6168直线与平面复习二直线与平面
高中数学必修二 专题08 空间直线与平面与平面与平面的垂直(重难点突破)(含答案)
专题08 空间直线与平面、平面与平面的垂直一、考情分析二、考点梳理考点一直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义如果一条直线l与平面α内的任意直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点二平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.(2)判定定理与性质定理考点三知识拓展1.两个重要结论(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法).2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.四、题型分析重难点题型突破1 线面垂直例1. （河北省石家庄二中2019届期中）已知m，n是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题正确的是( )A.若m⊂α，则m⊥βB.若m⊂α，n⊂β，则m⊥nC.若m⊄α，m⊥β，则m∥αD.若α∩β＝m ，n ⊥m ，则n ⊥α 【答案】C【解析】对于A ：若m ⊂α，则m 与平面β可能平行或相交，所以A 错误；对于B ：若m ⊂α，n ⊂β，则m 与n 可能平行、相交或异面，所以B 错误；对于C ：若m ⊄α，m ⊥β，则m ∥α，C 正确；对于D ：α∩β＝m ，n ⊥m ，则n 不一定与平面α垂直，所以D 错误.【变式训练1-1】、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A.若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m ⊥nB.若m ⊥α，m ∥n ，n ∥β，则α⊥βC.若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD.若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 【答案】B【解析】若α⊥β，m ∥α，n ∥β，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误； ∵m ⊥α，m ∥n ，∴n ⊥α，又∵n ∥β，∴α⊥β，故B 正确； 若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α与β的位置关系不确定，故C 错误； 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥n 或m ，n 异面，故D 错误.例2.如图所示，在四棱锥PABCD 中，AB ⊥平面PAD ，AB ∥CD ，PD ＝AD ，E 是PB 的中点，F 是DC 上的点，且DF ＝12AB ，PH 为△PAD 中AD 边上的高．求证：(1) PH ⊥平面ABCD ； (2) EF ⊥平面PAB.【证明】 (1) 因为AB ⊥平面PAD ，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥AB. 因为PH 为△PAD 中边AD 上的高，所以PH ⊥AD.因为AB∩AD ＝A ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PH ⊥平面ABCD. (2) 如图，取PA 的中点M ，连结MD ，ME.因为E 是PB 的中点，所以ME ＝12AB ，ME ∥AB.又因为DF ＝12AB ，DF ∥AB ，所以ME ＝DF ，ME ∥DF ，所以四边形MEFD 是平行四边形，所以EF ∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB.因为PA∩AB＝A，PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，所以MD⊥平面PAB，所以EF⊥平面PAB.重难点题型突破2 面面垂直例3. （安徽省合肥三中2019届高三质检）如图，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( )A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC【答案】D【解析】因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A正确；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE，因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．【变式训练3-1】、（江西鹰潭一中2019届高三调研）如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③【答案】C【解析】①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，所以点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，根据线面平行的判定定理可得BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′FED的体积达到最大，故选C.例4．（上海格致中学2019届高三模拟）如图1，矩形ABCD中，AB＝12，AD＝6，E，F分别为CD，AB 边上的点，且DE＝3，BF＝4，将△BCE沿BE折起至△PBE的位置(如图2所示)，连接AP，PF，其中PF＝2 5.(1)求证：PF⊥平面ABED；(2)求点A到平面PBE的距离．【解析】(1)证明：在题图2中，连接EF，由题意可知，PB＝BC＝AD＝6，PE＝CE＝CD－DE＝9，在△PBF中，PF2＋BF2＝20＋16＝36＝PB2，所以PF⊥BF.在题图1中，连接EF，作EH⊥AB于点H，利用勾股定理，得EF＝62＋（12－3－4）2＝61，在△PEF中，EF2＋PF2＝61＋20＝81＝PE2，所以PF⊥EF，因为BF∩EF＝F，BF⊂平面ABED，EF⊂平面ABED，所以PF⊥平面ABED.(2)如图，连接AE，由(1)知PF⊥平面ABED，所以PF 为三棱锥P ABE 的高． 设点A 到平面PBE 的距离为h ，因为V A PBE ＝V P ABE ，即13×12×6×9×h ＝13×12×12×6×25，所以h ＝853，即点A 到平面PBE 的距离为853. 【变式训练4-1】、 (2018·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，PA ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．(1)求证：PE ⊥BC ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ； (3)求证：EF ∥平面PCD .证明：(1)因为PA ＝PD ，E 为AD 的中点， 所以PE ⊥AD .因为底面ABCD 为矩形， 所以BC ∥AD ，所以PE ⊥BC .(2)因为底面ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ， 所以AB ⊥平面PAD ，因为PD ⊂平面PAD ，所以AB ⊥PD . 又因为PA ⊥PD ，AB ∩PA ＝A ， 所以PD ⊥平面PAB . 因为PD ⊂平面PCD ， 所以平面PAB ⊥平面PCD .(3)如图，取PC 的中点G ，连接FG ，DG . 因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点， 所以FG ∥BC ，FG ＝12BC .因为四边形ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点， 所以DE ∥BC ，DE ＝12BC .所以DE ∥FG ，DE ＝FG .所以四边形DEFG 为平行四边形． 所以EF ∥DG .又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ， 所以EF ∥平面PCD .。
直线和平面知识点总结归纳
直线和平面知识点总结归纳直线和平面是几何学中最基本的概念和研究对象。
本文将对直线和平面的知识点进行总结归纳，以帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、直线的性质和表示方法直线是由一组无限多个点组成的，没有宽度和长度的几何对象。
直线的性质和表示方法主要包括以下几点：1. 直线的表示方法：直线通常用一个大写字母表示，如直线AB可表示为l（上面加一横），或者写成AB。
2. 直线的部分：两个端点确定的直线称为线段，不包括端点的直线叫做射线。
3. 直线的无限延伸性：直线可以无限延伸，即直线上的点可以无限多。
4. 零度的直线：两个点确定的直线，当这两个点重合时，称为零度的直线，也就是一个点。
二、直线与直线之间的关系直线与直线之间可以有不同的关系，下面是其中几种常见的关系：1. 平行线：在同一个平面上，两条直线永远不会相交，这两条直线被称为平行线。
2. 相交线：在同一个平面上，两条直线在一个点相交称为相交线，交点为该直线的特殊点。
3. 垂直线：两条直线相交并且交角为90度时，称为垂直线。
三、平面的性质和表示方法平面是由无限多个平行于同一方向的直线组成的，平面上的点具有二维的性质，以下是平面的性质和表示方法：1. 表示方法：平面通常用一个大写字母表示，如平面P。
2. 平行平面：如果两个平面中的线都互相平行，则这两个平面称为平行平面。
3. 垂直平面：如果两个平面相交，且交线垂直于这两个平面，则这两个平面称为垂直平面。
4. 平面的无限延伸性：平面可以无限延伸，其中的点和直线都可以无限多。
四、直线和平面的交点和夹角直线和平面之间也存在交点和夹角的关系，下面是相关的知识点：1. 直线和平面的交点：直线与平面相交，交点为该直线的特殊点。
2. 平面内的直线夹角：平面内的两条直线之间的夹角可以通过两条直线的方向向量进行计算。
3. 直线与平面的夹角：直线和平面之间的夹角由直线和平面的法线向量决定，夹角为法线向量与直线方向向量之间的夹角。
高考数学复习：直线和平面的位置关系知识点
高考数学复习：直线和平面的位置关系知识点2021高考各科温习资料2021年高三开学曾经有一段时间了，高三的同窗们是不是曾经投入了紧张的高考一轮温习中，数学网高考频道从高三开学季末尾为大家系列预备了2021年高考温习，2021年高考一轮温习，2021年高考二轮温习，2021年高考三轮温习都将继续系统的为大家推出。
①直线在平面内——有有数个公共点②直线战争面相交——有且只要一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)规则：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角由此得直线战争面所成角的取值范围为[0°，90°]最小角定理：斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角三垂线定理及逆定理：假设平面内的一条直线，与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直esp.直线战争面垂直直线战争面垂直的定义：假设一条直线a和一个平面内的恣意一条直线都垂直，我们就说直线a战争面相互垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：假设一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：假设两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。
③直线战争面平行——没有公共点直线战争面平行的定义：假设一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线战争面平行的判定定理：假设平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线战争面平行的性质定理：假设一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
直线与平面的位置关系全章复习教案
直线与平面的位置关系全章复习教案第一章：直线与平面的基本概念1.1 直线和平面的定义直线：无限延伸的、只有两个方向的几何图形。
平面：无限延伸的、具有三个方向的几何图形。
1.2 直线与平面的表示方法直线的表示方法：用一个小写字母表示，如直线l。
平面的表示方法：用两个小写字母的组合表示，如平面α。
1.3 直线与平面的关系直线在平面内：直线l包含于平面α，表示为l⊆α。
直线与平面平行：直线l不包含于平面α，表示为l∥α。
直线与平面相交：直线l与平面α有一个公共点，表示为l∩α≠∅。
第二章：直线与平面的位置关系2.1 直线与平面的判定直线在平面内：如果直线上的任意一点都在平面内，则直线在平面内。
直线与平面平行：如果直线上的任意一点到平面的距离都相等，则直线与平面平行。
直线与平面相交：如果直线上的任意一点到平面的距离不相等，则直线与平面相交。
2.2 直线与平面的性质直线在平面内：直线上的任意一点都在平面内，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面平行：直线上的任意一点到平面的距离都相等，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面相交：直线上的任意一点到平面的距离不相等，平面上的任意一点到直线的距离也不相等。
第三章：直线与平面的位置关系的判定与性质3.1 直线与平面的判定直线在平面内：如果直线上的任意一点都在平面内，则直线在平面内。
直线与平面平行：如果直线上的任意一点到平面的距离都相等，则直线与平面平行。
直线与平面相交：如果直线上的任意一点到平面的距离不相等，则直线与平面相交。
3.2 直线与平面的性质直线在平面内：直线上的任意一点都在平面内，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面平行：直线上的任意一点到平面的距离都相等，平面上的任意一点到直线的距离都相等。
直线与平面相交：直线上的任意一点到平面的距离不相等，平面上的任意一点到直线的距离也不相等。
第四章：直线与平面的位置关系的应用4.1 直线与平面的交点如果直线与平面相交，则相交点是直线与平面的唯一交点。
直线和平面知识点总结
直线和平面知识点总结直线和平面是几何学中非常重要的基本概念。
它们的性质和相关定理在几何中有着广泛的应用，并且对于理解三维空间中的几何关系也非常重要。
在本文中，我们将总结直线和平面的基本性质、相关定理以及相关的几何问题。
一、直线的性质1. 直线是由无限多个点构成的集合，它是最简单的几何图形之一。
2. 直线是由两个点确定的，任意两个不同的点确定一条直线，也就是说，直线上的任意一点都可以由这两个点表示。
3. 直线没有宽度和厚度，只有长度。
4. 直线可以延伸到无穷远，也可以在有限的范围内。
二、平面的性质1. 平面是由无限多个点构成的集合，它是一个二维的空间。
2. 平面上的三个非共线的点确定一个平面，也可以采用点和一条直线来确定一个平面。
3. 平面没有体积，只有面积。
4. 平面可以延伸到无穷远，也可以在有限的范围内。
三、直线和平面的关系1. 直线和平面有三种可能的关系：相交、平行、重合。
2. 如果一条直线和一个平面相交，那么它们只有一个公共点。
3. 如果一条直线和一个平面平行，那么它们没有公共点。
4. 如果一条直线和一个平面重合，那么它们有无数个公共点。
四、直线与平面的角度关系1. 直线和平面的角度关系可以分为内角和外角两种情况。
2. 内角：直线和平面的交角称为内角，如果一条直线和一个平面相交，那么它们形成两个内角。
3. 外角：直线和平面的非交角称为外角，如果一条直线和一个平面平行，那么它们形成两个外角。
五、直线和平面的垂直关系1. 如果一条直线和一个平面相交，并且直线上的所有点都和平面上的一个点垂直，那么这条直线和这个平面是垂直的。
2. 如果一条直线和一个平面平行，并且这条直线和平面上的一条直线垂直，那么这条直线和这个平面是垂直的。
3. 两个垂直的直线不能在同一个平面内，而两个平行的直线可以在同一个平面内。
六、直线和平面的距离1. 直线到平面的距离定义为直线上的任意一点到平面的距离的最小值。
2. 如果一个点到一个平面的距离为 d，那么它的所有点到这个平面的距离也是 d。
数学必修二直线与平面位置关系知识点
数学必修二直线与平面位置关系知识点
在数学必修二中，直线与平面的位置关系是一项重要的知识点。
下面是一些常见的直
线与平面的位置关系：
1. 直线与平面相交：当一条直线与一个平面有一个公共点时，我们称这条直线与平面
相交。
2. 直线在平面上：当一条直线的所有点都在一个平面上时，我们称这条直线在平面上。
3. 直线与平面平行：当一条直线与一个平面的所有点都不相交时，我们称这条直线与
平面平行。
4. 直线垂直于平面：当一条直线与一个平面的每一条与其有公共点的直线都垂直时，
我们称这条直线垂直于平面。
此外，还有一些特殊情况需要注意：
1. 平面平行于坐标轴：当一个平面与某一个坐标轴平行时，在该坐标轴上方的所有点
的坐标都相同，可以利用这个特点来求解一些几何问题。
2. 平面与平面相交：当两个平面相交时，它们的交线是一条直线。
可以根据平面的方
程来求解平面与平面的交线。
3. 平面与平面平行：当两个平面平行时，它们的法向量相互平行。
可以根据平面的法
向量来判断平面与平面的位置关系。
掌握这些直线与平面的位置关系知识点，可以帮助我们解决更复杂的几何问题，如求解直线与平面的交点、确定直线与平面的位置关系等。
必修2 第二章 第2课时 直线与平面的位置关系复习讲义(判定加性质)
1 必修2 第二章空间点、线、面的位置关系第2课时直线与平面平行的判定与性质一、直线与平面平行的判定1.直线与平面的位置关系：平行、相交、在平面内.1）直线在平面内——有无数个公共点；2）直线与平面相交——有且只有一个公共点；3）直线与平面平行——没有公共点。
直线与平面平行的判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 可简述为“线线平行，则线面平行”符号语言：aα⊄bα⊂且a//b a//α⇒（“外、内、平”三个条件却一不可）意义：把线面平行问题转化为了线线平行问题例1 在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求证：EF//平面BCD.练习：如图,四棱锥A—DBCE中,O为底面正方形DBCE对角线的交点,F为AE的中点. 求证:AB//平面DCF.(04年天津高考)分析:连结OF,可知OF为△ABE的中位线,所以得到AB//OF.证明:连结OF,∵O为正方形DBCE 对角线的交点,∴BO=OE,又AF=FE,∴AB//OF,AB DCFOF DCF AB//DCFAB//OF⊄⎫⎪⊂⇒⎬⎪⎭平面平面平面2例2 在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中.（1）作出过直线AC 且与直线BD 1平行的截面，并说明理由.（2） 设E ，F 分别是A 1B 和B 1C 的中点，求证直线EF//平面ABCD.分析：要证BD 1//平面AEC 即要在平面AEC 内找一条直线与BD 1平行.根据已知条件应该怎样考虑辅助线?证明:连结BD 交AC 于O,连结EO. ∵O 为矩形ABCD 对角线的交点, ∴DO=OB, 又∵DE=ED 1, ∴BD 1//EO.反思~领悟：1.线面平行,通常可以转化为线线平行来处理.2.寻找平行直线可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成。
3、证明的书写三个条件“内”、“外”、“平行”，缺一不可。
二、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行，可简述为“线面平行，则线线平行” 符号语言：意义：作平行线的方法，判断线线平行的依据.思考:教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所在的直线平行？//,,//a a b a bαβαβ⊂=⇒I AEC BD EO BD AEC EO AEC BD 平面平面平面////111⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊂⊄例3 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.（1）要经过面A′C′内一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？（2）所画的线与平面AC是什么位置关系？例4 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图，已知直线a，b和平面α，a∥b，a∥α, a，b都在平面α外. 求证：b∥α.课后练习：基础达标1“直线l在平面α外”指的是（）A.l∩α=AB.l∩α=∅C.l∩α=A或l∩α=∅D.l∩α有无数个公共点解析：直线与平面平行或相交统称为直线在平面外.答案：C2如果两直线a、b相交，且a∥平面α，那么b与平面α的位置关系是（）A.b∥αB.b∥α或b与α相交C.b与α相交D.b⊂α解析：假设b⊂α,设a∩b=P,则P∈b,∴P∈α.又P∈a,这样a与α有一个公共点P与a∥α矛盾.答案：B3若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（）A.平行B.相交C.AC在此平面内D.平行或相交解析：如图，∵E,H分别为AB、BC中点，∴HE∥AC.又HE⊂平面HEF，AC⊄平面HEF，∴AC∥平面HEF.答案：A34一条直线和一个平面平行的条件是（）A.直线和平面内两条直线不相交B.直线和平面内两条相交直线不相交C.直线和平面内无数条直线不相交D.直线和平面内任意直线不相交解析：因为若直线与平面内任意直线不相交，则该直线与平面无公共点，所以平行.答案：D5若直线m不平行于平面α,且mα,则下列结论成立的是（）A.α内的所有直线与m异面B.α内不存在与m平行的直线C.α内存在唯一的直线与m平行D.α内的直线与m都相交解析：若m不平行于平面α,且m⊄α,则α内的直线与m有的异面，有的相交.答案：B基础达标6在以下四个命题中，真命题是（）①在一个平面内有两点到另一个平面的距离相等都是d(d＞0)，则这两个平面平行②在一个平面内有三点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行③在一个平面内有无数个点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行④一个平面内任意一点到另一个平面的距离都是d(d＞0)，则这两个平面平行A.②③④B.④C.②③D.②④解析：命题①中的两点无论在另一个平面的同侧还是异侧，这两个平面均有可能相交.所以①是错误的；同理可知②③均错.只有④正确.答案：B7平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α与β的关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不确定解析：若三点在β的同侧，则α∥β,否则相交，应选D.答案：D8设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β．对于下面四种情况可能的情况有（）①b∥α ②b⊥α ③a∥β ④α与β相交A．1种B．2种C．3种D．4种解析：对于②来说，若b⊥α,又∵a⊂α,∴b⊥a与a，b不垂直矛盾，∴②错.答案：C9已知平面α∥β，直线a∥α，点B∈β，则在β内过B的所有直线中（）A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一的直线与a平行解析：若a⊂β,且B∈a,此时，不存在.若B∉a,此时存在唯一直线与a平行.答案：A10已知α∩β=c,a∥α,a∥β，则a与c的位置关系是_______________解析：a∥α,a∥β,α∩β=c,则a∥c(前面已证).答案：平行11直线a∥b,a∥平面α,则b与平面α的位置关系是_______________解析：当直线b在平面α外时，b∥α;当直线b在平面α内时，b⊂α.答案：b∥α或b∩α4。
必修2直线与平面的位置关系知识要点
P · α L β DC BA α 必修２直线与平面的位置关系知识要点2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈αB ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； L A · α C · B · A · α 共面直线 =>a ∥c2④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
直线和平面知识点总结归纳
直线和平面知识点总结归纳一、直线的定义和特性1. 直线的定义：直线是由无数个点组成的几何图形，它是在任意两点之间存在着无数个点的图形，用两个点确定一条直线，叫做这条直线的一个方向向量。
2. 直线的性质：(1) 直线无始无终：直线是由无数个点组成的，所以它既没有始点也没有终点。
(2) 直线上的任意两点都可以确定一条直线。
(3) 直线的长度是无限的。
(4) 直线的方向是唯一确定的，可以用方向向量来表示。
3. 直线的方程：直线可以用点斜式、一般式、截距式等形式来表示。
(1) 点斜式方程：y-y₁=k(x-x₁)；(2) 一般式方程：Ax+By+C=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b=1。
4. 直线的倾斜角和斜率：直线的倾斜角是指直线与x轴的夹角，而斜率是直线倾斜角的正切值。
5. 直线的位置关系：直线之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。
二、平面的定义和特性1. 平面的定义：平面是由无数个点和直线组成的几何图形，它是一个没有厚度的二维空间。
2. 平面的性质：(1) 平面上的任意三点都在同一条直线上。
(2) 平面上的任意两点都可以确定一条直线。
(3) 平面是无限的。
3. 平面的方程：平面可以用点法向式、一般式、截距式等形式来表示。
(1) 点法向式方程：Ax+By+Cz+D=0；(2) 一般式方程：Ax+By+Cz+D=0；(3) 截距式方程：x/a+y/b+z/c=1。
4. 平面的位置关系：平面之间的位置关系有相交、平行和重合三种情况。
5. 平面的倾斜角和法向量：平面的倾斜角是指平面与水平面的夹角，而法向量是平面垂直于的一个向量。
三、直线与平面的位置关系1. 直线与平面的位置关系：直线与平面之间的位置关系有相交、平行和垂直三种情况。
2. 直线与平面的夹角：直线与平面的夹角是指直线在平面上的投影线与直线本身的夹角。
3. 直线与平面的交点：直线与平面的交点是指直线与平面的一个或多个交点，可以通过代入直线方程和平面方程求得。
直线与平面平面与平面的相对位置ppt课件
s
由作图结果可知 BN∥ER, AM∥DS所以有
例4 已知定平面由平行两直线AB和CD给定。 试 过点K作一平面平行于已知平面 。
s
f
k
e
m
n
r
r n
e k
m
f
s
例5 试判断两平面是否平行。
结论：因为PH平行SH，所以两平面平行
第二节 直线与平面相交 、平面与b’平面相交
m’
一、直线与平面相交只有一个交点
4.可见性判别
e
a 1）水平投影的可见性 Ⅲ∈AC,Ⅳ∈EF; Ⅲ 在上水 平投影可见，故KⅣ段不可
见
2）同理可判断正面投影的
a 可见性
b
k （4）
1
3
c
e
见示意图
返回
例2 求直线EF与一般位置平面ΔABC的交点K。
f
c
步骤：
2’
1. 过EF作铅
k
垂面P。
b
2.求P平面与
1
ΔABC的交
a
线ⅠⅡ。
可通过正面投影
在上，其水平投影可见。
直观地进行判别。
返回
⑵ 求平面间的交线 空间及投影分析
b e m f
●
a
平面EFH是一水平面，它的 ●n●1 h 正面投影有积聚性。ab与ef
● 2
的交点m ， b c与f h的交点
c n即为两个共有点的正面投影，
故mn即交线MN的正面投影。
e
b
作图
●m
n●
h
① 求交线 ② 判别可见性
PH f
1
e a
3.求交线 ⅠⅡ 与EF 的交点K。
b
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一、选择题：
1、下列命题：① 一条直线在平面内 的射影是一条直线；② 在平面内射影是直线的图形一定是直线；③ 在同一平面内的射影长相等，则斜线长相等；④ 两斜线与平面所成的角相等，则这两斜线互相平行。
其中真命题的个数是 （ ） （A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）3个
2、若a , b 表示两条直线，α表示平面，下面命题中正确的是 （ ） （A ）若a ⊥α, a ⊥b ，则b //α （B ）若a //α, a ⊥b ，则b ⊥α （C ）若a ⊥α,b ⊂α，则a ⊥b （D ）若a //α, b //α，则a //b
3、已知直线a 平行于平面α，且它们的距离为d ，则到直线a 与到平面α的距离都等于d 的点的集合是
（ ）
（A ）空集 （B ）二条平行直线 （C ）一条直线 （D ）一个平面
4、给出的是长方体形木料，想象沿图中平面所示位置截长方体，若那么截面图形是下面四个图形中的（ ）
A B C D
5、如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为21θθ和，则（ ） （A ）1sin sin 2212≥+θθ （B ）1sin sin 2212≤+θθ （C ）1sin sin 2212>+θθ （D ）1sin sin 2212<+θθ
6、如果α∥β，AB 和AC 是夹在平面α与β之间的两条线段，AB ⊥AC ，且AB ＝2，直线AB 与平面α所成的角为30°，那么线段AC 的长的取值范围是 （ ） （A ） （B ）[1,)+∞ （C ） （D ）)+∞
7、长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与面ABCD 、面BCC 1B 1所成的角分别为α、β，面对角线BC 1与
面ABCD 所成的角为γ，则有 ( )
(A)sin α=sin βsin γ （B ）cos α=sin βcos γ （C ）cos α=cos βcos γ （ D ）sin α=cos βsin γ
8、已知四棱锥底面四边形中顺次三个内角的大小之比为2：3：4，此棱锥的侧棱与底面所成的角相等，则底
面四边形的最小角是
（ ）
A ．11
180
B ．60
C ．13
180
D ．无法确定的
二、填空题：
E
P
D
A E
F D 1
C 1
B 1
A 1
D
C
B
A
9、正方形ABCD 在平面α的同侧，若A 、B 、C 三点到α的距离分别为2，3，4，则BD 所在直线与平面α的
位置关系是 ．
10、在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB
AA 1＝1，AD ＝3，E 、F 分别是AB 、C 1D 1的中点，则直线A 1B 1与平面A 1EF 所成的角为 。
11、设正方体1111D C B A ABCD -，恰好到其中5个面所在平面的距离都相等的点共有 个，若平面M 与各条棱所成的角都等于α，则=αsin ．
12、在体对角线长为l 的长方体中，体对角线在相邻三个面内的射影长的和的最大值等于___ ． 三、解答题：
13、在立体图形P －ABCD 中，底面ABCD 是一个直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ， AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． （1）若BE ⊥PD 于E ，求证：AE ⊥PD ； （2）求异面直线AE 与CD 所成的角．
14、正方形ABCD 中，AB=2，E 、F 分别是边AB 及BC 的中点，将△AED 及△DCF 折起（如图），使A 、C
点重合于A '点。
（1）证明A 'D ⊥EF ； （2）求三棱锥A '—EFD 的体积； （3）求A 'D 与平面DEF 所成角的正切值.
15、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G 。
求：（1）A 1B 与平面ABD 所成角的大小；（2）点A 1到平面AED 的距离。
（03高考题）
B 1
A。