2-第三章集合-1-080921
集合的概念ppt课件
再如，实数集，有限小数和无限循环小数都具有q╱p（p， q∈Z，p≠0）的形式，这些数组成有理数集，我们将它表示为 Q={X∈R｜X=q╱p，p，q∈Z，p≠0}. 其中，X=q╱p（p，q∈Z，p≠0）就是所有有理数具有的共同 特征。
例如，
不等式X-7<3的解是X<10，因为满足X<10的实数有无数个， 所以X-7<3的解集无法用列举法表示。但是我们可以利用解集中 元素的共同特征，即：X是实数，且X<10，把解集表示为 {X∈R｜X<10}.
又如，整数集Z可以分为奇数集和偶数集。对于每一个X∈Z，如 果它能表示为X=2k+1（k∈Z）的形式，那么X除以2的余数为1， 它是一个奇数；
（1）小于10的所有自然数组成的集合
解：设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A={0，1，2，3， 4，5，6，7，8，9}.
注，由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因 此一个集合可以有不同的列举方法，故以上例题的集合还可以写成 A={9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.
集合E={X∈Z｜X=2k+1，k∈Z}也可表示为E={X｜ X=2k+1，k∈Z}.
练习
1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）A，B是平面α内的定点，在平面α内与A，B等距离的点； （2）高中学生中的游泳能手. 2.用符号“∈”或“∉”填空： 0＿N； -3＿N； 0.5＿Z； √2＿Z； 1╱3＿Q； π＿R.
集合的概念ppt
例子
若A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6}，则A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
。
差集
定义
差集是指在一个集合中去掉另 一个集合中的所有元素后得到
的集合。
记号
对于集合A和集合B，它们的差集 记为A — B。
例子
若A = {1, 2, 3, 4}，B = {3, 4, 5, 6} ，则A — B = {1, 2}。
方面。
THANKS
谢谢您的观看
集合的概念
xx年xx月xx日
目 录
• 集合的基本定义 • 集合的分类 • 集合的基本运算 • 集合的关系 • 集合在数学中的应用 • 集合在计算机科学中的应用
01
集合的基本定义
集合是什么
1
集合是一种数学结构，用于表示具有某种共同 属性或特征的一组对象。
2
集合中的元素可以是任何类型，如整数、实数 、字符串等。
用途
有限集在数学和实际生活中广 泛存在，例如一个班级的学生 数量、一天中的小时数等。
记号
用花体字母表示有限集，如 A={1,2,3,4,5}。
无限集
定义
包含无限个元素的集合称为无限集。
用途
无限集在数学中有着特殊的作用，例如实数集、自然数集等。
记号
用斜体字母表示无限集，如Q表示有理数集。
03
集合的基本运算
空间关系
空间中的点、线、面之间的位置关系可以用集合 运算进行表示，如包含、相交、平行等。
在统计中的应用
要点一
数据集合
要点二
样本集合
在统计中，常常需要将一组数据看作 是一个集合，对这组数据进行各种统 计分析。
最新离散数学课件第三章集合与关系-2精品文档
逆关系
定义3-7.2 设R是A到B的二元关系，则R的逆是B到A 的二元关系，记为Rc，其中Rc ={<y,x>|<x,y>R}。
注 ：（1）xRyyRcx （2）互换R的关系矩阵的行和列，即得Rc的
关系矩阵。 即 MRc＝MRT
（3）颠倒R的关系图中每条弧线的箭头方向， 即得Rc的关系图。
逆关系举例
发用一条规则推出一串字符，使其第一个字符恰为 xj 。说明每个字母连续应用上述规则可能推出的 头字符。
闭包运算的性质
设R为集合X上的任一二元关系，那么 a)rs(R)=sr(R) 自反对称闭包等于对称自反闭包 b)tr(R)=rt(R) 传递自反闭包等于自反传递闭包 c)ts(R)st(R) 传递对称闭包包含对称传递闭包
证明 rs(R)=sr(R)
证：
rs(R)= r(s(R))
= r(R∪Rc)
= Ix∪R∪Rc = Ix∪R∪Rc∪Ix = (Ix∪R)∪(Rc∪Ixc) = (Ix∪R)∪(R∪Ix)c = s(Ix∪R) = sr(R)
证明 rt(R)=tr(R)
证：rt(R) = r(R∪R2∪…) = IX∪R∪R2∪…
对最小元素极小元素和最大下界也存在类似的关系来说它的逆p也是一个偏序集的p中的最大元素极大元素上界最小上界是p中的最小元素极小元素下界最大下界反之亦然
离散数学课件第三章集合与关 系-2
复合关系举例
例：A={1，2，3，4}，B={3，5，7}，C={1，2，3} R={<2,7>，<3,5>，<4,3>}，S={<3,3>，<7,2>} 则 R◦S={<2，2>，<4，3>} 如图所示：
集合的课件
在泛型编程中，集合被视为一个泛型 类，可以存储任意类型的数据。通过 使用泛型集合，开发人员可以编写更 加灵活和可复用的代码。
03
泛型集合的优点
泛型集合具有类型安全、可扩展性和 性能优越等优点。类型安全可以减少 运行时错误，可扩展性使得代码更加 灵活，而性能优越则可以提高程序的 执行效率。
集合与数据结构
数据结构的概念
数据结构是一种组织数据的方式 ，它定义了数据之间的逻辑关系 和存储方式。在计算机科学中， 数据结构被广泛应用于各种算法 和程序设计中。
常见的数据结构
在数据结构中，有一些常见的数 据结构，如数组、链表、栈、队 列、树等。这些数据结构都有自 己独特的性质和用途。
集合与数据结构的关 系
集合是一种特殊的数据结构，它 用于存储一组元素。集合与数据 结构的关系主要体现在它们之间 的交互和运用上。例如，在实现 一些算法时，开发人员需要使用 集合来存储和处理数据。
THANKS
感谢观看
集合的定理
01 02 03 04
集合定理的内容
包括德摩根定理、包含排斥原理、子集原理等。
集合定理的应用 在数学、逻辑等领域都有广泛的应用，例如在解决实际问题时，可以
使用包含排斥原理来计算重叠部分的数量。
集合的证明方法
直接证明法 通过已知条件直接推导出结论。
适用于比较简单的命题。
集合的证明方法
反证法 假设与命题相反的条件成立，然后推导出矛盾的结论。
运算律
补集运算满足分配律，即 Ac∩B=(A∩B)c， Ac∪B=(A∪B)c。
03
CATALOGUE
特殊集合
空集
01
定义
不包含任何元素的集合称为空集。
左孝凌离散数学课件3.1集合的概念和表示法3.2集合的运算.ppt
3. 幂集：给定集合A，由集合A的所有子集为元素组成的集合，
称为集合A的幂集，记为P (A)
• P (A)={x|xA}
判断：任何集合的 幂集一定不是空集。
• 注意: xP (A) xA
（空集呢？）
例如: A={a,b}的0元子集： ，1元子集： {a},{b}， 2元子集：为{a,b}
所以： P (A)={,{a},{b},{a,b}}，共22=4个子集。
c) A E = A （同一律）
d) A B = B A （交换律）
e) (A B) C = A (B C) （结合律）
f) A B A A B B
2021/1/25
17
二、并运算
3. 2集合的运算
定义2 设有集合A、B，属于A或属于B的所有元素组成的集合称
为A与B的并集，记作 A 。B即
2021/1/25
2
第三章 集合与关系
1 集合的概念和表示 法 2 集合的运算 3 4序偶与笛卡尔集 5关系及其表示 6 关系的性质
7 复合关系和逆关系 8 关系的闭包运算 9 10等价关系与划分 11 相容关系与覆盖 12 偏序关系
2021/1/25
3
3.1 集合概念及其表示法
一、基本概念 二、集合的表示方式 三、集合间的关系 四、几类特殊的集合
2) A B,则A C B C
3)分配律
A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C)
4)吸收律
A (A B) A A (A B) A
5)当且仅当A B = B A B = A AB
2021/1/25
20
3. 2集合的运算
三、相对补运算(差)
离散数学第二版第3章集合的基本概念和运算
A Bx(x∈A∧x ∈ B)∨(A=B) A B∨A=B
第三章 集合的基本概念和运算
集合的真包含具有下列性质： (1) 反自反性：A A; (2) 传递性：若A B且 BC，则A C; (3) 反对称性：若A B，则B A。 定义3.1.4 没有任何元素的集合称为空集合，简称为 空集，记为 。 例如，| |=0，|{ }|=1。
2}，…}={x|x= In∧n∈I+}={ In|n∈I+}
第三章 集合的基本概念和运算
由此可见，表示一个集合的方法是很灵活多变的，必 须注意准确性和简洁性。
为方便起见，本书中指定下列常见数集符号： N(Natural)表示自然数集合(含0) Z 表示整数集合，本书中我们也常用I(Integer) 表示整 数 集合 Q(Quotient) 表示有理数集合 R(Real) 表示实数集合 C(Complex) 表示复数集合 P(Proton) 表示素数集合 下面讨论集合之间的关系(以下表示术语“当且仅 当”)。
第三章 集合的基本概念和运算
第三章 集合的基本概念和运算
第三章 集合的基本概念和运算
表示一个集合的方法通常有两种。 (1) 列举法：将集合的元素列举出来并写在一个花括号 里，元素之间用逗号分开。 例如，设A是由a，b，c，d元素 构成的集合，B是由a，{b}，{{c，d}}为元素构成的集合， 则A={a，b，c，d}， B={a，{b}，{{c，d}}} ，集合B说明 集合也可用作元素，因此，尽管集合与其元素是两个截然 不同的 概念，但一个集合完全可以成为另一个集合的元素。
A∩B=｛x|x∈A∧x∈B｝
第三章 集合的基本概念和运算
集合全章讲义
第一章：集合与简易逻辑讲义第一节：集合的概念Part One ：基础知识（记住有以下6点） 1、集合的概念①集合：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集. ②元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+{} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , } ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R 3、元素与集合的关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉ 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可 （2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）5.集合的表示方法：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} ②描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x 注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数} （2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}③文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法 6.集合的分类：a:以元素的个数分类：①有限集：含有有限个元素的集合 ②无限集：含有无限个元素的集合③空集：不含任何元素的集合记作Φ，如：}01|{2=+∈x R x b:以元素的种类分：点集，数集，等Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：集合的三大性的考查1.下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （2）好心的人 （3）1，2，2，3，4，5．2.设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ ） （A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4. 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？题型二：集合的表示方法的考查 1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} ②{-2，-4，-6，-8，-10}③{ 1, 5, 25, 125, 625 }= ;④ { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}=2、用列举法表示下列集合 ①{x ∈N|x 是15的约数}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x ④},)1(|{N n x x n∈-= ⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x 题型三：集合的分类的考查1、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集第二节：子集 全集 补集（集合与集合的关系） Part One ：基础知识（记住有以下8点）1.子集：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A :A B B A ⊇⊆或 ，A ⊂B 或B ⊃A 读作：A 包含于B 或B 包含AB A B x A x ⊆∈⇒∈，则若任意当集合A 不包含于集合B ，或集合B 不包含集合A 时，则记作A ⊆/B 或B ⊇/A注：B A ⊆有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合2.集合相等：一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A=B3.真子集：对于两个集合A 与B ，如果B A ⊆，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A4..人为规定：空集是任何集合的子集Φ⊆A 空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ，则Φ A （在考虑集合问题时千万不能忘记空集这个特殊集合） 任何一个集合是它本身的子集A A ⊆5.含n 个元素的集合{}n a a a ,,21 的所有子集的个数是n 2，所有真子集的个数是n 2-1，非空真子集数为2-n6.易混符号①“∈”与“⊆”：元素与集合之间是属于关系；集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ，{1}⊆{1，2，3}②{0}与Φ：{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合 如 Φ⊆{0}Φ={0}，Φ∈{0} 7、全集：如果集合S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示8. 补集：一般地，设S 是一个集合，A 是S 的一个子集（即S A ⊆），由S 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做S 中子集A的补集（或余集），记作AC S ，即CSA=},|{A x S x x ∉∈且 2、性质：CS （CSA ）=A ，CSS=φ，CS φ=S Part Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：对子集等基本概念的考查1. 写出N ，Z ，Q ，R 的包含关系，并用文氏图表示2.判断下列写法是否正确①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A 3.（1）填空：N___Z, N___Q, R___Z, R___Q ， Φ___{0}（2）若A={x ∈R|x 2-3x-4=0},B={x ∈Z||x|<10},则A ⊆B 正确吗？ （3）是否对任意一个集合A ，都有A ⊆A ，为什么？ （4）集合{a,b}的子集有那些？（5）高一（1）班同学组成的集合A ，高一年级同学组成的集合B ，则A 、B 的关系为 . 题型二：利用集合的关系来求解具体问题（重点！）1．若{}{}A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=,112|,43|，求是实数m 的取值范围.)1(-≥m2．已知{}{}A C B C A B A 求,8,4,2,0,5,3,2,1,,==⊆⊆ 题型三：全集与补集有关问题1.已知全集U ＝R ，集合A ＝｛x ｜1≤2x ＋1＜9｝，求C U A2. 已知S ＝｛x ｜－1≤x ＋2＜8｝，A ＝｛x ｜－2＜1－x ≤1｝，B ＝｛x ｜5＜2x －1＜11｝，讨论A 与C S B 的关系Part Three ：练习1、已知全集U ＝｛x ｜－1＜x ＜9｝，A ＝｛x ｜1＜x ＜a ｝，若A ≠φ，则a 的取值范围是 （A ）a ＜9 （B ）a ≤9 （C ）a ≥9 （D ）1＜a ≤92、已知全集U ＝｛2，4，1－a ｝，A ＝｛2，a2－a ＋2｝如果CUA ＝｛－1｝，那么a 的值为3、已知全集U ，A 是U 的子集，φ是空集，B ＝CUA ，求CUB ，CU φ，CUU4、设U=｛梯形｝,A=｛等腰梯形｝,求CUA.5、已知U=R ，A=｛x|x2+3x+2<0｝, 求CUA.6、集合Ｕ=｛（x ，y ）|x ∈｛1,2｝,y ∈｛1,2｝｝ , Ａ=｛（x ，y ）|x ∈N*,y ∈N*,x+y=3｝，求CUA.7、设全集U （U ≠Φ），已知集合M ，N ，P ，且M=CUN ，N=CUP ，则M 与P 的关系是（ ） M=CUP ，（B ）M=P ，（C ）M ⊇P ，（D ）M ⊆P.8、设全集U={2,3,322-+a a },A={b,2},A C U ={b,2},求实数a 和b 的值.9.已知S ＝｛a ，b ｝，A ⊆S ，则A 与CSA 的所有组对共有的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （D ）10..设全集U （U ≠φ），已知集合M 、N 、P ，且M ＝CUN ，N ＝CUP ，则M 与P 的关系是 11..已知U=﹛（x ，y ）︱x ∈﹛1，2﹜，y ∈﹛1，2﹜﹜，A=﹛（x ，y ）︱x-y=0﹜，求UA12..设全集U=﹛1，2，3，4，5﹜，A=﹛2，5﹜，求U A 的真子集的个数13. 若S={三角形}，B={锐角三角形}，则CSB= .14.. 已知A={0，2，4}，CUA={-1，1}，CUB={-1，0，2}，求B= 15.. 已知全集U={1，2，3，4}，A={x|x2-5x+m=0，x ∈U}，求CUA 、m 第二节:交集和并集Part One ：基础知识（记住有以下6点）1．交集的定义 一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A,B 的交集．记作A B （读作‘A 交B ’）， 即A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．又如：Ａ＝｛a,b,c,d,e ｝,B={c,d,e,f}.则A B={c,d,e}． 2．并集的定义 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A,B 的并集．记作：A B （读作‘A 并B ’）， 即A B ={x|x ∈A ，或x ∈B})．如：｛1,2,3,6｝ ｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝． 3..交集、并集的性质 用文图表示 (1)若A ⊇B,则A B=B, A B=B(2)若A ⊆B 则A B=A A B=A(3)若A=B, 则A A=A A A=A(4)若A,B 相交，有公共元素，但不包含 则A B A,A B B A BA, A BB(5) )若A,B 无公共元素，则A B=Φ①交集的性质 (1)A A=A A Φ=ΦA B=B A (2)A B ⊆A, A B ⊆B ．BA②并集的性质 (1)A A=A (2)A Φ=A (3)A B=B A (4)A B ⊇Ａ,A B ⊇B 联系交集的性质有结论：Φ⊆A B ⊆A ⊆A B ．4. 德摩根律：(CuA) (CuB)= Cu (A B), (CuA) (CuB)= Cu(A B)(可以用韦恩图来理解)． 结合补集，还有①A (CuA)=U, ②A (CuA)= ΦPart Two ：例题解析（注意领悟每一个题目与基础知识点的对应关系，通过题目再次深刻理解基础知识） 题型一：基础的交集与并集的计算：注意数集的交集和并集运算的图像法 例1 设A=｛x|x>-2｝,B=｛x|x<3｝，求A B.例2 设A=｛x|x 是等腰三角形｝，B=｛x|x 是直角三角形｝，求A B.例3 A=｛4,5,6,8｝,B=｛3,5,7,8｝，求A B.例4设A=｛x|x 是锐角三角形｝，B=｛x|x 是钝角三角形｝，求A B.例5设A=｛x|-1<x<2｝,B=｛x|1<x<3｝，求A ∪B. 例6设A=｛(x,y)|y=-4x+6｝,｛(x,y)|y=5x-3｝,求A B.例7已知A 是奇数集,B 是偶数集，Z 为整数集，求A B,A Z,B Z,A B,A Z,B Z.8 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1()B C A U ⋂{},8,1=()BA C U ⋂{}6,2= ()(){},7,4=⋂BC A C U U 则集合A=例9．设集合A={-4，2m-1,m2}，B={9，m-5，1-m}，又A B={9},求实数m 的值.例10.设A={x|x2+ax+b=0},B={x|x2+cx+15=0},又A B={3，5}，A ∩B={3}，求实数a,b,c 的值.. 例11. 已知集合A={y|y=x2-4x+5},B={x|y=x -5}求A ∩B,A ∪B ．Part Three ：练习1．P=｛a2,a+2,-3｝,Q=｛a-2,2a+1,a2+1｝,P Q=｛-3｝,求a ．2..已知全集U=A B=｛1,3,5,7,9｝,A (CUB)=｛3,7｝, (CUA) B=｛5,9｝.则A B=____．3 已知A ＝{x| x2－ax ＋a2－19=0}, B={x| x2－5x ＋8=2}, C={x| x2＋2x －8=0},若ο/⊂A ∩B ，且A ∩C ＝ο/，求a 的值4.. 已知元素(1, 2)∈A ∩B ，并且A ＝{(x, y)| mx －y2＋n=0},B={(x, y)| x2－my －n=0},求m, n 的值5. 已知集合A={x|x2+4x-12=0}、B={x|x2+kx-k=0}.若B B A = ，求k 的取值范围6. 若集合M 、N 、P 是全集S 的子集，则图中阴影部分表示的集合是（ ） A.P N M )( B ．P N M )( C ．P C N M S )( D ．P C N M S )(集合中段测试 一、选择题1、下列六个关系式：①{}{}a b b a ,,⊆ ②{}{}a b b a ,,= ③Φ=}0{ ④}0{0∈ ⑤}0{∈Φ ⑥}0{⊆Φ 其中正确的个数为( ) (A) 6个 (B) 5个 (C) 4个 (D) 少于4个 2．下列各对象可以组成集合的是（ ）MN P第9题（A ）与1非常接近的全体实数 （B ）某校2002-2003学年度笫一学期全体高一学生 （C ）高一年级视力比较好的同学 （D ）与无理数π相差很小的全体实数3、已知集合P M ,满足M P M = ，则一定有（ ）(A) P M = (B)P M ⊇ (C) M P M = (D) P M ⊆4、集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 的元素个数为（ ） (A)10个 (B)8个 (C)18个 (D) 15个5．设全集U=R ，M={x|x.≥1}， N ={x|0≤x<5},则（C U M ）∪（C U N ）为（ ）（A ）{x|x.≥0} （B ）{x|x<1 或x≥5} （C ）{x|x≤1或x≥5} （D ）{x| x 〈0或x≥5 }6．设集合{}x A ,4,1=，{}2,1x B =，且{}x B A ,4,1=⋃，则满足条件的实数x 的个数是（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个.7．已知集合M ⊆{4,7,8},且M 中至多有一个偶数，则这样的集合共有（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个8．已知全集U ＝{非零整数}，集合A ＝{x||x+2|>4, x ∈U}, 则C U A ＝（ ） （A ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 } （B ）{-6 , -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 , 2 } （C ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , 0 , -1 , 1 } （D ）{ -5 , -4 , -3 , -2 , -1 , 1 }9、已知集合{}}8,7,3{},9,6,3,1{,5,4,3,2,1,0===C B A ，则C B A )(等于 (A){0,1,2,6} (B){3,7,8,} (C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}10、满足条件{}{}1,01,0=A 的所有集合A 的个数是（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个11、如右图，那么阴影部分所表示的集合是（ ）(A))]([C A C B U (B))()(C B B A (C))()(B C C A U (D)B C A C U )]([ 12．定义A －B={x|x ∈A 且x ∉B}, 若A={1，2，3，4，5}，B={2，3，6}，则A －（A －B ）等于（ ）(A)B (B){}3,2 (C) {}5,4,1 (D) {}6 二．填空题13．集合P=(){}0,=+y x y x ，Q=(){}2,=-y x y x ，则A ∩B= 14．不等式|x-1|>-3的解集是 15．已知集合A= 用列举法表示集合A=16 已知U={},8,7,6,5,4,3,2,1(){},8,1=⋂B C A U {},6,2=B ()(){},7,4=⋂B C A C U U 则集合A= 三．解答题17．已知集合A={}.,0232R a x ax R x ∈=+-∈1）若A 是空集，求a 的取值范围； 2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； 3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围18．已知全集U=R ，集合A={},022=++px xx {},052=+-=q x x x B {}2=⋂B A C U 若，试用列举法表示集合A集合单元小结基础训练 参考答案C ；2．B ；3.B ；4.D ；5.B ；6.C ；7.D ；8.B ；9.C ；10.D ；11.C ；12.B;13. (){}1,1-; 14.R; 15. {}5,4,3,2,0; 16{}8,5,3,1 ,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈∈N x17.1)a>89 ; 2）a=0或a=89；3）a=0或a≥89 18.⎭⎬⎫⎩⎨⎧32,319*．CUA={}321≤≤=x x x 或 CUB={}2=x x A ∩B=A A ∩（CUB ）=φ （CUA ）∩B={}3212≤<=x x x 或1 20*． a=－1或2≤a≤3.。
人教版《 集合》PPT完美课件2
人 教 版 《 集 合 》P PT完美 课件2
人 教 版 《 集 合 》P PT完美 课件2
探索发现-集合的表示
问题10：不大于4的自然数所组成的集合中有哪些元素? 怎样表示这个集合?
只有0、1、2、3、4这5个元素 {0，1，2，3，4}
元素是可以一一列举的
列举法：把集合的元 素一一列举出来，写 在大括号内，元素之 间用逗号隔开 .
人 教 版 《 集 合 》P PT完美 课件2
人 教 版 《 集 合 》P PT完美 课件2
探索发现-集合的表示
例4 用列举法表示下列集合: (1)小于10的所有自然数组成的集合 (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合 (3)由1~20以内的所有质数组成的集合
(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那么 A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B,那么B={0,1}. (3)设由1~20以内的所有质数组成的集合为C,那么 C={2,3,5,7,11,13,17,19}.
p(x)表示集合 元素x所具有 的共同特征
人 教 版 《 集 合 》P PT完美 课件2
探索发现-集合的表示
例5 试分别用列举法和描述法表示下列集合: (1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合; (2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
（1）描述法 x x2 2 0
列举法 2，2
人 教 版 《 集 合 》P PT完美 课件2
课堂小结
1.集合的含义 2.集合中元素的性质 3.数集及其符号表示
确定性 互异性 无序性
4.元素与集合间的关系
5.集合的表示方法
列举法 描述法
人 教 版 《 集 合 》P PT完美 课件2
第三章 集合
29
3.2
3.2.3 集合的补
集合的运算
集合的补运算，其文氏图表示，阴影部分表示~A。
U E A A
30运算
集合的对称差
定义 设A、B是两个集合，由属于A而不属于B，或者 属于B不属于A的元素组成的集合，称作A和B的对称差， 记作A ⊕ B。即 A ⊕ B＝(A∪B)-(A∩B) 例如，A＝｛1，2，3，4｝， B＝｛1，3，5，7，9｝
集合的并交运算性质
3.2
集合的运算
定理3.6 （1） 设A，B，C是三个集合，则下列分配 律成立： A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C） A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C） （2） 设A，B为两个集合，则下列关系式成立：
A∪（A∩B）＝A
A∩（A∪B）＝A
这个定理称为吸收律，读者可以用文氏图验证。
3.2
3.2.3 集合的补
集合的运算
定理3.7 设A，B，C为任意集合，则有： （1）A – A = （2） A -（A∩B）= Ａ-B （3）A ∩（A - B）＝ A - B （4）(Ａ- B)∪B ＝Ａ∪B
（5）(A ∪ B) – B＝ A - B
(6) (A ∩B) –B＝
27
3.2
• 两个特殊的集合，全集：所论客体的全部，用E 表示；空集：不包含任何客体，用 表示
•
集合A中元素的个数用|A|表示
5
3.1 集合的概念与表示
3.1.2 集合的表示法 1. 枚举法 • 列举出集合中的所有元素， 用花括 号括起来。 例如： A＝｛a, b, c, d｝ B＝｛3，1，4，2｝ C＝ ｛a，e，i，o，u｝
19
3.2
3.2.1
集合的运算
第二章一阶逻辑总复习080921
第二章 一阶逻辑总复习
14、量词与之间的关系： （x）P(x) （x） P(x)； （x）P(x）（x） P(x)。 15、量词辖域的收缩： （x）（A(x)∨B）（x）A(x)∨B （x）（A(x)∧B）（x）A(x)∧B （x）（A(x)∨B）（x）A(x)∨B （x）（A(x)∧B）（x）A(x)∧B
范式。
2014-11-8 计算机科学与工程系 9
第二章 一阶逻辑总复习
1、个体词（主语）：可以独立存在的客体，具体的 事物或抽象的概念。 2、谓词（谓语） ：用来刻划客体的性质或客体之间 的相互关系的词。 3、简单命题函数:由一个谓词H和n个客体变元组成的表达 式H(x1, x2 , …, xn)。 4、复合命题函数:由一个或几个简单命题函数以及逻辑联结 词组合而成的表达式。
2014-11-8 计算机科学与工程系 4
第二章 一阶逻辑总复习
10、指导变元与作用域:在谓词公式中,形如(x)P(x)和 (x)P(x)中的x叫做量词的指导变元或作用变元，P(x) 称为相应量词的作用域或辖域。 11、约束变元与自由变元：在x和x的辖域中，x的所 有出现都称为约束出现，相应的x称为约束变元; P(x) 中除约束变元以外出现的变元称为是自由变元。 12、公式的解释：一个解释I由下面4部分组成， 1)非空个体域D； 2)D中一部分特定元素； 3)D中一些特定的函数； 4)D中一些ห้องสมุดไป่ตู้定的谓词。
2014-11-8 计算机科学与工程系 5
第二章 一阶逻辑总复习
13、公式的类型: 1）永真式：给定任意的谓词公式A,其个体域为E, 对于A的所有赋值（解释）,公式A都为真,则称A 在E上是永真的(或有效的); 2）永假式：若对于A的所有赋值,公式A都为假, 则称A在E上是永假的(或不可满足的); 3）可满足式：若至少存在着一种赋值使得公式A 为真,则称A在E上是可满足的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A B u | u A或u B
A B
。
例如 设A={a,b,c}, B={c,d,f}, C={b,e}，
则
A B a, b, c, d , f , A C a, b, c, e,
A
B
B C b, c, d , e, f ,
2014-11-8
3.
A C 4. A D 7. B C
计算机科学与工程系 18
4 判断下列论断是否正确，对正确的论断在相应题后的括 号中标入“ Y” ，对错误的论断在相应题后的括号中标入 “N”。 a A B 1） 若 2） 若
a A a A
，则 ，则
a A B
A U A u | u U但u A u | u A
A A′
A
2014-11-8
计算机科学与工程系
5
例如
设U={1，2，3，4，…，10}， A={2，4，6，8，10}，
则 A U A 1,3,5,7,9
又例如
设U=I（I是整数集），
A i | i I , 且i 0,
则 A U A i | i I且i 0
2014-11-8 计算机科学与工程系 6
(5). 对称差运算 (P61) 定义3.9 设有集合A、B，所有属于A而不属 于B或属于B而不属于A的元素组成的集合，称为 A A与B的对称差，记作 A B。即
A B {x ( x A)( x B)} {x ( x A B) ( x B A)}
对称差运算的性质：
交换律
A B B A
零一律
结合律
A A
A A
( A B) C A ( B C )
A B ( A B) ( B A)
选读
2014-11-8 计算机科学与工程系 12
(2).集合恒等式的几种证明方法
根据定义进行证明
3.2 集合的基本运算(P59)
1. 全集 定义 如果在某个问题中，所讨论的一切集合均
是某个集合的子集，则称这个集合是该问题的全 集合。记作U（或E）。
2. 文氏图
例如
U
2014-11-8
B A
A
A B
计算机科学与工程系 1
3. 集合的运算
(1).并运算 定义 设有集合 A 、 B，属于 A 或属于 B的所有
B
B A
A
例如 设A={a,b,c,d}, B={d,f,a}, C={e,f,g}
则B-A={ f }, C-A={ e ,f , g }=C
32页 2014-11-8
计算机科学与工程系 4
(4). 绝对补运算 (P60) 定义3.8 集合A相对于全集合U的补集称为A 的绝对补集，简称为A的补集，记作 A 。即
，则
。 (
N ( Y ( N ( Y）Leabharlann ))) )
19
计算机科学与工程系
|~(A∪B)|=100-59=41。即两种语言都不熟悉的有41人。
2014-11-8
计算机科学与工程系
8
例：求在1和1000之间不能被5或6，也不能被8整除的 数的个数。 解：设A：能被5整除，B：能被6整除，C：能被8整除。
|A|=[1000/5]=200，|B|= [1000/6]=166， |C|= [1000/8]=125，
a A B
3） 若 a A B ，则 4） 若 ，则 5） 若
aB aB
Y ；（ N ；（ N ；（ Y
；（
） ） ）
A B A B
6） 若
7）
8） 若
2014-11-8
a A 若 a A
A B B ，则 ； A B A ，则 a A B ； ，则 ； a A B
|A∩B|=[1000/（5，6）]=[1000/30]=33， |A∩C|=[1000/（5，8）]=[1000/40]=25， |B∩C|=[1000/（6，8）]=[1000/24]=41， |A∩B∩C|=[1000/（5，6，8）]=[1000/120]=8， |A∪B∪C|=400， | ~ (A∪B∪C)|=1000-400= 600。 即在1和1000之间不能被5或6，也不能被8整除的数有600个。
例如
证明
假设交换律、分配律、同一律和零一律都成立，
则可以证明吸收律 A ( A B)
A 也成立。
A ( A B) （由同一律） ( A ) ( A B) （由分配律） A ( B) （由交换律） A ( B ) （由零一律） A （由同一律） A 又例如 证明等幂律 A A A 证明 A A = A ( A ( A A)) =A
分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C ) 同一律 A A A U A
2014-11-8 计算机科学与工程系 10
互补律 对合律 等幂律
A A U
（排中律）
A A
反例 设A= {a , b , c }, B={ b , d }, C={ c , d }， 则 A B A C { a, b, c, d } ，
但 BC
2014-11-8 计算机科学与工程系 16
2 设U={1，2，3，4，5}，A={2，4}， B={4，3，5}，C={2，5，3}，确定下列 集合的元素，将其填入相应的花括号内。
因此
u A B
， 。
A B A B
反之，若
即u u A B ，
A且 u B
，
则
u A且 u B
，
u A B 。 故 A B A B 。 由上证得， A B A B
因此
2014-11-8 计算机科学与工程系 14
利用已有的集合恒等式证明新的恒等式
则 A B
A C , B C { f },
d , a,
A
B
A B A A B B
2014-11-8
A B
计算机科学与工程系 3
(3).相对补运算
定义 设有集合A、B，所有属于B而不属于A的元
素组成的集合，称为A相对于B的补集，记作B-A。 即
B A u | u B但u A
（矛盾律）
( A) A （双重否定律）
A A A
A U U
（幂等律） A A A
零一律
A
吸收律 A ( A B) A A ( A B) A 德•摩根律 ( A B) A B
2014-11-8
( A B) A B
11
计算机科学与工程系
2014-11-8
A A B, B A B
A B
计算机科学与工程系 2
(2).交运算 定义
设有集合A、B，属于A同时又属于B的所 有元素组成的集合称为A与B的交集，记 作 A B 。即
A B u | u A且u B
例如 设A={a,b,c,d}, B={d,f,a}, C={e,f,g}，
若要证明集合S=H，根据集合相等关系的定义， 我们需证明 S H 且 H S
例 1
( A B) A B 证明 若 u ( A B) , 则 u A B 因此， u A 或者 u B,
证明
，
于是， u A 或者 从而， u A B ，则 ( A B) A B 反之，若 u A B ， 故 u A 或者 u B 。
2014-11-8 计算机科学与工程系 15
练习
1 设A、B、C是任意集合，判断下述论断是否 正确，并将正确的题号填入括号内。 A 若 A B A C ，则 B=C B 若 A B A C ，则 B=C C 若A-B=A-C，则 B=C D 若 A B ，则 A=B
(D )
A B
A B
B A
A B
2014-11-8 计算机科学与工程系 7
例：有100名程序员，其中47名熟悉FORTRAN语言， 35名熟悉PASCAL语言，23名熟悉这两种语言，问有 多少人对这两种语言都不熟悉？ 解：设A：熟悉FORTRAN语言，B：熟悉PASCAL语言。 |A|=47，|B|=35，|A∩B|=23， |A-B|= |A|-|A∩B|=47-23=24， |B-A|= |B|-|A∩B|=35-23=12， |A∪B|=24+23+12=59，
2014-11-8
计算机科学与工程系
9
4. 集合运算的定律
(1).集合运算的十条定律
对于全集合U的任意子集A、B、C，有：
交换律 A B B A, A B B A 结合律
A ( B C ) ( A B) C , A ( B C ) ( A B) C
(1) (2) (3)
(4)
2 }； ( { 1, 4 }； (A A B) C A ( B C ) { 2, 3, 4, 5
{
A B
}；
AC
{
4
}；
(5)
( A C) B
17
2014-11-8
计算机科学与工程系
3 设U表示刘平拥有的所有书的集合，，其中A是离散数学 参考书的集合，B是操作系统参考书的集合，C是今年出版 的新书的集合，D是从图书馆借来的书的集合。现知道如下 情形： （1）所有离散数学参考书都是今年出版的新书。（3 ） （2）所有操作系统参考书都是从图书馆借来的。（1 ） （3）今年出版的新书不是从图书馆借来的。（ 5 ） （4）没有一本操作系统的参考书是今年出版的。（ 7 ） 试用集合的方法分别表示上述四种情形，可供选择的答案 如下，请从下述答案中挑选出相应表达式的编号填入每一 种情形后面的括号中。 2. C B BD 5. C D 6. B C 1.