ， 左 边 ＝－ ２ ａ － ｂ － ｃ ＋— ２ ｂ － ａｃ
－ 要学会化简命题 ， 找到突破
口。 娴熟地运用这些方法 ， 可 以提高学 生的解题能力 ， 锻炼
＋
学生 的思维 。 这样 ， 无论是对平时的解题还是考试 ， 都会起 到良好 的促进作用。
由ａ 、 ｂ 、 ｃ的对 称性 ， 不 妨设 ａ ≥ｂ ≥ｃ＞ ０ ， 则（
一
争 ） ＋ （ 羔一 争 ） ＋ （ 一 手 ） ＝
≥
＋
＋
＝
当且仅 当 ａ ＝ ｂ ＝ ｃ时 ， 等号成立 。
、 ／ ＋ 、 ／ ＋ 、 ／ ≤、 ／ 丁 【 次数 配平法 】
证 明： ＋ ＋ ≤ § ＋ ＋
’ 卜 ≥ 手 ・ 相对独立 的， 它们可 以交替运用。 有时 ， 一个对称不 等式可
关于三角形中两个轮换对称不等式
成人高等教育1999第1期关于三角形中两个轮换对称不等式绍兴市农校 楼岳才在一个不等式中，若把其中任何两个字母x i 和x j （I=1，2，…，n 且i ≠j ）对调位置后，这个不等式不变，则称此不等式是关于x 1，x 2，…，对称的。
如果把不等式中的字母x 1，x 2，…，x n 按一定顺序替换后不等式不变，则称此不等式关于x 1，x 2，…，x n 轮换对称。
三角形中有许多对称不等式（有的是相当著名的），这一工作研究得较为深入，成果也多。
可对三角形中的轮换对称不等式却研究得较少。
本文给出三角形中的两个轮换对称不等式及其等价式。
一、三角形中的两个轮换对称不等式在△ABC 中有：2)222(222222C tg B tg A tg B tg C tg A tg B tg C tg A tg++≥++………………………① 在锐角△ABC 中有：()2ctgC ctgB ctgA ctgBctgC ctgA ctgB ctgC ctgA ++≥++…………………② 证明：设x ，y ，z ＞0，由柯西不等式知：2)())((z y x yz x y y x zy yx xy ++≥++++ （当且仅当x=y=z 时取等式） 若令2A tgx =，2B tg y =，2C tg z =，并注意到： 222222B tg C tg A tg B tg C tg A tg ++=1 即有2)222(222222C tg B tg A tg B tg C tg A tg B tg C tg A tg ++≥++……………………………………① 若令x=ctgA ，y=ctgB ，z=ctgC （Ａ，Ｂ，Ｃ为税角三角形的三个内角，显然x ，y ，z＞０），并注意到：ctgActgC+ctgBctgA+ctgCctgB=1 即有()2ctgC ctgB ctgA ctgBctgC ctgA ctgB ctgC ctgA ++≥++……………………………………② 二、两个轮换对称不等的几个等价式１、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，则以下不等式等价：（1）2)222(222222C tg B tg A tg B tg C tg A tg B tg C tg A tg++≥++ （2）c b a ba c c a cb bc b a a ++≥-++-++-+222 （3）a 2b （a-b ）+b 2c （b-c ）+c 2a （c-a ）≥0 （第24届国际奥林匹克竞赛题）（4）12cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 222222≥++B C A B C A 证明：()()21⇔由于()()()()C B A C B A A c b a c b a a sin sin sin sin sin sin sin 22++-+=++-+ 2cos 2cos 2cos 42cos 2sin 2sin 4sin 2C B A C B A A ⋅= 412cos sin cos 412cos sin 4sin cos cos sin 2cos sin 4)sin(2cos sin 4sin 2222=+⋅=⋅+=+=⋅=C C ctgB C C B C B C B C B C B C B A ()()())222221(412/cos 2cos 2sin 22/22/112cos 22222C tg B tg B tg C tg C tg c C C B tg B tg C -+-=⋅-+- 故 ()()c b a c b a a C tg B tg C tg B tg Ctg ++-+=--+224222221 同理()()c b a b a c c B tg A tg B tg A tg B tg ++-+=--+224222221 ()()c b a c c b a A tg C tg A tg C tg A tg ++-+=--+224222221 2)222(222222C tg B tg A tg B tg C tg A tg B tg C tg A tg ++≥++2222222222222C tg B tg A tg B tg C tg A tg B tg C tg A tg +++≥++⇔)222221()222221()222221(222B tg A tg B tg A tg B tg A tg C tg A tg C tg A tg C tg B tg C tg B tg C tg--++--++--+⇔≥44))((4))((4))((4222≥++-++++-++++-+⇔c b a b a c a c b a a c b b c b a c b a a c b a ba c c a cb bc b a a ++≥-++-++-+⇔222 )3()2(⇔容易证明下列两个等式成立：)())(()(22222z xy x x y z x x z y x y x y x --+-+-+=-))()()((222444222222y x z x z y z y x z y x z y x x z z y y x -+-+-+++=---++∴)()()(222a c a c c b c b b a b a -+-+- )())((2222c ab a a b c a a c b a --+-+-+=)())((2222a bc b b c b a b a c b --+-+-++)())((2222b ca c c a b c c b a c --+-+-++))(())(())((222a b c c b a c c b a b a c b b c a a c b a -+-++-+-++-+-+=)]()()([222222222222444a c a c c b c b b a b a a c c b b a c b a -+-+-----+++))(())(())((222a b c c b a c c b a b a c b b c a a c b a -+-++-+-++-+-+=)]()()([))()()((222a c a c c b c b b a b a b a c a c b c b a c b a -+-+---+-+-+++-故))()(())(())(())(()]()()([2))()()(())(())(())((222222222222≥-+-+++--+-++-+-++-+-+⇔++≥-++-++-+-+-+-=-+-+-+++--+-++-+-++-+-+b a c a b a c b a a b c c b a c c b a b a c b b c a a c b a c b a ba c c a cb bc b a a a c a c c b c b b a b a b a c a c b c b a c b a a b c c b a c c b a b a c b b c a a c b a12cos 2sin 2cos 2sin 2cos 2sin 12cos 2cos 2cos sin 42cos 2sin 2sin sin 42cos 2cos 2cos sin 42cos 2sin 2sin sin 42cos 2cos 2cos cos 42sin 2sin 2sin sin 41)sin sin (sin sin )sin sin (sin sin )sin sin (sin sin )sin sin (sin sin )sin sin (sin sin )sin sin (sin sin 1)()()()()()()()()(0)()()()4()3(0)()()(0)]()()([2222222222222222222222≥++⇔≥++⇔≥++-++++-++++++⇔≥++-++++-++++-+⇔++≥-++-++-+⇔≥-+-+-⇔≥-+-+-⇔≥-+-+-⇔B C A B C A C B A B A C B C C B A A C B A B C B A A B C A A C B A B A C B C C B A A C B A B C B A C B C A A c b a c a c b c c b a c c b a b c b a c b c a a abc ca b bc a a c b a c c b a c b b c a b a a c a c c b c b b a b a a c a c c b c b b a b a a c a c c b c b b a b a2．在锐角三角形ABC 中，角A 、B 、C 所对边的分别为a 、b 、c ，则下列不等式等价：（1）2)(ctgC ctgB ctgA ctgBctgC ctgA ctgB ctgC ctgA ++≥++ （2） C B A BA C C A CB BC B A A 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 2sin 222++≥-++-++-+（3）)2sin 2(sin 2sin 2sin )2sin 2(sin 2sin 2sin )2sin 2(sin 2sin 2sin 222≥-+-+-A C A C C B C B B A B A （4）1sin cos sin cos sin cos 222222≥++BC A B C A 证明：令a 0=sin2A ，b 0=sin2B ，c 0=sin2C由于A 、B 、C 为锐角三角形ABC 三个内角，故a 0，b 0，c 0>0又 a 0+b 0+c 0=4cosAcosBsinC>0000a c b -+=4cosBcosCsinA>0c 0+a 0-b 0=4cosCcosAsinB>0故a 0，b 0，c 0可作为一个三角形的三条边，不仿设这个三角形的外接圆直径为1，a 0，b 0，c 0边所对角分别为a 0，b 0，c 0。
均值不等式的轮转对称解法
例题 2：
显然不是轮换对称式。看看能不能构造成轮换对称式呢？ 思考. . . 令 2y=t,原式变为： x t 2, 求 x t 的最大值
2 搞定：x=t=1,得 xy≥1/2
总结：注意结构的特殊性。对称性是数学中非常重要的性质。
均值定理之轮数式 f (x,y,z)中，如果字母 x, y, z 任意交换两 个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式。 2、在含有多个字母的代数式 f (x,y,z)中，如果字母 x, y, z 循环变换后代数式 的值不变，则称这个代数式为轮换对称式，简称轮换式。 比如： a2 b2 c2 就是一个轮换对称式。 例题 1：
轮换对称法 求不等式
轮换对称法求不等式摘要：一、引言二、轮换对称法简介三、使用轮换对称法求解不等式1.轮换对称法的步骤2.求解具体不等式实例四、总结正文：一、引言在数学中，求解不等式是一项重要任务。
有许多方法可以用来解决不等式问题，其中一种有效的方法是轮换对称法。
本文将介绍轮换对称法的基本概念和如何使用这种方法求解不等式。
二、轮换对称法简介轮换对称法是一种基于代数的方法，可以用来求解包含复数变量的不等式。
这种方法的关键思想是将复数变量用三角形式表示，然后利用三角函数的性质简化不等式。
轮换对称法适用于一类特殊的不等式，这类不等式的特点是变量之间的系数具有轮换对称性。
三、使用轮换对称法求解不等式1.轮换对称法的步骤步骤一：将不等式中的复数变量表示为三角形式。
步骤二：将三角形式中的变量用轮换对称的形式表示。
步骤三：利用三角函数的性质简化不等式。
步骤四：根据简化后的不等式，求解原不等式的解集。
2.求解具体不等式实例例如，考虑不等式|2+3j| < 5。
首先，将复数变量j 表示为三角形式，有j = √(1-2^2) * (cos(π/4) + isin(π/4))。
接着，用轮换对称的形式表示变量，有j = √(1-2^2) * (cos(π/4) + isin(π/4)) = √(1-2^2) * (cos(π/4) +isin(π/4)) * (cos(π/4) - isin(π/4)) = √(1-2^2) * (cos(π/2) + isin(π/2)) = √(1-2^2) * (1 + 0j)。
现在，不等式可以写成|2 + 3 * √(1-2^2) * (1 + 0j)| < 5，进一步简化为|2 + 3 * √(1-2^2)| < 5。
解这个不等式，得到√(1-2^2) < 5/3，即-√2 < 5/3，这是原不等式的解集。
四、总结轮换对称法是一种有效的求解不等式的方法，尤其适用于处理具有轮换对称性的不等式。
轮换对称不等式的证明技巧
轮换对称不等式的证明技巧轮换对称不等式形式优美，证明技巧很多，但规律难寻。
本文介绍利用基本不等式等号成立的条件凑项证明，只要领悟添项的技巧，这类不等式完全可以程式化证明，供参考。
一、凑项升幂法例1 已知，且， +∈R z y x ,,1=++z y x 求证：21141414≤+++++z y x 分析：由于当时，上述不等式的“=”成立，于是31===z y x 。
37141414=+=+=+z y x 证明：因为，所以，同理，143714372++≤+⋅⋅x x )52(7314+≤+x x )52(7314+≤+y y ，上述三式相加，并将代入化简即得证。
)52(7314+≤+z z 1=++z y x 二、凑项降幂法 例2 证明Cauchy 不等式na a a a a a n n22122221)(+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++证明：设，则，所以，a a a a n =+⋅⋅⋅++21i i a n a n a a ⋅≥+2(22∑∑==≥⋅+ni in i i a n a n a n a 12122(即。
na a a a a a n n 22122221)(+⋅⋅⋅++≥+⋅⋅⋅++三、凑项去分母法例3 设是正数，且， n x x x ,,,21⋅⋅⋅121=+⋅⋅⋅++n x x x 求证：211212132222121≥++++⋅⋅⋅++++--x x x x x x x x x x x x n n n n n 分析：由于当时等号成立，于是。
nx x x n 121==⋅⋅⋅==)(41112+++=+i i i i i x x x x x 证明：设，因为11x x n =+i i i i i i x x x x x x ≥+++++)(41112所以，即。
∑∑∑∑==+==+≥+++n i i n i i n i i ni i i i x x x x x x 1111112)(4121112≥∑+=+n i i i i x x x 例4 设，且，求证：+∈R c b a ,,1=abc 23)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证明：原不等式等价于23)()()(222222≥+++++b a c b a a c b a c c b a c b 当a=b=c=1时等号成立，此时，所以，，)(41)(22c b a c b a c b +=+bcc b a c b a c b ≥+++)(41)(22同理，，，上述三式相加并化简得ca a c b a c b a c ≥+++)(41)(22ab b a c b a c b a ≥+++)(41)(222323)(21)()()(3222222=⋅⋅≥++≥+++++ca bc ab ca bc ab b a c b a a c b a c c b a c b 例5 设角A 、B 、C 满足 1cos cos cos 222=++C B A 求证：29sin 1sin 1sin 1222≥++CBA分析：原条件等价于，当时等号2sin sin sin 222=++C B A 32sin sin sin 222===C B A成立，于是，，上述三式相加34sin 9sin 122≥+AA34sin 9sin 122≥+BB34sin 9sin 122≥+CC并化简得证，证明略。
轮换对称不等式的证明技巧
轮换对称不等式的证明技巧
轮换对称不等式的证明技巧是一种把原本的不等式转化为等价的新不等式，以此更方便进行证明的技术。
它在统计学、代数、几何等多种数学领域中有很多应用，极大地推动着数
学研究的发展。
轮换对称不等式的证明技巧包括轮换法、比例法、移动变量法、交换变量法等。
它们的基本原理是：两边的不等式符号可以在保持不变的情况下，通过不同的方式把变量进行交换，可以得到等价的不等式。
例如，有一个不等式：
（1）x + 2y ≥ 8
此时可以使用轮换法：交换两个变量x和y，即有：
（2） y + 2x ≥ 8
此时，变量x和y的值一样，只是顺序不同，符号也不受影响，不等式（1）和不等式（2）依然是等价的。
而这可以通过证明很多不同的不等式来获得更多的结论，从而形成一种更强的证明技术。
总之，轮换对称不等式的证明技巧是一种很有用的证明技术，能够把原本不等式转变为相等的新不等式，以此更方便证明，其应用非常广泛，可以有效地提高研究效率。
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x x
2 1 2
+
x22 x3
+
,+
x
2 n-
xn
1
+
x
2 n
x1
\
x
1
+
x2+
,+
x n.
分析:
待证不等式等价于
x
2 1
x2
-
x 1+
x
2 2
x3
-
x 2+
,
+
x
2 n
x1
-
x n \0, 而当 x i >
0 时, 对任意 xj 、x k ( 1 [
j, k
[
n
)
,
总有
xk xj
(
x
k
-
xj)
\xk -
比较0 即可获证.
1. 2 项数均衡配平法
例 4 已知 a、b 、c 均为正 数. 求证:
(a+
b+
c)(
1 a
+
1 b
+
1 c
)
\9.
分析: 待证式左边为两个三项式的积, 而右边 是常
数 9, 若使用一次平 均值 不等 式/ a、b 、c I R+ ] a + b + c \3 3 abc0, 就会出现一个系 数 3, 于是 右边常 数 9
a
2
+
b2 + 2
c2.
分析: 由于 当 a =
b=
c
时等 号成 立,
此时
a4 b 2+
c2
=
b 2+ 4
c2,
b4 c2+ a2
=
c 2+ 4
a2
,
c4 a2 + b2
=
a 2+ 4
b
2
,
而
b
a 2+
4
c
2
+
b 2+ 4
c2 \ a2,
c
2
b +
4
a
2
+
c2+ 4
a2
\
b
2,
c4 a2+ b2
+
a2+ 4
例1
已知 a+
b+
c=
1. 求证: a2+
b 2+
c2\
1 3
.
分析: 待证 式的 左 边各 项都 是 二次, 而 右 边常 数
1 3
是零次的.
因此认为待证式两
边的次
数在结构
上不
均衡, 所以将右边变为二次式尤为重要, 而已知 条件 a
+ b + c = 1, 于 是 待 证 式 可 化 为 a2 + b2 + c2 \
= 1. 求证:
a+
b+
c<
1 a
+
1 b
+
1 c
.
分析: 由于待证不等式右边为分式, 于是可利 用条
件 abc= 1, 将左边配成分式:
中学数学教学参考
2003 年第 4 期
a+ b+ c=
1 bc
+
1 ac
+
1 ab
<
1 2
(
1 b
+
1 c
)+
1 2
(1 a+来自1 c)+
1 2
(
1 a
+
1 b
)
证: an+ bn < cn.
分析: 由 a、b、c 都是正 数及 a2 + b2 = c 2 可知 a、
b 、c 可 为直角三角形的三边长, 于是 可令 a = c cosA, b
= csinA, ( 0< A<
P 2
)
,
由于
0<
s in A<
1, 0<
cos A<
1,
则 0< sinnA< sin2 A, 0< cosnA< cos2A, ( n> 2) , 因此
于是题 中应 以 a+ b+ c = 1 代 入右 边, 这样 待 证式
化为 a + b+ c [ 3 a+ b+ c , 此时两边的次数配
平为
1 2
,
若令
a=
x 2,
b=
y 2, c=
z 2, 待证式即为
a2+
b2 +
c2 \( a+
b+ 3
c) 2 ( 或用/ 分析法0) .
例 3 已知 a> 0, b > 0, 且 a3+ b 3= 2. 求证:
)2
=
( sin2 A+
s
1 in2
A)
2
+
( cos2 A+
1 cos2
A)
2
\
1 2
( sin2A+
cos2 A+
s in12A+
1 cos2
A)
2
=
1 2
( 1+
s
4 in2 2
A)
2
\
25 2
.
当且仅当 A=
P 4
,
即
a=
b=
1 2
时取等号.
例 15 已知 a、b 、c 都是正 数, 且 a2+ b2 = c2. 求
= 3 @ 3, 因此, 由 a+ b + c \3
3 abc > 0,
1 a
+
1 b
+
1 c
\3
3
1 abc
>
0,
两式相乘即可.
例 5 已知 a、b、c 均为 正数, 且 a+ b+ c = 1. 求
证: (1+
1 a
)
(
1+
1 b
)(
1+
1 c
)
\ 6 4.
分析: 由例 4 可 知, 右边 64= 4 @ 4 @ 4, 则 左边 三
b2 \ c2,
后三式边边相加可得
a b2+
4
c
2
+
c
2
b +
4
a
2
+
a
2
c4 +
b2
\
a
2
+
b2 + 2
c2.
例 17 已知 a、b、c 都是正数, 且满 足 abc= 1.
xj ( 当 xk \xj
时显然 成
立; 当 x k<
xj
时,
xk xj
(
xk-
xj )=
-
xk xj
(
x
j
-
x k) >
- ( xj - xk) = xk - xj .
故
x
2 1
x2
-
x1+
x22 x3
-
x2+
,+
xn2 x1
-
x n=
x x
1 2
(
x
1
-
x2)+
x x
2 3
(
x
2
-
x3) +
,+
式等价于
b
a2 +
c
-
a 2
+
c
b2 +
a
-
b 2
+
a
c2 +
b
-
c 2
\0, 由
a、b 、c 的对称性, 不妨设 a \ b \c> 0, 则
a2 b+
c
-
a 2
+
c
b +
2
a
-
b 2
+
a
c2 +
b
-
c 2
=
2a2- a( b+ 2( b + c)
c) +
2b 2- b ( c+ 2( c+ a)
27( a+ b- c) ( b+ c- a) ( c+ a- b ) .
例 13 若 x + y + z = a, 且 x , y , z I R. 求证:
x 2+ y 2+ z 2 \ a2 3.
分析: 由于 x 、y 、z 的/ 地位相 同0 , 所以 利用 x 、y 、
z
与其 和的平均值a2 3
( a+
b+ 3
c)
2
,
从而利用/
作差比较0 即可轻松获证.
例 2 已 知 a + b + c = 1, 且 a、b、c 均 为非 负实
数. 求证: a + b+ c [ 3.
分析: 此题与例 1 相 同的条 件是 a + b + c= 1, 而
待证式的左边 各项 都是
1 2
次, 右 边常 数
3是 零次 的,
之间的 关系,
通过换 元达到 减元