大学物理-5 能量

0
f
( gsl 0 gsx)dx ( gsl 0 gsl)dx
0 l
l
h
o
h
mg mg
1 0 gsl 2 2 1 2 1 1 2 ( 0 ) gslh 0 gsl mv 0 gslv 2 2 2 2 ( 0 ) gslh
v 2 g h(1 0 / ) g l 0 /
x
5.3 质点组的动能定理
1 1 2 A i A i外 A i内 mi vi mi vi20 2 2 1 1 A i外 A i内 mi vi2 mi vi20 2 2
F1 f12 F2
1 2 1 2 F dr mvb mva 2 2
a
其中 A a F dr 称为质点从初态 a 运动到末态 b 时，作用 1 2 在质点上的力 F 所作的功， Ek mv 称为质点的动能。 2
b
A Ek Ek 0
动能定理：合外力对物体所作的功等于物体动能的增量。
.
O O
x
x
L L 0
.
mgxdx
0
1 2 kxdx 0 mv0 2
m L v0 k mg
② 返回过程
L
为容易理解，重设坐标如图所示。
L
mgxdx
0
0
1 2 kxdx mv 0 2
v
k mg v0 k mg
5.4 质点组的势能
SI单位：瓦特（W = J/s）
例：已知质点的质量为3千克，运动方程为：x 3t 4t 2 t 3 (SI ) 。 试求：力的作用规律以及在最初 2s 内所作的功。 解： x 3t 4t t
2 3
dx v 3 8t 3t 2 dt
dv a 8 6t dt
2
dr GMm GMm A GMm 2 ra r ra rb
rb
引力作功取决于质点的始末位置，与经过的路径无关。
③ 弹簧弹性力的功
F kx
O
a
b
x
1 2 1 2 1 2 1 2 A kx dx kxb kxa kxa kxb a 2 2 2 2
b
弹性力作功取决于质点的始末位置，与过程无关。
从作功的角度 力可分为两类
① 保守力：
作功量与路径无关
② 非保守力：作功量与路径有关
等价的表述：质点沿闭合路径运动一周, 保守力作功为零．

ACB
F dr
ADB
F dr
A

ACB
F dr
ADB
F dr 0
A摩擦力功之和 A车对物块摩擦 A物块对车摩擦 f ( x x ') f x f x '
② 选取火车为参照系：
A摩擦力功之和 A车对物块摩擦 A物块对车摩擦 f x ' 0 f x '
显然,选火车为参照（相对观察者静止）求一对内力的功比较简单。
r
90o
90o 180o
b lim ② 变力的功 A r 0 Fi ri a F d r
i
i 1
•• ri •
a•
• • • • •
SI单位：焦耳（ J =N· ） m
Fi
dA F d r Fx dx Fy dy Fz dz
例：如图，一长度为l，密度为 的细棒从下端紧贴水面的位 置，以零初速落入密度为 0 ，深度为 h 的水池中。求细棒下 端接触到水池底部时的速度。
gsl 0 gsx (0 x l ) 解：F m g f gsl 0 gsl (l x h) h A Fdx
f 21
Aext Aint Ek Eko
外力对质点组所做的功和内力对质点组所做的功之和 等于质点组总动能的增量。 ※ 动能定理只在惯性参照系中成立。但在非惯性系中， 计入惯性力的功之后，动能定理的形式仍保持不变。
① 外力作功的计算 一般说来, 应该先计算各外力的功, 然后再求总功. 不 可以先求合力, 再求合力的功. 因为不同质点在外力作用下 产生的位移并不相同. 但重力和加速平动参照系中惯性力的 功例外, 可用合力对质心位移作功来计算总功.
dA F d r (F Fn n) ds F ds
2.力在单位时间内所做的功称为功率，反映做功的快慢程度。 平均功率
P A t
瞬时功率
A dA F dr P lim F v t 0 t dt dt
a
2 0
1 ( M m) g M
0 v 2aL
2 0
M m v 2μ gL M
解2 ：在随木板运动的非惯性系中，木块以初速 v0 滑入，最后静
Hale Waihona Puke 止在木板右端。在这个过程中，摩擦力和惯性力做功。
平动加速度 a0 动能定理
μmg μmg 木块所受惯性力 Fi m M M M m mg 1 2 2 v0 2 M gL m L mgL mv0 M 2
mg 2 l 1 l 2l
②

l
l0
l m m gl mgl (1 2 ) mgl 1 ygdy g (1 y )dy mv2 v l0 l l 1 2(1 ) 2 2(1 ) 2 2
例：如图所示，火车以速度 v 相对地面行驶，车上一物块相对火 车以速度 u 向前滑行 x 后停止，此时，火车运行了距离 x 。计 算物块与火车底部之间一对摩擦力所做的功之和。 解：一对内力功之和与参照系选取无 关，本题选取两个参照系计算，证明 这一结果。设摩擦力为 f 。 ① 选取地面为参照系：
① 质点的运动轨道为抛物线 x 2 4 y ② 质点的运动轨道为直线 4 y x 6
解： A

B
A
b F dr Fx dx Fy dy
a
y
y2
A1
x2 , y 2
第五章
能量
5.1 功和功率 功是力对空间的累积作用
1. 定义：力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量与
位移大小的乘积. 或者等于质点所受的力与其位移的标积.
① 恒力的功 A F cos r F r
F
N
0 90o
A0 A0 A0
•b • •
1. 保守力与非保守力 ① 重力的功
z
dr mg
za
A mg dr mgk (dxi dyj dzk )
zb
y
(mg )dz
za
zb
x
mgza mgzb
重力作功取决于质点的始末位置，与经过的路径无关。
② 万有引力的功
F ma 24 18t
dx 3dt 8tdt 3t 2 dt
dA Fdx (24 18t )(3 8t 3t 2 )dt
(72 246 216 2 54t 3 )dt t t
A
Fdx

2
0
( 72 246t 216t 2 54t 3 ) dt 27 4 t 2
2
72t 123 2 72t 3 t
12J
0
5.2 质点的动能定理
dv v 2 1 n ds m vdv d m v2 F d r m dt 2
b
dr
F

b
a
解3 ：用动量守恒和动能定理求解 木块运动到平板右端时与平板速度相同
( M m)v mv0
A mgL
运动过程中 m 与 M 间一对摩擦力作功
地面惯性系中动能定理
解之可得：
M m v 2 μgL M
2 0
1 1 2 2 A ( M m)v mv0 2 2
例：在光滑水平面上，质量 为m 的物体以速度v0 沿 x 正方向运 动。达到原点O时,撞击一劲度系数为k的轻弹簧，并开始受到摩 擦力的作用，摩擦系数是位置的函数 x ， 为一小常数。 求物体第一次返回O点得速度。 解：以物体为对象，应用动能定理 ① 压缩过程
例：在光滑的桌面上有一链条，长为 l ,质 量为 m,其中一端下垂，长为 。若链条由 l0 静止开始下滑，求链条刚离开桌面时的速度。
解：设任一时刻下垂长度为 y m 重力所做元功 dA ygdy l l m 1 由动能定理 ygdy mv 2 0 l0 l 2
若链条与桌面间的摩擦系数为 时，下垂多 长方可下滑？链条刚离开桌面时的速度如何？
f12 dr1 f 21 dr2 f12 dr1 f12 dr2 f12 (dr1 dr2 ) f12 d (r1 r2 ) f12 dr12
f12
f 21
r1
r2
o
结论：一对内力的功等于一个质点所受的内力与 相对另一个质点的位移的标量积，与参照系选取无关.
a
Mm F G 3 r r rb Mm A G 3 r dr ra r
d (r ) 2rdr
2
ra
o
r
dr dr r dr

b
rb
r d r r d r cos r dr